解三角形專題

./解三角形專題一、基礎(chǔ)知識：1、正弦定理：,其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊,或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊,否則不可行例如：〔1〕〔2〕〔恒等式〕〔3〕2、余弦定理：變式：〔1〕①此公式通過邊的大小〔角兩邊與對邊〕可以判斷出是鈍角還是銳角當(dāng)時,,即為銳角；當(dāng)〔勾股定理〕時,,即為直角；當(dāng)時,,即為鈍角②觀察到分式為齊二次分式,所以已知的值或者均可求出〔2〕此公式在已知和時不需要計算出的值,進(jìn)行整體代入即可3、三角形面積公式：〔1〕〔為三角形的底,為對應(yīng)的高〕〔2〕〔3〕〔為三角形內(nèi)切圓半徑,此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑〕〔4〕海倫公式：〔5〕向量方法：〔其中為邊所構(gòu)成的向量,方向任意〕證明：,而坐標(biāo)表示：,則4、三角形內(nèi)角和〔兩角可表示另一角〕。5、確定三角形要素的條件：〔1〕唯一確定的三角形：①已知三邊〔SSS〕：可利用余弦定理求出剩余的三個角②已知兩邊與夾角〔SAS〕：可利用余弦定理求出第三邊,進(jìn)而用余弦定理〔或正弦定理〕求出剩余兩角③兩角與一邊〔AAS或ASA〕：利用兩角先求出另一個角,然后利用正弦定理確定其它兩條邊〔2〕不唯一確定的三角形①已知三個角〔AAA〕：由相似三角形可知,三個角對應(yīng)相等的三角形有無數(shù)多個。由正弦定理可得：已知三個角只能求出三邊的比例：②已知兩邊與一邊的對角〔SSA〕：比如已知,所確定的三角形有可能唯一,也有可能是兩個。其原因在于當(dāng)使用正弦定理求時,,而時,一個可能對應(yīng)兩個角〔1個銳角,1個鈍角〕,所以三角形可能不唯一?！才卸ㄊ欠裎ㄒ豢衫萌切未蠼菍Υ筮叺奶攸c(diǎn),具體可參考例1〕6、解三角形的常用方法：〔1〕直接法：觀察題目中所給的三角形要素,使用正余弦定理求解〔2〕間接法：可以根據(jù)所求變量的個數(shù),利用正余弦定理,面積公式等建立方程,再進(jìn)行求解7、三角形的中線定理與角平分線定理〔1〕三角形中線定理：如圖,設(shè)為的一條中線,則〔知三求一〕證明：在中①②為中點(diǎn)①②可得：〔2〕角平分線定理：如圖,設(shè)為中的角平分線,則證明：過作∥交于為的角平分線為等腰三角形而由可得：二、典型例題：例1：〔1〕的內(nèi)角所對的邊分別為,若,則_____〔2〕〕的內(nèi)角所對的邊分別為,若,則_____思路：〔1〕由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：代入可解得：。由可得：,所以答案：〔2〕由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：代入可解得：,則或,由可得：,所以和均滿足條件答案：或小煉有話說：對比〔1〕〔2〕可發(fā)現(xiàn)對于兩邊與一邊的對角,滿足條件的三角形可能唯一確定,也有可能兩種情況,在判斷時可根據(jù)"大邊對大角"的原則,利用邊的大小關(guān)系判斷出角之間的大小關(guān)系,判定出所求角是否可能存在鈍角的情況。進(jìn)而確定是一個解還是兩個解。例2：在中,,若的面積等于,則邊長為_________思路：通過條件可想到利用面積與求出另一條邊,再利用余弦定理求出即可解：答案：例3：〔2012課標(biāo)全國〕已知分別為三個內(nèi)角的對邊,且有〔1〕求〔2〕若,且的面積為,求〔1〕思路：從等式入手,觀察每一項(xiàng)關(guān)于齊次,考慮利用正弦定理邊化角：,所涉與式子與關(guān)聯(lián)較大,從而考慮換掉,展開化簡后即可求出解：即或〔舍〕〔2〕思路：由〔1〕可得,再由,可想到利用面積與關(guān)于的余弦定理可列出的兩個方程,解出即可解：可解得小煉有話說：通過第〔1〕問可以看出,在遇到關(guān)于邊角的方程時,可觀察邊與角正弦中是否具備齊次的特點(diǎn),以便于進(jìn)行邊角互化。另一方面當(dāng)角同時出現(xiàn)在方程中時,通常要從所給項(xiàng)中聯(lián)想到相關(guān)兩角和差的正余弦公式,然后選擇要消去的角例4：如圖,在中,是邊上的點(diǎn),且,則的值為___________思路：求的值考慮把放入到三角形中,可選的三角形有和,在中,已知條件有兩邊,但是缺少一個角〔或者邊〕,看能否通過其它三角形求出所需要素,在中,三邊比例已知,進(jìn)而可求出,再利用補(bǔ)角關(guān)系求出,從而中已知兩邊一角,可解出解：由可設(shè)則在中,在中,由正弦定理可得：小煉有話說：〔1〕在圖形中求邊或角,要把邊和角放入到三角形當(dāng)中求解,在選擇三角形時盡量選擇要素多的,并考慮如何將所缺要素利用其它條件求出?！?〕本題中給出了關(guān)于邊的比例,通常對于比例式可考慮引入一個字母〔例如本題中的〕,這樣可以將比例轉(zhuǎn)化為邊的具體數(shù)值,便于計算例5：已知中,分別是角所對邊的邊長,若的面積為,且,則等于___________思路：由已知可聯(lián)想到余弦定理關(guān)于的內(nèi)容,而,所以可以得到一個關(guān)于的式子,進(jìn)而求出解：而代入可得：答案：例6：在中,內(nèi)角所對的邊分別為,已知的面積為,則的值為.思路：已知求可以聯(lián)想到余弦定理,但要解出的值,所以尋找解出的條件,,而代入可得,再由可得,所以答案：例7：設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,若,且,則的值為〔〕A.B.C.D.思路：由可得：,從而,解得,從可聯(lián)想到余弦定理：,所以有,從而再由可得,所以的值為答案：C小煉有話說：本題的難點(diǎn)在于公式的選擇,以與所求也會讓我們想到正弦定理。但是通過嘗試可發(fā)現(xiàn)利用角進(jìn)行計算較為復(fù)雜。所以在解三角形的題目中,條件的特征決定選擇哪種公式入手；如果所給是關(guān)于邊,角正弦的其次式,可以考慮正弦定理。如果條件中含有角的余弦,或者是邊的平方項(xiàng),那么可考慮嘗試余弦定理。例8：設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,且,則〔〕A.B.C.D.或思路：由的結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到余弦定理：,可以此為突破口,即,代入解得：,進(jìn)而求出,得到比例代入余弦定理可計算出解：由可得：,代入到可得：例9：已知的三邊長為三個連續(xù)的自然數(shù),且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍,則最小內(nèi)角的余弦值是〔〕A.B.C.D.思路：不妨考慮,將三個邊設(shè)為,則,想到正弦定理,再將利用余弦定理用邊表示,列方程解出,從而求出解：設(shè),則代入可得：,解得：答案：A小煉有話說：本題的特色在于如何利用"最大內(nèi)角是最小內(nèi)角2倍"這個條件,可聯(lián)想到正余弦的二倍角公式。本題采用正弦二倍角公式,在加上余弦定理可之間與題目中邊的條件找到聯(lián)系。如果采用余弦二倍角公式,則有,即便使用余弦定理也會導(dǎo)致方程次數(shù)過高,不利于求解。例10：在中,為邊上一點(diǎn),,若的面積為,則_________思路：要求出,可在中求解,通過觀察條件,可從可解,解出,進(jìn)而求出,再在中解出,從而三邊齊備,利用余弦定理可求出解：同理答案：小煉有話說：〔1〕本題與例4想法類似,都是把所求要素放入到三角形中,同時要通過條件觀察哪個三角形條件比較齊備,可作為入手點(diǎn)解出其他要素〔2〕本題還可以利用輔助線簡化運(yùn)算,作于,進(jìn)而利用在中得,再用解出進(jìn)而,則在上所以可得：,所以三、近年好題精選1、設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,且,則〔〕A.B.C.D.2、設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,且,則的值為〔〕A.B.C.D.3、在中,為邊上一點(diǎn),,若,則〔〕A.B.C.D.4、〔2015,〕在中,,則_______5、〔2015,XX〕設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,若,則_______6、〔2015,XX〕若銳角的面積為,且,則等于_______答案：77、〔2015,XX〕在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知的面積為,,則的值為_________8、〔2014,XX〕在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知,,則的值為_______9、〔2014,XX〕在中,已知,當(dāng)時,的面積為_____10、〔2014,XX〕在中,內(nèi)角的對邊分別為,且,已知,求：〔1〕的值〔2〕的值11、〔2015,XX〕設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,向量與平行〔1〕求〔2〕若,求的面積12、〔2015,新課標(biāo)II〕在中,是上的點(diǎn),平分,的面積是面積的2倍〔1〕求〔2〕若,求的長13、〔2015,XX〕在中,,點(diǎn)在邊上,,求的長14、<2015,XX〕在中,已知〔1〕求的長〔2〕求的值習(xí)題答案：1、答案：A解析：代入可得：2、答案：D解析：3、答案：C解析：設(shè),則,由余弦定理可得：,代入可得：解得：4、答案：1解析：5、答案：1解析：由與可得：,從而,由正弦定理可得：,解得6、答案：7解析：由,可得：,即,再由余弦定理可計算7、答案：