超幾何分布 （教學(xué)設(shè)計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.4.2超幾何分布教學(xué)設(shè)計課時教學(xué)內(nèi)容本節(jié)的主要內(nèi)容是超幾何分布，是對前面所學(xué)知識的綜合應(yīng)用.超幾何分布主要用于不放回簡單隨機(jī)抽樣中概率的計算，其中對抽取的每個個體只考慮是否具有某種特征.教材通過在具體情境中比較放回和不放回簡單隨機(jī)抽樣，歸納出超幾何分布模型的特征，由特殊到一般地求得超幾何分布的分布列.體現(xiàn)了從實際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實際的過程.課時教學(xué)目標(biāo)1.理解超幾何分布概念,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;2.會應(yīng)用超幾何分布列的概率公式計算求解隨機(jī)事件的概率;3.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識解決實際問題,會求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值.教學(xué)重點、難點1.重點：超幾何分布的概率求法及應(yīng)用2.難點：區(qū)分超幾何分布與二項分布教學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題前面我們學(xué)習(xí)了排列組合、離散型隨機(jī)變量的有關(guān)知識，本節(jié)課將利用這些知識繼續(xù)研究第二個重要的概率模型超幾何分布。問題已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．（1）采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從二項分布嗎？我們知道，如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立，此時X服從二項分布，即．（2）如果采用不放回抽樣，請問抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X還服從二項分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗，而且各次抽取的結(jié)果也不獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布．學(xué)生回答：不服從，需要根據(jù)古典概型來求X的分布列。環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念可以根據(jù)古典概型求X的分布列．由題意可知，X可能的取值為0，1，2，3，4．從100件產(chǎn)品中任取4件，樣本空間包含個樣本點，且每個樣本點都是等可能發(fā)生的．其中4件產(chǎn)品中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為．由古典概型的知識，得X的分布列為．計算的具體結(jié)果（精確到0.00001）如表7.4-1所示．表7.4-1X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002（3）觀察上述分布列中的概率求解方法，與二項分布的有什么不同？從中得出什么規(guī)律？【設(shè)計意圖】通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生積極思考，也就是利用已學(xué)知識來觀察這個問題，通過參與互動，說出自己見解。從而引出超幾何分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為．其中，，，，．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布（hypergeometricdistribution）．（4）剖析超幾何分布的概念：1.公式中個字母的含義N—總體中的個體總數(shù)；M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量；k—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))2.上述概率分布列計算公式是直接利用組合數(shù)的意義列式計算的，所以不要機(jī)械記憶這個概率分布列。3.“任取n件，恰有k件次品”是可以理解為一次性抽取，也可以理解為逐個不放回抽取。例4從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率．解：設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)(只能取0或1)，則X服從超幾何分布，且，，．因此甲被選中的概率為．容易發(fā)現(xiàn)，每個人被抽到的概率都是，這個結(jié)論非常直觀，這里給出了嚴(yán)格的推導(dǎo)．例5一批零件共有30個，其中有3個不合格．隨機(jī)抽取10個零件進(jìn)行檢測，求至少有1件不合格的概率．解：設(shè)抽取的10個零件中不合格品數(shù)為X，則X服從超幾何分布，且，，．X的分布列為．至少有1件不合格的概率為．也可以按如下方法求解：．歸納總結(jié)：（1）當(dāng)研究的事物涉及二維離散型隨機(jī)變量(如：次品、兩類顏色等問題）時的概率分布可視為一個超幾何分布；（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)概率計算公式求出X取不同值時的概率?！驹O(shè)計意圖】通過兩個例題，讓學(xué)生更加充分的認(rèn)識超幾何分布的概率計算方法，提高他們的數(shù)學(xué)運算能力。也通過數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模來達(dá)到問題歸類，方法統(tǒng)一。環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念探究：服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么？設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令，則是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，我們猜想，即．實際上，由隨機(jī)變量均值的定義，令，，由隨機(jī)變量均值的定義：當(dāng)時，．（1）因為，所以．當(dāng)時，注意到（1）式中間求和的第一項為0，類似可以證明結(jié)論依然成立．【設(shè)計意圖】通過一個例題的計算，知道結(jié)果是滿足猜想E(X)=np，接下來將引導(dǎo)學(xué)生深知數(shù)學(xué)結(jié)論能否直接使用，必將進(jìn)行嚴(yán)格的證明，此時鼓勵同學(xué)們課后去完成。因為課堂上如果去完成這個證明，將會使得課堂教學(xué)脫離教學(xué)重點，正好也鼓勵同學(xué)們進(jìn)行課后思考和同時提升同學(xué)們的自學(xué)能力。環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例6一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機(jī)地摸出20個球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個數(shù)．（1）分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；（2）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率．分析：因為只有兩種顏色的球，每次摸球都是一個伯努利試驗．摸出20個球，采用有放回摸球，各次試驗的結(jié)果相互獨立，；而采用不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布．解：（1）對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此，X的分布列為．對于不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為，．（2）利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值（精確到0.00001)，如表7.4-2所示．表7.4-2kp1kp2kkp1kp2k00.000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.0086730.012350.00714140.004850.0021740.034990.02551150.001290.0004150.074650.06530160.000270.0000660.124410.12422170.000040.0000170.165880.17972180.000000.0000080.179710.20078190.000000.0000090.159740.17483200.000000.00000100.117140.11924樣本中黃球的比例是一個隨機(jī)變量，根據(jù)表7.4-2，計算得有放回摸球：．不放回摸球：．因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些．兩種摸球方式下，隨機(jī)變量X分別服從二項分布和超幾何分布．雖然這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（圖7.4-4）看，超幾何分布更集中在均值附近．二項分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同．對于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似．【設(shè)計意圖】通過對二項分布和超幾何分布的問題對比分析和研究，以邏輯推理、直觀想象的教學(xué)方式，讓學(xué)生充分掌握超幾何分布的概念及其特點。通過問題的探究和對比，進(jìn)一步了解了這兩個分布的區(qū)別和聯(lián)系。環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？(1)超幾何分布的概念及特征．(2)超幾何分布的均值．(3)超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系．2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？(1)方法歸納：類比．(2)常見誤區(qū)：超幾何分布與二項分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣．【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：教材第80頁練習(xí)第1,2題.練習(xí)（第80頁）1．一箱24罐的飲料中4罐有獎券，每張獎券獎勵飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎券的概率．1．【答案】【解析】因為一箱24罐的飲料中4罐有獎券，所以無獎券的有20罐，從24罐中任意抽取2罐，有種結(jié)果，且它們是等可能的，其中抽取的2罐均無獎券，有種，所以這2罐中有獎券的概率為：．2．學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班．假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率．2．【答案】【解析】總數(shù)有種選法，甲班有4名候選人，選擇2名甲班同學(xué)和2名別班同學(xué)的種類數(shù)為，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為．3．舉出兩個服從超幾何分布的隨機(jī)變量的例子．3．【解析】例1：假設(shè)某魚池中僅有鯉魚和草魚兩種魚，其中鯉魚200條，草魚40條，從魚池中任取5條魚，這5條魚中包含草魚的個數(shù)X服從超幾何分布．例2：現(xiàn)有甲、乙兩種品牌的電視機(jī)共52臺，其中甲品牌21臺，從52臺電視機(jī)中選出5臺送給福利院，選出的甲品牌電視機(jī)臺數(shù)X服從超幾何分布．習(xí)題7.4（第80頁）1．拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點或6點時，就說這次試驗成功，求在30次試驗中成功次數(shù)X的均值和方差．1．【答案】均值，方差．【解析】依題意試驗一次成功的概率為，且每次試驗是相互獨立，所以30次試驗中成功次數(shù)X服從二項分布，，，，所以在30次試驗中次數(shù)的均值為10，方差為．2．若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是多大．2．【答案】【解析】設(shè)恰好有一次未擊中目標(biāo)為事件A，則．3．如圖，一個質(zhì)點在隨機(jī)外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次．求下列事件的概率．（1）質(zhì)點回到原點；（2）質(zhì)點位于4的位置．3．【答案】（1）；（2）．【解析】設(shè)質(zhì)點向右移動的次數(shù)為，又質(zhì)點每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，且每次移動是相互獨立，則．（1）質(zhì)點回到原點，則，，所以質(zhì)點回到原點的概率是；（2）當(dāng)質(zhì)點位于4的位置時，則，，所以質(zhì)點位于4的位置的概率是．4．從一副不含大小王的52張撲克牌中任意抽出5張，求至少有2張A牌的概率(精確到0.00001)．4．【答案】0.04168【解析】從52張撲克牌中任意抽出5張，共有種可能事件，從52張撲克牌中任意抽出5張，有2張A牌，有中可能事件，從52張撲克牌中任意抽出5張，有3張A牌，有中可能事件，從52張撲克牌中任意抽出5張，有4張4牌，有中可能事件，故至少有2張A牌的概率．5．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，共進(jìn)行10次射擊，求(精確到0.01)：（1）恰有8次擊中目標(biāo)的概率；（2）至少有8次擊中目標(biāo)的概率．5．【答案】（1）0.30；（2）0.68．【解析】（1）∵某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，則這名射手在10次射擊中恰有8次擊中目標(biāo)的概率為．（2）至少有8次擊中目標(biāo)的概率為．6．有一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率(精確到0.001)．【答案】0.191【解析】記中獎為事件A，概率為，所以中獎的概率為0.191．7．一個車間有3臺車床，它們各自獨立工作．設(shè)同時發(fā)生故障的車床數(shù)為X，在下列兩種情形下分別求X的分布列．（1）假設(shè)這3臺車床型號相同，它們發(fā)生故障的概率都是20%；（2）這3臺車床中有A型號2臺，B型號1臺，A型車床發(fā)生故障的概率為10%，B型車床發(fā)生故障的概率為20%．7．【解析】（1），，，，所以X的分布列如下：X0123P0.5120.3840.0960.008（2），，，．所以的分布列如下：X0123P0.6480.3060.0440.0028．某藥廠研制一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為90%．隨機(jī)選擇了10個病人，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)不超過6人，你是否懷疑藥廠的宣傳．8．【解析】由題意知，若此藥治療某種疾病有效率為90%，則隨機(jī)選擇了10個病人，治愈人數(shù)不超過6人的概率為：，所以概率非常小，因此治愈人數(shù)不超過6人是小概率事件，在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，然而現(xiàn)在發(fā)生了，從這個角度，就可以懷疑藥廠是虛假宣傳．換另一個角度，治愈人數(shù)不超過6人是一個隨機(jī)事件，在一次試驗中可能發(fā)生，所以從這個角度看，也可以不懷疑藥廠的宣傳．探究與發(fā)