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文檔簡介
江西省上高縣二中2024年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.62.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能3.為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標(biāo)軸單位長度相同),用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系,根據(jù)圖形,以下結(jié)論最有可能成立的是()A.線性相關(guān)關(guān)系較強,b的值為1.25B.線性相關(guān)關(guān)系較強,b的值為0.83C.線性相關(guān)關(guān)系較強,b的值為-0.87D.線性相關(guān)關(guān)系太弱,無研究價值4.已知滿足,則()A. B. C. D.5.在棱長均相等的正三棱柱中,為的中點,在上,且,則下述結(jié)論:①;②;③平面平面:④異面直線與所成角為其中正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.46.“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺,現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過程中,“閱讀文章”不能放首位,四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有()A.60 B.192 C.240 D.4327.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,且,若,則()A.0 B.1 C.673 D.6748.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.6310.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.411.拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個動點,且滿足,設(shè)線段的中點在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)14.已知,則滿足的的取值范圍為_______.15.已知點是雙曲線漸近線上的一點,則雙曲線的離心率為_______16.已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和,則該圓錐的體積為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.18.(12分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如表:AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.20.(12分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點,是的中點.分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點,得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點.(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知.(1)若曲線在點處的切線也與曲線相切,求實數(shù)的值;(2)試討論函數(shù)零點的個數(shù).22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的定義域為,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)列方程,由此求得的值,進而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調(diào)遞增,因為,是銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3、B【解析】
根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特點可以看出,二者具有相關(guān)關(guān)系,且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應(yīng)點分布在一條直線附近,且比較密集,故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系,且直線斜率小于1,故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解,側(cè)重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).4、A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結(jié)果.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
設(shè)出棱長,通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行,推出①的正誤;判斷是的中點推出②正的誤;利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤;建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤.【詳解】解:不妨設(shè)棱長為:2,對于①連結(jié),則,即與不垂直,又,①不正確;對于②,連結(jié),,在中,,而,是的中點,所以,②正確;對于③由②可知,在中,,連結(jié),易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正確;以為坐標(biāo)原點,平面上過點垂直于的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系;,,,,,;,;異面直線與所成角為,,故.④不正確.故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直,直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.6、C【解析】
四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法,由于“閱讀文章”不能放首位,因此不同的方法數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用,考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法.7、B【解析】
由題知為奇函數(shù),且可得函數(shù)的周期為3,分別求出知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數(shù),故;因為,故,可知函數(shù)的周期為3;在中,令,故,故函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,故.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路:函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.8、C【解析】
設(shè)出兩人到達小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運算能力.9、B【解析】
根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時,令,得;當(dāng)時,令,得,故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1.考點:程序框圖.11、B【解析】
試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點,所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點:拋物線的性質(zhì).【名師點晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時,常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點到焦點的距離,從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系.12、B【解析】
根據(jù)條件可知方程有且只有一個實根等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因為條件等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)組合的知識,結(jié)合組合數(shù)的公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:項來源可以是:(1)取1個,4個(2)取2個,3個的系數(shù)為:故答案為:【點睛】本題主要考查組合的知識,熟悉二項式定理展開式中每一項的來源,實質(zhì)上每個因式中各取一項的乘積,轉(zhuǎn)化為組合的知識,屬中檔題.14、【解析】
將f(x)寫成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.15、【解析】
先表示出漸近線,再代入點,求出,則離心率易求.【詳解】解:的漸近線是因為在漸近線上,所以,故答案為:【點睛】考查雙曲線的離心率的求法,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積?!驹斀狻吭O(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為?!军c睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域為,值域為【解析】
(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【詳解】解:(1)因為是第二象限角,且,所以.所以,所以.(2)函數(shù)的定義域為.化簡,得,因為,且,,所以,所以.所以函數(shù)的值域為.(注:或許有人會認(rèn)為“因為,所以”,其實不然,因為.)【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力,屬于??碱}型.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.(2)由(1)求得數(shù)列的通項公式,判斷出,由此利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)所以數(shù)列是以3為首項,以3為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知,∴為常數(shù)列,且,∴,∴∴【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查裂項求和法,屬于中檔題.19、(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會超過;詳見解析【解析】
(1)利用組合進行計算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計算相對應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為Y元,可得:,,,E(Y)=02201480320(元),所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬基礎(chǔ)題。20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)先證,再證,由可得平面,從而推出平面;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量與,坐標(biāo)代入線面角的正弦值公式即可得解.【詳解】(1)證明:連接,,由圖1知,四邊形為菱形,且,所以是正三角形,從而.同理可證,,所以平面.又,所以平面,因為平面,所以平面平面.易知,且為的中點,所以,所以平面.(2)解:由(1)可知,,且四邊形為正方形.設(shè)的中點為,以為原點,以,,所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由得取.設(shè)直線與平面所成的角為,所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,直線與平面所成的角,要求一定的空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)答案不唯一具體見解析【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,設(shè)切點的坐標(biāo),用不同的方式求出兩種切線方程,但兩條切線本質(zhì)為同一條,從而得到方程組,再構(gòu)造函數(shù)
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