2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型04 三角函數(shù)（新定義）（解析版）

專題04三角函數(shù)（新定義）

一、單選題

1.（2023秋.山東臨沂.高一統(tǒng)考期末）我們學過度量角有角度制與弧度制，最近，有學者提出用“面度制”度

量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常

數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角e的面度數(shù)為與2TT，

則角夕的正弦值為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)面度數(shù)的定義，可求得角6的弧度數(shù)，繼而求得答案.

【詳解】設角。所在的扇形的半徑為r,則_2兀，

r2~3

所以。=:，

所以sin。=Sin"=-sin巴=一且，

332

故選：D.

2.（2023秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）定義:正害IJSeCa=」一，余割CSCa=」一.已知S為正實數(shù)，且

cosaSina

機心?。+121?;^15對任意的實數(shù)犬卜*版'+],AWZ)均成立，則m的最小值為()

A.1B.4C.8D.9

【答案】D

【分析】利用己知條件先化簡，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化恒成立求最值問題

sin2x、y

【詳解】由已知可得相.csc2χ+tanθ=-j+—∑->15,

sinXCOS*

即τn≥15sin2XiSinj.

cos^x

JT

因為x≠匕τ+5(Z∈Z),所以COS2χ∈(0,l],

則15si??X-包三=15(1-COS2Λ-)-0^cθs∕02=17-∣—!^+16cos2xI

?cos^x)

≤17-2./—ζ—46COS2X=9，

VcosX

當且僅當cos’X=L時等號成立,故wι≥9,

故選：D.

3.（2022?全國?高一專題練習）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位

的角.在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短

線，如7密位寫成“0-07”，478密位寫成“4-78”.若（Sina-COSa）?=2SinaCOsα,則角α可取的值用密位制

表示塔送的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【答案】C

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系及二倍角公式求出ɑ,再根據(jù)所給算法一一計算各選項，即可判斷；

【詳解】解：因為（Sina-COSa）2=2SineCOSα,

即sin2a-2sinacosα+cos2a=2sinacosα,

I7Γ5乃

即4sinαcosα=l,所以sin2a,所以2a=—+2%肛Z∈Z,或2α=—+2kπ,k∈Z,

266

解得α=菅+kπ,k∈Z或α=y∣-+kπ,keZ

對于A：密位制12-50對應的角為黑符合題意；

600012

對于B：密位制2-50對應的角為贏x2/r=A，符合題意：

對于C：密位制13-50對應的角為13黑50x2乃=9π3,不符合題意；

600020

對于D：密位制32-50對應的角為旋χ2%=皆，符合題意；

故選：C

4.（2022秋.山東青島.高三山東省青島第五十八中學?？茧A段練習）計算器是如何計算SinX,cosx,π?',?nx,

五等函數(shù)值的呢？計算器使用的是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù),

??r5V7r2χ46

通過計算多項式的值求出原函數(shù)的值，如SinX=X-二+土-工+,COSX=I--+---+,其中

3!5!7!2!4!6!

∏!=1×2××∏,英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的SinX和CoSX

的值也就越精確.運用上述思想，可得到-Sin（與+1）的近似值為（）

A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56

【答案】C

【分析】將-Sin俘+1］化為COS1,根據(jù)新定義，取χ=l代入公式CoSX=I-《+看上+…中，直接計算

k2）2!4!6!

取近似值即可.

【詳解】由題意可得，-SinIy÷lI=COSl,

I6

故Cosl=I-—+

2!4!6!

=l-0,5÷0.(Ml-0.∞1+...≈0.54,

故選：C.

5.(2022春?廣東中山?高二統(tǒng)考期末)密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的上稱為1密位.用密

位作為角的度量單位來度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個數(shù)字來記角的密位，且在百位

數(shù)字與十位數(shù)字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00—15”，1個平角=30—00,1個周

角=60-00,已知函數(shù)"力=GX-2cosx,xw∣,y,當了⑶取到最大值時時應的X用密位制表示為()

A.15—00B.35—00C.40—00D.45—00

【答案】C

(分析］利用導數(shù)研究/(X)在給定區(qū)間上的最大值，結合題設密位制定義確定/(X)取到最大時X用密位制.

【詳解】由題設，F(xiàn)(X)=有+2SinX,在X嗚苧時［(x)>0,?xe(y,y］W∕,(x)<0,

所以/(X)在J嗚號)上遞增,在Xe管苧上遞減，即f(x)-=若)，

故/(x)取到最大值時對應的X用密位制表示為40—00.

故選：C

6.(2022春?云南昆明?高二?？计谀?在平面直角坐標系X。)，中，P(尤，>■)(X)￥0)是角α終邊上一點，P

與原點0之間距離為r,比值E叫做角?的正割，記作seca；比值C叫做角a的余割，記作CSCa；比值土叫

Xyy

做角?的余切，記作cota.四名同學計算同一個角β的不同三角函數(shù)值如下：甲：sec?=-；；乙：csc/?=|：

34

丙：tan/?=--；?。篶ot￡=§.

如果只有一名同學的結果是錯誤的，則錯誤的同學是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【分析】當甲錯誤時，乙一定正確，從而推導出丙、丁均錯誤，與題意不符，故甲一定正確；再由丙丁必

有一個錯誤，得到乙一定正確，由此利用三角函數(shù)的定義能求出結果.

【詳解】解：當甲：SeC尸=-;錯誤時，乙：csc￡=g正確,

γ,5

此時一=：，r=5k,y=3%,則同=4怎（Λ>0）,

>3

.?.丙：tan￡=-13不正確，?。篶otp=;4不正確，故錯誤的同學不是甲；

甲：sec/?=--,從而r=5Z,x=-4%,Iyl=3k,(Λ>0),

4

534

此時，乙：CSC/丙：tan)=-]；)：Cot夕=§必有兩個正確，一個錯誤,

：丙和丁應該同號，二乙正確，丙和丁中必有一個正確，一個錯誤，

.?.>,=3Λ>0,X=-4?<0,

故丙正確，丁錯誤,

練上錯誤的同學是丁.

故選：D.

{a,a≥b

7.(2023秋?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期末)汲a,b∈R,定義運算,則函數(shù)/(x)=SinX應CoSX的

[b,a<b7

最小值為()

A.-1B.--C.--D.0

22

【答案】B

IsinXsinx≥cosx

【分析】由定義先得出F(X)='一,然后分sinx≥cosx,COSX>sinx兩種情況分別求出

[cosxcos%>sinX

的最小值，從而得出答案.

【詳解】由題意可得/（尤）=Sinx?CoSX=一

[COSXcosX>sinX

當sinx≥Cosx時，即SinX-CoSX=血Sin（X-≥0

JrJrSTI

則2kπ<x---≤2kπ+兀、keZ,即2kπ+—≤x≤2kπH------,ksZ

444

止匕時當工=2&4+且,左∈Z時，SinX有最小值為一也

42

當COSX>Sinx時，即SinX-COSX=7∑sin（工一5）<0

TT54Qπ^

則2kπ?vπ<x---<2kπ+2凡左∈Z,即2kπ-\------<x<2kπ+——，Z∈Z

444

此時，cosX>-^-

2

所以?f(χ)的最小值為-日

故選：B

8.(2023秋?浙江杭州?高一浙江大學附屬中學?？计谀?正割(SeCant)及余割(CoSeCant)這兩個概念是由伊

朗數(shù)學家阿布爾?威發(fā)首先引入的.定義正割SeCa=—,余割CSCa=TL.已知機為正實數(shù)，且

COSaSma

機?csc2χ+ta∏2χ≥15對任意的實數(shù)X(X≠g,RwZ卜勻成立，則機的最小值為()

A.1B.4C.8D.9

【答案】D

【分析】由參變強分離法可得出相≥17-j-^+16cos2χ],利用基本不等式可求得機的取值范圍，即可得

VcosXJ

解.

【詳解】由已知可得w?csc2χ+taι?無="：+'訪」2]5,可得a≥15sin2χ-sin」,

SirrXcosXcos'x

因為XWkι+](k∈Z),則cos?x∈(0,1],

因為15sin?SinJ_15(l-COS2%)---------=17一(—ζ-+16cos2x?

cosX',COSXICOSX)

2

≤17-2Λ∕-Λ-?16COSX=9,

YCOSX

當且僅當cos2χ=1時，等號成立，故相≥9.

4

故選：D.

9.(2022春.江西景德鎮(zhèn).高二景德鎮(zhèn)一中校考期中)對集合｛《,四，…，/?｝和常數(shù)機，把

6=siIrsL")+sin?(%—〃)++si『4-M定義為集合也,應…,6｝相對于的“正弦方差”，則集合

k

相對于機的“正弦方差”為()

1626]

A.?B.?C.?D.與加有關的值

222

【答案】C

【分析】先確定集合相對于陽的“正弦方差''的表達式，再利用半角公式，兩角和與差的余弦公

I626J

式化簡可得結果.

【詳解】由題知，集合卜方武高相對于碰“正弦方差”為

π22π

Sin2-π/j+sin^-∏7j+?+sin--πι

6

σ2=------

3

I-COS(1一2〃。

2

=-3-1cos∣-+2ιn?÷cos(?-2∕w)÷COS^y-2W

63

=^cos(2τw)-^^sin(2w),cos(?-2m)=-cos(2∕zz),

把cos—+2m

【3

+^sin（2m）,代入上式整理得，σ2=∣

COSy-2wl=-^cos(2∕π)

13

故選：C.

10.（2022秋?山東?高三山東聊城一中校聯(lián)考階段練習）現(xiàn)有如下信息:

（1）黃金分割比（簡稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較短部分與較長部分的長度之比等于較

長部分與整體長度之比，其比值為避二?

2

（2）黃金三角形被譽為最美三角形，是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形.

（3）有一個內(nèi)角為36。的等腰三角形為黃金三角形,

由上述信息可求得Sim26=（）

B.墾L

A.

22

Qλ∕5~1

D.

44

【答案】D

【分析】如圖作三角形，先求出cos36=正上1,再求出S加126的值.

4

【詳解】如圖，等腰三角形ABC,ZABC=36,AB=BC=a,AC=b,取AC中點。,連接BD

H

b√5-l

Σ=^2^,

b

由題意可得GZABC2b?石TI√5-l,

2aa2224

所以COSNABC=1-2sh√=1-2(^≡1)2=,

244

所以cos36="+1,

4

所以sin126o=COS36='+1.

4

故選：D

【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是構造一個恰當?shù)娜切?，再解三角形求?

ab

11.(2021秋?四川巴中?高一校聯(lián)考期末)定義運算=ad-bc如果

CClf

105

/(z?)x=?./?,3>0,0<e<力π的圖像的一條對稱軸為X=π:,。滿足等式2cose=3tan。，則切取最

'72Sln(的+0)24

小值時，函數(shù)F(X)的最小正周期為()

π3兀

A.-B.乃C.—D.2兀

22

【答案】C

【分析】根據(jù)2cose=3tan°,利用切化弦和同角三角函數(shù)關系轉(zhuǎn)化成sin。的二次方程，可求出9的值，結合

對稱軸可求出。，最后利用周期公式進行求解即可.

105

【詳解】/(x)=c./=IoSm(5+e)-10,

2Sln(GX+e)

因為2cose=3tan/,所以2cos°=3把國，

COSe

BP2cos2φ=3sinφ,2(1-sin2°)=3sin°,

所以(Sine+2)(2sin*-l)=0,解得Sine=g或一2(舍去)，

而0＜夕＜[,所以夕=J,

26

TT

艮I」/(x)=10sin(＜υx+-)-10,

6

TT

而y=/(?)的圖象的一條對稱軸為X=￡,

4

所以IOSin[fyx?+?)=±10,

QPω×-+-=-+kπA∈Z,

462f

4

解得/=§+4攵，?∈Z,

42π_3π

=

所以正數(shù)0取最小值為彳，此時函數(shù)/(?)的最小正周期為VT.

35

故選：C.

12.（2020?全國?高三校聯(lián)考階段練習）對于集合｛x1,Λ?,…,毛｝,定義:

則集合

【答案】B

【解析】根據(jù)所給“余弦方差''定義公式，代入集合中的各兀素，即可得。的表達式，結合余弦降累公式及

1+cos21-------xnj

____Iio)l

2

4

1+cos2(θ+xoj+l+cos2(§+Λ^01+1+cos2(?θ—x0j+1+cos21?

故選：B.

【點睛】本題考查了新定義應用，降基公式及誘導公式化簡三角函數(shù)式的應用，屬于中檔題.

13.(2020秋?江西宜春?高三奉新縣第一中學校考階段練習)已知函數(shù)/(x)=2tan(s)(0>O)的圖象與直線

y=2的相鄰交點間的距離為萬，若定義max{a,6}=則函數(shù)∕z(x)=max{∕(x),f(x)cosx}在區(qū)間

Jl

【分析】由題知∕?(x)=2tan(ox)(0>O),利用了=時求出0,再根據(jù)題給定義，化簡求出MX)的解析式,

結合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，f(x)=2tan(s)(o>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點間的距離為%

所以/(x)=2tan(s)3>0)的周期為萬，則o=g=C=l,

Tπ

2?s?.nx,x≡?乃-,π

所以力(X)=max{2tanx,2sinx]=<

2tanX,XE

山正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.

故選：A.

【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關鍵是對新定義的理解.

14.(2022春?陜西延安?高一校考階段練習)對于函數(shù)/(x),在使/(x)≥M成立的所有常數(shù)M中，我們把M

的最大值稱為函數(shù)/(x)的“下確界若函數(shù)/(x)=3cos[2x-q)+l,Xe的“下確界”為,貝∣J"?的

取值范圍是()

C.

【答案】A

【分析】由下確界定義，/(x)=3cos0xj)+l,Λ∈-a司的最小值是由余弦函數(shù)性質(zhì)可得.

【詳解】由題意∕*)=3COS,高+1,x∈4，，"的最小值是一；,

又f(-X)=3cos(-M-*)+l=3CoS空+1=-,，

63332

τrIJrj

由3cos(2x——)+l≥——,得COS(2X——)≥——,

3232

C,2n一八4一…24fTt,—Tl,r

2kτc------≤2x-----≤2k兀H------,kτr-----≤x≤k幾H—,%∈Z,

33362

女=0時，—g≤χ≤g,

62

所以-工<m≤工.

62

故選：A.

【點睛】本題考查新定義，由新定義明確本題中的卜確界就是函數(shù)的最小值.可通過解不等式確定參數(shù)的

范圍.

15?(2020?全國?高一假期作業(yè))如果函數(shù)/(x)在區(qū)間。上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間。內(nèi)的任意演，巧，…，

?,都有…+"S)<f(芯+%：…+B,若y=sin*在區(qū)間(0,萬)上是凸函數(shù)，那么在MSC

中，SinA+sinB+sinC的最大值是()

A.-B.3C.—D.巫

222

【答案】D

【分析】利用"凸函數(shù)'’的定義得到恒成立的不等式，利用三角形的內(nèi)角和為萬，即可求出最大值.

【詳解】因為，=Sinx在區(qū)間[0,如上是“凸函數(shù)”，

rr∣sinA+sinB+sinC.A÷B÷C.π√3

m以r--------------?sin---------=sιn-=——

3332

得SinA+sinB+sinC,,

2

即：SinA+sin8+sinC的最大值是±8

2

故選：D.

【點睛】本題考查理解題中的新定義，并利用新定義求最值，還運用三角形的內(nèi)角和.

二、多選題

16.（2022?全國?高一專題練習）定義：μ=口。（：二4）+cos?（紇?0。）++COS乂Q4）為集合

n

A=｛%%雙｝相對常數(shù)為的“余弦方差”?若匹θ-?，則集合4=｛《,0卜目對。的“余弦方差”的取值可能

為（）

3134

A.—B.-C.-D.一

8245

【答案】ABC

rr

【分析】根據(jù)所給定義及三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)。。的取值范圍，求出線,的取值范圍,

再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

+cos2-

cos-^-^^?^(θ?)

【詳解】解：依題意

μ

2

2

2

COSyCOS?+sin?sin^j+cosΘQ

2

?cos4)+?sin%+cos26()

2

?cos2θo+?cosΘQsinG)+：sin2%+cos26。

2

?eos2^+^cos?sin?÷∣

2

1G

—cos2?+—sin24+l

2

=U1，cos24+立sin26j)[+,1

412020J22

=LSinj1θ..+?I+?,

4I06j2

因為q∈θ,?,所以24+^?e?,?,所以Sin(2(9<)+看)€-?J

「331

所以〃€；

[84j

故選：ABC

17.(2021秋?全國?高三校聯(lián)考期中)數(shù)學中一般用min{4,6}表示α,人中的較小值，max{α,可表示a,h

中的較大值；關于函數(shù)：/(x)=min∣sinx÷√3cosx,sinx-√3cosx|；

g(x)=max∣sinx+√3cosx,sinx-√5cosΛ∣,有如下四個命題，其中是真命題的是()

A.7(x)與g(x)的最小正周期均為萬

B./(x)與g(x)的圖象均關于直線X=手對稱

C./(x)的最大值是g(x)的最小值

D?“X)與g(x)的圖象關于原點中心對稱

【答案】BD

【分析】先求出/(x),g(x),結合函數(shù)3(x)與g(x)的圖象即可求解

【詳解】設6(x)=SinX+Gcosx=2Sin(X+?),t(x)=sinx-?βcosx=2Sin(X-?),

2sin(x+色),工+2kπ<x≤-+2?^r,

322

則f(x)=min{力(X)J(X)}=.

2sin(x-?),+2kπ<x<-?jt-2kπ,

322

2Sin(X—?),?÷2kπ<x<?+2kπ,

g(x)=max{/I(X)J(X)}=.

2sin(x+—),--+2kπ<x<-+2kπ,

322

函數(shù)“X)與g(x)的大致圖象如下所示:

對A,由圖知，/(x)與g(x)的最小正周期均為2萬；故A錯誤;

對B,由圖知，X=/為函數(shù)/(x)?ig(x)的對稱軸，故B正確.

對C,/圖=1，由圖知：函數(shù)/(x)的值域為[-2』，函數(shù)g(x)的值域為[-1,2],故C錯誤;

對D,由圖知，/(x)與g(x)的圖象關于原點中心對稱，故D正確；

故選：BD.

JT

18.(2022?江蘇?高一專題練習)已知角。和夕都是任意角，若滿足。+e=,+2^?,Z∈Z,則稱。與0"廣義

互余"?若Sins+，)=-：,則下列角夕中，可能與角a'‘廣義互余’’的有()

A.sin〃=誓B.cos(%+/?)=；C.tan/7=√15D.tan4=誓

【答案】AC

【分析】由題可得Sina=根據(jù)誘導公式化簡計算判斷每個選項即可.

【詳解】若α與《廣義互余，則α+夕=q+2^(ZeZ),即尸=[+2上左-a(&eZ).

又由sin(%+a)=-；,u?得Sina=；.

對于A,若α與夕廣義冗余，則SinB=Sin(,+2%.一α)=CoSa=±Jl-SiMa=±?^^,由5由夕=[^可得α

與夕可能廣義互余，故A正確；

對于B,若。與夕廣義互余，則COS4=COS(M+22乃一α)=Sina=',由COS(%+夕)=,可得cosβ=-—,

24/44

故B錯誤；

對于C,綜上可得Sin∕=±乎，COS/?=1,所以tan6=舞=±而，由此可得C正確，D錯誤.

故選：AC.

19.(2022春?遼寧沈陽?高一沈陽市第一二。中學?？茧A段練習)在數(shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更

加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義1-cos，為角。的正矢，記作VerSine,定義I-SinO

為角。的余矢，記作CoUerSin6,則下列命題正確的是（）

.16乃1

A.v^rsιn-----=—

32

B.Vcrsinl--Θ=Coversin0

(2)

?versin?-l1

C.若-----:....-=2,則(COUerSinX-uersinx2)=一

versιnX-I`75

函數(shù)(

/(x)=VerSin2()2()x—?+?versin2020x+-的最大值為2+√Σ

D.[6

【答案】BC

【分析】利用誘導公式化簡可得A錯誤，B正確;

化簡已知等式得到tanx,將所求式子化簡為正余弦齊次式，由此可配湊出tanx求得結果，知C正確;

利用誘導公式化簡整理得到"x）=2-2sin12020x+7

,由此可知最大值為4,知D錯誤.

_,..,,,_,,16TT.16萬.(_τπrI_Tπi3,j?`?

【詳解】對「A,v^rsm—-=l-cos--=l-cos5Λ?+-=l+cos-=-,A錯誤;

332

對于B,versinfπ=l-cos(-?-0j=1-sin0=coversmθ,B正確；

2

coversinx-lI-SinX-IC

對于C,WSnl=匚KT=E=2,

/.?2∕.S1c.2sinxcosx2tanx41

.?(coversinx-versinx)=11l-smx-l+cosx)=I-Zsmxcosx=1I------?--------?—=11-------；------=11——=—

sin-x+cos-xtanx+?55

C正確;

對于D,/(x)=1~cos(2020%-?+I-Sinl2020x+-

2-cos--+[2020x+π-I-sinI2020%+?π=2-2sin(2020x+^j,

266

.?.?sinl2020Λ-+∣-

=T時，/(x)nuχ=2+2=4,D錯誤.

故選：BC.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了三角函數(shù)的新定義的問題，解題關鍵是能夠充分理解已知所給的定義,

結合三角函數(shù)的誘導公式、正余弦齊次式的求解等知識來判斷各個選項.

20.（2022秋?河南濮陽?高一濮陽一高?？计谀┰跀?shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精

確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù):?定義I-COSe為角。的正矢，記作的Sine,?定義1-sine為角。的余

矢，記作Coy“sin。，則下列命題中正確的是（）

3

A.函數(shù)y=versinx在-?,2zr上是減函數(shù)

CUerSinX,.n、J

B.函數(shù)y=--------：一的aλ最b小正周期為乃

?versinx

Jl.

C.versin(?-θ)=covers?nθ

D.versin(α÷^)=versina`coversinβ+coversina`versinβ

【答案】AC

【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項；驗證得y(x)。MX+幻，可判斷B選項；由定義的誘導公式可

判斷C選項；取a=/?=：,代入驗證可判斷D選項.

4

「3]

【詳解】因為y=verinx=I-CoSX,而＞=cosx在-π,2π上是增函數(shù)，所以函數(shù)yEersinx=I-CoSX在

^3-

^π,2π上是減函數(shù)，故A正確；

P皿/、versinΛI-CoSX,、1+COSΛ,、,、C…、口

函數(shù)y(χ)=-------：—=-~：—;y(x+^)=--；—，所ΙR以RΚLy(χ)≠y(χ+萬)，所tr以rκlB錯樂；

coversinxl-sιnxl÷smx

ye∕?sin('-e)=I-CoS(5_6)=l-sin6=couersine,故C正確；

}?la=β=—,versin(cr+β)=l-eos?=1,

versina-coversmβ+coversina-versinβ=(I-CoSsin?)+(1-sin=3-2χ∕2,

所以VerSin(α+β)≠versina-coversinβ+COVerSina-versinβ,

故D錯誤,

故選：AC.

【點睛】本題考查函數(shù)的新定義，三角函數(shù)的誘導公式，同角三角函數(shù)間的關系，余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于

中檔題.

三、填空題

21.(2023?高一課時練習)我們規(guī)定把y=g[cos2(8+4)+cos2B+cos2(B-4)]叫做B對A的余弦方差，那

么對任意實數(shù)B,8對W的余弦方差是.

【答案】y##0.5

【分析】根據(jù)余弦方差的定義求得正確答案.

【詳解】依題意，8對，的余弦方差是:

?COS2(B+y)+COS2B+COS2(β-^)

y=

33

1+2g+1+cos

1^τ?lι^+^-^

3222

=-3+cos(2β+—)+cos2β+cos(2β-—)

61_33

1I?Cn2兀Cn?2兀cr>CrJ2兀.~2兀

=—3+cos2πcos-----sin28Sln—÷cos2D+cos2Bcos—+sin26riSIn—

6l3333

=—3——cos2B÷cos2B——cos2B=—.

6(22)2

故答案為：?

22.(2022?全國?高一專題練習)己知/(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，若存在實數(shù)〃2,巴使得

MX)=時。)+咫(%),則稱MX)是/(X)，g(x)在R上生成的函數(shù).

若/(x)=CC)S2?∣-sin2?∣,g(x)=sinx,以下四個函數(shù)中：

φy=2√2cos^x-?；@y=2√3sin^∣?+?jcos+；

③y=2cos?仁-E)-I；@y=2sin22x.

所有是"x),g(x)在R上生成的函數(shù)的序號為.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式、二倍角公式，結合題中定義逐一判斷即可.

【詳解】/(x)=Cos2^-sin2=cosx,g(x)=sinx.

①：y=2V2cosX--=2V2(cosxcos—÷sinxsin-)=?/ecosx+5∕2sinx,

V6√66

因此有力=√^,"=√5,所以本函數(shù)是/(x),g(x)在R上生成的函數(shù)；

②：y=26Sin(B+：卜OSe+：)=λ∕3sin(x+y)=6CoSX,

因此有機=6,〃=0,本函數(shù)是/(x),g(x)在R上生成的函數(shù)；

-C?(?I1/兀、.

③zx：y=2cos-15-WJ-I=CoS(X-萬)=SlnX,

因此有m=0,n=l,本函數(shù)是/(x),g(x)在R上生成的函數(shù);

④：y=2sin22x=8sin2xcos2x,

顯然不存在實數(shù)"7”使得8sin?xcos?X=mcosx+〃sinx成立?,

因此本函數(shù)不是/(x),g(x)在K上生成的函數(shù),

故答案為：①②③

abab

23.(2021春.江蘇淮安碣一校聯(lián)考階段練習)形如C”的式子叫做行列式,其運算法則為Cd=ad-bc,

叵

sin15°

則行列式的值是.

cos15°

~2

【答案】

【分析】根據(jù)新定義計算即可.

sin15°—

2=二■ooooo

【詳解】由題意sin15°.....-cos15=sin45sinl5-cos45cos15°=-cos60=--

222

cos15o

2

故答案為一萬.

24.(2023?高一課時練習)若兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù).給

出下列四個函數(shù)：①/(x)=SinX+COSX;②力(X)=后SinX+0；③力(X)=Sinx；④

/l(x)=?∕2(sinx+cosx).其中“同形”函數(shù)有.(選填序號)

【答案】①②

【分析】利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式，對比各函數(shù)的最小正周期及振幅即可得解.

【詳解】由題意，/(X)=SinX+cosx=√∑sin[x+?

fιl(x)=V2(sinx+c0sx)=2sinX+—

四個函數(shù)的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②,

所以“同形”函數(shù)有①②.

故答案為：①②.

25.(2023?高一課時練習)在直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數(shù)的點叫格點.若函數(shù)y=∕(x)的圖像恰好經(jīng)

過々個格點，則稱函數(shù)y=∕(x)為R階格點函數(shù).在xe[f,句上，下列函數(shù)中，為一階格點函數(shù)的是

.(選填序號)①y=sinx;(2)y=ex-l；③y=lnx；④y=/

【答案】①②③

【分析】根據(jù)題目定義以及各函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷.

【詳解】當XeHr,句時，函數(shù)y=sinx,y=e'-1的圖象只經(jīng)過一個格點(0,0),符合題意；

函數(shù)y=lnx的圖象只經(jīng)過個格點(I5O),符合題意；函數(shù)y=f的圖象經(jīng)過七個格點，

(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),不符合題意.

故答案為：①②③.

26.(2022春?河南商丘?高一商丘市第一高級中學校考開學考試)在平面直角坐標系X。'中，已知任意角。以

坐標原點。為頂點，X軸的非負半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點P(X且|。Pl=R?>0),定義：s。SO="員，

稱“sosH”為“正余弦函數(shù)”，對于“正余弦函數(shù)y=s"?L,有同學得到以下性質(zhì)：

①該函數(shù)的值域為②該函數(shù)的圖象關于原點對稱；

3_

③該函數(shù)的圖象關于直線X=：乃對稱；④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2〃；

4

⑤該函數(shù)的遞增區(qū)間為2k7Γ-",2kτt+Jkez.

44_

其中正確的是.(填上所有正確性質(zhì)的序號)

【答案】①④⑤.

【詳解】分析：根據(jù)“正余弦函數(shù)”的定義得到函數(shù)y=sosx=3sin(x+f),然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性

質(zhì)分別進行判斷即可得到結論.

詳解：①中，由三角函數(shù)的定義可知XO=rCOSX,%=rsinx,

L

所以y=sosx=2y?=sinx+cosx=λ∕Σsin*+W)w∣->∕Σ,√Σ］，所以是正確的；

r4

②中，y=Sos*=√Σsin(x+?),所以“0)=&sin(0+J=1≠0,所以函數(shù)關于原點對稱是錯誤的；

③中，當χ=W乃時，/(?^)=√5sin(?+?)=√2sin^-=0≠±√2,所以圖象關于X=W7對稱是錯誤的；

44444

④中，y=sosx=√∑sin(x+f),所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2萬，所以是正確的；

4

⑤中，因為y=sosx=λ∕∑sin(x+^),2kπ--<xjt--≤2kπ÷—,