2023-2024學(xué)年天津美術(shù)學(xué)院中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2023年天津美術(shù)學(xué)院中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

X1

1.已知向量a,G的夾角為夕，且|制=亍，向=4,則a?G的值是()

A.1B.2C.CD.2.3

參考答案：

A

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

——-2L￡Ik|二4

【分析】由已知中向量a,b的夾角為3,且1&廣210,,代入向量數(shù)量積公式,

即可得到答案.

71

【解答】解：???向量W,E的夾角為可，

|a|J，lb|=4

且z

.二?也Gl“引的母=芬4丸］

故選A

2.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(u)x+(|))+cos(cox+(t))-的最小正周期為兀，且

f(―x)=f(x),則()

/(x)a(o,5)(2.瑪

A、2單調(diào)遞減B、f(x)在44在單調(diào)遞減

」(x)在(0:)(2瑪

C、2單調(diào)遞增D、f(x)在4'4■單調(diào)遞增

參考答案:

A

3.已知函數(shù)f(x)=x?-kx-1在［5,+8)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()

A.(-8,io)B.(-8,10]C.[10,+8)D.(10,+8)

參考答案：

B

【考點(diǎn)】集合的含義；二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可.

【解答】解：（x）=x?-kx-l在［5,+8）上為增函數(shù)，

-kk

對(duì)稱軸x=-2=2W5,解得kWIO,

即k的取值范圍是{k|kW10},

故選：B.

4.若一個(gè)三角形的平行投影仍是三角形，則下列命題：

①三角形的高線的平行投影，一定是這個(gè)三角形的平行投影的高線；

②三角形的中線的平行投影，一定是這個(gè)三角形的平行投影的中線；

③三角形的角平分線的平行投影，一定是這個(gè)三角形的平行投影的角平分線;

④三角形的中位線的平行投影，一定是這個(gè)三角形的平行投影的中位線.

其中正確的命題有（）

A.①②B.②③

C.③④D.②④

參考答案：

D

垂直線段的平行投影不一定垂直，故①錯(cuò)；線段的中點(diǎn)的平行投影仍是線段的中點(diǎn)，故

②正確；三角形的角平分線的平行投影，不一定是角平分線，故③錯(cuò)；因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的

平行投影仍然是線段的中點(diǎn)，所以中位線的平行投影仍然是中位線，故④正確.選D.

y=-4^T（a〉］）

5.函數(shù)'Ix|的圖象的大致形狀是（）

D.

參考答案：

C

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【分析】先利用絕對(duì)值的概念去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原函數(shù)化成分段函數(shù)的形式，再結(jié)合分

段函數(shù)分析位于y軸左右兩側(cè)所表示的圖象即可選出正確答案.

ax,x>0

xax<

【解答】解：..?y=kKT=l-a'，x<0

當(dāng)x>0時(shí)，其圖象是指數(shù)函數(shù)y=W在y軸右側(cè)的部分，因?yàn)閍>l,所以是增函數(shù)的形

狀，

當(dāng)x<0時(shí)，其圖象是函數(shù)y=-a*在y軸左側(cè)的部分，因?yàn)閍>l,所以是減函數(shù)的形狀，

比較各選項(xiàng)中的圖象知，C符合題意

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值、分段函數(shù)、函數(shù)的圖象與圖象的變換，培養(yǎng)學(xué)生畫圖的能

力，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)函數(shù)了（X應(yīng)《8?+8）上滿足以x=2,x=7為對(duì)稱軸，且在卜7］上只有

）（）。，試求方程（）。在［］根的個(gè)數(shù)為（

/0=/3=/x=-20122012)

A.803個(gè)B.804

個(gè)C.805個(gè)D.806

個(gè)

參考答案：

C

略

2

sma+cosa=一

7.若a為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且3,則這個(gè)三角形是()

A正三角形B直角三角形C銳角三角形D鈍角三角形

參考答案：

D

略

8.已知，皿&+￡)=3，由3-向=5,貝ijtan2a的值等于()

_4,2

A.7B.7C.8D.2

參考答案：

A

9.設(shè)a>b>l,c<0,給出下列四個(gè)結(jié)論：

cccb-ca-c

@a>l；?a<b；③logb(a-c)>logb(b-c)；@a>a,

其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.②③C.①②③D.②③④

參考答案：

B

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】由已知中a>b>l,c<0,結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，基函數(shù)的單調(diào)性，逐一分

析給定四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案.

【解答】解：c<0,

①函數(shù)y=a，為增函數(shù)，故aYaJ故①錯(cuò)誤；

②函數(shù)y=x0為減函數(shù)，故a0<b°,故②正確；

③函數(shù)y=logbX為增函數(shù)，故a-c>b-c,故logs(a-c)>logb(b-c),故③正確；

④函數(shù)y=a*為增函數(shù)，a-c>b-c,故a…故④錯(cuò)誤，

故選：B

<x-y-I

io.實(shí)數(shù)2,滿足3-y-22。，則■春1的取值范圍是()

A.L2JB.L2)C.I3」D.

[.111

L21」

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

y一cos2(-—X)

11.關(guān)于下列命題：①函數(shù))二由1在第一象限是增函數(shù)；②函數(shù)“'4'

y=4sm(2x-^)-

是偶函數(shù)；③函數(shù)--?的一個(gè)對(duì)稱中心是(6,0)；④函數(shù)

y=sm(x+Y)-]

4在閉區(qū)間L2'2」上是增函數(shù);寫出所有正確的命題的題號(hào)：_

參考答案：

③

略

12.

已知函數(shù)小尸離則，（加+，盍+……+，（靜=--------------.

參考答案:

50

〃力=]5產(chǎn)x>01（臚

13.函數(shù)、里”40

參考答案:

9

【分析】

先求4的值，再求L14/J的值.

【詳解】由題得44,

所以忖）卜"小

1

故答案為：9

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和分段函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平，屬于基礎(chǔ)題.

14.兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線的位置關(guān)系是.

參考答案：

平行或異面

15.若函數(shù)y」代J*-ax+1）有最小值,則a的取值范圍是

參考答案:

Ka<2

16.數(shù)列｛2"｝和｛3n+2｝的公共項(xiàng)由小到大排列成數(shù)列｛?｝,貝lj｛c〃｝的通項(xiàng)公式c。

=__，前n項(xiàng)和Sn=________o

參考答案：

8

2?4",：（4n-l）

17.符號(hào)[U表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如[幻=31-1_叫=-2,定義函數(shù)（4=*-[力.給

出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)㈤的定義域是R,值域?yàn)閇0,1];②方程8.工=0有2個(gè)解；

③函數(shù)兇是增函數(shù)；④函數(shù)但對(duì)于定義域內(nèi)任意x,都有國(guó)其中正確結(jié)論

的序號(hào)有.

參考答案：

②④

畫出函數(shù)'；M的圖象（如圖）。

九

一

-IO123X

函數(shù)｛x｝的定義域是R,但0?x?[x]<l,故函數(shù)｛x｝的值域?yàn)閇0,1）,故①不正確；

由圖象可得函數(shù)卜；-41的圖象與'的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程-x有兩個(gè)

解，即方程;、；?'。有2個(gè)解,故②正確；

由圖象可得函數(shù);、:不是單調(diào)函數(shù)，故③不正確；

因?yàn)椋鹸+l｝=x+l?[x+l]=x?｛x｝=｛x｝,所以；：'；|x+1）,故④正確。

綜上可得②④正確。

答案：②④

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.（本小題滿分15分）已知函數(shù)/⑴是定義在（-8,0）U（0,*o）上的奇函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log2x

(I)求當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；

(II)求滿足〃x+D<-1的x的取值范圍;

(III)已知對(duì)于任意的GEV,不等式=“2七+1恒成立，求證：函數(shù)/口’的圖象

與直線￥=x沒有交點(diǎn).

參考答案：

解：(I)當(dāng)X<：0時(shí)，/(X)=3；-)".--------5分

logx(X>0)

/(x)=,a

)

(ID-logj(-x)(i<0

log2(x+l)(x+1>0)_floga(x+l)(x>-l)

/(x+l)=

-log+】)](*+1<0)-Ioga[-(x+l)](x<-l)

x>-ljx<-l

因?yàn)椤▁+1)<7,/.V°8a(x+1)<7或1一1。8』一(x+D】<-l

x<-3或2,------------10分

(III)根據(jù)對(duì)稱性，只要證明函數(shù)/(x)的圖索與直線y=x在xe(Q+oo)上無(wú)交點(diǎn)即可.

令xc(O,+oo),函數(shù)yi=log2X,力=x

2.當(dāng)xc(0,1］時(shí),“40,”>Q貝S<Ji

3.當(dāng)xe(2*,2*+l)(無(wú)￡小，無(wú)+1，力>2**上+1,則XV力則在*6(°，田)上

直線y=x始終在y=log2x的圖象之上方.

綜上所述，由于對(duì)稱性可知，函數(shù)/(X)的圖象與直

線/=x沒有交點(diǎn).15分

Q

_________u

°ABF

圖I

19.（本小題滿分12分）如圖1,已知OPQ是半徑為1,圓心角為

n

I的扇形,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記NCOP=a,求當(dāng)角a取何

值時(shí)，矩形ABCD的面積最大?并求出這個(gè)最大面積.

參考答案：

解析:在RtAOBC中,BC=cosa,BC=sina,

DA?皂?

在RtAOAD中，Q4=tan60°=后，所以0A=?DA=3BC=3sina.

所以AB=OB-OA=cosa5sina.

■在一追

設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AB?0905013sina)sina=sinacosa3sin2a

2走近工迫2迫

=2sin2a+6cos2a-6=幣(2sin2a+2cos2a)-6

1nyf3

=3sin(2a+6)6.

nnnn1出g

由于0<a<3,所以當(dāng)2a+6=2,即a=6時(shí)，S最大=、/二-6=6.

X皂

因此，當(dāng)a=6時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為6.

略

20.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊所成角為60°（如圖所

示），考慮到防洪堤的堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9ymz,且高

度不低于?m.問(wèn)防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)AB為多少時(shí)，橫斷面的外周長(zhǎng)AB+BC+CD最小，并

求最小外周長(zhǎng)：

參考答案：

【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用.

【分析】先由橫斷面積用AB=x表示BC,從建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，定義域由線段必

須大于零和高度不低于近米，求解；求函數(shù)y的最小值，根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)及條件可選用基

本不等式解決.

【解答】解：(1)設(shè)腰長(zhǎng)AB=x,

1xV3

即有9遂=2(AD+BC)h,其中AD=BC+2?2=BC+X,h=2x,

1返18

/.973=2(2BC+x)?2x,得BC=x-2,

>V3

-f>0,得2Wx<6,

183

y=BC+2x=x+2x(2WxV6),

182陛①

由y=x+2x22、x2=6^3,

183_

當(dāng)并且僅當(dāng)即x=2?時(shí)等號(hào)成立.

，外周長(zhǎng)AB+BC+CD的最小值為6正米，此時(shí)腰長(zhǎng)AB為2正米.

=l)lnxf—frf2

21.（本題滿分12分）函數(shù)x

（I）討論“x）的單調(diào)性；

（II）若加）有三個(gè)零點(diǎn)，求〃的取值范圍.

參考答案：

解：（I）-X?+-X5-7（X＞8（1分）

①若aNO,則，當(dāng)XW（QD時(shí)，八力＜o(jì),/（X）單調(diào)遞減；當(dāng)工6（1?2）時(shí)，

人工）＞0,/㈤單調(diào)遞增.（2分）

②若“一一1則六（03W）,7*（1）20（僅/*。）=0）,，（x）單調(diào)遞增,（3分）

10

③若一，則0＜-備＜1,當(dāng)xw（d2a）或X?LWD）時(shí)八力＞0,/㈤單調(diào)

遞增；當(dāng)工￡（-血。時(shí)，八月單調(diào)遞減.（4分）

_1

④若“＜一亍，貝卜2a＞l,當(dāng)xw（Ql）或它（辦2）時(shí)，/㈤＞0,/㈤單調(diào)遞增；

當(dāng)xe（l?-2a）時(shí)，/*（力＜0,單調(diào)遞減.（5分）

（II）法一：①由（I）知，當(dāng)aA0時(shí)，/IQ至多有兩個(gè)零點(diǎn).（6分）

②由（I）知，當(dāng)“一5時(shí)，〃*）至多有一個(gè)零點(diǎn).（7分）

_]|A-2a）＞0

③若2＜a＜,則要使，㈤有三個(gè)零點(diǎn)，必須有l(wèi)m＜°成立，

31

由/⑴＜。,得工，這與2＜a＜矛盾，所以不可能有三個(gè)零點(diǎn).（8分）

!f/O）＞o

④若“,一2,則要使/㈤有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立，

由/⑴>0,^a>-2,由/(M=(2flUMM1]<0及"<一"得"N

3e

:l—<a<—

22.(io分)

3e

并且，當(dāng)一爹時(shí)，0</<L/>-2a.

，㈠=4+?—2o(<4?--4/-2)<4+1-“<0

"w1)=/?皿?々?④>J+④=/一6一>/一7>0

(注：此處用極限說(shuō)明，扣1分)

綜上，使,（K）有三個(gè)零點(diǎn)的4的取值范圍為（一亍?一G）.（12分）

.lnx-x-2

2a—.------

法二：由/（工）=°,得x*bx,

10kL2

3=1?_Ng-（日g

TinK=---------------，,..........（*>0）

令K，貝U（1+擊另，（7分）

當(dāng)X€（QI）或X?6“）時(shí)，”（功<0,單調(diào)遞減；

當(dāng)xwae）時(shí)，MQO>0,HQ單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)x=l時(shí)，取得極小值，極小值為>0）=-3,

當(dāng)*二w時(shí)，M?取得極大值，極大值為蜘="；（9分）

并且0<?>7>?,

MQ=Z1^>二H/玲=?-<中+?=-3

??-2,尸.2?々+2

（注：此處用極限說(shuō)明，扣1分）

綜上可知，當(dāng)為￡（-3,-?）時(shí)，直線丁=2a與曲線丁二星工）恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).（11

分）

（-工

所以，使有三個(gè)零點(diǎn)的4的取值范圍為2*5'.（12分）

f(x)=ax+一廠(a>0,a卉1)

22.已知函數(shù)a是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)t的值；

(2)若f(1)>0,不等式f(x?+bx)+f(4-x)>0在xGR上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取

值范圍；

h(x)=a"'+:

(3)若工且a[1,+8)上最小值為-2,求m的值.

參考答案：

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

【分析】(1)由已知可得f(0)=0,求得t值，已知f(x)為奇函數(shù)，則t值可求;

x__

&7

(2)由f(x)的解析式可得f(x)=a是R上的單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性把不等式f

(x2+bx)+f(4-x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次不等式，由判別式小于0求得

實(shí)數(shù)b的取值范圍；

3

(3))由f(1)=2求得a值，則h(x)

22X+-^2ID(22X-^)=(2x-^-)2-2m(2x-^)+2二則g

22X2X2X，令u=f(x)

(u)=u2-2mu+2,然后利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合配方法求得f(x)在[1,+8)上最小值,

進(jìn)一步求得m