數列專題講義

教師輔導講義〔2〕講義編號：學員編號年級高三課時數學員姓名輔導科目數學學科教師戴老師課題數列專題授課時間：教學目標教學內容備考策略：數列問題歷來是江蘇卷壓軸題的必考內容，解答題中難度很大，填空題根本上為根底題，所以在今后的復習中需要關注以下幾點：1．等差、等比數列的根本量的求解．2．等差、等比數列的性質如等差(比)中項．3．多采取從特殊到一般研究問題的角度．4．恒等問題和不等關系根本論證的訓練．數列通項及求和主干知識整合：1．數列通項求解的方法(1)公式法；(2)根據遞推關系求通項公式有：①疊加法；②疊乘法；③轉化法．(3)不完全歸納法即從特殊到一般的歸納法；(4)用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2))求解．2．數列求和的根本方法：(1)公式法；(2)分組法；(3)裂項相消法；(4)錯位相減法；(5)倒序相加法．?探究點一公式法如果所給數列滿足等差或者等比數列的定義，那么可以求出a1，d或q后，直接代入公式求出an或Sn.例1(1)正數數列{an}對任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，假設a2＝4，那么an＝________.,(2)數列{an}為正項等比數列，假設a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，那么此數列的前n項和Sn＝________.(1)2n(2)2n－1－eq\f(1,2)【解析】(1)由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝aeq\o\al(2,1)＝4?a1＝2，所以ap＋1＝ap·a1，即eq\f(ap＋1,ap)＝a1＝2，即數列{an}為等比數列，所以an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.設等比數列的公比為q，由an＋an＋1＝6an－1知，當n＝2時，a2＋a3＝6a1.再由數列{an}為正項等比數列，a2＝1，得1＋q＝eq\f(6,q)，化簡得q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.∵q>0，∴q＝2，∴a1＝eq\f(1,2)，∴Sn＝eq\f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq\f(1,2).【點評】這兩題都是由“ap＋q＝ap·aq”和“an＋an＋1＝6an－1”推出其他條件來確定根本量，不過第(1)小問中首先要確定該數列的特征，而第(2)小問已經明確是等比數列，代入公式列方程求解即可．{an}是等差數列，a10＝10，前10項和S10＝70，那么其公差d＝________.eq\f(2,3)【解析】方法一：因為S10＝70，所以eq\f(10a1＋a10,2)＝70，即a1＋a10a10＝10，所以a1＝4，故9d＝10－4＝6，所以d＝eq\f(2,3).方法二：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,10a1＋45d＝70，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(2,3).))?探究點二根據遞推關系式求通項公式如果所給數列遞推關系式，不可以用疊加法或疊乘法，在填空題中可以用不完全歸納法進行研究．例2(1)數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(5an－13,3an－7)(n∈N*)，那么數列{an}的前100項的和為________．(2)數列{an}，{bn}滿足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且對任意的正整數i，j，k，l，當i＋j＝k＋l時，都有ai＋bj＝ak＋bl，那么eq\f(1,2010)的值是________．(1)200(2)2012【解析】(1)由a1＝2，an＋1＝eq\f(5an－13,3an－7)(n∈N*)得a2＝eq\f(5×2－13,3×2－7)＝3，a3＝eq\f(5×3－13,3×3－7)＝1，a4＝eq\f(5×1－13,3×1－7)＝2，那么{an}是周期為3的數列，所以S100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.(2)由題意得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝2，b2＝3，b3＝4，b4＝5，b5an＝n，bn＝n＋1；設cn＝an＋bn，cn＝an＋bn＝n＋n＋1＝2n＋1，那么數列{cn}是首項為c1＝3，公差為2的等差數列，問題轉化為求數列{cn}的前2010項和的平均數．所以eq\f(1,2010)＝eq\f(1,2010)×eq\f(2010×3＋4021,2)＝2012.【點評】根據數列的遞推關系求數列的通項，除了常規(guī)的方法外，還可以用不完全歸納法進行研究，如數列周期性的研究．?探究點三數陣問題數陣問題主要指的是不僅僅是將數排成一列的數列，而是既有行的排列也有列的排列的數字規(guī)律變換的研究．例3所有正奇數如下數表排列(表中下一行中的數的個數是上一行中數的個數的2倍)：第一行1第二行35第三行791113……那么第6行中的第3個數是________．67【解析】先計算第六行第三個數為正奇數排列的第幾個數，由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得所求的數為第34個，所以2×34－1＝67.【點評】數陣問題中第m行的第n個數的研究，需要分兩步研究，第一步研究每一行的數變換規(guī)律，第二步再研究列的變換規(guī)律．此題實為將一個等差數列分成了假設干局部進行研究．下面的數組均由三個數組成，它們是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．(1)請寫出cn的一個表達式，cn＝________；(2)假設數列{cn}的前n項和為Mn，那么M10＝________.(用數字作答)cn＝n＋2n2101【解析】由1,2,3,4,5，…猜測an＝n；由2,4,8,16,32，…猜測bn＝2n；由每組數都是“前兩個之和等于第三個”猜測cn＝n＋2n.從而M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝eq\f(10×10＋1,2)＋eq\f(2210－1,2－1)＝2101.?探究點四數列的特殊求和方法數列的特殊求和方法中以錯位相減法較為難掌握，其中通項公式{anbn}的特征為{an}是等差數列，{bn}是等比數列．例4在各項均為正數的等比數列{an}中，a2＝2a1＋3，且3a2，a4,5a3成等差數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝log3an，求數列{anbn}的前n項和Sn.【解答】(1)設{an}公比為q，由題意得q>0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2a1＋3，,3a2＋5a3＝2a4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－2＝3，,2q2－5q－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(6,5)，,q＝－\f(1,2)))(舍去)，所以數列{an}的通項公式為an＝3·3n－1＝3n，n∈N*.(2)由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1.②②－①得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1，＝－eq\f(31－3n,1－3)＋n·3n＋1＝eq\f(3,2)(1－3n)＋n·3n＋1＝eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))3n＋1.所以數列{anbn}的前n項和為Sn＝eq\f(3,4)＋eq\f(2n－1,4)3n＋1.【點評】此題考查等差數列、等比數列的根底知識，第(1)問求數列的通項公式，主要是用解方程組的方法求出首項和公比，注意取舍；第(2)問，求數列的前n項和，主要考查錯位相減法．錯位相減時要注意各項的位置要錯開，還要注意2Sn的左邊的系數要處理后，才算求出Sn，最后還需要用n＝1,2進行檢驗．規(guī)律技巧提煉1．數列通項公式的研究主要是研究相鄰項之間的關系，江蘇卷對遞推關系的考查不多，填空題中出現復雜遞推關系時，可以用不完全歸納法研究．在解答題中主要是轉化為等差、等比數列的根本量的求解．2．數列求和問題中特殊求和方法在江蘇卷的考查也不多，主要還是利用公式法求數列的前n項和，再論證和的性質，故不過多涉及求和的技巧以及項的變形．江蘇真題剖析例[2008·江蘇卷]將全體正整數排成一個三角形數陣：123456789101112131415按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數為________【分析】此題考查了推理能力，但其本質為分組求和．數陣問題中的某一項的求解，需要先求行的規(guī)律，再求列的規(guī)律．【答案】eq\f(n2－n＋6,2)【解析】前n－1行共有正整數1＋2＋…＋(n－1)個，即eq\f(n2－n,2)個，因此第n行第3個數是全體正整數中第eq\f(n2－n,2)＋3個，即為eq\f(n2－n＋6,2).[2010·江蘇卷]函數y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸交點的橫坐標為ak＋1，k為正整數，a1＝16，那么a1＋a3＋a5＝________.21【解析】此題考查了導數的幾何意義，該知識點在高考考綱中為B級要求．函數y＝x2(x>0)在點(16,256)處的切線方程為y－256＝32(x－16)．令y＝0得a2＝8；同理函數y＝x2(x>0)在點(8,64)處的切線方程為y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4；依次同理求得a4＝2，a5a1＋a3＋a5＝21.專題十四等差、等比數列的性質主干知識整合：(1)等差數列①定義法：an＋1－an＝d(n∈N*)；②等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．(2)等比數列①定義法：eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；②等比中項：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)．要點熱點探究?探究點一等差、等比中項性質等差中項和等比中項不僅僅可以解決兩項和(積)之間的等量關系，也可以進一步推廣至假設干項如，假設m＋n＋p＝r＋s＋t，那么等差數列有am＋an＋ap＝ar＋as＋at；等比數列有am·an·ap＝ar·as·at.例1(1)[2011·廣東卷]等差數列{an}前9項的和等于前4項的和．假設a1＝1，ak＋a4＝0，那么k＝________.各項均為正數的等比數列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，那么a1a2…a9＝________.(1)10(2)50eq\f(3,2)【解析】(1)由S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即5a7＝0，所以a7＝0，由a7＝a1＋6d得d＝－eq\f(1,6)，又ak＋a4＝0，即a1＋(k－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋a1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＝0，即(k－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＝－eq\f(3,2)，所以k－1＝9，所以k＝10.(2)由等比數列的性質知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝aeq\o\al(3,2)＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝aeq\o\al(3,8)＝10，所以a2a8＝50eq\f(1,3)，所以a1a2…a9＝aeq\o\al(9,5)＝(eq\r(a2a8))9＝50eq\f(3,2).【點評】等差中項和等比中項的本質是整體思想運用，用來實現等量項之間的代換．這是在數列運用根本量研究外的一個重要的處理問題的手段．設等差數列{an}的公差為正數，假設a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，那么a11＋a12＋a13＝________.105【解析】由條件可知，a2＝5，從而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差為3，所以a11＋a12＋a13＝6＋(10＋11＋12)×3＝105.?探究點二數列單調性的研究數列的單調性研究方法有三種：一是用數列的單調性的定義，如an＋1>an；二是假設數列是等差或等比數列可以觀察其通項的系數特征；三是可以構造相應的函數，通過函數單調性得到對應數列的單調性．例2有n個首項都是1的等差數列，設第m個數列的第k項為amk(m，k＝1,2,3，…，n，n≥3)，公差為dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差數列．且dm＝(2－m)d1＋(m－1)d2.(1)當d1＝1，d2＝3時，將數列{dm}分組如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…(每組數的個數構成等差數列)．設前m組中所有數之和為(cm)4(cm>0)，求數列{2cndn}的前n項和Sn；(2)設N是不超過20的正整數，當n>N時，對于(1)中的Sn，求使得不等式eq\f(1,50)(Sn－6)>dn成立的所有N的值．【解答】(1)當d1＝1，d2＝3時，dm＝2m－1(m∈N*)．數列{dm}分組如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…按分組規(guī)律，第m組中有(2m－1)個奇數，所以第1組到第m組共有1＋3＋5＋…＋(2m－1)＝m2個奇數．注意到前k個奇數的和為1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，所以前m2個奇數的和為(m2)2＝m4.即前m組中所有數之和為m4，所以(cm)4＝m4.因為cm>0，所以cm＝m，從而2cmdm＝(2m－1)·2m(m∈N*)．所以Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，2Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，故－Sn＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n)－2－(2n－1)·2n＋1＝2×eq\f(22n－1,2－1)－2－(2n－1)·2n＋1＝(3－2n)2n＋1－6.所以Sn＝(2n－3)2n＋1＋6.(2)由(1)知dn＝2n－1(n∈N*)，Sn＝(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*)．故不等式eq\f(1,50)(Sn－6)>dn就是(2n－3)2n＋1>50(2n－1)．考慮函數f(n)＝(2n－3)2n＋1－50(2n－1)＝(2n－3)(2n＋1－50)－100.當n＝1,2,3,4,5時，都有f(n)<0，即(2n－3)2n＋1<50(2n－1)．而f(6)＝9(128－50)－100＝602>0，注意到當n≥6時，f(n)單調遞增，故有f(n)>0.因此當n≥6時，(2n－3)2n＋1>50(2n－1)成立，即eq\f(1,50)(Sn－6)>dn成立．所以，滿足條件的所有正整數N＝6,7，…，20.【點評】此題第二小問構造了函數f(n)＝(2n－3)(2n＋1－50)－100，其中所構成的函數為一次函數與指數函數的乘積函數，由于g(n)＝2n－3，h(n)＝2n＋1－50都是單調遞增函數，但不是恒正，故只有當n≥6時才能保證恒正，這樣得到的函數f(n)才是單調遞增函數，前五項的性質，可以代入后一一進行比擬．(1)數列{an}為等差數列，假設eq\f(a5,a6)<－1，那么數列{|an|}的最小項是第________項．數列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，那么eq\f(an,n)的最小值為________．(1)6(2)eq\f(21,2)【解析】(1)由eq\f(a5,a6)<－1得，假設a6>0，那么a5<－a6<0，此時等差數列為遞增數列，|a5|>|a6|，此時{|an|}中第6項最小；假設a6<0，那么a5>－a6>0，此時等差數列為遞減數列，|a5|>|a6|，仍然有{|an|}中第6項最?。蕒|an|}中的最小項是第6項．(2)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1，設函數f(x)＝x＋eq\f(33,x)－1，那么f′(x)＝1－eq\f(33,x2)，從而在(eq\r(33)，＋∞)上函數f(x)為增函數，在(0，eq\r(33))上函數f(x)為減函數，因為n∈N＋，所以eq\f(an,n)在eq\r(33)附近的整數取得最小值，由于eq\f(a5,5)＝eq\f(53,5)，eq\f(a6,6)＝eq\f(21,2)，所以當n＝6時，eq\f(an,n)有最小值為eq\f(21,2).?探究點三等差、等比數列的證明等差、等比數列的證明方法有兩種：一是用數列的定義；二是等差中項或等比中項，但其本質都是根據條件尋求相鄰兩項或幾項之間的關系．例3數列{an}，{bn}滿足bn＝an＋1－an，其中n＝1,2,3，….(1)假設a1＝1，bn＝n，求數列{an}的通項公式；(2)假設bn＋1bn－1＝bn(n≥2)，且b1＝1，b2cn＝a6n－1(n≥1)，求證：數列{cn}為等差數列．【解答】(1)當n≥2時，有an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝1＋eq\f(n－1×n,2)＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋1.又因為a1＝1也滿足上式，所以數列{an}的通項為an＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋1.(2)因為對任意的n∈N*有bn＋6＝eq\f(bn＋5,bn＋4)＝eq\f(1,bn＋3)＝eq\f(bn＋1,bn＋2)＝bn，所以cn＋1－cn＝a6n＋5－a6n－1＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4＝1＋2＋2＋1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝7(n≥1)，所以數列{cn}為等差數列．【點評】此題中{cn}是由{an}構成，而數列{an}又由數列{bn}構成，所以此題要證明數列{cn}是等差數列，其本質還是論證數列{bn}的特征，其中bn＋6＝bn是數列周期性的證明．規(guī)律技巧提煉1．等差、等比數列性質很多，在江蘇卷的考查中以等差中項和等比中項的考查為主，在運用該技巧時，要注意該等式兩邊的項數必須相等即兩項與兩項互換，三項與三項互換．2．在運用函數判斷數列的單調性時，要注意函數的自變量為連續(xù)的，數列的自變量為不連續(xù)的，所以函數性質不能夠完全等同于數列的性質．有些數列會出現前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究．3．由一個數列構造生成的新數列，再證明其是否是等差或等比數列時，如果已經有通項公式，那么可以直接由通項公式的特征判斷，如果只有遞推關系，那么需要用定義來證明．江蘇真題剖析：例[2009·江蘇卷]設{an}是公比為q的等比數列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，假設數列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，那么6q＝________.【答案】－9【解析】由條件知數列{an}中連續(xù)四項在集合{－54，－24，18,36,81}中，由|q|>1，所以{an}中連續(xù)四項可能為(1)－24，36，－54,81，q＝－eq\f(3,2)，6q＝－9；(2)18，－24,36，－54，(該數列不成等比數列，不合題意)；其他情形都不符合．三個互不相等的實數成等差數列，適當交換這三個數的位置后，變成一個等比數列，那么此等比數列的公比是________．－2或－eq\f(1,2)【解析】設這三個數分別為a－d，a，a＋d(d≠0)，由于d≠0，所以a－d，a，a＋d或a＋d，a，a－d不可能成等比數列；假設a－d，a＋d，a或a，a＋d，a－d成等比數列，那么(a＋d)2＝a(a－d)，即d＝－3