北京第五中學2023-2024學年高三下學期開學檢測數(shù)學試卷（教師版）

2023—2024學年度第二學期開學檢測試卷高三數(shù)學班級__________姓名__________學號__________成績一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應位置．）1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式化簡集合，再利用集合交集運算即可得解.【詳解】因為，又，所以.故選：C.2.如果復數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實數(shù)）為純虛數(shù)，那么（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再結(jié)合復數(shù)的分類即可作答.【詳解】，因復數(shù)為純虛數(shù)，于是得且，解得，所以.故選：A3.已知，則（）A. B.2 C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】利用賦值法，即令，即可求得答案.【詳解】由于，故令，即得，即，故選：B4.有三對師徒共6個人，站成一排照相，每對師徒相鄰的站法共有（）A.72種 B.48種 C.54種 D.8種【答案】B【解析】【分析】因為每對師徒必須相鄰，所以，三對師徒進行捆綁，則有，捆綁后再次進行排列，則有種組合拍列，所以，每對師徒相鄰的站法共有種【詳解】由題意得每對師徒相鄰的站法共有故選：B【點睛】本題考查排列組合中的相鄰問題，屬于簡單題5.已知點，，動點C在圓上，則的最大值為（）A B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角換元得，即可根據(jù)向量的坐標運算求解，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】不妨設，．因為，，則，，所以．當時，即時等號成立，故選:D．6.若函數(shù)的最大值為2，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式，可得，根據(jù)基本不等式，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】因為，且最大值為，所以，即，故A一定成立；又，所以，當且僅當a=b時等號成立，故B一定成立；又，所以，當且僅當a=b時等號成立，故C一定成立；，當同號時，，當異號時，，故D不一定成立.故選：D7.函數(shù)的圖象是圓心在原點的單位圓的兩段?。ㄈ鐖D），則不等式的解集為（）A.或B.或C.或D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象得到函數(shù)是奇函數(shù)，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】由函數(shù)的圖象知：函數(shù)是奇函數(shù)，所以不等式等價于，如圖所示：函數(shù)與的圖象的交點是，所以的解集為：或，故選：A【點睛】本題主要考查不等式的解法以及函數(shù)奇偶性的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎題.8.從某個角度觀察籃球可以得到一個對稱的平面圖形如圖所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長8等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】建立坐標系，利用已知條件求出雙曲線的實半軸的長，虛半軸的長，然后求解半焦距，推出離心率即可．【詳解】解：以為原點，所在直線為軸建系，不妨設，則該雙曲線過點且，將點代入方程，即，解得，所以，故離心率為，故選：C．9.已知公比不為1的等比數(shù)列的前項和為，記：為等差數(shù)列；：對任意自然數(shù)為等差數(shù)列，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得出命題均等價于，再根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果.【詳解】因為命題成等差數(shù)列，所以，又數(shù)列為等比數(shù)列，且公比不為1，所以，整理得到，又命題成等差數(shù)列，所以，即，整理得到，所以是的充要條件，故選：C.10.某同學所在的課外興趣小組計劃用紙板制作一個簡易潛望鏡模型（圖甲），該模型由兩個相同的部件拼接粘連制成，每個部件由長方形紙板（圖乙）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長方形卷后為圓柱的側(cè)面．現(xiàn)建立如圖所示的以為坐標原點的平面直角坐標系．設為裁剪曲線上的點，作軸，垂足為．圖乙中線段卷后形成的圓?。▓D甲），通過同學們的計算發(fā)現(xiàn)與之間滿足關(guān)系式，求該裁剪曲線圍成的橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意，利用函數(shù)的周期，求出圓柱底面圓半徑，繼而求得橢圓短軸長，結(jié)合函數(shù)的最大值求得橢圓的長軸長，結(jié)合橢圓的離心率定義，即可求得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，所以相應圓柱的底面圓的周長為，故其直徑為4，故根據(jù)題意可知該橢圓的短軸長為，即，又的最大值為2，故橢圓的長軸長為，解得故，故橢圓的離心率為.故選：B.二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共18分，請把結(jié)果填在答題紙上的相應位置．）11.已知拋物線的焦點為，過的動直線與拋物線交于兩點，滿足的直線有且僅有一條，則拋物線的準線方程為__________．【答案】【解析】【分析】設，設l方程為，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，求出的表達式，說明當取最小值時，滿足的直線有且僅有一條，即可求得p的值，即可求得答案.【詳解】設，由題意知過的動直線的斜率不為0，故設其方程為，聯(lián)立，得，，故，又，當且僅當時，等號成立，即此時取最小值，即此時滿足的直線有且僅有一條，即，故拋物線的準線方程為，故答案為：12.已知角的終邊經(jīng)過點，則__________．【答案】##0.2【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到方程，求出，進而求出正弦和余弦，求出答案.【詳解】由題意得，解得，故，所以，，故.故答案為：13.等差數(shù)列滿足，則a5=______；若，則n=______時，{an}的前n項和取得最大值．【答案】①.4②.6【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項公式即可求出，再結(jié)合，得到，然后求出使時的正整數(shù)解即可．【詳解】等差數(shù)列滿足，所以，即，，所以，所以．令，解得，所以的前6項和取得最大值．故填：4，6．【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求法以及等差數(shù)列的單調(diào)性問題，還考查了學生轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎題．14.已知函數(shù)（1）若，則的零點是_______.（2）若無零點，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】①.②.【解析】【詳解】（1）若，則，令可得，即的零點是（2）若無零點,則如圖所示當此時，應有，當如圖所示，此時應有，綜上可得.15.設等差數(shù)列的前項和為，則有以下四個結(jié)論：①若，則②若，且，則且③若，且在前16項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為3:1，則公差為2④若，且，則和均是的最大值其中正確命題的序號為___________.【答案】①②④【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式、下標和性質(zhì)與前項和公式，依次分析各結(jié)論即可得解.【詳解】對于①，因為是等差數(shù)列，，所以，故①正確；對于②，因為，所以，即是遞增數(shù)列，因為，即，所以，即，則，所以且，故②正確；對于③，因為，所以，則，則，又，，所以，即，故，得，，所以的公差為，故③錯誤；對于④，因為，即，即，整理得，因為，所以，由于，所以，故，即，因為，所以是遞減數(shù)列，則，，所以，，故和均是的最大值，故④正確.故答案為：①②④.三?解答題（本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．請把結(jié)果填在答題紙上的相應位置．）16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，．（1）求的大??；（2）已知是的中線，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，化簡，可得，結(jié)合余弦定理即可求得答案；（2）由，，利用基本不等式可得，再根據(jù)是的中線，可得，平方后結(jié)合數(shù)量積的運算可得，即可求得答案.【小問1詳解】由于在中，，，則，則，由于；【小問2詳解】因為，，所以，故，當且僅當，即時等號成立，故；由是的中線，得，即得，即得，故的最大值為.17.甲、乙兩名同學積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內(nèi)甲進行了6次測試，乙進行了7次測試.每次測試滿分均為100分，達到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學的測試成績?nèi)缦卤恚捍螖?shù)同學第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694（1）從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率；（2）從甲同學進行的6次測試中隨機選取4次，設X表示這4次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望EX；（3）從乙同學進行的7次測試中隨機選取3次，設Y表示這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學期望EY與（2）中EX的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）的分布列為所以.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，代入古典概型的概率計算公式即可求解；（2）根據(jù)題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應的概率，列出分布列并計算出期望即可求解；（3）根據(jù)題意先求出所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應的概率，計算出期望與（2）中期望即可求解；【小問1詳解】由題意可知：甲、乙兩名同學共進行的13次測試中，測試成績超過90分的共4次，由古典概型的概率計算公式可得，所以從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率.【小問2詳解】由題意可知：從甲同學進行的6次測試中隨機選取4次，這4次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)的可能取值為1，2，3，則；；，所以的分布列為所以.【小問3詳解】由題意可知：從乙同學進行的7次測試中隨機選取3次，這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則；；；；所以的分布列為所以，.18.如圖，在長方體中，，和交于點E，F(xiàn)為AB的中點.（1）求證：∥平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求（i）平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；（ii）點A到平面CEF的距離.條件①：；條件②：直線與平面所成的角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）證明見解析（2）（?。áⅲ?【解析】【分析】（1）利用空間中直線與平面平行的判定定理，結(jié)合三角形中位線即可證明；（2）若選條件①，利用，通過推理論證得到，建立空間直角坐標系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點到面的距離公式運算求解；若選條件②，利用與平面所成角為，通過推理論證得到，建立空間直角坐標系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點到面的距離公式運算求解．【小問1詳解】如圖，連接，，.因為長方體中,∥且，所以四邊形平行四邊形.所以為的中點，在中，因為，分別為和的中點，所以∥.因為平面，平面，所以∥平面.小問2詳解】選條件①：(ⅰ)連接.因為長方體中，所以.在中,因為為的中點，，所以.如圖建立空間直角坐標系，因為長方體中,，則，，，，，，.所以，，.設平面的法向量為，則即令，則，，可得.設平面的法向量為，則即令，則，，所以.設平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.(ⅱ)因為，所以點到平面的距離為.選條件②：與平面所成角為.連接.因為長方體中，平面，平面，所以.所以為直線與平面所成角，即.所以為等腰直角三角形.因為長方體中，所以.所以.以下同選條件①.19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：若在區(qū)間上存在唯一零點，則．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）討論、，結(jié)合導數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）由，討論、研究導數(shù)符號判斷單調(diào)性，進而判斷題設不等式是否恒成立，即可得參數(shù)范圍；（3）根據(jù)（2）結(jié)論及零點存在性確定時在上存在唯一零點，由零點性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)性，應用分析法將問題轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設，當時，，則在R上遞增；當時，令，則，若，則，在上遞減；若，則，在上遞增；綜上，時的遞增區(qū)間為R，無遞減區(qū)間；時的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由，當時，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；當時，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，所以在上遞減，在上遞增，要使對恒成立，所以，只需，令且，則，即遞減，所以，故在上不存在；綜上，【小問3詳解】由（2）知：時，在恒有，故不可能有零點；時，在上遞減，在上遞增，且，所以上，無零點，即，且趨向于正無窮時趨向正無窮，所以，在上存在唯一，使，要證，只需在上恒成立即可，令，若，則，令，則，即在上遞增，故，所以，即在上遞增，故，所以在上恒成立，得證；故，得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，通過討論確定在某一單調(diào)區(qū)間上存在唯一零點的a的范圍后，應用分析法證恒成立即可.20.已知橢圓的離心率為，且其左頂點到橢圓外的直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，為直線上的動點，直線分別交直線于（異于），求線段的中點坐標.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用離心率和左頂點到橢圓外的直線的距離列方程組得到的值，從而得到橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，再代入橢圓方程，整理后應用韋達定理得，然后利用直線分別交直線得的坐標，從而求線段的中點坐標.【小問1詳解】由題意知橢圓的左頂點坐標為，又左頂點到橢圓外的直線的距離為，所以，得，又橢圓的離心率為，即，在橢圓中，，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設過點且斜率為的直線的直線方程為,代入橢圓方程可得，即，則，由為直線上的動點，設，則直線的方程為，即，把代入得，即，同理，則直線的方程為，把代入得，即，則線段的中點坐標，即.設過點且斜率為的直線的直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，即，則，整理得.因為，所以，設，由韋達定理可得①，②；由為直線上的動點，設，則直線的方程為，即，代入，得，即，同理，直線的方程為，與直線的交點.線段的中點坐標，所以③.把①②代入③可得：.故的中點坐標.【點睛】方法點睛：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)、方程思想、計算能力、推理論證能力，解題時要善于未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題和利用偉大定理進行化簡整理.這類問題的求解策略為：直接推理、計算，并在計算中提取變量，從而得到定點.21.已知數(shù)列A：的各項均為正整數(shù)，設集合，記T的元素個數(shù)為．（1）若數(shù)列A：1，2，4，3，求集合T，并寫出的值；（2）若A是遞增數(shù)列，求證：“”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；（3）若，數(shù)列A由這個數(shù)組成，且這個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求的取值個數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用列舉法寫出符合題意的所有的的取值可能，得出的值；（2）先假設數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，公差為，則可知，當時，，則可知的最大值為，最小值為，