2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 33　不等式恒成立或有解問題

微專題33不等式恒成立或有解問題

高考定位利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立或有解問題，是高考的熱點(diǎn)之一，多以解

答題的形式出現(xiàn)，為壓軸題，難度較大.

真題研析類題突破研真題析類題

［高考真題］(2022?新高考∏卷節(jié)選)已知函數(shù)./U)=XeaX--

⑴當(dāng)α=l時(shí)，討論式x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>O時(shí)，ι∕U)<-l,求α的取值范圍.

解(1)當(dāng)a=l時(shí)，βx)=(χ-l)er,尤∈R,

則f(x)=xex,

當(dāng)x<O時(shí)，/(x)<O,

當(dāng)QO時(shí)，/(x)>0,

故4X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(O,+∞).

(2)設(shè)h(x)=xetιx-ex+1,

則∕z(0)=0,

又h'(x)=(1+0r)eav-ex,

設(shè)g(x)=(l÷0x)eu?v-ev,

則g'(x)=(2a+a2x)ear—et,

??

右?>2>

則g<0)=2α-l>0,

因?yàn)間，(X)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在XO∈(0,+∞),

使得Vx∈(O,Xo),總有g(shù)'(x)>O,

故g(x)在(O,X0)上單調(diào)遞增，

故g(x)>g(O)=O,

故〃(X)在(O,X0)上單調(diào)遞增，

故∕2(x)>∕z(0)=O,與題設(shè)矛盾.

若0<<2≤^,

則∕z,(x)=(l+0x)eαλ-ev=eav+lnu+^-ev,

下證：對(duì)任意x>0,總有In(I+ΛO<X成立,

證明：設(shè)S(X)=ln(l+x)—X,

I—X

故''U)=而—1=TTF°，

故S(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故S(X)<S(O)=0,即In(I+X)<JC成立.

6,x+2αxx

由上述不等式有em(I+")—eχ?eaχ+ax—er=e-e≤0,

故/∕,(x)≤0總成立，

即〃(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以?(x)<?0)=0.

當(dāng)α≤0時(shí)，有h?x)=eax-ex+axeta<l-1+0=0,

所以∕z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以∕ι(x)<∕z(O)=O.

綜上，

樣題1已知函數(shù)凡T)=Rilα∈R),若?r)〈君」+；—1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取

??

值范圍.

解因?yàn)?U)We^ι+!-l恒成立，

?

∕nx-?-a1,一八、

即fcf------We'1+t一一1對(duì)lx∈(0,+8)怛成立，

XX

即“Wxe*i—x—lnx+1對(duì)X￡(0,+8)恒成立，

令u(x)=xex~1-χ-lnΛ÷1,

則M(X)=CAT+χev~1-1-；=(x+1)(e^χr-3)，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),wr(x)<0,〃(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，Ma)>0,M(X)?(1,+8)上單調(diào)遞增,

故當(dāng)X=I時(shí)，Na)取最小值〃(I)=1,

所以“W1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,1].

樣題2(2022?福州模擬改編)已知函數(shù)氏0=/-(24+1?+r!1式4￡2，函數(shù)g(x)

=(1-d)x,若Ξro∈[l,e]使得“ro)2g(xo)成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

解由題意知，不等式7U)2g(x)在區(qū)間［1,e］上有解,

即Λ2-2x+0(lnχ-x)≥0在區(qū)間［1,e］上有解.

令3(x)=x-lnx,x∈［1,e］,

?X—1

則^,(x)=l--=-y-≥0,

，8(x)=x—Inx在［1,e］上單調(diào)遞增，

.?^(x)≥^(l)=1,ΛΛ-Inx>O,

jp?—9V

在區(qū)間U,e］上有解.

x2-2X

令/2(X)=

x-Inx'

(X-1)(X+2—21nx)

則h'(x)=

(X-InX)2

Vx∈fl,e］,Λx+2>2≥21nx,

/.Ar(x)≥O,∕z(x)單調(diào)遞增，

e(e—2)

??工￡［1,e］時(shí)，∕z(x)max=∕l(c)=1

e(e—2)

.".6Z≤:-

e—1

e(e—2)

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是一8,

e—1

樣題3(2022?延邊模擬改編)已知函數(shù)於)=e'+0r(a∈R),若於)21—In(X+1)對(duì)

任意的x∈［0,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解若龍20時(shí)，y(x)≥l-in(x+l),

即e*+0r+ln(x+1)—120.(*)

令^(?)-ev÷0x+ln(x+l)-1,

則g,Cr)=^+1匕+。，

2x

人IllEl1(X+1)e-1

令9(X)=e?+干+α,則夕'(x)=e-(%+］)2=一(χ+i)220,

函數(shù)夕。）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，磯0）=2+α,

①若2,S(O)=2+αN0,

.?.S(x)=ev+;.;j+α20,Λg,(x)≥0,

函數(shù)g(x)在區(qū)間［O,+8)上單調(diào)遞增.

.?.g(x)2g(0)=0,.?.(*)式成立.

②若“V—2,由于研0)=2+αV0,

ω(-0)=e^t,÷~^~+a^l~ajr-~~~+α=1+~~>0(x20時(shí),ex21+x,故e~β≥1

八ι~a1—al-a

~d),

故mxo∈(O,—a),使得夕(Xo)=O,

則當(dāng)OVXVXo時(shí)，9(x)VS(Xo)=0,

即g'(x)V0?

.?.函數(shù)g(x)在區(qū)間(O,Xo)上單調(diào)遞減,

.?.g(xo)<g(O)=O,即(*)式不恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)α的取值范圍是[-2,+∞).

規(guī)律方法L由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略

(1)求最值法：將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.

(2)分離參數(shù)法：將參數(shù)分離出來，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為α>式X)max或α<?∕(x)min的形式，通

過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出凡X)的最值，即得參數(shù)的范圍.

2.不等式有解問題可類比恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別.

訓(xùn)練1(2022?蚌埠三模改編)已知不等式e(x2Tnx)+eJ0r20恒成立，求實(shí)數(shù)α

的取值范圍.

ex2—elnx+ev

解易知x>0,則原不等式可化為αW

X

ex2—elnX+QX

設(shè)F(X)=(x>0),

X

e(X2—1)+(%—1)ev+elnx

則戶(X)=

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，F(xiàn),(Λ)<0,

當(dāng)x∈(l,+8)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,

所以Fu)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,十8)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(%)mi∏=F(l)=2e,

則實(shí)數(shù)α的取值范圍為(-8,2e].

2

訓(xùn)練2已知函數(shù)"r)="lnχ-f+x+l,若不等式√(x)21在區(qū)間［1,2］上有解，求

實(shí)數(shù)α的取值范圍.

A-+f)2+2-^

.,a,2,x2÷0x+2

解τ∕ω=-+?+ι=—p—

①當(dāng)2-j≥0,

即一2√^WαW2啦時(shí)，/(x)≥0,

所以?r)在［1,2］上單調(diào)遞增，

所以/(X)max=/(2).

2

②當(dāng)2—點(diǎn)<0,即。>26時(shí)，

設(shè)％2+or+2=0(∕=α2-8〉0)的兩根分別為x?,X2,

則無1+無2=—a,X?X2=2,

所以X1<O,X2<0,

所以在區(qū)間［1,2］上，

Λ2+OX+2

f(χ)=一P一>0,

所以犬犬)在［1,2］上單調(diào)遞增,

所以/(?max=7(2).

綜上，當(dāng)“2—時(shí)，7U)在區(qū)間［1,2］上的最大值為/(2)=αln2+221,

所以后一i?

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是一看，+∞}

高分訓(xùn)練對(duì)接高考重落實(shí)迎高考

一、基本技能練

1.已知函數(shù)?x)=(x—2)e，-%Λ2+αx(α∈R),當(dāng)Xe2時(shí)，丸X)No恒成立，求α的

取值范圍.

解法一f(x)=(%—1)(ev-A),

①當(dāng)α≤0時(shí)，因?yàn)橛?2,所以x—1>0,ev-<z>O,所以/(x)>0,

則於)在［2,+8)上單調(diào)遞增，加)電2)=0成立.

②當(dāng)OVaWe2時(shí)，/(x)≥0,

所以人x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

所以人幻羽2)=0成立.

③當(dāng)α>e2時(shí)，在區(qū)間(2,Ina)上，/(x)V0;

在區(qū)間(Inα,+∞)±,/(X)>0,

所以7U)在(2,Ina)上單調(diào)遞減，在(Inα,+8)上單調(diào)遞增，人無)》()不恒成立,

不符合題意.

綜上所述，α的取值范圍是(-8,e2］.

法二當(dāng)x22時(shí)，Tu)20恒成立，

等價(jià)于當(dāng)Xe2時(shí)，(X—2)ex-；Or2+Qx20恒成立,

即(1—x)4W(χ-2)e'在［2,+8)上恒成立.

當(dāng)x=2時(shí)，0?αW0,所以αGR.

當(dāng)x>2時(shí)，^^x2-χ>0,

一、I,(x—2)ex2*_上、

所以oW—j----------=丁怛成￡?

,X2—X

、耳2ev2Cχ-1)e?

設(shè)gM=~^貝m"ig'a)=p，

因?yàn)閤>2,所以g<x)>O,

所以g(x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(2)=e2,所以a≤e2.

綜上所述，。的取值范圍是(一8,e2］.

2.若ev+cos工一火一220在［0,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

x

解令Λ(x)=e÷cosx-ax~29

貝IJ∕z,(x)=e'-sinx-a,

令r(x)=ev-sinx-a,

則f(x)=ev-cosx,

Ve'≥1,—1≤cosx≤1,故"x)20,

.??"(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增,

.?."(x)2Y(O)=I—a.

①當(dāng)l-α20,即“Wl時(shí)，"(x)20,

故∕z(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

故〃(x)2∕z(0)=0,滿足題意；

②當(dāng)l-α<0,即α>l時(shí)，∕j,(0)<0,

又Xf+8時(shí)，h'(x)-+0o,

：.3xo∈(O,+∞),使得"(xo)=O,

.?.當(dāng)x∈(0,XO)時(shí)，∕z,(x)<O,

.?./龍)在(0,xo)上單調(diào)遞減，

此時(shí)Zz(X)VA(O)=O,不符合題意.

綜上，α的取值范圍為(-8,11

9

3,已知函數(shù)於)=Or2-(6+α)%+31nx,當(dāng)〃W一］時(shí),關(guān)于X的不等式於)+如一

有解，求。的最大值.

解設(shè)g(x)=yU)+0r-~b=Or2-6x+31nx—ZbΛ>0,

,,32加一6x+3

則rτg'(x)=2以-6+;=----------------.

√v人■

當(dāng)4<0時(shí)，2加一6尢+3=0有兩個(gè)根Xl,X2,不妨令XI<￥2.

3

又Xli2=五V0,??<0,X2>0.

由題意舍去X1,

當(dāng)X∈(0,X2)時(shí),g'(x)>O;

當(dāng)X∈(%2,+8)時(shí)，gf(χ)<O,

.?.g(X)在(0,X2)上單調(diào)遞增，在(X2,+8)上單調(diào)遞減.

若存在XO使"r)+0r—〃No成立，

則g(x)max=g(X2)=0r5-6^2+31nX2—6≥0,

即6x2÷31nX2^b.

To6x2—3

又2axi-6也+13=0,.°?α=~-.

9W39

-

-≤-

*?2

2,

6x2—3

Λ?≤a^-6x2÷31nXi=2xi?JA-6x2+3InXi=-312+3InX2—

令A(yù)(x)=-3x÷31nχ-∣^0<x≤∣

則"(x)=-^>0,

函數(shù)〃(X)在(0,夕上單調(diào)遞增,

5

-

∕l(x)max2