學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第6章

參數(shù)估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題：如何選取樣本來對總體的種種統(tǒng)計(jì)特征作出判斷。參數(shù)估計(jì)問題：知道隨機(jī)變量（總體）的分布類型，但確切的形式不知道，根據(jù)樣本來估計(jì)總體的參數(shù)，這類問題稱為參數(shù)估計(jì)（paramentricestimation）。參數(shù)估計(jì)的類型——點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)參數(shù)的估計(jì)量設(shè)總體的分布函數(shù)為F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn為樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)參數(shù)，則稱為參數(shù)的估計(jì)量。將樣本觀測值代入，得到的值稱為參數(shù)

的估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)（pointestimation)

：如果構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來作為參數(shù)的估計(jì)量，則稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。區(qū)間估計(jì)（intervalestimation）：如果構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量而用來作為參數(shù)可能取值范圍的估計(jì)，稱為參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的方法：數(shù)字特征法、矩法、極大似然法。樣本的數(shù)字特征法：以樣本的數(shù)字特征作為相應(yīng)總體數(shù)字特征的估計(jì)量。以樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)量，即點(diǎn)估計(jì)值點(diǎn)估計(jì)值以樣本方差作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)量，即例1

一批鋼件的20個(gè)樣品的屈服點(diǎn)（t/cm2）為4.985.115.205.205.115.005.355.614.885.275.385.485.275.234.965.154.775.355.385.54試估計(jì)該批鋼件的平均屈服點(diǎn)及其方差。解由數(shù)字特征法，得屈服點(diǎn)及方差的估計(jì)值為定義設(shè)為隨機(jī)變量，若存在，則稱為的階原點(diǎn)矩，記作；若存在，則稱為的階中心矩，記作樣本的階原點(diǎn)矩，記作樣本的階中心矩，記作階矩的概念參數(shù)的矩法估計(jì)矩法估計(jì)：用樣本的矩作為總體矩的估計(jì)量，即若總體X的分布函數(shù)中含有m個(gè)參數(shù)

1，2，…，m，總體的k階矩Vk或Uk存在，則或參數(shù)的矩法估計(jì)或得m個(gè)方程構(gòu)成方程組，解得的即為參數(shù)的矩估計(jì)量，代入樣本觀測值，即得參數(shù)的矩估計(jì)值。矩法估計(jì)：用樣本的矩作為總體矩的估計(jì)量，即例2

設(shè)某總體X的數(shù)學(xué)期望為EX=

，方差DX=2，X1，X2，…，Xn為樣本，試求

和

2的矩估計(jì)量。解總體的k階原點(diǎn)矩為樣本的k階原點(diǎn)矩為由矩法估計(jì)，應(yīng)有所以結(jié)論：不管總體X服從何種分布，總體期望和方差的矩估計(jì)量分別為樣本均值、樣本方差，即估計(jì)值為例3

設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，試求下列總體分布參數(shù)的矩估計(jì)量。解（1）由于（2）由于所以參數(shù)和2的矩估計(jì)量為

所以得參數(shù)p的矩估計(jì)量為例3

設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，試求下列總體分布參數(shù)的矩估計(jì)量。解（3）由于所以參數(shù)的矩估計(jì)量為

可見：同一個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)量可以不同。所以統(tǒng)計(jì)量存在“優(yōu)、劣”之分。或一階矩二階矩例4

設(shè)總體X服從[

1，2]上的均勻分布，

1<2，求

1，2的矩估計(jì)量，X1，X2，…，Xn為X的一個(gè)樣本。解由于所以由矩法估計(jì)，得

解得區(qū)間長度的矩估計(jì)量為解由于所以由矩法估計(jì)，得

解得所以，參數(shù)的矩估計(jì)量為例5

對容量為n的子樣，求下列密度函數(shù)中參數(shù)的矩估計(jì)量。參數(shù)的極大似然估計(jì)法思想：設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x,)，為未知參數(shù)，則樣本（X1,X2,…,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)為令參數(shù)的估計(jì)量，使得樣本（X1,X2,…,Xn）落在觀測值的鄰域內(nèi)的概率L()達(dá)到最大，即則稱為參數(shù)的極大似然估計(jì)值。參數(shù)的極大似然估計(jì)法求解方法：（2）取自然對數(shù)其解即為參數(shù)的極大似然估計(jì)值。（3）令（1）構(gòu)造似然函數(shù)若總體的密度函數(shù)中有多個(gè)參數(shù)

1，2，…，n，則將第（3）步改為解方程組即可。例6

假設(shè)（X1，X2，…，Xn）是取自正態(tài)總體N(,2)的樣本，求和2的極大似然估計(jì)量。解構(gòu)造似然函數(shù)取對數(shù)續(xù)解

求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0解得所以μ，

2的極大似然估計(jì)量為與矩估計(jì)量相同估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)——無偏性、有效性、相合性*、充分性與完備性*無偏估計(jì)量：設(shè)是的估計(jì)量，如果則稱是的無偏估計(jì)量（unbiasedestimation）例題設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX都存在，證明：樣本均值、樣本方差分別是EX、DX的無偏估計(jì)。例題設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX都存在，證明：樣本均值、樣本方差分別是EX、DX的無偏估計(jì)。證明

證明

有效性設(shè)是的無偏估計(jì)量，當(dāng)樣本容量n固定時(shí)，使

達(dá)到最小的稱為的有效估計(jì)比較：若，則比有效。例如及（其中）都是EX的無偏估計(jì)，但比有效。例如及（其中）都是EX的無偏估計(jì)，但比有效。因?yàn)?/p>

算術(shù)平均≤幾何平均小結(jié)參數(shù)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)方法數(shù)字特征法：以樣本均值、方差作為總體期望、方差的估計(jì)量。矩法估計(jì)：以樣本k階矩作為總體k階矩的估計(jì)量?；蜃鳂I(yè)P1301，2，4預(yù)習(xí)第三節(jié)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的思想點(diǎn)估計(jì)總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，區(qū)間估計(jì)則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個(gè)區(qū)間范圍。引例設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X~N（，1002），現(xiàn)隨機(jī)抽取5只，測量其壽命如下：1455，1502，1370，1610，1430，則該廠燈泡的平均使用壽命的點(diǎn)估計(jì)值為可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在1473.4個(gè)單位時(shí)間左右，但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這“左右”呢？如果要求有95%的把握判斷在1473.4左右，則由U統(tǒng)計(jì)量可知由查表得置信水平、置信區(qū)間設(shè)總體的分布中含有一個(gè)參數(shù)，對給定的，如果由樣本（X1，X2，…，Xn）確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量

1（X1，X2，…，Xn

），2（X1，X2，…，Xn

），使得P{1<<2}=1-

，則稱隨機(jī)區(qū)間（1

，2

）為參數(shù)的置信度（或置信水平）為1-的置信區(qū)間。

1——置信下限2——置信上限幾點(diǎn)說明1、參數(shù)的置信水平為1-的置信區(qū)間（1，2）表示該區(qū)間有100（1-）%的可能性包含總體參數(shù)的真值。2、不同的置信水平，參數(shù)的置信區(qū)間不同。3、置信區(qū)間越小，估計(jì)越精確，但置信水平會降低；相反，置信水平越大，估計(jì)越可靠，但精確度會降低，置信區(qū)間會較長。一般：對于固定的樣本容量，不能同時(shí)做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也高（1-

大）。如果不降低可靠性，而要縮小估計(jì)范圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)如果總體X~N（，2），其中

2已知，

未知，則取U-統(tǒng)計(jì)量，對做區(qū)間估計(jì)。對給定的置信水平1-

，由確定臨界值（X的雙側(cè)分位數(shù)）得的置信區(qū)間為將觀測值代入，則可得具體的區(qū)間。例1

某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐中知道，滾珠直徑X可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測得直徑為（單位：cm）

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點(diǎn)估計(jì)；（2）若已知方差為0.06，試求該天平均直徑EX的置信區(qū)間：

=0.05；=0.01。解（1）由矩法估計(jì)得EX的點(diǎn)估計(jì)值為續(xù)解（2）由題設(shè)知X~N（，0.06）構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量，得EX的置信區(qū)間為當(dāng)

=0.05時(shí)，而所以，EX的置信區(qū)間為（14.754，15.146）當(dāng)

=0.01時(shí)，所以，EX的置信區(qū)間為（14.692，15.208）置信水平提高，置信區(qū)間擴(kuò)大，估計(jì)精確度降低。例2

假定某地一旅游者的消費(fèi)額X服從正態(tài)分布N（，2），且標(biāo)準(zhǔn)差=12元，今要對該地旅游者的平均消費(fèi)額EX加以估計(jì)，為了能以95%的置信度相信這種估計(jì)誤差小于2元，問至少要調(diào)查多少人？解由題意知：消費(fèi)額X~N（，122），設(shè)要調(diào)查n人。由即得查表得而解得至少要調(diào)查139人正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)如果總體X~N（，2），其中，均未知由構(gòu)造T-統(tǒng)計(jì)量當(dāng)置信水平為1-

時(shí)，由查t-分布表確定從而得的置信水平為1-

的置信區(qū)間為例3

某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取9個(gè)，測得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。試用95%的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量。解由題設(shè)可知：口杯的重量X~N（，2）由抽取的9個(gè)樣本，可得由得查表得全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54）P127例5與P126例3的比較：解由題設(shè)可知：平均消費(fèi)額X~N（，2）平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為（75.0464，84.9536）由得查表得估計(jì)誤差為精確度降低——原因：樣本容量減少在實(shí)際應(yīng)用中，方差未知的均值的區(qū)間估計(jì)較有應(yīng)用價(jià)值。練習(xí)假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)分布，經(jīng)調(diào)查100家住戶，得出每戶每月平均需求量為10公斤，方差為9，如果某商店供應(yīng)10000戶，試就居民對該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（

=0.01），并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以99%的概率滿足需求？解由題設(shè)可知：平均需求量X~N（，2）平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為（9.229，10.771）由查表得續(xù)解要以99%的概率滿足10000戶居民對該種商品的需求，則最少要準(zhǔn)備的量為（公斤）最多準(zhǔn)備（公斤）正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì)如果總體X~N（，2），其中已知，2未知由構(gòu)造

2-統(tǒng)計(jì)量查

2-分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)從而得

2的置信水平為1-

的置信區(qū)間為例題已知某種果樹產(chǎn)量服從Ｎ（218，

2），隨機(jī)抽取6棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，236試以95%的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。解計(jì)算查表果樹方差的置信區(qū)間為正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì)如果總體X~N（，2），其中

2未知由構(gòu)造

2-統(tǒng)計(jì)量當(dāng)置信水平為1-

時(shí)，由查

2-分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)從而得

2的置信水平為1-

的置信區(qū)間為例4

設(shè)某燈泡的壽命X~N（，2），，2未知，現(xiàn)從中任取5個(gè)燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時(shí)），求置信水平為90%的2的區(qū)間估計(jì)。解樣本方差及均值分別為

2的置信區(qū)間為（0.4195，5.5977）由得查表得小結(jié)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)