2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)練習(xí)：雙曲線（附答案解析）

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：3.2雙曲線

一.選擇題(共5小題)

_V2X2

I.已知直線2x+y-4=0與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，若A,8的中點(diǎn)在曲線C：---=\

azbz

(0>0,?>0)的漸近線上，則曲線。的離心率為()

--√5V3

A.Vr5B.√γ3C.—D.—

22

%2y2

2.雙曲線C?-?r=l(α>O,6>0),。是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線。的右焦點(diǎn)，離心

z

αb乙

率是e,己知A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線》的交點(diǎn)，則后?成的值為

()

1

A.OB?-eC.2D.-

e

3.已知Fi,尸2分別是雙曲線C：*-y2=ι的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，

且以線段FiF2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()

A.+1B.±√2C.±√3D.+2

42y2λ∕^+l

4.如果雙曲線F-卷=1的離心率為三一，我們稱該雙曲線為黃金分割雙曲線，簡(jiǎn)稱為

a2b22

X2y2

黃金雙曲線.現(xiàn)有一黃金雙曲線C=1(?>0),則該黃金雙曲線C的虛軸

√5-lb2

長(zhǎng)為()

A.2B.4C.√2D.2√2

%2y2

5.已知雙曲線￡：—-?=l(b>0)的漸近線方程為y=±√3x,則E的焦距等于()

3Dz

A.√2B.2C.4√3D.4

二.填空題(共5小題)

6.已知雙曲線C：**l(α>0,b>0)的右焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)為A,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

圓心，過(guò)點(diǎn)A的圓與雙曲線C的一條漸近線交于位于第一象限的點(diǎn)P,若直線PF的斜

率為-3,則雙曲線C的漸近線方程為.

久2y2

7.已知焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線一--―=1的兩條漸近線互相垂直，則根=.

m2-mz

8.雙曲線/一A=I(∕M>0)的離心率為2,W∣Jm=.

X2y2

9.已知點(diǎn)F為雙曲線C二一二=1的右焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離

53

為.

22

10.已知雙曲線E：-^=l(α>0,6>0),當(dāng)雙曲線的漸近線夾角取值范圍是《，身

時(shí)，其離心率的取值范圍是.

三.解答題(共3小題)

11.求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)α=4,b=5,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)焦點(diǎn)在y軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

12.已知雙曲線C的焦點(diǎn)F(百，0),雙曲線C上一點(diǎn)P到尸的最短距離為√5-√Σ

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程；

(2)已知點(diǎn)M(0,1),設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)入=Λ??Λ?,

求人的取值范圍.

2

13.已知點(diǎn)(3,1)在雙曲線C：X-/=/(0>0)上.

(1)求正數(shù)4的值；

(2)求雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)A(8,0)的距離的最小值.

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：3.2雙曲線

參考答案與試題解析

一.選擇題(共5小題)

y2X2

1.已知直線2x+y-4=0與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，若A,8的中點(diǎn)在曲線C彳-=1

az7b72-

(a>0,?>0)的漸近線上，則曲線C的離心率為()

LL遍W

A.√5B.V3C.—D.—

22

【解答】解：設(shè)AB中點(diǎn)為M,

直線方程2x+y-4=0中，令X=O可得y=4,令y=0,可得x=2,

從而A(0,4),B(2,0),M(1,2),

雙曲線的漸近線為：y=gx,

故：2=^xL.?.α=2b,a2=4h2=4(c2—α2),4c2=5a2,e2==/e=卓

故選：C.

X2V2

2.雙曲線C--77=l(α>0,h>0),。是坐標(biāo)原點(diǎn)，廠是雙曲線C的右焦點(diǎn)，離心

a27b2

率是e,已知A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線％的交點(diǎn)，則&?G的值為

()

1

A.0B.-eC.2D.一

e

【解答】解：由雙曲線的方程可得右焦點(diǎn)尸(c,0),

漸近線的斜率為正的方程為：y=[,

與直線x=(聯(lián)立可得尸器，

所以由題意可得A(―,—),

CC

422222

nn`iTΓΓ<J∈IZΓΛTi?,a?ab、/2ab`2ɑɑ^2a(a+b)?

所以可得。4?力尸=(-,—Xc-a-,-?)=a--^2——苫-=/——^=0,

故選：A.

3.己知為，尸2分別是雙曲線C：*-y2=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，

且以線段FιF2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()

A.±1B.±√2C.±√3D.±2

【解答】解：由雙曲線C:=1的方程知。2=3,房=1,

所以Q=V^b=1,c=Va2÷b2=2,

所以漸近線方程為y=±字X,

2

以線段FiF2為直徑的圓為x+V=4,

_,√3

聯(lián)立方程y=±3%,解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為±6，

,x2÷y2=4

故選：C

%2y2λ∕^"+l

4.如果雙曲線W=1的離心率為^一，我們稱該雙曲線為黃金分割雙曲線，簡(jiǎn)稱為

a2b22

X2y2

黃金雙曲線.現(xiàn)有一黃金雙曲線C=1">0），則該黃金雙曲線C的虛軸

√5-lbz

長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.√2D.2√2

C?d2+/??匕2?fS+1

【解答】解：由題意可得7=----∑—=1+-γ=-=（—^-Y,解得房=2,即b=V2,

a2a2√5-l2

故黃金雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為2?=2√2.

故選：D.

y2

5.已知雙曲線E：--^=l（b>0）的漸近線方程為y=±√3x,則E的焦距等于（）

A.√2B.2C.4√3D.4

%2y2

【解答】解：由二-77=1,知α=√5,

3b2

其漸近線方程為y=±，=±奈X=±Wx,

：.b=3,

?"?c=y∕a2+b2=√3+9=2√3,

，焦總巨為2。=46.

故選：C.

二.填空題（共5小題）

6.己知雙曲線C：^∣-^∣=l（α>0,b>0）的右焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)為A,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

圓心，過(guò)點(diǎn)A的圓與雙曲線C的一條漸近線交于位于第一象限的點(diǎn)P,若直線PF的斜

率為-3,則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)y=±1x_.

【解答】解：由曲線C：*?=l(α>O,b>O)知右頂點(diǎn)A為(a,0),右焦點(diǎn)F(c,

0),

所以以點(diǎn)。為圓心，過(guò)點(diǎn)A的圓的方程為x2+y2=°2,

雙曲線的漸近線方程為y=[x,

X2+y2=α22Ch

聯(lián)立方程b，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(I，半)，

(y=ax

ab

所以kpF=*=-今又由直線PF的斜率為-3,可得一號(hào)=一3,

所以2=：,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±4x,

CL3?

故答案為：y=±^χ.

22

7.已知焦點(diǎn)在工軸上的雙曲線一-二一=1的兩條漸近線互相垂直，則m=1.

m2-ml

【解答】解：由雙曲線的對(duì)稱性可知，題中的雙曲線為等軸雙曲線，

2

從而：m=2-mfΛ∕22i=1,m2=-2,

又雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，故m>0,2-∕w2>0,.?m=?.

故答案為：L

8.雙曲線/一哈=1(m>0)的離心率為2,則∕n=3.

【解答】解：雙曲線/一<=](wj>0)的離心率為2,則∕=ι,f=tn,

所以可得C2=Λ2+?2=1+∕Π,

所以可得：e=g="邁=2,解得：機(jī)=3,

故答案為：3.

X2y2

9.已知點(diǎn)尸為雙曲線C二一二=1的右焦點(diǎn)，則點(diǎn)尸到雙曲線C的一條漸近線的距離

53

為—V3_.

X2y2______

【解答】解：雙曲線C：———=1的/=5,?2=3,c=√5+3=2√2,

53

則可設(shè)產(chǎn)(2√2,0),

設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為√IL√5=0,

則尸到漸近線的距離為d=餐，=√3,

故答案為：v?.

2_2

10.已知雙曲線氏l(α>0,6>0),當(dāng)雙曲線的漸近線夾角取值范圍是《，身

時(shí)，其離心率的取值范圍是_[竽，2]_.

TTTTTCTT

【解答】解：由題意可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的范圍是-],或勺，-],

即tan]≤-≤ta∏y,即由≤—≤1,或taτιJ<-<tan^

6a43a4a?

2

.?Ji+(f)≤≤√T不溟或V#+#<l+(√3)2,

故答案為：[亍，2].

三.解答題(共3小題)

11.求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)a=4,b=5,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)焦點(diǎn)在y軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

y2X2

【解答】解：(1)由題意，設(shè)方程為.-77=l(a>O.h>0),

a2b2

?.Z=4,b=5,

ΛΛ2=16,層=25,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是9--=1.

1625

(2)Y焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2,

.?.2p=4,

.?.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為∕=4y或，=-4)，.

12.已知雙曲線C的焦點(diǎn)F(遍，0),雙曲線C上一點(diǎn)P到F的最短距離為g-VL

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程；

(2)已知點(diǎn)M(0,1),設(shè)尸是雙曲線C上的點(diǎn)，。是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)入=詁?Λ?,

求人的取值范圍.

【解答】解：(1)：雙曲線C的焦點(diǎn)F(6，0