幾何圖形中的最值問題（含隱圓）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

模塊二常見模型專練

專題32幾何圖形中的最值問題（含隱圓）

最值問題一阿氏圓問題

a凰題招究

甌（2020?廣西?中考真題）如圖，在RjABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的/上任意一點(diǎn)，連接BP,CP,則^?8P+C尸的最小值是.

【答案】√17.

【分析】在AB上取一點(diǎn)7,使得AT=1,連接PT,PA,CT.證明&E4TS一出尸，推出與

PB

AkP111

=F=7，推出Pr=推出不P8+CP=C尸+PT,根據(jù)PC+尸7≥7T,求出CT即可解

AB222

決問題.

【詳解】解：在AB上取?點(diǎn)T,使得AT=1,連接尸7,PA9CT.

V∕?=2.AT=IfAB=4,

.?.∕?2=4=AC,

.PA_AB

,,^ΛT~~PA1

9：ZPAT=ZPAB,

：._PATSBAP,

.PTAP1

**7F^AB-2,

：.PT=PB1

：qPB+CP=CP+PT,

".,PC+P1≥TC,

在RtACT中,

VZGAr=QOo,AT=?,AC=4,

CT=sjAT2+AC2-√17，

:.gpB+PC≥后,

.?.gp8+PC的最小值為而

故答案為Ji?.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三

角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

甌(2019?山東?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與X軸，

y軸分別交于A,C兩點(diǎn)，拋物線y=χ2+bχ+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，與X軸的另一交點(diǎn)為B

(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M為X軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),

四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的。B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),

PC+gPA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由.

【答案】(I)y=χ2-6x+5,B(5,0)；(2)當(dāng)M(3,-4)時(shí)，四邊形AMBC面積

最大，最大面積等于18；(3)PC+^PA的最小值為同，理由詳見解析.

【分析】(1)由直線y=-5x+5求點(diǎn)A、C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線解析式，進(jìn)而求

得點(diǎn)B坐標(biāo).

(2)從X軸把四邊形AMBC分成AABC與AABM；由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求AABC面積；設(shè)

點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)M作X軸的垂線段MH,則能用m表示MH的長(zhǎng)，進(jìn)而求^ABM

的面積，得到AABM面積與m的二次函數(shù)關(guān)系式，且對(duì)應(yīng)的a值小于0,配方即求得m為

何值時(shí)取得最大值，進(jìn)而求點(diǎn)M坐標(biāo)和四邊形AMBC的面積最大值.

(3)作點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,0),可得BD=I,進(jìn)而有空=空=：，再加上公共角NPBD=

BrAB2

PD1

ZABP,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例旦夾角相等可證^PBDSZXABP,得3等于相似比;，進(jìn)而

PA2

得PD=TAP,所以當(dāng)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+gPA=PC+PD=CD最小.用兩點(diǎn)間

距離公式即求得CD的長(zhǎng).

【詳解】解:(1)直線y=-5x+5,X=O時(shí),y=5

ΛC(0,5)

y=-5x+5=0時(shí)，解得：X=I

.β.A(1,0)

???拋物線y=χ2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)

∫l+?÷c*=0b=-6

解得:

∣0+0÷c=5c=5

，拋物線解析式為y=χ2-6x+5

當(dāng)y=χ2-6x+5=0時(shí)，解得：x∣=l,X2=5

ΛB(5,0)

(2)如圖1,過點(diǎn)M作MHLX軸于點(diǎn)H

圖1

VA(1,0),B(5,0),C(0,5)

??AB=5-1=4,OC=5

.,.S?ABC=?AB?OC=?×4×5=10

；點(diǎn)M為X軸下方拋物線上的點(diǎn)

，設(shè)M(m,m2-6m+5)(1<m<5)

ΛMH=Im2-6m÷5∣=-m2+6m-5

.*.S?ABM=?-AB?MH=^?×4(-m2+6m-5)=-2m2+12m-IO=-2(m-3)2+8

?S四邊形AMBC=SAABC+S^ABM=10+[-2(m-3)2+8]=-2(m-3)2+18

.當(dāng)m=3,即M(3,-4)時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18

(3)如圖2,在X軸上取點(diǎn)D(4,0),連接PD、CD

.?.BD=5-4=1

VAB=4,BP=2

.BDBP1

**BP^ΛB^^2

YNPBD=NABP

Λ?PBD^?ABP

.PDPD

^~AP~~BP~2

：.PD=?AP

2

.?PC+TPA=PC+PD

二當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+/PA=PC+PD=CD最小

YCD=-JOC2+OD2=√52+42=√41

ΛPC+∣PA的最小值為百

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及相似

三角形的判斷與性質(zhì).

厚命題密限

模型建立：已知平面上兩點(diǎn)4B,則所有符合FA="（A>0且〃≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這

PB

個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

模型解讀：

如圖1所示，。。的半徑為J點(diǎn)4B都在。0外，P為。0上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k-OB.連

接PhPB,則當(dāng)“PA+k?PB'的值最小時(shí)，戶點(diǎn)的位置如何確定？

1：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心O（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OB-,

2：計(jì)算連接線段。戶、如長(zhǎng)度；

3：計(jì)算兩線段長(zhǎng)度的比值黑=k；

4：在必上截取一點(diǎn)C,使得*=霏構(gòu)建母子型相似：

5：連接力C,與圓0交點(diǎn)為戶，即4C線段長(zhǎng)為2I+Λ*用的最小值.

本題的關(guān)鍵在于如何確定"k?PB'的大小，（如圖2）在線段宓上截取OC使OC=k?r,

則可說明△加0與叢PCo相似，即k-PB=PC.

.??本題求“PA+k?PB'的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC的最小值，即4P、C三點(diǎn)共線時(shí)最

小（如圖3）,時(shí)4C線段長(zhǎng)即所求最小值.

■由欣硼繚

【變式1］（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,OB的半

徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-TPe的最大值為.

【答案】5

【詳解】分析：由PD-∣PC=PD-PG<DG,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-?PC的值最

大，最大值為DG=5.

詳解：在BC上取點(diǎn)G,使得BG=I,如圖，

D

..PB2?BC4?

BG1PB2

.PBBC

Λ,~BG~~PBJ

VZPBG=ZPBC,

Λ?PBG^ΔCBP,

.PGBG\

??-------=一,

PCPB2

PG=TPC,

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-TPC的值最大，最大值為DG=斤手=5.

故答案為5

點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最

短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題.

【變式2］（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，NACB=90。，BC=?2,AC=9,

以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D連接A。、BD、CD,則2AO+3B。的最小值

是.

【答案】12√W

2

【分析】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4,先證aDCEs∕?ACD,將§4。轉(zhuǎn)化為

2

DE,從而求得］4D+8D的最小距離，進(jìn)而得出2AD+3BD的最小值.

【詳解】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4

：AC=9,CD=6,CE=4

.CDAC

VZECD=ZACD

Λ?DCE∞?ACD

.EDDC6

,?茄一就一5

.,.ED=-AD

3

在AEDB中，ED+DB>EB

ΛED+DB最小為EB,即ED+DB=EB

：.-AD+DB=EB

3

22

在RSECB中，EB=√i2+4=4√10

：.-AD+DB=AyflO

3

Λ2AD+3DB=12√iθ

故答案為：12Ji6.

【點(diǎn)睛】本題考查求最值問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出ADCEs∕?ACD.

【變式3］（2022秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，NACB=60。，半徑為2的圓。內(nèi)切

于"ACS.P為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)戶作FM、PN分別垂直于NACB的兩邊，垂足為M、

N,則尸M+2PN的取值范圍為.

A

cNB

A【答案】6-2島IPM+2PN6+2√3

【分析】根據(jù)題意，本題屬于動(dòng)點(diǎn)最值問題-“阿氏圓”模型，首先作NP于H,作

MEJLBC于尸，如圖所示，通過代換，揩PM+2PN轉(zhuǎn)化為PN+LPM=PN+HP=NH.

2

得到當(dāng)MP與C）。相切時(shí)，MF取得最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合解

直角三角形即可得到相應(yīng)最值，進(jìn)而得到取值范圍.

【詳解】解：作MW_LN尸于“，作MF_LBC于尸，如圖所示：

PM±AC,PNLCB,

NPMC=NPNC=90。,

:.ZMPN=360o-ZPMC-ZPNC-ZC=120°,

.?.NMPH=180o-ZMPN=60°,

HP=PM-cosZMPH=PMcos60o=-PM,

2

.?.PN+-PM=PN+HP=NH,

2

MF=NH,

.?.當(dāng)MP與，。相切時(shí)，M尸取得最大和最小,

①連接OP，OG,OC,如圖1所示：

圖1

可得：四邊形。戶/WG是正方形，

MG=OP=2,

在Rt-COG中，CG=OGtan60o=2√3,

.?.CM=CG+GM=2+2√3.

在Rtz?CW中，MF=CM?sin60o=3+√3.

.?.HN=MF=3+日即PM+2PN=2（gPM+PN）=2HN=6+26;

②連接。尸，OG,OC,如圖2所示：

圖2

可得：四邊形。PMG是正方形，

.-.MG=OP=I,

由上同理可知：在RtCOG中，CG=OG?tan60。=2J5，

:.CM=CG-GM=2?j3-2,

在Rtz?CW中，MF=CM?sin60o=3-√3,

-.HN=MF=3-y∕3,BRPM+2PN=2?^PM+=2HN=6-2√3,

.?.6-2√5?JPM+2PN6+2y∕3.

故答案為：6-2√3g∣pM+2P7V6+2√3.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值模型-“阿氏圓”，難度較大，掌握解決動(dòng)點(diǎn)最值問題的方法，熟

記相關(guān)幾何知識(shí)，尤其是圓的相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4](2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖1,在RTZiABC中，NACB=90。，CB=A,

C4=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,求：

φAP+-BP,

2

②2AP+BP,

③&AP+BP,

④AP+3BP的最小值.

【答案】①而；②2屈;③當(dāng)?;(4)2√37.

【分析】①在CB上取點(diǎn)C，使CD=1,連接CRDP.AD.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證

DCP~PCB,即可得出PO=gBP,從而推出AP+gBP=AP+PD,說明當(dāng)A、l?D≡

點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD最小，最小值即為Ao長(zhǎng).最后在RfAa)中，利用勾股定理求出AZ)

的長(zhǎng)即可；

②由2AP+8P=2(AP+g3P),即可求出結(jié)果；

2

③在C4上取點(diǎn)E,使CE=1,連接CAEP,8E.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證oECP~_PC4,

即可得出EP=JAP,從而推出:AP+BP=EP+BP,說明當(dāng)8、P、E：.點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最

小，最小值即為8E長(zhǎng).最后在心43CE中，利用勾股定理求出8E的長(zhǎng)即可；

④由AP+3BP=3(；AP+BP),即可求出結(jié)果.

【詳解】解：①如圖，在C8上取點(diǎn)。，使CD=I,連接CP、DP.AD.

VCZ)=1,CP=2,CB=4,

.CDcPl

又YNDCP=ZPCB,

：?，DCP~-PCB,

即尸。=,8尸，

BP22

AP+-BP=AP+PD,

2

當(dāng)A、尸、。三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PQ最小，最小值即為AZ)長(zhǎng).

；在Rr/8中，AD^y∣AC2+CD1≈√62+l2=√37-

，4尸+(8「的最小值為歷；

②,/2AP+BP=2(AP+-BP),

2

；?2AP+3P的最小值為2x67=2歷：

2

③如圖，在CA上取點(diǎn)￡使CE=連接C尸、EP、BE.

YCE=LCP=2,C4=6,

3

CECP?

~CP~~CA3

又/ECP=/PCA,

：.JECP?PCA,

.EP?I

??一=一，BππPEP=-AP,

AP33

-AP+BP=EP+BP

3f

???當(dāng)8、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最小,最小值即為BE長(zhǎng).

：在RfZ?8CE中，BE=^BC2+CE'=^42+(∣)2=??.

.?.^AP+BP的最小值為空；

?VAP+3BP=3(^AP+BP),

.?.AP+3BP的最小值為3x2亙=2歷.

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線,

并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

最值問題二胡不歸問題

題工(2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題)如圖，在ZkABC中，AB=AC=4,NCAB=

30o,ADA.BC,垂足為D,P為線段AO上的一動(dòng)點(diǎn)，連接P8、PC.貝IJaI+2PB的最小值

為.

【答案】4√2

【分析】在NBAC的外部作NC4E=15。，作B匚LAE于巴交4。于P,此時(shí)∕?+2PB=2

∣PA+PBj=∣{PF+Pβ)=2BF,通過解直角三角形AB尸，進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖,

在NB4C的外部作NcAE=I5。，作BfLAE于R交AO于P,

此時(shí)Λ4+2P3最小，

ZAFB=90o

?uAB=AC,AD±BC,

ZCAD=ZBAD=-ZBAC='x30°=15°,

22

.*.ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,

PF=-PA

21

???%+2尸8=2（；PA+尸8）=；（尸尸+P3）=2BF,

2

o

?RtΔΛBFψ,ΛB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=451

：.βF=AB?sin45o=4×立=2a,

2

???(B4+2PB)戰(zhàn)乂=2BF=,

故答案為：4\/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

甌(2022?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-gx-4分別

與X,y軸交于點(diǎn)A,B,拋物線y=?^3+6χ+c恰好經(jīng)過這兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將aACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AEC/，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上;

3

②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴y=[χ2-<χ-4

1o2

3

(2)①點(diǎn)E在拋物線上；②尸(0,--)

【分析】(1)先求出4、8坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=Ao=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)

代入(1)的函數(shù)解析式中，從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上；

3

②過點(diǎn)E作E∕ΛL48,交y軸于P,垂足為“，sinZAS(9=—=—=-,5-

ABBP5

得：BP+EP=HP+PE,可知〃P+PE的最小值為E”的長(zhǎng)，從而解決問題.

【詳解】(1)解：當(dāng)X=O時(shí)，y=-49

4

當(dāng))=O時(shí)，—x-4=0,

3

Λχ=-3,

ΛA(-3,O),B(0,-4),

把A、B代入拋物線y=-^f+?r+c,

18

5

,—×(-3)72-3?+C=0

得118,

C=-4

μ=-i

：A2,

c=-4

??.拋物線解析式為丫=。2-1-4.

1o2

(2)解：①(-3,0),C(0,6),

.,.AO=3,CO=6,

Etl旋轉(zhuǎn)知：EF=A0=3,CF=CO=6,NFCO=90°

.?.E到X軸的距離為6-3=3,

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,3),

當(dāng)X=3時(shí)，y=-^-×62-^×6-4=3,

???點(diǎn)E在拋物線上;

.?.A8=5,

A0HP_3

SinZABO=—

ABBP-5

3

??.HP=-BP,

5

：.-BP+EP=HP+PE,

5

HP+PE的最小值為EH的長(zhǎng),

作EGLy軸于G,

?'ZGEP=ZABO,

：.IanZGEP=IanZABOf

.PG_A0

ββEG^BO,

.PG3

??---=一,

64

3

：.P（0,一一）.

2

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角

函數(shù)，兩點(diǎn)之間、線段最短等知識(shí)，利用三角函數(shù)將∣8尸轉(zhuǎn)化為7/P的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵?

厚命題內(nèi)限

“PA+kPB”型的最值問題，當(dāng)k=l時(shí)通常為軸對(duì)稱之最短路徑問題，而當(dāng)k>0時(shí)，若以常

規(guī)的軸對(duì)稱的方式解決，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.

1.當(dāng)點(diǎn)P在直線上

如圖,直線BM,BN交于點(diǎn)B,P為BM上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A在射線BMjBN同根∣],已知SinZMBN

=k.

過點(diǎn)A作AClBN于點(diǎn)C,交BM于點(diǎn)P,此時(shí)PA+k?PB取最小值，最小值即為AC的長(zhǎng).

證明如圖，在BM上任取一點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,作QDLBN于點(diǎn)D.

由sin/MBN=k,可得QD=k?QB.

所以QA+k?QB=QA+QDZAC,即得證.

2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上

如圖，G）O的半徑為r,點(diǎn)A,B都在。O外，P為。O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k?OB.

在OB上取一點(diǎn)C,使得OC=k?r,連結(jié)AC交。O于點(diǎn)P,此時(shí)PA+k?PB取最小值，最

小值即為AC的長(zhǎng).

證明如圖，在。0上任取一點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,BQ1連結(jié)CQ,OQ.

則OC=k?OQ,OQ=k-OB.

FnZCOQ=ZQOB1所以△COQs^QOB,

所以QC=k?QB.

所以QA+k?QB=QA+QC≥AC,即得證.

,零就硼演

【變式D（2022.湖北武漢?校聯(lián)考一模）如圖，在ZXACE中，CA=CE,ZCAE=30°,半

徑為5的。經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直徑A3在線段AE上，設(shè)點(diǎn)Z）是線段AC

上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則oo+gc。的最小值為.

【答案】空

2

【分析】過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作垂直于該平行線于H,可將gc。轉(zhuǎn)化

為DH,止匕時(shí)OD+gcD就等于當(dāng)。?！惫簿€時(shí)，即為所要求的最小值.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作?！贝怪庇谠撈叫芯€于，,

.CHHAB,ZC4E=30o,OC=OA,

.?."C4=NOCA=30。，

.?.sin"CO=世=LZHCO=60°,

CD2

.-.-CD=HD,

2

.?OD+-CD=OD+DH,

2

?.?當(dāng)。，D,H三點(diǎn)共線,即在圖中H在AT位置，。在。位置的時(shí)候有8+DH最小,

???當(dāng)O,D,H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，

此時(shí)。4'=OCXSinNHCO=0C×sin60o=5×-=—,

22

.?.oo+[c。的最小值為攣，

22

故答案為迫.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將ToD進(jìn)行轉(zhuǎn)換?

【變式2】（2022秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為邊AO

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CC上，且線段EF=4,點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG,則

8G+/CG的最小值為

【答案】5

【分析】因?yàn)镺G=TE尸=2,所以G在以。為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，取。/=1,可證

AGDISACDG,從而得出G∕=}CG,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出口是其最小值

【詳解】解：如圖，

在RtADE尸中,G是Er的中點(diǎn),

/.DG=LEF=2,

2

點(diǎn)G在以。為圓心，2為半徑的圓I：運(yùn)動(dòng),

在CO上截取。/=1,連接G/,

.DIDG_I

"~DG~^CD~^,

：.ZGDl=乙CDG,

ΛΔGD∕^ΔCDG,

.IGDI1

..---=----=—,

CGDG2

：.IG^-CG,

2

/.BG+gCG=BG+IG>BI,

當(dāng)B、G、/共線時(shí)，BG+,CG最小=8/,

?Rt?BClΦ,CI=3,BC=4,

8/=5,

故答案是：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的

關(guān)犍.

【變式3］（2021春.全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)

P,且BP=√2.連接CP,將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ.連接CQ、DQ,

【答案】5

【分析】連接AC、AQ,先證明△8CPS∕?ACQ得強(qiáng)=變即AQ=2,在人。上取AE=】，

BP2

證明△QAESAiDAQ得EQ=?QD,i?∣DQ+CQ=EQ+CQ>CE,求出CE即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、AQ,

Y四邊形ABC。是正方形，PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

.?./ACB=NPCQ=45。，

.*.ZBCP=ZACQ,cosZΛCB=-=—,cosZPCβ=—=—,

AC2QC2

：.ZACB=ZPCO,

?XBCPSXACQ,

.AQ√2

?(---=---

BP2

YBP=6,

AQ=2,

.?.Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，

在4。上取AE=1,

AE1AQ1

?.而=5,-XB=2'NQ33,

Λ?QAE^?DΛ12,

???就EQ=萬1即EQ=5?QO,

?DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

連接CE,

CE=4DE，+cb1=5,

.?《DQ+CQ的最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，

解題的關(guān)鍵在于能夠連接AC、AQ,證明兩對(duì)相似三角形求解.

【變式4](2021秋?四川達(dá)州?九年級(jí)達(dá)州市第一中學(xué)校?？计谥?如圖，矩形OABC的頂

點(diǎn)A、C分別在X、＞軸的正半軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(26,4),一次函數(shù)y=-[x+。的圖

象與邊OC、AB.X軸分別交于點(diǎn)￡＞、E、F,ZDFO=30,并且滿足QD=BE,點(diǎn)M是

線段Z)F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求b的值；

(2)連接QM,若AoZW的面積與四邊形。AEM的面積之比為1:3,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)求OM尸的最小值.

2

【答案】(1)。=3；(2)M(也」)；(3)二

332

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)，用b表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)首先求出四邊形OAE。的面積，再根據(jù)條件求出AODW的面枳，即可解決問題；

(3)過點(diǎn)M作MNJ_了軸交于點(diǎn)N,則。M+,MF=0M+MN,即可轉(zhuǎn)化為求。M+MN

2

的最小值，作點(diǎn)。關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)O',過點(diǎn)O'作X軸的垂線交X軸于點(diǎn)N',交一次

函數(shù)于點(diǎn)〃，即。M+MN的最小值為。N',算出長(zhǎng)度即可.

【詳解】(1)在丁=-#》+/,中，令χ=0,則y=6,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,b),

OD=BE,B(2√3,4),

E(2Λ∕3,4-/?),

把E(2G,4—〃)代入y=-—x+bΦW:4-/?=-—×2√3+?,

33

解得：b=3；

(2)由(1)得詼函數(shù)為y=-￥χ+3,D(0,3),E(2√3,l),

.?.OD=3,AE=I,OA=2√3.

'''S四邊形(MoE=5(0。+AE)?OA=—×(3+1)×2Λ∕3=4石.

AODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3,

?DQ/W的面枳與四邊形OAoE的面枳之比為1:4,

??SODM=7S四邊形OADE=上，

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為“，則1x3α=6,

2

解得：a=空,

3

把X=代入y=-且x+3中得：y=??,

333

(3)

如圖所示，過點(diǎn)Λ/作MNl.x軸交于點(diǎn)N,

ZDFO=30，

MN=LMF,

2

OM+=MF=OM+MN,

2

作點(diǎn)。關(guān)于一次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)O',且OO'與直線DF交于。點(diǎn)，過點(diǎn)O'作X軸的垂線交X軸

于點(diǎn)N',

.-.OM=O1M,

.?.OM+-MF=OM+MN=O'M+MN,

2

當(dāng)O'、M、N在同一直線時(shí)OM+MN最小，

即OM+=OM+MN=O,M+MN的最小值為ON',

2

ZDFO=30。，

.?.ZODF=60o,ZDOQ=30o,No（OM=90。一30°=60°,

在心V8Q中，OQ=oc.sin60o=3x*=乎，

.?.OO'=2OQ=3√3,

在mON'O'中.0'N'=00'sin600=3j5x且=?,

22

19

OM+-MF的最小值為三.

22

【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題，包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積,

解直角三角形以及胡不歸問題，屬于中考?jí)狠S題.

最值問題三隱圓問題

取氟題招見）

例H（2022?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,8C=4.點(diǎn)

P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn).ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

C1?____O

A.一B.—C.>/^3—D.>/?3—2

252

【答案】D

【分析】證明NAMO=90"，得出點(diǎn)M在。點(diǎn)為圓心，以Ao為半徑的圓匕從而計(jì)算出答

案.

【詳解】設(shè)AO的中點(diǎn)為O,以。點(diǎn)為圓心，40為半徑畫圓

：四邊形ABCD為矩形

/?/BAP+NM4O=90°

ZADM=ZBAP

二NMAQ+ZADM=90°

；?ZAMD=90"

點(diǎn)M在。點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上

連接。8交圓。與點(diǎn)N

：點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)

，當(dāng)直線8M過圓心。時(shí)，8仞最短

,/BO2=AB2+AO2,4。=；AD=2

/.BO2=9+4=13

BO=而

,?,BN=BO-Ao=屈-2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知

識(shí).

甌（2021.湖北十堰.中考真題）如圖，四邊形ABCO是正方形，A48E是等邊三角形，M

為對(duì)角線8。（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AA7、

CM.

（1）求證：ΔAΛ√β≡ΔEVβ;

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，4W+CM的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AΛ7+8Λ√+αW的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)4W+8W+CM的最小值為6+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）①當(dāng)M點(diǎn)落在8。的中點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)M點(diǎn)位于8。與CE的交點(diǎn)

處時(shí)，4W+8M+CM的值最小，理由見解析；（3）√2

【分析】（1）由題意得M8=N8,ZABN=I50,所以NEBN=45。,容易證出ΔAΛ∕BnΔEN8；

（2）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小;

②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于3。與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AV+BM+CM的值最小,

即等于EC的長(zhǎng)（如圖）；

（3）作輔助線，過E點(diǎn)作EF/3C交CB的延長(zhǎng)線于F,由題意求出NEBF=30。，設(shè)正方

形的邊長(zhǎng)為X,在RtΔEFθ3根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為友.

【詳解】解：（1）證明：MBE是等邊三角形，

.?,BA=BE,ZABE=60°.

,.ZMBTV=60°,

.?.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

即NMBA=NNBE.

又YMB=NB,

/^AMBAENB（SAS）.

（2）解：①當(dāng)M點(diǎn)落在8。的中點(diǎn)時(shí)，A、M.C三點(diǎn)共線，A"+CM的值最小.②如

圖，連接CE,當(dāng)加點(diǎn)位于8。與CE的交點(diǎn)處時(shí)，

AM+BA/+CM的值最小，

理由如下：連接MN,由（1）知，ΔAMB^SENB,

AM=EN,

?.?∕MBN=600,MB=NB,

.?.ΔBM∕V是等邊三角形?

??BM=MN.

AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短''可知，若E、N、M.C在同?條直線上時(shí)，EN+MN+CM取

得最小值，最小值為8.

在ΔABM和ACW中，

AB=CB

,NABM=NCBM,

BM=BM

:.MBM=NCBM(SAS),

,NBAM=NBCM,

??.ABCM=ABEN,

EB=CB,

???若連接石C,則ZBEC=ZBCE,

NBCM=NBCE,ZBEN=ZBEC,

「."、N可以同時(shí)在直線EC上.

???當(dāng)"點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+8M+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).

(3)解：過E點(diǎn)作b∕5C交CB的延長(zhǎng)線于尸，

.?.ZEBF=ZLABF-ZABE=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為X,則BF=3X,EF=;.

22

在MEFC'↑',

EF2+FC2=EC2,

---(?)2+^?^^^x+X)'=(百+,

解得Xl=&,X2=-√2(舍去負(fù)值).

.1正方形的邊長(zhǎng)為正.

D

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)、

勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線，靈活運(yùn)用.

命題矗限

【模型三：直角所對(duì)的是直徑】

B

牢記口訣：

定點(diǎn)定長(zhǎng)走圓周，定線定角跑雙弧。

直角必有外接圓，對(duì)角互補(bǔ)也共圓。

【變式1］（2022秋.江蘇泰州?八年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期中）AABC中，AB=

AC=5,BC=6,力是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于。E的對(duì)稱點(diǎn)*在AABC內(nèi)

（不含AABC的邊上），則8E長(zhǎng)的范圍為.

【分析】首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析出點(diǎn)8'的運(yùn)動(dòng)軌跡在以。為圓心，BO為半徑的圓弧上，然

后分點(diǎn)8'恰好落在AB邊上和點(diǎn)8'恰好落在AC邊上兩種情況討論，分別利用勾股定理以及

等腰」:角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行求解和證明即可得出兩種臨界情況下BE的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)

論.

［詳解】解：；點(diǎn)8與B'關(guān)于DE對(duì)稱，

：.BD=BrD，則點(diǎn)8'的運(yùn)動(dòng)軌跡在以。為圓心，8。為半徑的圓弧上，

①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)8'恰好落在AB邊上時(shí)，此時(shí)，連接A0和。E,

由題意及“三線合一''知，ADJ.BD,BD=^BC=3,

在RfA8D中，AD=^AB2-BD2=√52-32=4>

此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，DEJ.AB,

由等面積法，LAB?DE=LAD?BD,

22

?r,?12

..DEc=W,

在Rt8。E中，BE=y∣BD2-DE2

A

②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在AC邊上時(shí)，連接ADE、BB'和。B，,

由題意，BD=DB'=DC,

：.ZDBB=ADB,B，ZDffC=ZDCB1,

，NDBBl+ADCB'=NDB'B+NDBrC,

即：Z.BCB+ZCBB'=ZBB1C,

：.ZBB1C=90°,

即：BB'VAC,

?；點(diǎn)B與8'關(guān)于。E對(duì)稱，

：.DELBB'`BE=SE,

，DE//AC,

：.NBED=ZBAC,NDEF=ZAB1E,

由對(duì)稱的性質(zhì)，ZBED=ZDEB，

：.ZABrE=NBAC,

AE=BrE,

；?AE=BE=BE，

即：此時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

此時(shí)，BE=-AB=-,

22

綜上，BE氏的范圍為19<BE<5;,

95

故答案為：-<BE<-.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能夠根據(jù)題意

準(zhǔn)確分析出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切芜M(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.

【變式2](2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A(6,O),B(0,6),C為

坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2√2,M為線段AC的中點(diǎn)，連接QM,當(dāng)OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M

【答案】(4,4)

【分析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)C在半徑為2&的。8上.在X軸上取OQ=O4=6,連接CC,

易證明OM是AACO的中位線，即得出OM=TC。，即當(dāng)OM最大時(shí)，Co最大，由。，B,

C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在08的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，根據(jù)勾股定理求出8。的長(zhǎng)，從而

可求出C。的長(zhǎng)，最后即可求出OM的最大值.

【詳解】解：如圖，；點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2√2,

.?.C在。8上，且半徑為2夜，

.?.OM是"C。的中位線，

：.OM^CD,

.?.即當(dāng)OM最大時(shí)，CO最大，而O,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)C在。8的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM

最大，

VOB=OD=6,NBOQ=90°,

.*.BD=6也，

???CD=6√2+2√2=8√2,且C(2,8),

ΛOM=?CD=4√2.即OM的最大值為4夜，

是AC的中點(diǎn)，則M(4,4),

故答案為：(4,4).

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí).確定。何為最大值

時(shí)點(diǎn)C的位置是解題關(guān)鍵，也是難點(diǎn).

【變式3］（2022秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8C=8,點(diǎn)E、F

分別是邊A8、8C上的動(dòng)點(diǎn)，且防=4,點(diǎn)G是E尸的中點(diǎn)，AG,CG,則四邊形AGCD

面積的最小值為_____.

An--------------------------------∣D

【答案】38

【分析】首先連接AC,過8作8”_LAC于”，當(dāng)G在SH上時(shí)，三角形ACG面積取最小值，

此時(shí)四邊形AGCn面積取最小值，再連接BG,知BG=2,得到G點(diǎn)軌跡圓，該軌跡與

交點(diǎn)即為所求最小值時(shí)的G點(diǎn)，利用面積法求出8“、G”的長(zhǎng)，代入三角形面積公式求解

即可.

【詳解】解：連接AC,過B作8“，AC于/7,

當(dāng)G在8〃上時(shí)，AACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGC。面積取最小值，

四邊形AGCZ）面積=三角形ACG面積+三角形AC。面積，

即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24.

連接BG,由G是EF中點(diǎn)，EF=4知，

BG=2,

故G在以8為圓心，BG為半彳仝的圓弧匕圓弧交8”于G',此時(shí)四邊形AGC。面積取最

小值，如圖所示，

AD

B/FC

由勾股定理得：AC=IO,

".?^ΛCBH=^ABBC,

Λβ∕∕=4.8,

G'H=2.8,

即四邊形AGCD面積的最小值=gxl0x2.8+24=38.

故答案為：38.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三

角形斜邊的宜線等于斜邊的一半確定出G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

【變式4](2022秋?山東蒲澤?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖①,在等腰RtABC和等腰RBDE

中，NBAC=NBDE=90°,AB=AC,BD=DE,E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接

AF,DF,AD.

⑴若Afi=4,求A。的長(zhǎng)度；

(2)若將DE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請(qǐng)證明A尸=。尸，AFA.DF；

(3)如圖③，在43DE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)的過程中，再將AACr繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到ACF',

連接89，若A8=4,請(qǐng)直接寫出BF'的最大值.

【答案】⑴26

(2)見解析

(3)2√3+√2+2

【分析】(1)在等腰直角三角形ABC中求出BE的長(zhǎng)，在等腰直角三角形BZ)E中求出3。，

再利用勾股定理求出AO即可；

(2)延長(zhǎng)AF至G,使EG=AF,連接EG,DG,AO，先證明AAC尸絲AGEF,從而證

得aABDm4.GED,進(jìn)一步命題得證；

(3)取BC的中點(diǎn)/,連接/7,A/,將可逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AO,連接O尸'，可證得F1AO

絲oE4∕,進(jìn)而得出點(diǎn)U在以0為圓心，0為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接8。并延長(zhǎng)交GOTG,

當(dāng)尸在點(diǎn)G時(shí)，Bp最大,然后解MO"/和田.08”，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：在等腰RtABC中，ZβΛC=90°,AB=4,AB=AC,

:.BC=4丘，ZABC=45°,

；點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),

.?.BE=2√2-

在等腰心BDE中,BDE=90°,BE=2叵,BD=DE,

BD=DE=2，

在.RtBDΛΦ,2ABD90?,AB=4,BD=I.

ΛAD=√AB2+BD2=√I6+4=2√5：

(2)證明：如圖1,

圖1

延長(zhǎng)AF至G,使/G=A/，連接石G,OG,AD,

.,點(diǎn)/是CE的中點(diǎn)，

.?EF=CF,

在aAC歹和ZkGM中，

CF=EF

</AFC=NEFG,

AF