第三章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 復(fù)習(xí)

第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握傅里葉變換分析技術(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)分析技術(shù)的基本概念和計(jì)算，尤其要注意應(yīng)用性質(zhì)來(lái)計(jì)算一些常用信號(hào)的頻譜熟悉時(shí)域特性與頻域特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系弄清信號(hào)頻譜的意義以及連續(xù)譜與離散譜的區(qū)別和聯(lián)系卷積定理是系統(tǒng)頻域分析的重要工具，要認(rèn)真掌握采樣定理是離散信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)，應(yīng)領(lǐng)會(huì)其含義并會(huì)應(yīng)用本章小結(jié)非周期信號(hào)的傅里葉變換是把信號(hào)分解為無(wú)窮多個(gè)復(fù)指數(shù)分量的連續(xù)和（積分），結(jié)果是連續(xù)譜。頻譜是信號(hào)的頻域描述，具有明確的物理意義。傅里葉變換具有許多性質(zhì)，在計(jì)算傅里葉變換和傅里葉逆變換中有重要作用，必須熟練掌握。周期信號(hào)的頻譜分析就是傅里葉級(jí)數(shù)分析，它把周期信號(hào)分解為無(wú)窮多個(gè)諧波分量之和，結(jié)果是離散譜。傅里葉系數(shù)與從周期信號(hào)單周期截取的非周期信號(hào)的傅里葉變換在各諧波頻率上的采樣值成正比。這是進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分析的有效途徑。本章小結(jié)頻域分析不但可分析信號(hào)的頻譜，而且可用來(lái)分析LTI系統(tǒng)的頻域特性—頻率響應(yīng)、幅頻特性、相頻特性。并可計(jì)算卷積和計(jì)算系統(tǒng)的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)等，它也能進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析和暫態(tài)分析。它要比時(shí)域分析技術(shù)簡(jiǎn)便有效得多。各元器件都有自己的頻域表示模型，電路可在頻域中直接進(jìn)行分析。而且，頻域求解電路要比時(shí)域分析技術(shù)簡(jiǎn)便有效得多。在頻域中，通過(guò)分析信號(hào)通過(guò)各模塊時(shí)頻譜發(fā)送的變化，可有效地分析復(fù)雜系統(tǒng)的功能及其各模塊的作用。還可通過(guò)系統(tǒng)方框圖的概念來(lái)分析系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)和系統(tǒng)模擬。本章小結(jié)采樣定理是數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)字通信的理論基礎(chǔ)，它給出了從信號(hào)的離散樣本值無(wú)失真復(fù)原信號(hào)的條件。平坦幅頻特性和線性相位特性是無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件，選頻濾波器，尤其是低通濾波器在通信和電子系統(tǒng)中有十分重要的作用。跳變信號(hào)通過(guò)有銳截止特性的濾波器時(shí)，必然會(huì)產(chǎn)生吉布斯振蕩。時(shí)（頻）域因果性對(duì)應(yīng)于頻（時(shí)）域希爾伯特性，它使得因果信號(hào)的頻譜實(shí)部與虛部，因果穩(wěn)定信號(hào)的對(duì)數(shù)幅度譜與相位譜，還有解析信號(hào)的實(shí)部與虛部都分別構(gòu)成一個(gè)希爾伯特變換對(duì)。利用此原理可實(shí)現(xiàn)一個(gè)濾波器的因果化和穩(wěn)定化，也可實(shí)現(xiàn)通信系統(tǒng)中的單邊帶調(diào)制。非周期信號(hào)的頻域分析傅立葉變換傅立葉變換的性質(zhì)線性對(duì)稱(chēng)性折疊性奇偶虛實(shí)性：實(shí)偶對(duì)應(yīng)實(shí)偶實(shí)奇對(duì)應(yīng)虛奇尺度定理傅立葉變換的性質(zhì)時(shí)域延遲性頻移性（調(diào)制定理）時(shí)域微分時(shí)域積分

傅立葉變換的性質(zhì)時(shí)域卷積頻域卷積時(shí)域抽樣頻域抽樣信號(hào)能量（帕塞瓦爾定理）

常用非周期信號(hào)的傅立葉變換序號(hào)213145周期信號(hào)的傅立葉變換

序號(hào)12345一般周期信號(hào)

周期信號(hào)的頻域分析：指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)

其中，為相應(yīng)的單周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：l

離散性l

諧波性l

收斂性周期信號(hào)的FT－離散譜周期信號(hào)的FT－離散譜周期信號(hào)的頻譜是離散的，并且在的譜線強(qiáng)度為周期信號(hào)的FS分析步驟步1.

截取與周期信號(hào)相應(yīng)的非周期信號(hào)，并計(jì)算其FT表示式；步2.

計(jì)算周期信號(hào)的后，得其指數(shù)形式的FS展開(kāi)式，并計(jì)算其離散譜，畫(huà)出其離散幅度譜和離散相位譜；步3.

計(jì)算周期信號(hào)的諧波形式或正余弦形式的FS展開(kāi)式。抽樣信號(hào)與抽樣定理抽樣信號(hào)：理想抽樣序列：非理想抽樣序列：被抽樣信號(hào)及其頻譜：理想抽樣時(shí)非理想抽樣時(shí)時(shí)域抽樣定理(奈奎斯特定理)

系統(tǒng)傳遞函數(shù)

具有頻譜的信號(hào)通過(guò)沖激響應(yīng)為的LTI系統(tǒng)時(shí)，輸出響應(yīng)為其中，系統(tǒng)傳遞函數(shù)（又稱(chēng)頻率響應(yīng)或頻率特性）是沖激響應(yīng)的FT正弦信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)當(dāng)輸入

輸出信號(hào)為

因果正弦信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)定理：當(dāng)因果復(fù)正弦信號(hào)激勵(lì)的LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為輸出暫態(tài)響應(yīng)的頻譜為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的頻域分析

頻域分析不僅可用來(lái)分析周期信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)，而且可用來(lái)分析系統(tǒng)的功能，并理解信號(hào)在通過(guò)一個(gè)大系統(tǒng)的各個(gè)功能部件或子系統(tǒng)后，信號(hào)頻譜發(fā)生的變化。從系統(tǒng)微分方程求解系統(tǒng)傳遞函數(shù)和沖激響應(yīng)使用FT可方便地從系統(tǒng)微分方程求解系統(tǒng)傳遞函數(shù)和沖激響應(yīng)其計(jì)算步驟是：首先在輸入激勵(lì)為單位沖激的假設(shè)下，利用FT的微分定理對(duì)微分方程進(jìn)行FT，并整理后得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)；最后取傳遞函數(shù)的逆FT后，就得到系統(tǒng)沖激響應(yīng)。傅里葉變換的因果時(shí)域微分性質(zhì)傅里葉變換的因果時(shí)域微分性質(zhì)：該性質(zhì)不同于傅里葉變換的非因果時(shí)域微分性質(zhì)之處是，考慮了因果化時(shí)初始條件的影響，因此，它可有效地用于從帶有非零初始條件的微分方程求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。電路頻域特性分析使用FT可以直接在頻域分析線性電路的特性，而無(wú)需建立其微分方程線性電路的傳遞函數(shù)、幅頻特性和相頻特性首先，使用電路中各元器件的頻域表示，建立頻域電路圖；然后，使用頻域KCL、KVL等電路定律建立聯(lián)立的代數(shù)方程組；最后，從中得出所需的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并進(jìn)而分析其幅頻特性、相頻特性等。用頻域分析計(jì)算不但可確定系統(tǒng)的頻域特性，也可建立描述系統(tǒng)的微分方程，并進(jìn)而計(jì)算系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。實(shí)際上頻域分析也可用來(lái)分析系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)用于計(jì)算卷積的FT法使用FT可以方便地計(jì)算卷積，這就是卷積計(jì)算的FT法，如圖所示。即，首先計(jì)算兩個(gè)被卷積信號(hào)的頻譜，然后相乘并取逆傅里葉變換，就得到所需結(jié)果。

無(wú)失真?zhèn)鬏敓o(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)是具有平坦幅頻特性和斜率等于延遲時(shí)間之負(fù)的線性相頻特性的系統(tǒng)

理想低通濾波器理想低通濾波器的系統(tǒng)頻率響應(yīng)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)系統(tǒng)因果性的必要條件—佩利-維納準(zhǔn)則系統(tǒng)因果性指的是系統(tǒng)沖激響應(yīng)為因果信號(hào)，因果性是系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的充要條件。佩利（Paley）和維納（Wiener）證明了系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件是：對(duì)于平方可積的系統(tǒng)函數(shù)而言，系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件是時(shí)域因果性與頻域希爾伯特性對(duì)應(yīng)關(guān)系因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足稱(chēng)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)具有希爾伯特