2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考以旋轉為載體的幾何綜合問題大題專練【人教版】

2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍【人教版】

專題2.8以旋轉為載體的幾何綜合問題大題專練（培優(yōu)強化30題）

一、解答題

1.（2021?湖北武漢?九年級期中）【問題背景】如圖1,尸為△ABC內一點，連PB、PC.貝IPC+PB<AB+AC.

小明考慮到“三角形兩邊之和大于第三邊”，延長交AC于E,就可以證明上面結論.請按小明的思路

完成證明過程；

【遷移應用】如圖2,在△ABC中，ZBAO120°,P為△ABC內一點，求證：PA+PB+POAB+AC.

【拓展創(chuàng)新】己知△ABC中，BC=a,AB=c,AC=b,〃+b=4c,6a+3b=19c,P為△ABC所在平面內一點，

則出+PB+PC的最小值為（用含c的式子表示）.（直接寫出結果）

【答案】問題背景：見解析；遷移應用：見解析；拓展創(chuàng)新：y

【分析】問題背景：在△ABE中和中，分別利用兩邊之和大于第三邊即可證明；

遷移應用：將△CAP繞點A逆時針旋轉60°得到△D4Q,連接P。，BD,PD,可得△AP。是等邊三角形，

則/BAC+/CAO>180°,則可證明；

拓展創(chuàng)新：首先可得a=g,6=m，作BTLCA,交CA的延長線于T,設AT=d,利用勾股定理得出NABT

=30°,將△APC繞點A逆時針旋轉60°,則8、A、C共線，從而解決問題.

【詳解】解：【問題背景】

證明：如圖1,延長BP交AC于點E,

在AABE中,AE+AB>BE=BP+PE,

在中，PE+CE>PC,

：.AB+AE+CE+PE>PB+PE+PC,

：.AB+AC>PB+PC,

故：PC+PB<AB+AC；

【遷移應用】證明：如圖2,將△CAP繞點A逆時針旋轉60°得到△D4Q,連接P。，BD,PD,

圖2

由旋轉可得：△D4。絲△CAP,ZCAD=ZPAQ=60°,

：.AD=AC,AQ=AP,DQ=PC,

.?.△AP。是等邊三角形，

：.PQ=AP=AQ,

VZBAO120°,

：.ZBAC+ZCAD>180°,

，由問題背景可知：在△BPO中，PB+PD>AB+AD,

在△QPD中，PQ+QD>PD,

：.PB+PQ+QD>AB+AD,

故：PA+PB+POAB+AC；

【拓展創(chuàng)新】解：由問題背景知，

Va+b=4c,6a+36=19c,

?7c75c

??4=-，b=-，

33

作8T_LC4,交C4的延長線于T,設AT=d,

...（Z￡）2=（%+d）2+c2-d2,

33

化簡得，d=,c,

AZABT=30°,

：.ZBAC=nO°,

將△APC繞點A逆時針旋轉60°,貝Ij3、A、C共線,

，PA+PB+PC=PB+PP'+P'C,

：.PA+PB+PC的最小值為AB+AC=C+y=y,

故答案為：y.

【點睛】本題主要考查了三角形三邊關系，等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質等知識，熟練掌握三角

形三邊關系進行轉化是解題的關鍵，有一定的難度.

2.(2022?福建?上杭縣第三中學九年級階段練習)如圖，在邊長為8的等邊△ABC中，點。是A8的中點,

點E是平面上4ABC外一點，且DE=2,連接BE,將線段EB繞點￡順時針旋轉60。得到線段EF,連接AF,

CE.

備用圖

(1)判斷ABEF的形狀，并說明理由；

⑵求證：AF=CE；

(3)當點。，E,尸在同一直線上時，請你在備用圖中畫出符合條件的圖形，并求出此時8E的長.

【答案】(1八8跖是等邊三角形

(2)證明見解析

(3)713-1

【分析】(1)根據(jù)旋轉即可證明ABE/是等邊三角形；

(2)由4班/是等邊三角形,可得依=即,再證明/廠區(qū)4=/班0又因為所以可證明△FBA^/XEBC,

進而可得AF=CE；

(3)當點Z),E,尸在同一直線上時，過B作/于再在放△中利用勾股定理列方程求解即

可.

(1)

V將線段EB繞點E順時針旋轉60。得到線段EF,

：.EB=EF,NFEB=60°

ABEF是等邊三角形

(2)

?.,等邊△43(7和4BEF

：.BF=BE,AB=BC,AEBF=/.ABC=60°

；.4EBF+乙ABE=Z.ABC+乙ABE

即ZFBA=ZEBC

：./\FBA^/\EBC(SAS)

：.AF=CE

(3)

圖形如圖所示：

過B作尸于M,

,/ABEF是等邊三角形

：.BE=2EM,BM=WEM

:點。是AB的中點，

BD--AB—4

2

在RtABMD中,BM2+DM2=BD2

?；DE=2

：.（V3EM）2+（EM+2尸=42

解得EM=二歲或EM=二＞（舍去）

：.BE=2EM=713-1

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理的運用，旋轉的性質，等邊三角形

的判定和性質，解一元二次方程，利用手拉手模型構造全等三角形是解題的關鍵.

3.（2022?福建?福州立志中學九年級階段練習）已知乙4BC=90。，BA=BC,在同一平面內將等腰直角△ABC

繞頂點A逆時針旋轉(旋轉角小于180。)得△ADE.

圖⑴圖(3)備用圖

⑴若AE//8O如圖(1),求旋轉角乙度數(shù)；

(2)當旋轉角為60。時，延長網)與BC交于點R如圖(2).求證：AC平分NZMF

⑶點尸是邊BC上動點，將AP繞點A逆時針旋轉15。到AG,如圖(3)示例，設A8=BC=a,求CG長度最

小值(用含a式子表示)

【答案］⑴90。

(2)證明過程見詳解

(3)"2a

【分析】(1)*AE//BD,推出“DB=45。，得△4BD為等腰直角三角形，即可得到答案.

(2)由旋轉60。可推出NC4。=15。，再證AAB旌△ADF,再推角，即可證出.

(3)將AC繞點A逆時針旋轉15。到AH,再證AAPC三△AGH,可知G在GM上動，由點到直線垂線段最

短可知，CG最小值為CF長.

(1)

解：ZABC=90°,BA=BC

J.Z.BAC=45°

由旋轉可知AB=AD,乙BAC=/.DAE=45°

又,：AEHBD

：./.DAE=乙ADB=45°

：.^ABD為等腰直角三角形

/.BAD=90°

(2)

證：由旋轉可知NB4D=60°

又=45°

：.^CAD=15°

,：/.ADE=90°

Z.ADF=90°

在RtAABF和RtAADF中

AB=AD

([AF=AF

:.叢ABF2ADF(HL)

^BAF=/.DAF=30°

/.FAC=15°

：.^CAD=^FAC

；.AC平分NZMF

(3)

解：如圖，將AC繞點A逆時針旋轉15。到AH,連接G”

過C作GH垂線，垂足為尸

由旋轉，易證AAPCmAAGH

：.^H=乙ACB=45°

:.乙HKC=15°+45°=60°

過A作”G延長線垂線，垂足為M

可得三角形為等腰直角三角形

\"AB=a

：.AH=AC-y[2a

.\AM=a

：.AK^-a,KC=^2a--a

33

?c尸_y/6a—2a

??一2

??.CG長度最小值為絲二.

【點睛】本題考查了圖像旋轉與三角形全等綜合，還考查了瓜豆原理.瓜豆原理總結：兩動點、兩定值.兩

定值：主動點與定點距離和從動點與定點距離比值為定值；主動點與從動點分別和定點組成的線段夾角為

定值.滿足兩定值時，兩動點軌跡相同.

4.(2022?北京?清華附中九年級階段練習)在AaBC中，ZC=90°,Z.BAC=30°,點。是CB延長線上一點

(^ADC>30°),連接4。，將線段4。繞點。順時針旋轉60。，得到線段。E,連接EC.

(1)依題意，補全圖形；

(2)若BD=BC=2,求CE的長.

(3)延長EC交4B于F,用等式表示線段CE,CF之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】(1)答案見解析

⑵2

(3)CF=CF,理由見解析

【分析】(1)按照題意進行畫圖即可；

(2)根據(jù)已知條件得到CD=AB,4BAD=乙EDB,然后得到DEC,從而求出CE=BD=2；

(3)作△ABC關于AC所在直線的對稱圖形△4GC,并作點F關于4c所在直線的對稱點為點H,連接CH,EG,由題

意可證得AADE、AABG是等邊三角形，利用等邊三角形的性質以及等量代換可證得48gAEZG、△

CGH<4CGE,最后得到CE=CF.

(1)

解：如圖所示,

E

(2)

解：如圖所示，在RtZkABC中，

V^BAC=30°,

：.AB=2BC=4,

?:BD=BC=2,

：.CD=4=AB,

V￡.BAD+Z.BDA=Z.ABC=60°,Z.EDB+4BDA=60°,

AZ-BAD=乙EDB,

在△ADB和△DEC中，

(AB=DC

\^BAD=乙CDE,

(AD=DE

：.LADB^LDEC,

則CE=BD=2.

(3)

解：CE=CF,理由如下，

如圖所示，作^關于4C所在直線的對稱圖形△4GC,并作點尸關于ZC所在直線的對稱點為點乩連接

CH,EG,

9：AD=DE,Z.ADE=60°,

???△4DE是等邊三角形,40=AE^DAE=60°,

,：Z.ACB=90°,Z-BAC=30°,

J△48G是等邊三角形，/-BAG=Z.AGB=60°,

VZ.DAB+^BAE=^BAE+乙EAG=60°,

：.Z.DAB=Z.EAG,

在和△及4G中，

'DA=EA

乙DAB=EAG,

、AB=AG

：.LDAB^^EAG,

：.Z.AGE=乙ABD=180°-60°=120°,^CGE=/.AGE一4AGC=60°=(CGH,

■:乙BCF=乙GCE,乙GCH=(BCF,

:"CE=乙GCH,

在△CG”和△CGE中，

2GCH=乙GCE

GC=GC,

/CGH=乙CGE

???△CGE,

：.CH=CE,

VCH=CF,

：.CE=CF.

【點睛】本題考查了圖形旋轉性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、特殊角三角函

數(shù)等知識，牢固掌握全等三角形的判定與性質，采用等量代換的方法是解題關鍵.

5.(2022.福建?福州立志中學九年級階段練習)在△ABC中，ZACB=90°,BC=AC=2,將△ABC繞點A順時

針方向旋轉60。至4A9U的位置.

B'B'

BC

圖1圖2

(1)如圖1,連接C'C與AB交于點M,則CC，=,BC'=

(2)如圖2,連接8夕，延長CC，交BB，于點。，求CD的長.

【答案】(1)2,V6-V2

(2)1+V3

【分析】(1)由旋轉的性質易得出AC'=4C=2,NC4C'=60°,即證明△C4C'為等邊三角形，從而得出CC'=

2；連接BB',延長BC'交2B'于點E.由等腰直角三角形的性質和勾股定理可求出4B=或8(?=2企.又易

證44BB'為等邊三角形，即得出4B=BB'=2&，乙ABB'=60°.由“SSS”可證△ABC=LB'BC,得出

4ABC'=4B'BC'=3乙ABB'=30°,即得出BE148，，AE=五,BE=顯.最后根據(jù)NEAC，=45。，即可

求出EC，=AE=VL最后由BC，=BE-EC，即可求解；

(2)過點2作BF1C。于點F.由等邊三角形的性質可知NDBM=乙4cM=60°.又易證4BDM=4a4M=

45。，即得出ABDF為等腰直角三角形，從而得出DF=BF.再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質結合勾股

定理可求出BF==1,CF=y[?,BF=V3,最后由CD=DF+CF求解即可.

(1)

解:由旋轉的性質可知AC'=4C=2,ACAC=60°,

...△C4C'為等邊三角形，

：.CC=AC=AC=2；

如圖，連接BB，，延長BC，交于點E.

VZACB=90°,BC=AC=2,

：.AB=V2BC=2A/2.

由旋轉可知AB=AB'=2A/2,^CAC=60°,

.?.△ABB'為等邊三角形，

：.AB=BB'=2V2,乙ABB'=60°,

又=BC,AC=B'C,

：.AABC三4B'BC'(SSS),

-1

：乙

.^ABC=B'BC'=-22LABB'=30°,

：.BE1AB',

'.AE--2AB-V2,

：.BE=V3AE=5/6.

V/-EAC=45°,

：.^EAC=Z.ECA=45°,

：.EC=AE=V2,

：.BC=BE—EC=屜一近.

故答案為：2,V6-V2

(2)

如圖，過點2作BFLCD于點?

B'_

A

C

???△ABB'為等邊三角形，

；.4DBM=/.ACM=60°.

又,：乙DMB=^AMC,

：.Z.BDM=/.CAM=45°,

.?.△BDF為等腰直角三角形,

：.DF=BF.

'：Z.ACM=60°,

:.乙BCF=30°,

1

：

.BF=-2BC=1,

：.DF=1,CF=y/3BF=V3,

CDDF+CF=1+^/3.

【點睛】本題考查旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，等邊三角形的

判定和性質，含30度角的直角三角形的性質和勾股定理等知識，較難.正確的作出輔助線是解題關鍵.

6.(2022?湖北?武漢市武珞路中學九年級階段練習)如圖，等邊AA8C與等腰三角形AEOC有公共頂點C,

其中NE￡?C=120。，AB=CE=2巡,連接BE,尸為BE的中點，連接尸。、AD

⑴為了研究線段AO與PD的數(shù)量關系，將圖1中的△EDC繞點、C旋轉一個適當?shù)慕嵌?，使CE與CA重合,

如圖2,請直接寫出AO與的數(shù)量關系；

(2)如圖1,(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)如圖3,若NACZ)=45。，求△加。的面積.

【答案】(1)4￡)=2尸。

(2)成立，證明見解析

⑶SAPAD=4百一3加

【分析】(1)利用直角三角形30度角的性質即可解決問題.

(2)結論成立.如圖1中，延長到F,使得DF=DE,連接8凡CF.利用三角形的中位線定理證明

BF=2PD,再證明/即可解決問題.

(3)如圖1中，延長8/交A。于G,由(2)得到/EBC=ND4C,首先證明/AOP=60。，解直角三角形

求出力。2即可解決問題.

(1)

解：如圖2中，

圖2

'CDC^DA,NCZM=120。，

：.ZPCA=30°,

'：△ABC是等邊三角形，

：.ZCAP^60°,

：.ZCFA=9Q°,

由題意：在RdAP。中，ZAPD=9Q°,ZB4￡>=30°,

：.AD^2PD.

(2)

結論成立.

理由：如圖1中，延長即到R使得DF=DE,連接2RCF.

A

圖1

?:BP=EP,DE=DF,

：.BF=2PD,BF\\PDf

???NEDC=120。，

：.ZFDC=60°f

?；DF=DE=DC,

：.△。FC是等邊三角形，

*：CB=CAfZBCA=ZDCF=60°,

：.ZBCF=ZACD,

?；CF=CD,

.'.ABCF^AACD(SAS),

：.BF=AD,

：.AD=2PD.

(3)

如圖1中，延長3/交A。于G,由(2)得到N五3C=ND4C,

圖1

???ZAGB=ZACB=60°,

,：DP\\BG,

：.ZADP=ZAGB=60°,

如圖3中，作。M_LAC于M,PN工AD于N.設DN=a,則尸。=2〃，AD=2PD=4a,PN=W，可得PN

4

圖3

在等腰△COE中，VC￡=2V6,ZCDE=120°,

過點。作DQ1EC,貝|CQ=QE,Z.DCE=乙DEC=30°

：.DQ=^CD,CQ=痘DQ=^CD

CE=V3CD

CD=DE=242,

ZACD=45°,

：.CM=DM=2.AM=2^6-2,

在R/AAOM中，AD2=(2V6-2)2+22=32-8V6.

在Rt&鞏。中，SXPAD=--AD-PN=—AD2=4V3-3V2.

28

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

7.(2021?河南?睢縣第二中學九年級期中)已知：NAOB=NCO￡>=90。，OA^OB,OC=OD.(OO當OA)

圖1圖2

(1)如圖1,連AC、BD,判斷：AC與8。之間的關系；并說明理由.

(2)若將△COD繞點、。逆時針旋轉，如圖2,當點C恰好在AB邊上時，請寫出AC、BC、OC之間數(shù)量關系;

并說明理由.

【答案】(1)AC=B。，ACLBD,理由見解析

(2)BC2+AC2=2OC2,理由見解析

【分析】(1)由可證△AOC^ZiB。。，可得AC=BD,ZCAO=ZDBO,可證AC_LB。；

(2)連接B。，由“&4S”可證△AOC絲△2。。，可得AC=B￡>,ZCAO=ZDBO=45°,由勾股定理可得結論.

(1)

解：AC=BD,ACLBD,

理由如下：設AC與2。交于N,交2D于E,

圖1

ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC=ZBOD,

在AAOC和△BOZ)中，

-AO=B0

/.AOC=乙BOD,

.CO=DO

：.AAOC^ABOD(SAS),

：.AC=BD,ZCAO=ZDBO,

又?：NBNE=/ANO,

：./BEN=/AON=9Q0,

：.AC±BD；

(2)

BC2+AC2=20c2,

理由如下：如圖2,連接2。,

VZAOB=ZCOD=90°,OA=OB,OC=OD,

：.ZAOC=ZBODfZBAO=ZABO=45°fCD=y[2OC,

在△AOC和△50。中，

AO=B0

Z.AOC—乙BOD,

.CO=DO

：./\AOC^/\BOD（SAS）,

：.AC=BD,ZCAO=ZDBO=45°,

：.ZCBD=90°,

：.BC2+BD2=CD2,

：.BC2+AC2=20cz.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，勾股定理，等腰直角三

角形的性質等知識，靈活運用這些知識解決問題是本題的關鍵.

8.（2021?黑龍江佳木斯?九年級期中）已知：正方形48CD中，ZMAN=45°,NK4N繞點A順時針旋轉，

它的兩邊分別交CB、0c（或它們的延長線）于點M、N.當/MAN繞點A旋轉到8M=￡W時，（如圖1）,

易證BM+DN=MN.

（1）當/MAN繞點A旋轉到時（如圖2）,線段BM、0V和之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想,

并加以證明；

（2）當/MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段3M、OV和之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你

的猜想.

【答案】(1)BM+DN=MN,理由見解析;

(2)DN—BM=MN,理由見解析

【分析】(1)把△力DN繞點4順時針旋轉90。,得到AABE,然后證明得到A4EM三AANM,從而證得ME=MN,

可得結論；

(2)首先證明AADQ三AABM,得DQ=BM,再證明A4MN三ZL4QN,得MN=QN,可得結論；

(1)

解：BM+DN=MN.

理由如下：如圖2,把AADN繞點4順時針旋轉90。，得至必4BE,

圖2

???^ABE=AADN=90°,AE=AN,BE=DN,

.-./.ABE+Z.ABC=180°,

???點E,點B,點C三點共線，

???/LEAM=90°-ZM4M=90°-45°=45°,

又?：4NAM=45°,

在AAEM與A4VM中，

'AE=AN

^EAM=乙NAM,

.AM=AM

???t^AEM三AANM(SAS),

ME=MN,

ME=BE+BM=DN+BM,

?-,DN+BM=MN；

(2)

解：DN-BM=MN.

理由如下：在線段DN上截取DQ=BM,

在A4DQ與A48M中，

AD=AB

^ADQ=/.ABM,

、DQ=BM

:?kADQ=LABM(SAS),

???Z-DAQ=Z-BAM,

???(QAN=4MAN.

在A4MN和A4QN中，

AQ=AM

(QAN=乙MAN,

AN=AN

：.kAMN三XAQN(SAS),

??.MN=QN,

??.DN-BM=MN.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質，旋轉變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知

識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題.

9.(2022.廣東?廣州市番禺區(qū)實驗中學九年級期中)如圖，已知直線y=卜+1與％軸交于點4與y軸交于

點、B,將△ZOB繞點。順時針旋轉90。后得到△COD.

(1)點。的坐標是,線段40的長等于

(2)點”是CD的中點，拋物線y=/+6x+c經過點C、M.

①求b和c的值.

②如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線2C上，那么在拋物線y=/+6%+c上是否存在點P,

使得以C,E,F,P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長I；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(0,3),4

⑵①b=_三,c=3②存在，菱形CFEP的周長Z為10a或18迎-8

【分析】(1)先利用一次函數(shù)解析式確定力(一3,0),B(0,1),貝|。4=3,OB=1,再利用旋轉的性質得

oc=OA=3,OD=OB=1,從而得到C(0,3),AD=4；

Q—3

(2)①先確定M(［，|)，然后把M點和C點坐標代入y=x2+bx+c得乜+工入十0=三，再解方程組可確定6、

4T2-2

C的值；

②拋物線的解析式為y=/—(%+3,易得直線4C的解析式為y=x+3,討論：當CE為對角線時，如圖1,

利用菱形的性質得點F與點P關于y軸對稱,設尸(t,t+3),則P(—t,t+3),再把P(—t,t+3)代入y=/一(久+

3得t2+)+3=t+3,解方程求出t得到尸點坐標，然后計算CF的長，從而得到菱形CFEP的周長/；當CE為

邊時,如圖2,設尸(t,t+3),則C尸=V2t,利用菱形的性質得PFIICE,PF=CF,則可表示出P(t,t+3-&t),

再把P(t,t+3-V^t)代入y=x2-(x+3得t2-Tt+3=t+3-V^,解方程求出3然后計算可得

到此時菱形CFEP的周長2.

(1)

解：當y=0時，|x+1=0,解得x=-3,則4(一3,0),

當x=0時，y=|x+1=1,則B(0,1),

OA=3,OB=1,

???△40B繞點。順時針旋轉90。后得到△COD,

OC=OA=3,OD=OB=1,

???C(0,3),4。=。4+00=3+1=4；

故答案為(0,3),4；

(2)

①???C(0,3),D(l,0),

而點M是CD的中點，

|)；

c=3

把C(0,3),|)代入y=/+法+c得｛i03,

zznu~rL——

解得6=—I，c—3；

②存在.

拋物線的解析式為y=x2-1x+3,

???力(-3,0),C(0,3),

直線4C的解析式為y—x+3,

當CE為對角線時，如圖1,

C、E點在y軸上，四邊形CFEP為菱形，

???點F與點P關于y軸對稱，

設F(t,t+3),則P(—t,t+3),

把P(-t,t+3)代入y=--?gx+3得產+(t+3=t+3,解得=0(舍去)，12=-

此時尸(一|4)，

3)2著,

??.菱形CF"的周長I=10V2；

當CE為邊時，如圖2,設F(t,t+3),則CF=，"+4+3-3尸=企3

vPFIICE,PF=CF,

P(t,t+3—V2t),

把P(t,力+3-代入y=%?——x+3得/——t+3=t+3—解得=0(舍去)，12=萬—

???止匕時菱形CFEP的周長2=4V2t=4A/2（1一企）=18近一8,

綜上所述，菱形CFEP的周長/為10位或18&-8.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握旋轉的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和菱形的性

質；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；理解坐標與圖形性質，記住兩點間的距離公式.

10.（2020?北京房山?九年級期中）如圖，在AABC中，NB2C=90。，AB=AC,點。是△28C內一動點（不

包括△ABC的邊界），連接40.將線段AD繞點2順時針旋轉90。，得到線段4E.連接CD,BE.

A

備用圖

（2）求證：BE=CD；

⑶延長CD交4B于尸，交BE于G.連接8D,DE.當4BDE為等腰直角三角形時，請你直接寫出,=.

BD

【答案】（1）圖見解析

⑵證明見解析

⑶手或與

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形即可；

(2)利用SAS即可證明△止4B三AZMC,即可得到結論;

(3)①根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似即可判斷；

②分兩種情形分別求解即可.

(1)

解：圖形如圖所示：

E

證明：：線段4。繞點力順時針旋轉90。，得到線段4E,

：.AD=AE,Z.DAE=90°,

/.BAG=90°,

/.CAD+^.BAD=Z.BAE+乙BAD=90°,

J.Z.CAD=^BAE.

在△￡148和中，

-AE=AD

Z.EAB=Z-DAC,

、AB=AC

???△EZBw△O/C(SAS),

：.BE=CD.

(3)

解：熊=手或色=當

①當4EDB=90。時，如圖，設40=Q,

9

：AD=AEfZ,DAE=90°,

：.AE=AD=a,/.AED=45°

??DE=y/AE2+AD2=Va2+a2=V2a,

???△BDE為等腰直角三角形，

：.BD=DE=V2a,乙BED=45°,

：.BE=>/BD2+DE2=J(V2a)2+=2a,

乙4EB=乙BED+Z.AED=45°+45°=90°,

：.AB=y/BE2+AE2=V(2a)2+a2=V5a,

?AB_V5a_V1O

.?BD-V2a-2；

c

②當乙BED=90。時，如圖，設4D=a,

\'AD=AE,ADAE=90°,

：.AE=40=a,/_ADE=45°

DE=yjAE2+AD2=Va2+a2—V2a,

???△BDE為等腰直角三角形，

：.BE=DE=V2a,4EDB=45°,

：.BD=>JBE2+DE2=J(V2a)2+(V2a)2=2a,

Z.ADB=4EDB+Z.ADE=45°+45°=90°,

：.AB=>IBE2+AE2=7(2a)2+a2=V5a,

?AB_V5a_V5

.?BD-2a~2,

故答案為：將^或日.

A

D

BC

【點睛】本題幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質、

勾股定理等知識，運用了分類討論的思想方法.解題的關鍵是利用參數(shù)解決問題.

11.(2021?福建?平潭翰英中學九年級期中)閱讀下列材料：問題：如圖1,在正方形A8C。內有一點P,PA=

V5,PB=&,PC=1,求/8PC的度數(shù).小明同學的想法是：已知條件比較分散，可以通過旋轉變換將分

散的已知條件集中在一起，于是他將△繞點B逆時針旋轉90°,得到了△(如圖2),然后連接PP'.請

你參考小明同學的思路，解決下列問題：

(1)如圖2,猜想AAPP是否為直角三角形.并說明理由.并求出NBPC的度數(shù)

(2)如圖3,若在正六邊形A8C￡)所內有一點P,且以=2舊，PB=4,PC=2,則求:

①的度數(shù)；

②直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長.

【答案】&)△APP是直角三角形，理由見解析，135。

(2)①120。；②2行

【分析】(1)由旋轉的性質得出/P8P=90。，BP'=BP=<2,P'A=PC=1,ZBP'A=ZBPC,則得出△BPP，為等

腰直角三角形，NBFP=45。,證出AU=p，p2+pz2,可得出△APP為直角三角形，據(jù)此即可求得/8PC

的度數(shù)；

(2)①把△BPC繞點8逆時針旋轉120。，得到了△8Pa,根據(jù)旋轉的性質得到NPBP=120。，BP'=BP=4,

P'A=PC=2,ZBP'A=ZBPC,則/2尸7=/即波=30。，得至U尸7/=尸"，利用含30。的直角三角形三邊的關系得

到BH=^BP'=2,P'H=2百，得到P'P=2P'H=48,再利用勾股定理的逆定理可得到△APP為直角三角形，

S.ZAP'P=9Q°,即可求得/2PC的度數(shù)；②過A作AGL2P于G點，利用含30。的直角三角形三邊的關系

得到GP=1,AG=心,然后在放AAGB中利用勾股定理計算出AB的長即可.

(1)

解：猜想AAPP是直角三角形.

理由如下：

如圖2,「△BPC繞點2逆時針旋轉90。，得到了△BPA,

AZP'BP=90°,BP'=BP=y[2,P'A=PC=\,ZBP'A=ZBPC,

...△BPP為等腰直角三角形，

：.PP'=V2PB=2,NBPP=45。,

在AAPP'中，AP=A/5,PP'=2,AP'=\,

V(V5)2=22+l2,

：.AP2=P'P2+P'A2,

.?.△APP為直角三角形，NAPP=90。，

N8PA=/BPC=450+90°=135°；

(2)

解：①六邊形ABCDEF為正六邊形，

ZABC=120°,

?..把△2PC繞點2逆時針旋轉120°,得到了△BPA,

AZP'BP=12O°,BP'=BP=4,P'A=PC=2,ZBP'A=ZBPC,

：.ZBP'P=ZBPP'=30°,

如圖3：過B作于H,

\'BP'=BP,

：,P'H=PH,

在RfABPH中,NBFH=30。,BP'=4,

：.BH=：BP，=2,P'H=yJP'B2-BH2=V42-22=2次,

：,P'P=2P'H=4V3,

在乙APP中，AP=2V13,PP'=4V3,AP'=2,

V(2V13)2=(4V3)2+22,

：.AP2=P'P2+P'A2,

.?.△APP為直角三角形，且/APP=90。,

ZBP,A=30°+90°=120°,

：.ZBPC=120°,

②過A作AGJ_8產于G點，

/APG=60。,ZGAP'=30°,

在MAAGP中，AP'=2,

：.GP'=\AP'=1,AG=y/P'A2-P'G2=V22-I2=V3,

在MAAGB中，GB=GP'+P'B=1+4=5,

：.AB=V4G2+GB2=J(a2+52=277,

即正六邊形ABCDEF的邊長為2V7.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相

等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性

質、勾股定理與逆定理以及含30。的直角三角形三邊的關系，解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質.

12.(2020.湖北.公安縣教學研究中心九年級期中)將兩塊全等的含30。角的直角三角板按圖1的方式放置,

(1)固定三角板AiBC然后將三角板A8C繞點C順時針方向旋轉至圖2的位置，與A1。、&/分別交

于點。、E,AC與A】交于點

①當旋轉角等于45。時，求NBCBi的度數(shù)；

②當A8_LAiBi時，試說明AO=CD

(2)將圖2中的三角板ABC繞點C順時針方向旋轉至圖3的位置，當時，試猜想41n與的數(shù)量

關系，并說明理由.

【答案】(1)①135。；②見解析

(2)4。=。。，理由見解析

【分析】(1)①根據(jù)旋轉的性質可得；②根據(jù)題意證明△DAC為等腰三角形即可得到解答;

(2)利用含30。的直角三角形的性質和旋轉的性質證明即可.

(1)

①由旋轉的性質得，ZACAr=45°

：.ZBCD=ZACB-NAC4i=900-45。=45。

,oo

..ZBC^1=ZBC￡)+Z>l1CF1=45+90=135

②?.?A5_LAiB]

：.ZA1ED=90°

V4。=30。

o

???Zi41Z)E=90°-ZAr=9Q-30。=60。

???ZBDC=ZArDE=60°

VZA=30°,ZACB=90°

：.ZB=60°

：.ZDCB=180°-ZBDC-ZB=60°

???ZACAt=30°

NA=30。

ZACAr=ZA

???△n4c為等腰三角形

：.AD=CD

(2)

結論：ArD=CDf理由如下：

u

：ABLArC

：.ZADC=90°

*：NA=30。

：.CD=-AC

2

由旋轉的性質得，ArC=AC

CD=|a%。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的判定和性質和含30。直角三角形的性質，解決本題的關鍵是

掌握以上的性質進行求解即可.

13.(2020?廣東?惠州市惠城區(qū)第三十九學校九年級期中)【問題提出】如圖①，四邊形ABCD中，AD=CD,

ZABC=120°,ZADC=60°,AB=2,BC=1,求四邊形ABCD的面積.

【嘗試解決】旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉解決問題.

①②③

(1)如圖②，連接8Q,由于AO=CD,ZADC=60°,因此可以將△OC8繞點。按順時針方向旋轉60。，得

到AD4B',則△BOB'的形狀是；

(2)在(1)的基礎上，求四邊形的面積.

【類比應用】

(3)如圖③，四邊形A3C。中，AD^CD,/ABC=75。,NAZ)C=60。，AB=2,8C=應，求四邊形ABC。

的面積.

【答案】(1)等邊三角形

⑵逋

-4

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質得出8D=Z)B，，ZBDB'=60°,所以△是等邊三角形；

(2)根據(jù)旋轉的性質知等邊三角形的邊長為3,過點夕作夕ML2。，利用等邊三角形的性質及勾股定理得

出三角形的高，求出的面積即可；

(3)類比(1),連接8￡),由于AD=C。，所以可將△BCD繞點。逆時針方向旋轉60。，得到△￡)49，連

接8夕，延長區(qū)4,作出ELBE；易證△A尸夕是等腰直角三角形，△A仍是等腰直角三角形，利用勾股定理

計算AE=B'E=1,BB'=V10,求△ABB'和△BOB'的面積差即可.

(1)

解：如圖2,連接BC,由于AO=C￡>,所以可將△OC8繞點。順時針方向旋轉60。，得到△D4夕,

,:BD=B'D,/BDB'=60。

：.△BOB'是等邊三角形，

故答案為：等邊三角形；

圖2

(2)

由旋轉的性質得：ABCD經△B'AD,

二四邊形ABCD的面積=等邊△BOB，的面積,

'：BC=AB'=\

：.BB'=AB+AB'=2+1^3,

:.BB'=BD=3,

過點夕作夕MLB。，如圖2所示：

BM

:.=2-9

：.B'M=^32-(|)2=手，

?C—C—1yQV3瓜_9H

??J四邊形4BC0_~22~4,

(3)

如圖3,連接BD,由于AQ=C￡>,所以可將△BCD繞點。逆時針方向旋轉60。，得到△D4B，,

圖3

連接8夕，延長A4,作出ELBE；

由旋轉得公BCD絲AB'AD

??S四邊形ARC。一S四邊形BQD

VZABC=75°,ZADC=60°,

：.ZBCD+ZBAD=3600-ZABC-ZADC=225°,

JNB，AD+/BAD=/BCD+/BAD=225。,

：.ZBABf=360°-(ZBfAD+ZBAD)=135°

：.ZBfAE=45°,

???A9AE為等腰直角三角形，

?：B，A=BC=0,

：.BrE=AE=l,

：.BE=AB+AE=2-^1=3,

：.BBr=yjBE2+BrE2=V10,

:"S>ABB，=5x48xB，E—1>

?；NBDB'=60。,BD=B'D,

???ABO夕為等邊三角形，

同(2)中方法一致，得ABDB，得高為苧

?c1n~r\V305A/3

??S"DB，=aXvlOx,

??S四邊形4BC0=S四邊形BDB，4=SABDB'_ShABB'=~~^'

【點睛】題目主要考查旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理解三角形，理解題意，綜合運用

這些知識點并作出相應圖形是解題關鍵.

14.（2020?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心九年級期中）如圖，在RtAABC中，N/1CB=90。，將AABC繞點C順

時針旋轉得到△DEC,點B的對應點為E,點2的對應點。落在線段4B上，DE與BC相交于點F,連接BE.

A

E

(1)求證：DC平分N/WE；

(2)試判斷8E與AB的位置關系，并說明理由；

(3)若BE=BD,求NABC的大小(直接寫出結果即可).

【答案】(1)見解析

(2)BE1AB,理由見解析

(3)乙4BC的大小為22.5。

【分析】(1)利用等腰三角形的性質以及旋轉不變性解決問題即可；

(2)結論：AB±BE.證明/。2石+/。。石=180。，即可解決問題；

(3)連接A尸.過點B作交CD的延長線于X,作BTLCE于T,證明△BHDg/SBTK推出C2

是/QCE的角平分線，得到乙4。=45。，據(jù)此求解即可解決問題.

(1)

證明：?.,△DCE是由AACB旋轉得到，

ACA=CD,ZA=ZCDE,

：.ZA=ZCDA,

：./CDA=/CDE,

平分乙4￡>E；

(2)

解：結論：BE±AB.

由旋轉的性質可知，ZACD=ZBCE,

VCA=CD,CB=CE,

ZCAD=ZCDA=ZCBE=ZCEB,

ZABC+ZCAB+ZACD+ZDCB=l?,0o,

：.ZABC+ZCBE+ZDCB+ZBCE=180°,

:./DCE+/DBE=180。,

ZDCE=90°,

：.ZDBE=90°,

：.BE±AB；

(3)

解：如圖，連接AR過點8作5H_LCO交CD的延長線于H,作3T_LCE于T,

ZH=ZBTC=ZHCT=90°,

：.ZHBT=ZDBE=90°,

：./DBH=/EBT,

■:BD=BE,ZH=ZBTE=90°,

：./\BHD^/\BTE(AAS),

:.BH=BT,

■:BH工CH,BT_LCE,

???CB是/DCE的角平分線，

??

?ZDCB=ZECB2=-ZDCE=45°,

丁ZACB=90°,

：.ZACD=ZFCD=45°,

VAC=CZ),

1R0°—4^0

???/CA慶4*=^=67.5。,

ZABC=90°-ZCAD=22.5°.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，角平分線的判定和性質,

等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是證明△3HQ也△BTE

15.（2021.黑龍江.海林市朝鮮族中學九年級期中）如圖1,在△ABC中，AB=ACfZBAC=60°,D為BC

邊上一點（不與點-C重合），將線段繞點A逆時針旋轉60。得到AE連接EC,則:

(1)①/ACE的度數(shù)是；②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關系是.

拓展探究：

(2)如圖2,在AA8C中，AB=AC,ZBAC=90°,。為BC邊上一點(不與點8,C重合)，將線段繞點

A逆時針旋轉90。得到AE,連接EC,請寫出NACE的度數(shù)及線段AD,BD,CO之間的數(shù)量關系，并說明

理由；

【答案】(1)60。，AC=DC+EC；

⑵NACE=45°,BD2+CD2=2AD2

【分析】(1)證明△BAOgZXCAE,根據(jù)全等三角形的性質解答；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得到2ZXCE,NACE=/B,得到/OCE=90。，根據(jù)勾股定理計算即可;

(1)

解：(1)?.,在AABC中，AB=AC,ZBAC=6Q°,

：.ZBAC=ZDAE^60°,

：.ZBAC-ZDAC=ADAE-ADAC,即ZBAD=ZCAE,

'AB=AC

在4&4。和小CAE中，hBAD=/.CAE,

.AD=AE

：.ABAD^AC4￡(SAS),

：.ZACE=ZB=60°,BD=CE,

：.BC=BD+CD=EC+CD,

：.AC=BC=EC+CD；

故答案為：60°,AC=DC+EC；

(2)

/ACE=45°,BD2+CD2=2AD2,

理由如下:

由（1）得，△BAD烏ACAE,

：.BD=CE,ZACE=ZB=45°,

：.ZDCE=9Q°,

：.CE2+CD2=ED2,

在我公ADE中，AD2+AE2ED2,又AZ）=AE,

：.BD2+CD2=2AD2.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、勾股定理、以及旋轉變換的性質，掌握全等三角形的判

定定理和性質定理是解題的關鍵.

16.（2022?全國?九年級期中）（1）如圖1,正方形ABC。，E、尸分別為8C、CD上的點，Z.EAF=45°,求

證：EF=BE+小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90。至4ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖1

證明上述結論.

圖1

（2）如圖2,若點E、尸分別在正方形ABCD的邊C8、OC的延長線上，AEAF=45°,那么線段EF、DF、

BE之間有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結論.

【答案】（1）見解析；（2）DF=EF+BE,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質及全等三角形的判定和性質證明即可；

（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90。至AADG,結合（1）中證明方法進行證明即可.

【詳解】證明:（1）-：AB=AD,

：.把4ABE繞點A逆時針旋轉90。至4ADG,可使與AD重合，

VZ-ADC=LB=90°,

：.^FDG=180°,即點尸、D、G共線，

：.^DAG=￡.BAE,AE=AG,

Z-FAG=Z.FAD+AGAD=Z,FAD+/.EAE=90°-45°=45°=Z,EAF,

BPzEi4F=Z-FAG.

*：AF=AF,AE=AG

：.△AFG=^AFE

：.EF=FG.

：.EF=DF+DG=DF+BE,

即EF=BE+DF

(2)DF=EF+BE.

理由：如圖2所示.

FCGD

圖2

\9AB=AD,

：.把^ABE繞點A逆時針旋轉90。至4ADG,使AB與AD重合,

VZ.ADC=/.ABE=90°

???點C、D、G在一條直線上.

:.EB=DG,AE=AG,AEAB=￡.GAD.

9：￡.BAG+^LGAD=90°

J./-EAG=乙BAD=90°.

,：LEAF=