福建省福州市實驗中學高二數(shù)學理月考試題含解析

福建省福州市實驗中學高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖所表達的算法，輸出的結果為（

）Ａ．2

Ｂ．1

Ｃ．

Ｄ．參考答案：D略2.用數(shù)學歸納法證明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═時，由n=k的假設到證明n=k+1時，等式左邊應添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2C．（k+1）2 D．參考答案：B【考點】RG：數(shù)學歸納法．【分析】根據(jù)等式左邊的特點，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫出n=k與n=k+1時的結論，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)等式左邊的特點，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1時，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比較兩式，從而等式左邊應添加的式子是（k+1）2+k2故選B．3.一條走廊寬2m,長8m,用6種顏色的11m的整塊地磚來鋪設(每塊地磚都是單色的,每種顏色的地磚都足夠多),要求相鄰的兩塊地磚顏色不同,那么所有的不同拼色方法有A.個

B.個

C.個

D.個參考答案：解析：鋪第一列(兩塊地磚)有

種方法；其次鋪第二列．設第一列的兩格鋪了、兩色(如圖)，那么，第二列的上格不能鋪

色．若鋪

色，則有

種鋪法；若不鋪

色，則有

種方法.于是第二列上共有

種鋪法.同理，若前一列鋪好，則其后一列都有

種鋪法．因此，共有

種鋪法．故選D．4.下列命題中正確的是（）A．經(jīng)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直B．經(jīng)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面平行C．經(jīng)過平面外一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．經(jīng)過平面外一點有且只有一平面與已知平面垂直參考答案：A【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】A，如果過一點有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線平行，與兩直線交于一點矛盾；B，經(jīng)過平面外一點有無數(shù)條直線與已知平面平行，它們在該平面的一個平行平面內(nèi)；C，經(jīng)過平面外一點有無數(shù)條直線與已知直線垂直，它們在該直線的一個垂面內(nèi)；D，經(jīng)過平面外一點有無數(shù)個平面與已知平面垂直；【解答】解：對于A，如果過一點有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線平行，與兩直線交于一點矛盾，故正確；對于B，經(jīng)過平面外一點有無數(shù)條直線與已知平面平行，它們在該平面的一個平行平面內(nèi)，故錯；對于C，經(jīng)過平面外一點有無數(shù)條直線與已知直線垂直，它們在該直線的一個垂面內(nèi)，故錯；對于D，經(jīng)過平面外一點有無數(shù)個平面與已知平面垂直，故錯；故選：A．【點評】本題考查命題真假的判斷，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用，屬于基礎題．5.已知數(shù)列的前項和為，且，則

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知表示兩個不同的平面，為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件參考答案：B略7.從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球恰有2個白球的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：D8.設是虛數(shù)單位），則

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A．(－∞,1)

B．(－∞,0)和(0,1)

C.(－∞,0)

D．(0,1)參考答案：B由題得，令，所以x<1,因為x≠0，所以x＜1，且x≠0，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，故選B.

10.已知等比數(shù)列{an}中，，，則（

）A．±2 B．－2 C．2 D．4參考答案：C因為等比數(shù)列中，，，所以，，即，，因此，因為與同號，所以，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則的最小值為_________.參考答案：略12.已知函數(shù)，則不等式的解集為__________．參考答案：（－3,2）【分析】先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價于，利用一元二次不等式的解法可得結果.【詳解】因為函數(shù)，時，，且在上遞增，時，，且在上遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價于，

解得，故答案為.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式與單調(diào)性，屬于中檔題.解決抽象不等式時，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進行求解，首先應該注意判斷函數(shù)的單調(diào)性．若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則．13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿

參考答案：略14.已知點是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點，又、，是原點，則四邊形的面積的最大值是

。參考答案：15.隨機向邊長為2的正方形ABCD中投一點P,則點P與A的距離不小于1且使為銳角的概率是__________________．參考答案：=16.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,E為A1B1的中點，則下列五個命題:①點E到平面ABC1D1的距離為；②直線BC與平面ABC1D1所成的角為450；③空間四邊形ABCD1在正方體六個面內(nèi)形成的六個射影平面圖形，其中面積最小值是；④AE與DC1所成的角的余弦值為；⑤二面角A-BD1-C的大小為?．其中真命題是

．（寫出所有真命題的序號）參考答案：②③④17.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關于原點對稱，且，則

.參考答案：－2－3i由題意得復數(shù)對應的點為（2，-3），它關于原點的對稱點為（-2,3），故，所以．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對任意函數(shù)，可按下圖所示構造一個數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下:①輸入數(shù)據(jù),經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出;②若,則數(shù)列發(fā)生器結束工作;否則計算.現(xiàn)定義.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若輸入,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，寫出的所有項；（Ⅲ）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值。

參考答案：解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）由框圖知

，所以當時，則依次可得，即為（Ⅲ）由或，即當或時，故當時，當時，。19.已知圓M：（x+1）2+y2=，圓N：（x﹣1）2+y2=，動圓D與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心D的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若雙曲線C的右焦點即為曲線E的右頂點，直線y=x為C的一條漸近線．①求雙曲線C的方程；②過點P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A，B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當，且λ1+λ2=﹣時，求Q點的坐標．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由題意的定義可知：長半軸長為2，短半軸長為的橢圓，即可求得橢圓方程；（2）①求得雙曲線方程，焦點為（﹣2，0），（2，0），則，即可求得雙曲線C的方程；②方法一：設l的方程，代入橢圓方程，由向量的坐標運算，利用λ1，λ1表示出A和B點坐標，則λ1，λ2是二次方程的兩根，利用韋達定理即可求得Q點的坐標．方法二：設l的方程：y=kx+4，，﹣4=λ1y1=λ2y2，，將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達定理即可求得k的值，求得Q點的坐標．【解答】解：（1）∵圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2﹣R）=r1+r2=4，…由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓，…（求出a=2，c=1給，求出得1分）則此方程為．…（2）設雙曲線方程為，由橢圓，求得兩焦點為（﹣2，0），（2，0），∴對于雙曲線C：c=2，…又為雙曲線C的一條漸近線，∴，解得a2=1，b2=3，…

故雙曲線C的方程．…（3）解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零．設l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），則Q（﹣，0），∵，則（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1），…∴，從而，∵A（x1，y1）在雙曲線C上，∴（）2﹣﹣1=0，…16+32λ1+16﹣k2﹣k2λ12=0，同理有．…若16﹣k2=0，則直線l過頂點，不合題意，∴16﹣k2≠0，∴λ1，λ2是二次方程的兩根．∴，∴k2=4，…

此時△＞0，∴k=±2．∴所求Q的坐標為（±2，0）．…解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零設l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），則．∵，∴．∴﹣4=λ1y1=λ2y2，∴，，…

又，∴，即3（y1+y2）=2y1y2，…將y=kx+4代入，得（3﹣k2）y2﹣24y+48﹣3k2=0，…∵3﹣k2≠0，否則l與漸近線平行．∴．…∴，∴k=±2，∴Q（±2，0）．…20.（本小題滿分12分）

在等差數(shù)列和正項等比數(shù)列中，，的前8項和

(I)求和；

(II)令，求參考答案：21.本小題滿分8分某商場為經(jīng)營一批每件進價是10元的小商品，對該商品進行為期5天的市場試銷．下表是市場試銷中獲得的數(shù)據(jù)．銷售單價/元6550453515日銷售量/件156075105165根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）試銷期間，這個商場試銷該商品的平均日銷售利潤是多少？（2）試建立一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能較好地反映日銷售量（件）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關系，并寫出這個函數(shù)模型的解析式；（3）如果在今后的銷售中，該商品的日銷售量與銷售單價仍然滿足（2）中的函數(shù)關系，試確定該商品的銷售單價，使得商場銷售該商品能獲得最大日銷售利潤，并求出這個最大的日銷售利潤．(提示：必要時可利用右邊給出的坐標紙進行數(shù)據(jù)分析)．參考答案：（3）設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，由（2）知

……………7分即當該商品的單價為每件40元時，商場銷售該商品的日銷售利潤最大，為2700元．

………………822.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長軸是短軸的兩倍，點P（，）在橢圓上，不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為k1、k、k2，且k1、k、k2恰好構成等比數(shù)列，記△AOB的面積為S．（1）求橢圓C的方程；（2）試判斷|OA|2+|OB|2是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？（3）求△AOB面積S的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長軸是短軸的兩倍，點P（，）在橢圓上，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的方程．（2）設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，根據(jù)k1、k、k2恰好構成等比數(shù)列，求出k，進而表示出|OA|2+|OB|2，即可得出結論；（3）表示出△ABO的面積，利用基本不等式，即可求S的最大值．【解答】解：（1）由題意可知a=2b且，∴a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：．（2）設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直線l的方程代入橢圓方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x