（江蘇專用）高考數學總復習 考前三個月 附加題高分練5 離散型隨機變量的概率分布 理-人教版高三數學試題

5．離散型隨機變量的概率分布1．(2017·南京、鹽城一模)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程．(1)求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率；(2)設這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數”為X，求X的概率分布與數學期望E(X)．解(1)這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率為P＝1－eq\f(3,3×3)＝eq\f(2,3).(2)由題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布為X012345Peq\f(32,243)eq\f(80,243)eq\f(80,243)eq\f(40,243)eq\f(10,243)eq\f(1,243)所以X的數學期望為E(X)＝5×eq\f(1,3)＝eq\f(5,3).2．一位網民在網上光顧某網店，經過一番瀏覽后，對該店鋪中的A，B，C三種商品有購買意向．已知該網民購買A種商品的概率為eq\f(3,4)，購買B種商品的概率為eq\f(2,3)，購買C種商品的概率為eq\f(1,2).假設該網民是否購買這三種商品相互獨立．(1)求該網民至少購買2種商品的概率；(2)用隨機變量η表示該網民購買商品的種數，求η的概率分布和數學期望．解(1)該網民恰好購買2種商品的概率為P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,24)；該網民恰好購買3種商品的概率為P(ABC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，所以P＝eq\f(11,24)＋eq\f(1,4)＝eq\f(17,24).故該網民至少購買2種商品的概率為eq\f(17,24).(2)隨機變量η的可能取值為0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝eq\f(11,24)，P(η＝3)＝eq\f(1,4)，而P(η＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝eq\f(1,4).隨機變量η的概率分布為η0123Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)所以隨機變量η的數學期望E(η)＝0×eq\f(1,24)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(11,24)＋3×eq\f(1,4)＝eq\f(23,12).3．(2017·南京學情調研)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝，投籃進行到有人獲勝或每人都已投球3次時結束．設甲每次投籃命中的概率為eq\f(2,5)，乙每次投籃命中的概率為eq\f(2,3)，且各次投籃互不影響．現由甲先投．(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結束時甲的投籃次數X的概率分布與數學期望．解(1)設甲第i次投中獲勝的事件為A1(i＝1,2,3)，則A1，A2，A3彼此互斥．甲獲勝的事件為A1＋A2＋A3.P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,25)，P(A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(2,5)＝eq\f(2,125).所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(2,5)＋eq\f(2,25)＋eq\f(2,125)＝eq\f(62,125).(2)X的所有可能取值為1,2,3.則P(X＝1)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,25)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,25)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×1＝eq\f(1,25).即X的概率分布為X123Peq\f(4,5)eq\f(4,25)eq\f(1,25)所以數學期望E(X)＝1×eq\f(4,5)＋2×eq\f(4,25)＋3×eq\f(1,25)＝eq\f(31,25).4．為了提高學生學習數學的興趣，某校決定在每周的同一時間開設《數學史》、《生活中的數學》、《數學與哲學》、《數學建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學每人均在四門校本課程中隨機選一門進行學習，假設三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；(2)設X為甲、乙、丙三人中選修《數學史》的人數，求X的概率分布和數學期望E(X)．解(1)甲、乙、丙三人從四門課程中各任選一門，共有43＝64種不同的選法，記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件M，事件M共包含Aeq\o\al(3,4)＝24個基本事件，則P(M)＝eq\f(24,64)＝eq\f(3,8)，所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為eq\f(3,8).(2)方法一X可能的取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)×32,43)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)×3,43)＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),43)＝eq\f(1,64).所以X的概率分布為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)所以E(X)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).方法二甲、乙、丙三人從四門課程中任選一門，可以看成三次獨立重復試驗，X為甲、乙、丙三人中選修《數學史》的人數，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\