第8講 平行線的性質(zhì)與用尺規(guī)作角 七年級數(shù)學下冊同步講義

第8講平行線的性質(zhì)與用尺規(guī)作角

0目標導航

1.掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進行簡單的推理；

2.了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；

3、理解尺規(guī)作圖的含義；

4、能用尺規(guī)作一些基本的圖形；

5、通過尺規(guī)作圖的理解進行一些線段和角的計算。

視知識幡井

知識點Ol平行線的性質(zhì)

一、平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

要點詮釋：

(1)“同位角相等、內(nèi)錯角相等“、"同旁內(nèi)角互補”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩

直線平行”.

(2)從角的關系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關系，是平行線的性質(zhì).

二、平行的傳遞性

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

三、兩條平行線的距離

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做這兩條平行線

的距離.

要點詮釋：

(1)求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點，向另一條直線作垂線，垂線段的長度就是兩條

平行線的距離.

(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的

距離處處相等.

【知識拓展1］（2021秋?本溪期末）如圖，將一個含有30°角的直角三角板放置在兩條平行線小6上，若

Nl=Il5°,則/2的度數(shù)為（）

【即學即練1】（2021秋?成都期末）如圖，直線AB〃C￡>,點E在AC上，若∕A=130°,ZD=20o,則

【即學即練2】（2021秋?武侯區(qū)期末）如圖，把三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，已知直尺的對邊平

【即學即練3］（2021秋?普寧市期末）如圖，在△￡）￡尸中，點C在力尸的延長線上，點B在EF上，且AB

A.60°B.30oC.90°D.80°

【即學即練4】（2021秋?鐵西區(qū)期末）如圖，AB//CD//EF,若NA8C=125°,ZCEF=105°,則/BCE

的度數(shù)為一.

【即學即練5]（2021秋?寬城區(qū)期末）如圖，直線機〃若Nl=40°,/2=30°,則N3的大小為度.

【知識拓展2】（2021秋?成都期末）如圖，AE//BC,且NABO=∕AQB,NDAE=NE,若∕A8C=63°,

求NDBC的度數(shù).

【即學即練1]（2021秋?寶安區(qū)期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關.如圖，從

光源P點照射到拋物線上的光線布，PB等反射以后沿著與直線尸尸平行的方向射出，若NCAP=α,Z

O8P=β,則NAPB的度數(shù)為（）

A.2aB.2βC.a邛D.?(a+β)

【即學即練2】（2021秋?香坊區(qū)期末）如圖，AD//BC,NC=30°,AADB-.NBDC=I:2,NEAB=72°,

以下四個說法：

ΦZCZ）F≈30°；②乙4OB=50°；③乙480=22°；④∕CBN=108°；其中正確說法的個數(shù)是（）

C.3個D.4個

【即學即練3】（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，AB//CD,AO與BC相交于點尸，BE平分NABC,OE平分/

ADC,NAFB=96°,則NBEO的度數(shù)為度.

【即學即練4】（2021秋?羅湖區(qū)期末）請解答下列各題：

（1）閱讀并回答：

科學實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相

等.如圖1,一束平行光線AB與OE射向一個水平鏡面后被反射.此時N1=N2,Z3=Z4.

①由條件可知：Nl=/3,依據(jù)是,Z2=Z4,依據(jù)是.

②反射光線BC與EF平行,依據(jù)是.

（2）解決問題：

如圖2,一束光線〃?射到平面鏡α上，被α反射到平面鏡6上，又被匕鏡反射，若匕射出的光線"平行

于Wb且Nl=42°,則N2=；N3=.

【即學即練5】（2021秋?南關區(qū)期末）如圖，AB//DC,ACVBC,AC平分ND4B,ZB=50o,求/

力的大小.

閱讀下面的解答過程，并填括號里的空白（理由或數(shù)學式）.

解：?'AB∕∕DC（）,

ΛZβ+ZDCβ=l80o（）.

;NB=（已知），

ΛZDCB≈180o-N8=180°-50°=130°.

,JACLBC（已知），

ΛZACB=（垂直的定義）.

/2=.

'：AB//DC（已知），

ΛZ1=（）.

；AC平分NoAB（已知），

.?.∕D4B=2N1=（角平分線的定義）.

?,AB∕∕DC（已知），

/.+ZE>Aθ=180°（兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

二/0=180°-ZDAB=.

【即學即練6】（2021秋?長春期末）已知AM〃CN,點8在直線AM、CN之間，ABJ_BC于點8.

（1）如圖1,請直接寫出/A和NC之間的數(shù)量關系：.

（2）如圖2,/A和/C滿足怎樣的數(shù)量關系？請說明理由.

（3）如圖3,AE平分NM4B,CH平令∕NCB,AE與CH交于點G,則NAG”的度數(shù)為

知識點02用尺規(guī)作角

1.作圖一尺規(guī)作圖的定義

(I)尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖.只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不

同的平面幾何作圖題.

(2)基本要求

它使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質(zhì)，跟現(xiàn)實中的并非完全相同.

直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上

畫刻度.

圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度.它只可以拉開成你之前構(gòu)造過的長度.

2、作一個角等于已知角

作一個角等于已知角的主要作用是作三角形和作平行線等.

利用尺規(guī)作一個角等于已知角.

已知：NAo8(如圖2-4-22所示).

求作：N4OE，使N4OE=NAoA

圖2—4一22

作法：

⑴如圖2-4-23所示，作射線0'B'?.

(2)以點0為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于點D，交OB于點C；

(3)以點。，為圓心，以OC長為半徑作弧，交于點C；

(4)以點C為圓心，以CQ長為半徑畫弧，交前面的弧于點D'；

(5)過點D作射線07V.

則2406就是所求作的角.

,,

AA

Dy

OrCBO'7CΓB,

圖2—4一23

【知識拓展H（2021秋?無為市期末）下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（）

A.延長射線AB到。

B.以點。為圓心，任意長為半徑畫弧

C.作直線A8=3””

D.延長線段AB至C,使AC=BC

【即學即練1］（2020秋?大連期末）下列作圖語句中，敘述正確的是（）

A.延長線段AB到點C,使BC=48

B.畫直線AB的中點C

C.畫直線AB=6c,"

D.延長射線OA到點8

【即學即練2］只用的直尺和進行的作圖稱為尺規(guī)作圖.

【即學即練3】（2021春?鐵嶺月考）下列作圖語句錯誤的個數(shù)是（）

①以點O為圓心作?。虎谘娱L射線OM到點A;③延長線段A3到C,使8C=AB；④過三點A,B,C

作直線.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【即學即練4】（2021春?龍口市月考）下列畫圖語句中，正確的是（）

A.畫射線OP=3cmB.畫出A、B兩點的距離

C.延長射線。4D.連接A、B兩點

【即學即練5］（2011春?巴東縣校級期末）作圖題的書寫步驟是、、,而且要畫

出,寫出,保留.

【即學即練6］（2019秋?成安縣期末）下列畫圖語句中，正確的是（）

A.畫射線OP=3?！盉.連結(jié)A、B兩點

C.畫出直線AB的中點D.畫出A、B兩點的距離

【即學即練7］（2018秋?寧陽縣期末）下列語句是有關幾何作圖的敘述.

①以。為圓心作弧；②延長射線AB到點C；③作/AOB,使NAOB=Nl;④作直線AB,使AB="；

⑤過三角形ABC的頂點C作它的對邊AB的平行線.其中正確的有.（填序號即可）

【即學即練8】如圖，利用尺規(guī)，在AABC的邊AC上方作/CAE=NACB,在射線AE上截取AO=8C,

連接C￡>,并證明：CD〃AB（尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）

_______________-C

一

【即學即練9】下列語句表示的圖形是（只填序號）

①過點0的三條直線與另條一直線分別相交于點8、C、。三點：—.

②以直線AB上一點。為頂點，在直線4B的同側(cè)畫NAOC和NB0。.

②過。點的一條直線和以。為端點兩條射線與另一條直線分別相交于點以C、。三點：.

U能力拓展

類型一、平行線的性質(zhì)

例1、如圖，己知AB〃CD,AP平分NBAC,CP平分NACD,求NAPC的度數(shù).

【變式】如圖，直線AB〃CD,ZC=44o,NE為直角，則Nl等于（）

A.132°B.134°C.136°D.138°

類型二、兩平行線間的距離

例2、如圖，已知，h〃12,Cl在h上，并且CιAL12,A為垂足，C2,C3是11上任意兩點，點B在12上.設

△ABC1的面積為Si,4ABC2的面積為S2,4ABC3的面積為S3,小穎認為S1=S2=S3,請幫小穎說明理由.

【變式】下圖是一個方形螺線.已知相鄰均為1厘米，則螺線總長度是厘米.

類型三、平行的性質(zhì)與判定綜合應用

例3、如圖所示，在長為50m,寬為22m的長方形地面上修筑寬度都為2m的道路，余下的部分種植花草,

求種植花草部分的面積.

【變式】如圖①，在寬為20m、長為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬度的道路，余下部分作為耕地.根

據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得耕地的面積為（）

①

A.600m2B.55Im2C.55Om2D.5OOm2

例4、如圖所示，NABe的邊BC與NDEF的邊DE交于點K,下面給出三個論斷：①NB=NE；②AB〃

DE；③BC〃EF.請你以其中的兩個論斷為條件，填入“已知”欄中，以一個論斷為結(jié)論，填人''試說明"

欄中，使之成為一個完整的正確命題，并將理由敘述出來.

已知：如圖所示，/ABC的邊BC與/DEF的邊DE交于點K,,,試說明

【變式】已知，如圖，Z1=Z2,Z3=65°,則/4=.

17\4

/EFT

例5、如圖，AB/7CD,點M,N分別為AB,CD上的點.

(1)若點P在兩平行線內(nèi)部，NBMPl=45°,NDNPl=30°,則NMPlN=

(2)若Pι,P2在兩平行線內(nèi)部，且PιP2不與AB平行，如圖，請你猜想∕AMPι+∕P∣PzN與NMPlP2+/

PzND的關系，并證明你的就論；

(3)如圖，若P∣,P2.P3在兩平行線內(nèi)部，順次連結(jié)M,Pι,P2,P3,N,且PιP2,P2P3不與AB平行,

直接寫出你得到的就論.

D

【變式】如圖所示，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐角/A是120。，第二次拐的角

ZB是150°,第三次拐的角是NC,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則/C是（）

A.120oB.130°C.140oD.150°

類型四：尺規(guī)作圖的定義

例6.下列作圖屬于尺規(guī)作圖的是（）

A?用三角尺作AB的平行線

B?用刻度尺畫線段AB=3c?m

C-用直尺和圓規(guī)作直線AB的平行線

D■用量角器畫/4。B的平分線OC

類型五：作一個角等于已知角

例7.如圖2—4—24所示，已知NAoB，求作NCBO，使NCBo=NAoB，交。4于點C.

類型六：作已知角的和、差、倍

例8.如圖2-4-25所示，已知∕α，Z/?＞求作一個角，使它等于∕α與∕夕的和.

羔分層提分

題組A基礎過關練

選擇題（共5小題）

I.（2021秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知ZA=45o,Z2=100°,則Nl的度數(shù)為（）

A.50oB.55oC.45oD.60°

2.（2020秋?歷下區(qū)期末）如圖，將長方形紙片ABC力沿對角線B。折疊，點C的對應點為E,若NCBD=

35°,則NAFB的度數(shù)為（）

E

4.下列畫圖語句中，正確的是（）

A.畫射線OP=357B.畫出A、B兩點的距離

C.畫出4、B兩點的中點D.連接A、B兩點

5.在下列各題中，屬于尺規(guī)作圖的是（）

A.利用三角板畫45°的角

B.用直尺和三角板畫平行線

C.用直尺畫一工件邊緣的垂線

D.用圓規(guī)在已知直線上截取一條線段等于已知線段

二.填空題（共3小題）

6.（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，NAoB內(nèi)有一點P,過點尸畫PC〃O8,PD//OA,NAoB=60°,則/

CPO的度數(shù)為度.

7.（2019秋?輝縣市期末）一個小區(qū)大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于4,8平行于地面AE,那么

ZABC+ZBCD=.度?

/i

AR

8.（2020秋?石獅市期末）如圖，AB//CD,NEGB=50°,則/C”G的大小為

Ξ.解答題（共4小題）

9.（2021秋?臨漳縣期末）探究：如圖①，DE//BC,EF//AB,若∕ABC=50°,求NoEF的度數(shù).

請將下面的解答過程補充完整，并填空.

解：因為DE:〃8C,

所以/OEF=().

因為EF//AB,

所以=ZABC().

所以/OEF=/ABC(等量代換).

因為NABC=50°,

所以NQEF=°.

應用：如圖②，DE//BC,EF//AB,若∕ABC=65°,求NDEF的度數(shù).

10.（2021春?原州區(qū)期末）如圖，AD∕∕BC,/C4E的平分線是AO,ZC=65o.請你計算出ND4E、Z

CAB和/8的度數(shù).

11.（2021春?敦化市期末）如圖，已知：AE//BF,ZA^ZF,證明：ZC=ZD.

12.（2021春?南丹縣期末）如圖，在aABC中，點。、E、尸分別在邊AB、AC.CB上，KDE//BC,EF

//AB,若NABC=65°,求NOEF的度數(shù).請將下面的解答過程補充完整：

解：?'DE∕∕BC（）,

ΛZDEF=ZCFE(),

'JEF∕∕AB,

NCFE=NABC(),

：.NDEF=NABC().

VAABC=65°,

/.NDEF=.

題組B能力提升練

一.選擇題（共6小題）

1.（2020秋?南岸區(qū)期末）如圖，。是NABC的邊BC上一點，DE//BA,NeBE和NSE的平分線交于點

F,若NF=a,則NABE的大小為（）

A.aB.?ɑC.2aD.?r?

22

2.（2021秋?上思縣期中）如圖所示，AB//DE,且∕E=55°,則N2+NC的度數(shù)是（）

3.（2021?臨沐縣模擬）如圖，已知AB〃CZ）,NA=56°,NE=I8°,則/C的度數(shù)是（）

AB

A.32°B.34oC.36°D.38°

4.（2021?河南模擬）將含30°角的直角三角尺如圖擺放，直線若/1=65°,則/2的度數(shù)為（）

A.45oB.50°C.55°D.60°

5.（2021秋?常州期中）下列作圖語句正確的是（）

A.連接AO,并且平分NBACB.延長射線AB

C.作NAoB的平分線OCD.過點A作A8〃CQ〃EF

6.下列作圖不是尺規(guī)作圖的是（）

A.用直尺和圓規(guī)作線段“等于已知線段

B.用直尺和圓規(guī)作一個角等于己知角

C.用刻度尺和圓規(guī)作一條IOCm的線段

D.用直尺和圓規(guī)作一個三角形

二.填空題（共4小題）

7.（2021秋?南崗區(qū)期末）如圖，m∕∕n,l±n,垂足為點A,I交m于點B,點C在直線〃上，請在直線機

上取一點。，連接CD,過點。作OE_LCO交直線/于點E,若NBED=60：則/ACD=度.

如圖,a∕∕b,Zl=/2,Z3=40o,則/4等于度.

a

2

1

3

把一條兩邊邊沿互相平行的紙帶折疊，若Nβ=56°,則Na=

10.（2021春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，將一張長方形的紙片沿折痕EF翻折，使點8、C分別落在點〃、

N的位置，且NAFM=」/￡7物，則/NEO=

≡.解答題（共4小題）

11.（2021秋?農(nóng)安縣期末）已知直線AB〃C￡>,P為平面內(nèi)一點，連接孫、PD.

（1）如圖I,已知NA=50°,/0=150°,求NAP。的度數(shù)；

（2）如圖2,判斷/B4B、ZCDP.NAP。之間的數(shù)量關系為.

（3）如圖3,在（2）的條件下，AP±PD,DN平分NPDC,若NΛ4N+JιNA?B=NAPD,求乙AND的

2

度數(shù).

12.(2021秋?嵩縣期末)己知一角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，試探索這兩個角之間的關系，并說

明你的結(jié)論.

(1)如圖1所示，AB//EF,BC//DE,則/1與/2的關系是：

(2)如圖2所示，AB//EF,BC//DE,則/1與/2的關系是；

(3)經(jīng)過上述探索,我們可以得到一個結(jié)論(試用文字語言表述)：；

(4)若兩個角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的2倍少30°,則這兩個分別是多少度？

13.(2021秋?虎林市期末)(1)如圖(1),AB//EF.求證：NBCF=NB+NF.

(2)當點C在直線BF的右側(cè)時，如圖(2),若AB〃EF,則NBeF與NB、NF的關系如何？請說明

理由.

14.(2020秋?開江縣期末)當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等.例如：

在圖①、圖②中都有Nl=N2,Z3=Z4.設鏡子AB與BC的夾角∕ABC=α.

(1)如圖①，若a=90°,判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關系，并說明理由.

(2)如圖②，若90°<a<180o,入射光線E尸與反射光線GH的夾角/HWH=β.探索a與β的數(shù)量

關系，并說明理由.

(3)如圖③，若a=130°,設鏡子CD與BC的夾角NBC。為鈍角，入射光線EF與鏡面AB的夾角/

l=x(0o<Λ<90O).已知入射光線EF從鏡面AB開始反射，經(jīng)過〃(”為正整數(shù)，且"W3)次反射，

當?shù)凇ù畏瓷涔饩€與入射光線EF平行時，請直接寫出/BCQ的度數(shù)(可用含X的代數(shù)式表示).

題組C培優(yōu)拔尖練

選擇題(共1小題)

1.（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）如圖，將長方形4BCD沿線段EF折疊到EBeF的位置,若NEFC=IO（）°,

二.填空題（共7小題）

2.（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知AB〃C。，ZACD=60o,ZBAE：ZCAE=2:3,NFCD=4NFCE,

3.（2021春?東港區(qū)校級期末）把一張對邊互相平行的紙條，折成如圖所示，EF是折痕，若NEFB=32°,

則下列結(jié)論：①NeE尸=32°；②/AEC=1480'；③∕8GE=64°；④NBF￡）=116°.正確的有個.

4.（2021春?渦陽縣期末）如圖，AB//CD,PzE平分NPiEB,PzF平分NPiFD,若設∕PE8=x°,NPIFD

=y°則/Pi=（x+v）度（用X,y的代數(shù)式表示），若∕?E平分/尸2所，尸3尸平分/尸2尸。，可得N

尸3,P4E平分NP3EB,RiF平分NP3FQ,可得NR…，依次平分下去，則NG=度.

5.（2021春?辛集市期末）把一張長方形紙片428沿EF折疊后ED與BC的交點為G,D、C分別在M、

N的位置上，若∕EFG=49°,則N2-∕l=.

E

6.（2021春?樂清市期末）將一副三角板如圖1所示擺放，宜徵GH"MN,現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒

1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板。EF繞點。以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設時間為r秒，如圖2,

ZBAH=t°,∕FCM=2f°,且OWfWl50,若邊BC與三角板的一條直角邊（邊。E,DF）平行時，則

所有滿足條件的t的值為.

7.（2021春?欽州期末）如圖，已知A8〃C￡>,BE、OE的交點為E,現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作

N4BE和NCDE的平分線，交點為Ei,第二次操作，分別作NABEi和NC。El的平分線，交點為及，

第三次操作，分別作/ABE2和NCf>E2的平分線，交點為出,…第，7（〃》2）次操作，分別作N4B&J

和∕CQE"j的平分線，交點為E”,若NE,=α度，則NBEQ=度.

8.（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，AB//CD,NOCE的角平分線CG的反向延長線和/ABE的角平分線

B尸交于點F,NE-NF=33°,則/E=.

≡.解答題（共5小題）

9.（2021秋?農(nóng)安縣期末）如圖，點P是NAOB的邊OB上的一點，過點P畫OB的垂線，交OA于點C；

（1）過點P畫OA的垂線，垂足為H-.

（2）線段PH的長度是點P到的距離，是點C到直線OB的距離.線段PC、

PH、OC這三條線段大小關系是（用號連接）

10.（2021秋?南崗區(qū)校級期中）已知，AB〃DE,點C在AB上方,連接BC、CD.

（1）如圖1,求證：NBCD+NCDE=NABC；

（2）如圖2,過點C作CF