學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第三章3講

第五節(jié)

隨機(jī)變量函數(shù)的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.當(dāng)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)

Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的聯(lián)合分布?一、離散型分布的情形例1

若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak

,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk

,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解:=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性此即離散卷積公式r=0,1,2,…解：依題意

例2

若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布.由卷積公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…由卷積公式即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1，…例3

設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y具有同一分布律,且X的分布律為于是例4

設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的密度.

解:Z=X+Y的分布函數(shù)是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}是直線x+y=z左下方的半平面.二、連續(xù)型分布的情形化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對(duì)稱性,fZ

(z)又可寫成

以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.特別，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

這兩個(gè)公式稱為卷積公式.下面我們用卷積公式來(lái)求Z=X+Y的概率密度為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例5

若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域如圖示:也即于是由公式解例6

設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.得用類似的方法可以證明:若X和Y獨(dú)立,

結(jié)論又如何呢?此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請(qǐng)自行寫出結(jié)論.若X和Y獨(dú)立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地,可以證明:從前面例4可以看出，在求隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為(X,Y)在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.休息片刻再繼續(xù)三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來(lái)求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).又由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)

類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來(lái)求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=0,1，…,n)

用與二維時(shí)完全類似的方法，可得

特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有

N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……若X1,…,Xn是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)后，不難求得M和N的密度函數(shù).留作課下練習(xí).當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有

FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值.例7解

下面我們?cè)倥e一例，說(shuō)明當(dāng)X1,X2為離散型r.v時(shí)，如何求Y=max(X1,X2)的分布.解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1<n)記1-p=q例8

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立,并且有相同的幾何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.n=0,1,2,…解二:P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)=P(max(X1,X2)≤n)-P(max(X1,X2)≤n-1)=P(X1≤n,X2≤n)-P(X1≤n-1,X2≤n-1)n=0,1,2,…

那么要問(wèn)，若我們需要求Y=min(X1,X2)的分布，應(yīng)如何分析？留作課下思考這一講，我們介紹了求隨機(jī)向量函數(shù)的分布的原理和方法，需重點(diǎn)掌握的是：請(qǐng)通過(guò)練習(xí)熟練掌握.

1、已知兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，會(huì)求其函數(shù)的概率分布；2、會(huì)根據(jù)多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的概率分布．哥尼斯堡七橋問(wèn)題18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖1所示。城中的居民經(jīng)常沿河過(guò)橋散步，于是提出了一個(gè)問(wèn)題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過(guò)一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。這就是七橋問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)似乎不難，但人們始終沒(méi)有能找到答案，最后問(wèn)題提到了大數(shù)學(xué)家歐拉那里。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問(wèn)題的：既然陸地是橋梁的連接地點(diǎn)，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D4個(gè)點(diǎn)，7座橋表示成7條連接這4個(gè)點(diǎn)的線，如圖2所示。于是“七橋問(wèn)題”就等價(jià)于上