2023年河南省焦作市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年河南省焦作市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合P={R-l<x<2},β={x∣0<x<3},那么PUQ=()

A.(-1,3)B.(0,2)C.(-1,0)D.(1,3)

2.(5分)已知復(fù)數(shù)Z=含，則因=()

A.√2B.√3C.√5D.√Tθ

3?（5分）某大型企業(yè)開發(fā)了一款新產(chǎn)品，投放市場(chǎng)后供不應(yīng)求，為了達(dá)到產(chǎn)量最大化，決

定增加生產(chǎn)線.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的生產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)得該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線條數(shù)X與月產(chǎn)量y（件）

之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X46810

y30406070

由數(shù)據(jù)可知X,y線性相關(guān)，且滿足回歸直線方程y=bx+l,則當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線

為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為()

A.73件B.79件C.85件D.90件

x+3≥0,

x-2y+l<0,則z=y-χ的最大值為()

{2x+y+2≤0,

A.1B.2C.6D.7

6.(5分)設(shè)α,∕j∈(0,分且tanα=丹,則()

A.3α-β=*B.2a-β=JC.3a邛=WD.2a+β=?

7.（5分）已知圓柱0∣02的下底面圓。2的內(nèi)接正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,P為圓柱上底面

圓Oi上任意一點(diǎn)，若三棱錐P-ABC的體積為12√3,則圓柱OIO2的外接球的表面積為

（）

A.36πB.64πC.144πD.252π

8.（5分）在直三棱柱ABC-AlBICIΦ,ABYBC,J≡LAB=BC=I,若直線ABl與側(cè)面AAIClC

TC

所成的角為三，則異面直線48與AC所成的角的正弦值為（）

6

1√3√2√3

A.—B.—C.—D.—

2322

（∏x—1.

9.（5分）已知函數(shù)f（x）=?在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（）

（-%2+2x+l,X≤1

A.（1,3）B.（1,3]C.（3,+8）D.[3,+∞）

10.（5分）以拋物線C：夕=人的焦點(diǎn)F為端點(diǎn)的射線與C及C的準(zhǔn)線/分別交于A,B

兩點(diǎn)，過(guò)B且平行于X軸的直線交C于點(diǎn)P,過(guò)A且平行于X軸的直線交/于點(diǎn)Q,且

MQl=M則APB尸的周長(zhǎng)為（）

A.16B.12C.10D.6

11.（5分）已知雙曲線C：=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分為F?,F2,左、右頂

點(diǎn)分別為A∣,A2,點(diǎn)M,N在y軸上，且滿足0%+2θλ=G（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.直線

MAi,MA2與C的左、右支分別交于另外兩點(diǎn)P,Q,若四邊形PQE?為為矩形，且P,

N,A2三點(diǎn)共線，則C的離心率為（）

L3

A.3B.2C.√3D.-

2

12.（5分）己知實(shí)數(shù)小b,C滿足a=仇（2近。），b=ln（3y∕eb）,C="c+e—1,且（2a

-1）（3?-1）（c-e）≠0,則（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,W∣jΛ??DF=.

14.（5分）已知圓Cι,C2的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為1與5.若圓C的圓心在X軸

正半軸上，且與圓Cι,C2均內(nèi)切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

15.(5分)己知，(X)=Sin(3x+φ)(∣φ∣<^])為奇函數(shù)，若對(duì)任意α∈[-^,§],存在β∈[-

a],滿足/(a)+f(β)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16.(5分)如圖，已知AB為圓O的直徑，EC=BC=BD=DF,AB=4,則六邊形AECBz)F

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)在數(shù)列｛aQ中，a∣=l,n+1——=2π.

n+1n

⑴設(shè)為=黑，求數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Cn=i+=(HD"'且數(shù)列0｝的前"項(xiàng)和為Tn,若Tk=g,求正整數(shù)k的值.

QMaTI+1??

18.(12分)某出租車公司為推動(dòng)駕駛員服務(wù)意識(shí)和服務(wù)水平大提升，對(duì)出租車駕駛員從駕

駛技術(shù)和服務(wù)水平兩個(gè)方面進(jìn)行了考核，并從中隨機(jī)抽取了100名駕駛員，這100名駕

駛員的駕駛技術(shù)與性別的2X2列聯(lián)表和服務(wù)水平評(píng)分的頻率分布直方圖如下，已知所有

駕駛員的服務(wù)水平評(píng)分均在區(qū)間[76,1001內(nèi).

駕駛技術(shù)優(yōu)秀非優(yōu)秀

男2545

女525

(1)判斷能否有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān);

(2)從服務(wù)水平評(píng)分在[92,96),[96,100]內(nèi)的駕駛員中用分層抽樣的方法抽取5人,

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中恰有2人的評(píng)分在[92,96)內(nèi)的概率.

2

附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中"=a+b+c+d.

P(K22A))0.100.0500.010

ko2.7063.8416.635

頻率

評(píng)分

19.(12分)在如圖所示的六面體ABC-AiDiBiCi中，平面ABC〃平面AIDIBICI,AA∣

CCi,BC=2B?C?,AB=2A?D?.

(1)求證:AC〃平面BBID；

(2)若AC,BC,CCI兩兩互相垂直，AC=2,CCl=3,求點(diǎn)A到平面BCZ)I的距離.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(X-I)eκ+ax1.

(1)若αV-4,求F(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的不等式f(x)≥|χ3+ɑeX+4ɑ在［0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值

范圍.

X2y21

21.(12分)已知橢圓E：/+記=l(α>b>0)的離心率為鼻，點(diǎn)尸(0,1)在短軸AB上，

S.PA-PB=-I.

(1)求E的方程:

(2)若直線/：y^kx+m(∕τz≠O)與E交于C,O兩點(diǎn)，求AOCO(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))

面積的最大值.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

X—√3+?t

22.(10分)在直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)P(√^,2),直線/的參數(shù)方程是,=2+k

為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程

是p2=(2p-sinθ)sinθ+(2p-cosθ)cosθ.

(1)求/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;

11

(2)設(shè)/與。相交于點(diǎn)A,B,求7777+7ZZ7的值?

IP川IPBl

［選修4?5：不等式選講］

23.已知正實(shí)數(shù)X,y,Z滿足x+2y+4z=3.

…111

(1)證明：一+——+一≥3；

X2y4z

(2)求f+J+z?的最小值.

2023年河南省焦作市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合P=M-1VχV2},Q={x∣0VχV3},那么PUQ=()

A.(-1,3)B.(0,2)C.(-I,0)D.(1,3)

【解答】解：因?yàn)镻={M-l<x<2},β={x∣0<x<3},

所以PUQ={x[-l<x<3}.

故選：A.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)Z=律，則閉=()

A.√2B.√3C.√5D.√Tθ

【解答】解：復(fù)數(shù)L=含=I+稱IT)=2τ,故2=2+i,

所以⑶=√22+12=1.

故選：C.

3.(5分)某大型企業(yè)開發(fā)了一款新產(chǎn)品，投放市場(chǎng)后供不應(yīng)求，為了達(dá)到產(chǎn)量最大化，決

定增加生產(chǎn)線.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的生產(chǎn),統(tǒng)計(jì)得該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線條數(shù)X與月產(chǎn)量y(件)

之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X46810

y30406070

由數(shù)據(jù)可知X,y線性相關(guān)，且滿足回歸直線方程y=bx+l,則當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線

為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為()

A.73件B.79件C.85件D.90件

【解答】解：根據(jù)題意可得M=?(4+6+8+10)=7,y=?(30+40+60+70)=50,

又回歸直線方程y=bx+l必過(guò)樣本中心點(diǎn)⑨y),

50=76+1,Λ?=7,

，回歸直線方程為y=7x÷1,

J當(dāng)X=I2時(shí)?，y=7x12+1=85,

故當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為85件.

故選：C.

3≥O

4.(5分)若實(shí)數(shù)X,y滿足約束條件Jx-2y+l≤0,則z=)一X的最大值為()

(2%+y+2≤0,

A.1B.2C.6D.7

【解答】解：作出可行域如下,

X+3=0yt1

,),(-3,4)

^^x+y+2=0

.

^?y+l=0

一>

C(-吵h

/\

由Z=y-χ可得y=x+z,結(jié)合Z的幾何意義可知，

當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(-3,4)時(shí)，縱截距Z有最大值，

最大值為4-(-3)=7,

故選：D.

5.(5分)函數(shù)/(x)=品用的大致圖象為()

飛：HW

A.：：B.HF

c+寸

d―?

久％_久一％

【解答】解：函數(shù)/(x)=??i'∕(-^=??=-??=-/∞-函數(shù)是

奇函數(shù)，排除A；

Ax-A-x

x>1時(shí)，/(x)=號(hào)X),排除B；

L+8時(shí)，/(X)=齦F+8,排除。,

故選：C.

6.(5分)設(shè)*￡∈(0，?),且tanα=則()

TT

A.3α-β=?B.2a-β=?C.3a÷β=?D.2a+β=?

CoSB--.,sinacosβ

【解答】解:因?yàn)閠ana=不踹'所rr以福=五訴，

即sina+sinasinβ=cosacosβ,

即Sina=COSaCOsβ-sinasinβ=cos(a+β),

BPcos(a+夕)=sina=CoSG-

因?yàn)閍,β∈(0,為，所以a+β∈(0,π),

所以a+0=*—a,即2a+S=*.

故選：D.

7.(5分)已知圓柱0∣02的下底面圓3的內(nèi)接正三角形ABe的邊長(zhǎng)為6,尸為圓柱上底面

圓Oi上任意一點(diǎn)，若三棱錐P-ABC的體積為12√3,則圓柱OiO2的外接球的表面積為

()

A.36πB.64πC.144πD.252π

【解答】解：因?yàn)锳ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，則其外接圓的半徑2r=益爐，解得

O(?>CUU

V—2√3,

A/?

所以S"BC=Jx62Sin60。=?×62=9√3,

設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為/,

1-1

則4-4BC=35ΔΛBC?^=3×9√3×Z=12√3,解得1=4,

22

所以圓柱O1O2的外接球的半徑R=9+(g)2=J(2√3)+2=4,

所以外接球的表面積為S=4πΛ2=64π.

故選：B.

8.（5分）在直三棱柱ABC-AlBlCI中，AB，BC,且A8=BC=2,若直線ABl與側(cè)面AACC

π

所成的角為7則異面直線48與AC所成的角的正弦值為（）

6

1√3√2√3

A.-B.—C.—D.—

2322

【解答】解：如圖，取AICI的中點(diǎn)H,連接

根據(jù)題意易得囪目_1_側(cè)面A4∣CιC,

.?.直線Afii與側(cè)面A4CC所成的角為NBIA”=%

又易知BlH=√Σ,/.BiA=2√2,

又AIBl=2,ΛAιA=2,.'.CiC=2,又BC=2,

.,.BCi=2√2,又易知AlCl=2√Σ,

Λ?ΛιBC∣為正三角形，

.?ZBA∣Cι=j,

,

'.AC//AlCi,

異面直線AlB與AC所成的角為∕B4G=半

.?.異面直線AIB與AC所成的角的正弦值為

2

故選：D.

ax—1,x>l

9.(5分)已知函數(shù)/(x)=在R上單調(diào)，則Q的取值范圍是()

-X2+2%+1,%≤1

A.(1,3)B.(I,3]C.(3,+8)D.[3,+∞)

【解答】解：y=-Λ2+2X+1的開口向下，對(duì)稱軸是直線x=l,

所以函數(shù)y=-∕+2x+l在(-8,D上單調(diào)遞增，

依題意可知，f(%)在R上單調(diào)遞增，

所以(α>l,,解得。23,

Ia1-1≥-I2+2×1+1

所以”的取值范圍是[3,+∞).

故選：D.

10.(5分)以拋物線Cy2=4χ的焦點(diǎn)f為端點(diǎn)的射線與C及C的準(zhǔn)線/分別交于A,B

兩點(diǎn)，過(guò)B且平行于X軸的直線交C于點(diǎn)P,過(guò)4且平行于X軸的直線交/于點(diǎn)。，且

MQI=W,則aPBF的周長(zhǎng)為()

A.16B.12C.IOD.6

【解答】解：根據(jù)題意，可得尸(1,0),準(zhǔn)線為X=-1,

4

V?AQ?=?,如圖，設(shè)4(x,y),

則X+1=*,??x—.,.√4(^?,.

2√3

3

?,?直線A尸方程為：-^――1,即y=—V5Q—1),

x-1—1

3

將X=-I代入y=-√5(x-1)中，可得'=2舊，所以B(-L2√3),

將y=2次代入y2=4χ中，可得χ=3,所以P(3,2√3),

,周長(zhǎng)CΛPBF=?FB?+?PF?+?PB?，

則FBl=√22+12=4,?PF?=?PB?=4,

故C&PBF=12.

故選：B.

=l（α>O,b>O）的左、右焦點(diǎn)分為Fι,F2,左、右頂

點(diǎn)分別為Aι,A2,點(diǎn)、M,N在y軸上，且滿足6+2加=3（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.直線

MA?,M42與C的左、右支分別交于另外兩點(diǎn)P,Q,若四邊形2。乃尸1為矩形，且P，

N,A2三點(diǎn)共線，則C的離心率為（）

L3

A.3B.2C.√3D.-

【解答】解：如圖所示：

由。力+2θλ=G,則有疝=一2碗，

設(shè)N(0,〃)，則M(0,-2〃),

(X=C(x=ch2

由孱*1，可得］y=±0取QC-，，

同理可得P(—c,-?),

又因?yàn)锳I(-a,0),A2(a,0),P,N,A2三點(diǎn)共線,

n

所以=選，

kp&a'

所以-六而

,2

所以TI=一樂,

P,Mf4三點(diǎn)共線，

=

所以kpA]=7?,^MA1

出

所以工2n

c-aa

2

所以如=l3，

,2

又因?yàn)閚=—訐P(yáng)

所以一照=3'即一磊=H?'解得c=34,

所以e=T=3?

故選：A.

12.(5分)已知實(shí)數(shù)α,b,C滿足α=伍(2五。)，b=ln(3y∕eb),c=Inc÷β—1,且(2〃

-1)(3?-1)(C-C)≠0,則()

A.c<a<hB.c<h<aC.a<h<cD.a<c<h

【解答】解：因?yàn)?.2a-1)(3?-1)(C-e)≠O,

11

所以Q≠),h≠?/c≠e,

111

因?yàn)镼=∕n(2√eα)=ln2+]+伍Q，所以Q—Ina=?~仇2，

-1II

因?yàn)閎—lτι(3VFb)=∕∏3+3+Inb,所以b—lτιb=W一必可，

因?yàn)镃=Eτ+e-l,所以C-仇c=e-歷e,

1Y—1

令f(x)=x-Inx9則f'(%)=1—彳=?-(%>0),

當(dāng)OVXVl時(shí)，f(X)<0,當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0,

所以函數(shù)/(x)在(0,1)上遞減，在(1,+°o)上遞增，

所以/G)min=f(1)=1，

又當(dāng)X>0,XfO時(shí)，f(x)→+o°,當(dāng)χf+8,f(χ)-→÷co,

由此作出函數(shù)/(x)的大致圖象如圖所示,

因?yàn)閒(α)=f&)，/(b)=f(},/(C)=f(e)且α≠±,b≠∣,c≠e,

則由圖可知b>α>l,O<c<l,

所以c<a<b.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知正六邊形48CDE尸的邊長(zhǎng)為2,則1.防=-6.

【解答】解：由題意，作圖如下：

在正六邊形ABCDE尸中，易知NEf）F=30°,AB=ED,NFDC=90°,NDFC=30°,

則而與赤的夾角為150°,即（而，DF）=150°,

在RtZXDFC中，DF=—=2√3,AB-DF=ED-DF=?ED?■?DF?■cos{ED,DF）=

CL‰?fv??JH

-6.

14.（5分）已知圓Cι,C2的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為1與5.若圓C的圓心在X軸

正半軸上，且與圓Cl,C2均內(nèi)切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（χ-2）2+y2=9.

【解答】解：???圓口,C2的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為1與5,

圓C的圓心在X軸正半軸上，且與圓C∣,C2均內(nèi)切，

圓心C的橫坐標(biāo)為:D=2,半徑為r=左尹=3,

二圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-2)2+√=9.

故答案為：(χ-2)2+>2=9.

15.(5分)己知,(X)=Sin(3x+φ)(∣φ∣<^*)為奇函數(shù)，若對(duì)任意α∈[-g,~^??,存在βe[g,

a],滿足,f(a)+∕?<β)=0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_[一

V9

【解答】解：?"(x)=sin(3x+φ)(∣φ∣<^)為奇函數(shù)，

.?.φ=0,f(?)=sin3x,且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

若對(duì)任意陽(yáng)-專，—b存在阻T，?]>滿足/(a)+y(β)=0,

.?.3a=-3β,即a=-β.

*.?0e[-3,cΦ.*.a=^β∈l^a>~∣,.,.^a≥—即a≤不

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍[g，$，

故答案為：(―BL

16.(5分)如圖，已知A8為圓。的直徑，EC=BC=BD=DF,AB=4,則六邊形AECBZ)F

的周長(zhǎng)的最大值為12.

E-------

【解答】解：連接尸8,DC,BE,

由比=BC=BD=^F,則EC=BC=BD=DF,

TT

設(shè)/∕?B=a,a∈(0,之)，NDFB=NDBF=R,

貝∣J4DBC=2X(J—a+0),ZBDF=τc-2β,

又NDBC=NBDF,得a=2β,β∈(0,J),

在直角中，由AB=4,則ΛF=4cosα,βF=4sinα,

BFFDm4sinaFD

在AFDB中，由正弦定理有—7，即--------得FD=4sinβ,

SiTI(Tr-20)sinβSiTI(Tr-a)sinβ"

所以六邊形AECBDF的周長(zhǎng)為C=2AF+4FD=8cosa+16sinβ=8cos2β+16sinβ=8(1-

2sin2β)+16sinβ=-16(^sinβ—?)2+12,

故當(dāng)sin。=*,即S=例，C取得最大值，且最大值為12.

所以六邊形AEC3。F的周長(zhǎng)的最大值為12.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）在數(shù)列｛如｝中，aι=l,--=2π.

n+1n

⑴設(shè)兒=M求數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)Cn=5&,且數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和為Tn,若Tii=求正整數(shù)k的值.

a∏an+lθ?

【解答】解：（1）因?yàn)槊笠?=2",且M=等，所以為+ι-6"=2",加=0=1,

n+1nn

=w1n221

所以bnCbn-bn?）+（?ΛZ-1-2）+…+（匕3-歷）+（歷-b?）+bι=2+2+???+2+2+l=

^??X1=2"7?

（2）由（1）知，為=*1=2"-1,

所以an=n(2〃-1),

na+l-(n+l)a__n__n+1_11

所以C=nrt

na∏an+l?+l-2n-l^2n+1-l,

_11111]

所以Tj?=(1-?)+(---)+,?,+(--------------------)=1—

3372n-l2n+1-l2n+1-l,

因?yàn)椤ㄑ?，所?一注=h，即忌7=尚，

所以2川=64,解得％=5.

18.(12分)某出租車公司為推動(dòng)駕駛員服務(wù)意識(shí)和服務(wù)水平大提升，對(duì)出租車駕駛員從駕

駛技術(shù)和服務(wù)水平兩個(gè)方面進(jìn)行了考核，并從中隨機(jī)抽取了IOO名駕駛員，這100名駕

駛員的駕駛技術(shù)與性別的2X2列聯(lián)表和服務(wù)水平評(píng)分的頻率分布直方圖如下，已知所有

駕駛員的服務(wù)水平評(píng)分均在區(qū)間［76,100］內(nèi).

駕駛技術(shù)優(yōu)秀非優(yōu)秀

男2545

女525

(1)判斷能否有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān);

(2)從服務(wù)水平評(píng)分在［92,96),［96,100］內(nèi)的駕駛員中用分層抽樣的方法抽取5人,

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中恰有2人的評(píng)分在［92,96)內(nèi)的概率.

2

_____九(ad—%)______

附：K2=其中〃=a+〃+c+d.

(a÷h)(c+d)(a+c)(h+d),

P(產(chǎn)學(xué)也)0.100.0500.010

及02.7063.8416.635

頻率

,2

【解答】解：⑴K?=>喘∕U胃^Ov篝^OU^畿ZU5)≈3.628<3.841,

沒有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；

(2)0.010×4×2+0.055×4+0.065×4+0.070×4+4a=1,解得a=0.040,

故服務(wù)水平評(píng)分在［92,96),［96,100］內(nèi)的駕駛員人數(shù)比例為0.040：0.010=4：I,

故用分層抽樣的方法抽取5人中，［92,96)內(nèi)有4人，設(shè)為a,b,c,d,［96,100］內(nèi)有

1人,設(shè)為A,

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人，共有以下情況：(a,b,c),(a,b,d),(a,b,A),(a,

c,d),Ca,c,A)>(α,d,A^),(?,c,<r∕)>(?,c,A),(b,d,A^),(c,d,A),共

10種情況,

其中這3人中恰有2人的評(píng)分在[92,96)的有(α,b,A),Ca,c,A),(.a,d,A),(b,

c,A)>Cb,d,A),(c,d,A),6種情況,

63

故這3人中恰有2人的評(píng)分在[92,96)內(nèi)的概率為G=g.

19.(12分)在如圖所示的六面體ABC-AiDιB↑C?中，平面ABC〃平面AlolBICi，AAiv

CC1,8C=28ιCι,A8=2A[Z)].

(1)求證：AC〃平面BBQ；

(2)若AC,BC,CCl兩兩互相垂直，AC=2,CCl=3,求點(diǎn)4到平面BCG的距離.

【解答】解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)E,BC的中點(diǎn)E連。ιE,B?F,EF,

在六面體ABC-AlDiBiCl中，

：平面ABC〃平面AιD∣βιC∣,平面ABC∩平面ABD?A?=AB,平面AiQiBiCm平面

ABD?A?=A↑D↑,

J.AB∕∕A?D?,

同理可得BC〃BiCi,

'：E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，且AB=2AιDι,BC=2B?C?,

：.AiDi//AE,AiDι=AE,B?C?∕∕CF,BlCl=CF,

二四邊形AEDiAi是平行四邊形，四邊形CFBICI是平行四邊形，

.".AA?∕∕ED?,CC?∕∕FB?,又己知A4〃CC1，

：.ED↑/∕FBi,貝∣JE,F,Bi,DI共面，

；平面ABC〃平面AiDifiiCi,平面ABC∩平面EFB?D?=EF,平面AlQ向CIn平面

EFB?D?-B?D?,

：.EF//B\D\,又E,F分別是AB,8C的中點(diǎn)，EF//AC,

：.AC//B?Dι,又ACC平面BBID1,BlQIU平面BBI5，

."C〃平面BBID1；

(2)'：AC,BC,CCI兩兩互相垂直,

分別以C4，CB,CC所在直線為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),A(2,0,0),

設(shè)BC=f,則B(0,t,0),Z)I(1,3),

：.AB=(-2,t,0),CB=(0,t,0),CD1=(1,亨，3),

設(shè)平面BCDI的一個(gè)法向量為蔡=(x,y,z),

'τT

n?CB=ty=0→

則1｛τTt,取幾=(一3,0,1),

H?CD1=X++3Z=O

TT

??AB-n?63/—

.**點(diǎn)A到平面BCD\的距離為一→—=r-——=-VlO-

∣n∣√9+l5

A

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(X-I)/+ar2.

⑴若aV-今求/G)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的不等式f(x)≥+4α在［0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值

范圍.

【解答】解：(1)/(X)=，+(X-I)ex+2ax=x(ex+2a?2a<-L

令，(X)=0,得X=O或(-2〃)>0,

令f(X)>0,得XVO或x>加(-2〃)，令f(x)<0,得OVXV仇(-2a)f

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)和Un(-2α),+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為

(0,In(-2a)).

(2)關(guān)于X的不等式/(%)≥和3+ɑe*+4α在［0,+o°)上恒成立，

?

即-l)e*+ax?一可/一0e%-4α≥0在［0,+∞)上恒成立，

當(dāng)X=O時(shí)，得-1-5心0,即a≤—卷，

2

令g(x)=(%—l)yex+ax2-??3—aex—4α,g'(x)="+(X-I)ex+2ax-2x2-aex

=(X-α)(d-2x),

因?yàn)?≥0/α≤-春，所以X-。>0,

xx

設(shè)〃(x)=e-2χf則”(x)=e-2,

令R(X)<0,得XV歷2,令“(工)>0,得x>歷2,

所以0(x)="-2X在(-8,/〃2)上為減函數(shù)，在(濟(jì)2,+8)上為增函數(shù)，

所以力(X)2/7(In2)=eln2-2ln2=2-2∕∏2>O,即e"-2x>0,

所以p(x)>0,所以g(%)在［0,+8)上為增函數(shù)，

所以g(0)=-1-5心0,即α≤-1,

故”的取值范圍為{α∣α≤-∣}.

X2y21_

21.(12分)已知橢圓E：形+瓦=l(α>b>O)的離心率為1點(diǎn)P(0,1)在短軸AB上，

且易?∕?=-2.

(1)求E的方程；

(2)若直線/：y=kx+m(w≠0)與E交于C,D兩點(diǎn),求AOCQ(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))

面積的最大值.

【解答】(1)解：因?yàn)闄E圓E：W+3=l(a>b>O)的離心率為點(diǎn)

c1

所以—=一，即4=2c,

a2

因?yàn)辄c(diǎn)P(0,1)在短軸AB上，且易?Z?=-2,

所以A(0,-b),B(0,b),

所以總=(0,-b-l),∕?=(0,h-1),PA-PB=l-b2=-2,解得廬=3,

因?yàn)閼?〃2-C2=3C2,所以C2=Lα2=4,

X2y2

所以，E的方程為一+-=1；

43

(2)解：設(shè)C(xi，yi),D(X2，>2)，

y=∕cx÷m

2

聯(lián)立方程χ2y2得(4A+3)/+8h"x+4,/-12=0,

?+T=1

所以A=64Fm2-4(4?2+3)(4加2-12)=16×12?2-48∕H2+144>0,BP4?2-∕?>0,

8km_4僧2-12

所以/+X=-XIX2

24?2+3—4∕C2+3

所以ICDl=√T∏27(xι+χ2)2-4χ1χ2=√TTfc264必624(4由2—手(4,二)

Q(4fc2+3)

,?,,^4√3J4fc2-τn2+3

=V1+Zc9，

4r÷3

因?yàn)樵c(diǎn)O到直線/的距離為d=普=,

所以SΔOCD=WDId=2同也》+3=2遮叵干逅<