北師大初中數(shù)學教案八年級上冊 第七章 平行線的證明

第七章平行線的證明

7.1為什么要證明

一、學生知識狀況分析

學生的技能基礎：在七年級和八年級上學生學習了很多與幾何相關的知識，為今天的

進一步的學習作好了知識儲備，同時，學生也經歷了很多驗證結論合理性的過程，有了初步

的邏輯推理思維，合情推理能力得到了很大的提高，為今天系統(tǒng)的培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬐评?/p>

能力打下了良好的基礎.

學生活動經驗基礎：在以往的幾何學習中，學生已經參與了對幾何圖形的觀察、比較、

動手操作、猜測、歸納等活動，對今天本節(jié)課的分組討論、自主探究等活動有很大的幫助.

二、教學任務分析

學生的直觀能力是數(shù)學教學中要培養(yǎng)的一個方面,但如果學生僅有對圖形的直觀感受而不能

進行推理、論證，有時是會產生錯誤的結論，本課時安排《你能肯定嗎》的教學是讓學生的

直觀感受與實際結果之間產生思維上的碰撞，從而使學生對原有的直觀感覺產生懷疑，從而

確立對某一事物進行合理論證的必要性。因此，本課時的教學目標是：

1.運用實驗驗證、舉反例驗證、推理論證等方法來驗證某些問題的結論正確與否.

2.經歷觀察、驗證、歸納等過程，使學生對由這些方法所得到的結論產生懷疑，以此激發(fā)學

生的好奇心，從而認識證明的必要性，培養(yǎng)學生的推理意識.

3.了解檢驗數(shù)學結論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理論證等.

三、教學過程分析

本節(jié)課的教學思路為：驗證活動（1）——猜想并驗證活動（2）——猜想并驗證活動（3）

一一經驗總結——學生練習一一課堂小結一一鞏固練習

第一環(huán)節(jié)：驗證活動（1）

活動內容：

某學習小組發(fā)現(xiàn)，當n=0,1,2,3時，代數(shù)式1√-n+ll的值都是質數(shù)，于是得到結論:

對于所有自然數(shù)n,/-/U的值都是質數(shù).你認為呢？與同伴交流.

參考答案：列表歸納為

n02_4__5__6__7__8__9_1011____???

n2-n+ll11111317233141536783_101121

是否為質

是是是是是是是是是是是不是

數(shù)________

第二環(huán)節(jié)：猜想并驗證活動（2）

活動內容：

如圖，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那

么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進一個

紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？

參考答案：設赤道周長為c,鐵絲與地球赤道之間的間隙為：

山--—=-1-≈0.16（w）

2萬2π2π

它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進一個拳頭.

第三環(huán)節(jié)：猜想并驗證活動（3）

活動內容:

如圖，四邊形ABCD四邊的中點E、F、G、H,度量四邊形EFGH的邊和角，你能發(fā)現(xiàn)什

么結論？改變四邊形ABCD的形狀，還能得到類似的結論嗎？

參考答案：連接AC.

YE、F、G、H分別是四邊形ABCD四邊中點，

ΛEF√AC,EF=iAC;GH√AC,GH=?AC；∕×?

2

.?.EF平行且等于GH,

，四邊形EFHG為平行四邊形.

第四環(huán)節(jié)：歸納與總結

活動內容：

①通過以上三個數(shù)學活動，使學生對每一個問題的結論的正確性有了懷疑，從而知道

了由觀察、猜想等渠道得到的結論還必須經過有效的證明才能對其進行肯定.也即：要判斷

一個數(shù)學結論是正確，僅觀察、猜想、實驗還不夠，必須經過一步一步，有根有據的推理.

②舉例說明“推理意識”與推理方法.

第五環(huán)節(jié)：反饋練習

活動內容：1.如圖中兩條線段a與方的長度相等嗎？請你先觀察，再度量一下.

答案：a與。的長度相等.

第1小題圖第2小題圖

2.如圖中三條線段a、b、G哪一條線段與線段d在同一直線上？請你先觀察，再用三角尺

驗證一下.

答案：線段6與線段d在同一直線上.

3.當〃為正整數(shù)時，4+3加1的值一定是質數(shù)嗎？

答案：經驗證：當〃為正整數(shù)時，//+3加1的值一定是質數(shù).

第六環(huán)節(jié)：課堂小結

活動內容：

今天這節(jié)課你學到了什么知識？

參考答案：①要說明一個數(shù)學結論是否正確，無論驗證多少個特殊的例子，也無法保證其

正確性.

②要確定一個數(shù)學結論的正確性，必須進行一步一步、有根有據的推理.

第七環(huán)節(jié)鞏固練習

課本第217頁習題6.1第2,3題.

為什么要證明

教學目標：

L運用實驗驗證、.舉反例驗證、推理論證等方法來驗證某些問題的結論正確與否..

2.經歷觀察、驗證、歸納等過程，使學生對由這些方法所得到的結論產生懷疑，以此激

發(fā)學生的好奇心，從而認識證明的必要性，培養(yǎng)學生的推理意識.

3.了解檢驗數(shù)學結論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理論證等.

教學重難點：

重點：理解推理、論證的必要性

難點：推理論證的過程

教學過程：

第一環(huán)節(jié)：驗證活動一（1）

活動內容：

某學習小組發(fā)現(xiàn)，當n=0,1,2,3時，代數(shù)式n'-n+ll的值都是質數(shù)，于是得到結論:

對于所有自然數(shù)n,n"n+ll的值都是.質數(shù).你認為呢？與同伴交流.

參考答案：列表歸納為

n01234567891011???

n2-n+ll11111317233141536783101121

是否為質

是是是是是是.是是是.是是.不是

數(shù)

目的：（受到知識有時具有一定的迷惑性（欺騙性），從而對不完全歸納的合理性產生懷疑）

第二.環(huán)節(jié)：猜想并驗證活動（2）.

活動內容：

如圖，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么

鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進一個紅棗

嗎？能,放進一個拳頭嗎？

參考答案：設赤道周長為c.,鐵絲與地球赤道之間的間隙為：

?7^?=?≈0?16^

它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進一個拳頭.

第三環(huán)節(jié)：猜想并驗證活動（3）

活動內容：

如圖，四邊形ABCD四邊的中點E、F、G、H,度量四邊形EF.GH的邊和角，你能發(fā)現(xiàn)什

么結論？改變四邊形ABCD的形狀，還能得到類似的結論嗎？

參考答案：連接AC.

VE,F、G、H分別是四邊形ABCD四邊中點，

ΛEFΛ,AC,EF=?AC；GH√AC,GH=?AC；

22

ΛEF平行且等于GH,

.?.四邊形EFHG為平行四邊形.

第四環(huán)節(jié)：反饋練習

活動內容：1.如圖中兩條線段a與6的長度相等嗎？請你先觀察，,再度量一下.

答案：a與方的長度相等.

第1小題圖&--------------.第2小題圖d/

2.如圖中三條線段a、b、G哪一條線段與線段，在同一直線上？請你先觀察，再用三角尺

驗證一下.

答案：線段6與線段d在同一直線上.

3.當〃為正整數(shù)時，#+3加1的值一定是質數(shù)嗎？

答案：經驗證：當A為正整數(shù)時，//+3加1的值一定是質數(shù).

第五環(huán)節(jié)：課堂小結

第六環(huán)節(jié)：鞏固練習

課本第217頁習題6.1第2,3題

第七章平行線的證明

7.2定義與命題（一）

總體說明

在了解推理的重要性以后，從本節(jié)課開始的連續(xù)兩節(jié)課將向學生簡單介紹定義、命題、真命

題、假命題、公理、定理等一些術語和名詞，為后面的學習打好基礎，作好鋪墊.

一、學生知識狀況分析

學生技能基礎：學生在以前的學習中接觸了不少的幾何知識，對很多名詞、概念有了很深刻

的認識,本節(jié)課將對學生傳授定義與命題的基本含義,學生對此已經有比較多的經驗和基礎.

活動經驗基礎：在前面的學習中，學生對本節(jié)課將要采取的討論、舉例說明等學習方式有了

比較深刻的認識，為今天的學習作了必要的鋪墊.

二、教學任務分析

在幾何中，有許許多多的定義、定理、公理等概念，還有一些真真假假的命題需要學生去辨

別、去認識，本節(jié)課安排《定義與證明》旨在讓學生對定義、定理、公理等概念有一個清楚

的認識和了解，為此，本節(jié)課的教學目標是：

1.了解定義與命題的含義，會區(qū)分某些語句是不是命題.

2.用比較數(shù)學化的觀點來審視生活中或數(shù)學學習中遇到的語句特征.

3.通過對某些語句特征的判斷學會嚴謹?shù)乃伎剂晳T.

三、教學過程分析

本節(jié)課的設計思路為：情景引入一一命題含義（情景引入）一課堂練習——課堂小結——

課后練習

第一環(huán)節(jié)：情景引入（由學生表演）

活動內容：

小亮和小剛正在津津有味地閱讀《我們愛科學》.

小亮說：……

小剛說：“是的，現(xiàn)在因特網廣泛運用于我們的生活中，給我們帶來了方便，但……”

小亮說：“……”

小剛說：“……”

小亮說：“哈！，這個黑客終于被逮住了……

坐在旁邊的兩個人一邊聽著他們的談話，一邊也在悄悄議論著：

一人說：“這黑客是個小偷吧？”

另一人說：“可能是喜歡穿黑衣服的賊.”……

一人說：“那因特網肯定是一張很大的網.”

另一人說：“估計可能是英國造的特殊的網.”……（表演結束）

教師提出問題：在這個小品中，你得到什么啟示？

（人與人之間的交流必須在對某些名稱和術語有共同認識的情況下才能進行.為此，我們需

要給出它們的定義.）

對某些名稱和術語有共同的認識才能進行；

②對定義含義的解釋；

③舉例說明生活中和數(shù)學學習中所熟知的定義（學生舉例，看哪個小組的舉例又多又好）;

第二環(huán)節(jié)：命題含義(情景引入)

活動內容：

①師：如果B處水流受到污染，那么

處水流便受到污染；

如果C處水流受到污染，那么一處水流便受

到污染；

如果D處水流受到污染，那么一處水流便受

到污染；

學生自編自練：如果處水流受到污染，那

么一處水流便受到污染.

(［生甲］如果8處工廠排放污水，那么/、B、

a〃處便會受到污染.

［生乙］如果8處工廠排放污水，那么爪F、G處也會受到污染的.

［生丙］如果C處受到污染，那么4B、C處便受到污染.

［生丁］如果C處受到污染，那么〃處也會受到污染的.

［生戊］如果處受到污染，那么4B處便會受到污染.

［生己］如果H處受到污染，我認為是A處的那個工廠或6處的那個工廠排放了污水.因為

力處工廠的水向下游排放，6處工廠的污水也向下游排放.

老師歸納：同學們在假設的前提條件下，對某一處受到污染作出了判斷.像這樣，對事情作

出判斷的句子，就叫做命題.

即：命題是判斷一件事情的句子.如：

熊貓沒有翅膀.

對頂角相等.

大家能舉出這樣的例子嗎？

［生甲］兩直線平行，內錯角相等.

［生乙］無論〃為任意的自然數(shù)，式子〃2一加H的值都是質數(shù).

［生丙］內錯角相等.

［生?。萑我庖粋€三角形都有一個直角.

［生戊］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

［生己］全等三角形的對應角相等.

［師］很好.大家舉出許多例子，說明命題就是肯定一個事物是什么或者不是什么，不能同

時既否定又肯定，如：

你喜歡數(shù)學嗎？

作線段AFa.

平行用符號表示.

這些句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它們就不是命題.

一般情況下：疑問句不是命題.圖形的作法不是命題.)

第三環(huán)節(jié)：反饋練習

活動內容：

1.你能列舉出一些命題嗎？

答案：能.舉例略.

2.舉出一些不是命題的語句.

答案：如：①畫線段49=3cm.

②兩條直線相交，有幾個交點？

③等于同一個角的兩個角相等嗎？

④在射線笳上，任取兩點&C.等等.

第四環(huán)節(jié)：課堂小結

活動內容：

①定義的含義：對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，就是它們的定義；

②命題的含義：判斷一件事情的句子，叫做命題，如果一個句子沒有對某一件事情作出任

何判斷，那么它就不是命題.

第五環(huán)節(jié)課后練習

學習小組搜集八年級數(shù)學課本中的新學的部分定義、命題，看誰找得多.

四、教學反思

本節(jié)課的設計具有如下特點：

(1)采用了“小品表演”的形式引入新課，意在激起學生對數(shù)學的興趣，讓學生知道，數(shù)

學不是枯燥無味的。并能從表演中不同的人對“黑客”這個名詞的不同理解更好地悟出“定

義”的含義。

(2)在教學設計中，充分展示學生的語言表達能力，力圖通過學生的自主學習來體現(xiàn)學生

的主體地位，教師則通過對學生的啟發(fā)、調整、激勵來實現(xiàn)自己的主導地位。

(3)“什么是定義？什么是命題？”，關于這方面的教學更象是文科的教學，但我們注重的

不是讓學生去死記硬背這些名詞的解釋，而應側重于對這些名詞的理解。

§7.2定義與命題(二)

一、學生知識狀況分析

學生技能基礎：學習本節(jié)之前，學生已經對命題的含義有所了解，并且已經學習過一些

公理和定理，為公理化思想的培養(yǎng)作好了充分準備.

活動經驗基礎：有了上一節(jié)的活動基礎，學生對本節(jié)課主要采取學生分組交流、討論、

舉例說明的學習方式有比較好的活動經驗.

二、教學任務分析

在上一節(jié)課的學習中，學生對命題的概念有了清楚的認識，但學生對于命題的構造，什么是

真命題，什么是假命題還不甚了解，本節(jié)課旨在讓學生對真假命題有一個清楚的認識，從而

進一步了解定理、公理的概念，為此，本節(jié)課的教學目標是：

L了解命題中的真命題、假命題、定理的含義；

2.解命題的構成，能區(qū)分命題中的條件和結論。

3.經歷實際情境，初步體會公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理.

4.培養(yǎng)學生的語言表達能力。

三、教學過程分析

本節(jié)課的設計分為五個環(huán)節(jié)：回顧引入一一探索命題的結構一一思考探討一讀一讀一

一課堂反思與小結.

第一環(huán)節(jié)：回顧引入

活動內容：

①什么叫做定義？舉例說明.②什么叫命題？舉例說明.

第二環(huán)節(jié)：探索命題的結構

活動內容：

①探討命題的結構特征

觀察下列命題，發(fā)現(xiàn)它們的結構有什么共同特征？

(1)如果兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形全等.

(2)如果一個三角形是等腰三角形，那么這個三角形的兩個底角相等.

(3)如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形.

(4)如果一個四邊的對角線相等，那么這個四邊形是矩形.

(5)如果一個四邊形的兩條對角線互相垂直，那么這個四邊形是菱形.

②總結命題的結構特征

(1)上述命題都是“如果……，那么……”的形式.

(2)“如果……”是已知的事項，“那么……”是由已知事項推斷出的結論.

(3)一般地命題都可以寫成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是條

件，“那么”引出的結論，每個命題都有條件和結論.

第三環(huán)節(jié)：課堂反思與小結

活動內容：

本節(jié)課的重點是了解命題中的真假命題、公理、定理的含義，通過學習學會區(qū)分命題的條件、

結論，學會判別真、假命題，理解反例、證明等概念.

四、教學反思

本節(jié)課的教學看似很容易，但要讓學生真正弄清命題的含義，理清命題的構成并不容易，更

多的學生只是能機械地將一個命題改寫成“如果……那么……”的形式，往往改寫的語句不

夠通順、完整。因此，在教學中，進行適當?shù)撵柟叹毩暿潜匾?，但要注意，應允許部分學

生在課余時間自行消化。

在探討命題的結構特征和修改命題形式時,有的學生可能會說出比較幼稚、甚至可笑的語句,

盡管如此，也應讓學生大膽說出自己的意見，避免學生機械模仿，要允許學生有錯誤，并能

在自行改正錯誤中調整前進。

定義與命題(第1課時)

教學目標：

1.了解定義與命題的含義，會.區(qū)分某些語句是不是命題.

2.用比較數(shù)學化的觀點來審視生活中或數(shù)學學習中遇到的語句特征.

3.通過對某些語句特征的判斷學會嚴謹?shù)?思考習慣.

教學過程:

第一環(huán)節(jié)：情景引入（由學生表演）

活動內容：

小亮和小剛正在津津有味地閱讀《我們愛科學》.

小亮說：……

小剛說：“是的，現(xiàn)在因特網廣泛運用于我們的生活中，.給我們帶來了方便，但……”

小亮說：“……”

小剛說：“……”

小亮說：“哈！，這個黑客終于被逮住了……

坐在旁邊的兩個人一邊聽著他們的談話，一邊也在悄悄議論著：

一人說：“這黑客是個小偷吧？”

另一人說.：“可能是喜歡穿黑衣服的賊.”……

一人說：“那因特網肯定是一張很大的網.”

另一人說：「'估計可能是英國造的特殊的網…….（表演結束）

.教師提出問題：在這個小品中，你得到什么啟示？

（人與人之間的交流必須在對某些名稱和術語有共同認識的情況下才能進行.為此，我

們需要給出它們的定義.）

①關于“黑客”對話的片斷.來引入生活中交流時必須對某些名稱和術語有共同的認識才能

進行;

②對定義含義的解釋;

③舉例說明生活中和數(shù)學學習中所熟知的定義（學生舉例，看哪個小組的舉例又多又好）;

第二環(huán)節(jié)：命題含義（情景引入）

活動內容:

①.師：如果B處水流受到污染，那么

處水流便受到污染;

如果C處水流受到污染，那么處水流便受到污染；

如果D處水流受到污染，那么.一處水流便受到污染；

②學生自編自練：如果一處水流受到污染，那么一處水流便受到污染.

(［生甲］如果8處工廠排放污水，那么/、B、a〃處便會受到污染.

［生乙］如果8處.工廠排放污水，那么￡F、G處也會受到污染的.

［生丙］如果C處受到污染，那.么4、B、「處便受到污染.

［生丁］如果C處受到污染，那么〃處也會受到污染的.

［生戊］如果/處受到污染，那么4、B處便會受到污染.

［生己］如果H處受到污染，我認為是A處的那個工廠或6處的那個工廠排放了污水.因為

/處工廠的水向下游排放，3處工廠的污?水也向下游排放.

老師歸納：同學們在假設的前提條件下，對某一處受到污染作出了判斷.像這樣，對事情作

出判斷的句子.，就叫做命題.

即：命題是判斷一件事情的句子.如：

熊貓沒有翅膀.

對頂角相等.

大家能舉出這樣的例子嗎？

［生甲］兩直線平行，內錯角相等.

［生乙1無論〃為任意的自然數(shù)，式子〃2一由11的值都是質數(shù).

［生丙］內錯角相等.

［生?。萑我庖粋€三角形都有一個直角.

［生戊］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

［生己］全等三角形的對應角相等.

［師］很好.大家舉出許.多例子，說明命題就是肯定一個事物是什么或者不是什么，不

能同時既否定又肯定，如：

你喜歡數(shù)學嗎？

作線段AB=a.

平.行用符號表示.

這些句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它們就不是命題.

一一般情況下：疑問句不是命題.圖形的作法不是命題.）

第三環(huán)節(jié)：反饋練習

活動內容：

L你能列舉出一些命題嗎？

答案:能.舉例略.

2.舉出一些不是命題的語句.

答案：如：①畫線段45=3cm.

②兩條直線相交，有幾個交點？

③等于同一個角的兩個角相等嗎？

④在射線力上，任取兩點反C.等等.

第四環(huán)節(jié)：課堂小結

活動內容：

①定義的含義：對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，就是它們的定義；

②命題的含義：判斷一件事情的句子，叫做命題，如果一個句子沒有對某一件事情作出任

何判斷，那么它就不是命題.

定義與命題（第2課時）

教學目標：

1.了解命題.中的真命題、假命題、定理的含義；

2.解命題的構成，能區(qū)分命題中的條件和結論。

3.經歷實際情境，初步體會公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理.

4.培養(yǎng)學生的語言表達能力。

教學過程：

第一環(huán)節(jié)：回顧引入

活動內容：

①什么叫做定義？舉例說明.②什么叫命題？舉例說明.

第二環(huán)節(jié)：探索命題的結構

活動內容：

①探討命題的結構特征

觀察下列命題，發(fā)現(xiàn)它們的結構有什么共同特征？

(1)如果兩個三角.形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形全等.

(2)如果一個三角形是等腰三角形，那么這個三角形的兩個底角相等.

(3)如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形.

(4)如果一個四邊的對角線相等，那么這個四邊形是矩形.

(5)如果一個四邊形的兩條對角線互相垂直，那么這個四邊形是.菱形.

②總結命題的結構特征

(1)上述命題都是“如果……，那么……”的形式.

(2)“如果……”是已知的事項，“那么……”是由已知事項推斷出的結論.

(3)一般地命題都可以寫成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分

是條件，“那么”引出的結論，每個命題都有條件和結論.

第三環(huán)節(jié)：思考探討

活動內容：

①找出下述命題中的條件和結論，指出它們哪些是正確的命題？哪些是不正確.的命

題？你又是如何知道的呢.？

(1)如果兩個角相等，那么它們是對頂角；

(2)如果a>b,b>c,那么a=c?,

(3)兩角.和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等；

(4)菱形的四條邊都相等；

(5)全等三角形的面積相等.

②探究真假命題的驗證

說明一個命題是假命題，通常舉出一個反例就可以了，使之具備命題的條件，而不具有

命題的結論，這種例子稱為反.例，但是要說明一個命題是正.確的無論驗證多少個特例，也

無法保證命題的正確性.如何驗證命題的正確性呢？

結論：正確的命題稱為真命題，.不正確的.命題稱為假命題.

第四環(huán)節(jié).：讀一讀

活動內容：

①介紹《幾何原本》、公理、定理等知識.

在數(shù)學發(fā)展史上，數(shù)學家們也遇到過類似的問題.公元前3世紀，人們已經積累了大量

知識，在此基礎上，古希臘數(shù)學家歐幾里德（公元前300前后）編寫了一本書，書名叫《原

本》，為了說明每一結論的正確性，他在編寫這本書時進行了大膽創(chuàng)新，挑選了一.部分數(shù)學

名詞和一部分公認的真命題.作為證實其它命題的起始依據，其中的數(shù)學名詞稱為原名.，公

認的真命題稱為公理，除了公理外，其他真命題,的正確性都通過推理的方法證實，推理的

過程稱為證明，經過證明的真命題稱為定理，而證明所需要的定義、公理和其他定理都編

寫在要證明的這個定理的前面.

《原本》問世之前，世界上還沒有一本數(shù)學書籍象《原本》這樣編排，因此，《原本》

是一部具有劃時代意義的著作.

②公理、定理、概念和證明的關系.

③介紹本教材的公理.

1.兩點確定一條直線。

2.兩點之間線段最短。

3.同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

6.兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等.

7.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等.

8.三邊對應相等的兩個三角形全等.

此八條基本事實前面已詳細探索過，不必驗證它們.的正確性，可以直接用來證實其它

命題的正確性，另外一條我們將在以后認識它。此外等式和不等式的有關性質也可看作公

理.比如：如果a=b,b=c,那么a=c.

④讀一讀《原本與幾何原本》

第五環(huán)節(jié)：課堂反思與小結

活動內容：

本節(jié)課的重點是了解命題中的真假命題、公理、定理的含義，通過學習學會區(qū)分命題的條件、

結論，學會判別真、假命題，理解反例、證明等概念.

平行線的判定教學設計

一、教學內容解析

本節(jié)課是人教版七年級下冊第五章（相交線與平行線）中第二節(jié)（平行線及其判定）

的第二小節(jié)（平行線的判定）的第一課時.主要內容是平行線的判定方法，這是本章的重點

內容之一.本節(jié)首先通過平行線的畫法等實例讓學生在畫圖、觀察、實驗、歸納的基礎上發(fā)

現(xiàn)并認可“同位角相等，兩直線平行”的判定方法.在此基礎上再通過探索并證明得到“內

錯角相等（或同旁內角互補），兩直線平行”的判定方法.

這部分內容是繼“同位角、內錯角、同旁內角”即三線八角內容之后學習的又一個重

要知識，同時它又是空間與圖形領域的基礎知識，學好它會為后面繼續(xù)學習平行線的性質、

三角形、.四邊形等知識打下堅實的基礎.平行線還是學習其它有關學科，如物理等的重要數(shù)

學基礎.是人們在日常生活中經常接觸到的一種圖形，能使人們更好的認識與平行線有關的

實際事物.

在本節(jié)的學習中，還滲透了在解決問題以及推理論證中最常用的“轉化”的數(shù)學,思想

方法，即由未知轉化為已知，轉化為已解決的問題.同時在探究的過程中也體現(xiàn)了“由特殊

到一般”的數(shù)學思想方法.

以上都說明這部分內容在本節(jié)、本章乃至整個初中數(shù)學中都有著十分重要的地位和作

用.

教學重點：平行線的三個判定方法.

教學難點：本節(jié)課的教學難點有兩個，一個是判定方法1的得出；另一個是得出判定

方法2、3的“簡單推理”的過程.

二、教學目標設置

1.知識與技能

（1）掌握“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這一基

本事實；探索并證明“兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等（或同旁內角互補），

那么兩直線平行”；

（2）會用平行線的判定方法判定兩條直線平行，初步學會用文字語言及符號語言進行

簡單的推理和表述.

2.過程與方法

在探索圖形的過程中，通過觀察、操作、交流、說理等方式，有條理的思考和表達自己

的探索過程和結果，體會發(fā)現(xiàn)和得到幾何結論的一般方法，從而進一步培養(yǎng)學生動手操作、

主動探究、合作交流以及語言表達的能力.同時體會“轉化”及“特殊到一般”的數(shù)學思想

方法.

3.情感態(tài)度與價值觀

讓學生在活動中體驗探索、交流、成功與提升的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)

學生勇于實踐，大膽猜想、合情推理的科學態(tài)度.

三、學生學情分析

從認知結構的角度，七年級的學生已經具備一定的生活經驗和數(shù)學活動經驗，并且對基

本的幾何圖形有一定的認識.學生已經學習了平行線的定義、畫法、平行公理等知識，具備

了探究平行線的判定方法的條件和基礎.特別是已經知道平移三角尺畫平行線的方法以及

“平移”過去是平行的事實.但在邏輯思維、幾何語言以及合作交流的意識等方面發(fā)展不夠

均衡，同時通過“說理”、“簡單推理”,等言之有據的解答問題的習慣和能力還很薄弱.

四、教學策略分析

1.在本節(jié)內容的呈現(xiàn)上注意充分體現(xiàn)學生的認知過程，給學生提供充足的探索與交流

的時間和空間.特別是在判定方法1的得出過程中，要.讓學生通過畫圖、觀察、交流、猜想、

驗證等去主動發(fā)現(xiàn)結論，并承認結論的正確性，同時培養(yǎng)他們的直覺思維和創(chuàng)造性思維，體

現(xiàn)“實驗幾何”的特點.

2.注意突出本節(jié)課的重點內容.因為本節(jié)課有三個判定方法，內容較多，所以在教學

中，還應重點突出判定方法1的教學，課堂活動也主要圍繞著它進行，這也是因為判定2、

3都是在判定1的基礎上得到的，所以要給學生充足的思考、探究的時間.但實際上先有哪

個判定方法都可以得到另外兩個，這一點如果學生想到并提出的話要予以適當說明.

3.因為本章的教學是“推理”的入門階段，所以在識圖、畫圖、幾何語言的訓練上只

是從“說理”過渡到“簡單推理”.在判定2、3的學習中用說理的方式展示推理的過程，強

調讓學生經歷推理的過程，感受推理論證的作用，使說理、推理作為觀察、實驗、探究得出

結論的自然延續(xù).盡管只是入門階段，但對學生來說是一個難點，因此教師要有規(guī)范的示范,

同時注意循序漸進、因材施教，不能作統(tǒng)一要求或要求過高.

4.為了體現(xiàn)通過“做數(shù)學”來學習數(shù)學這一特點.，本節(jié)通過生活中的實例，及學生畫

圖、觀察、交流、驗證、歸納等活動，探索發(fā)現(xiàn)平行線的三個判定方法，然后再對它們進行

說明、解釋或論證，也體現(xiàn)了由“實驗幾何"到''論證幾何”的過渡.在發(fā)現(xiàn)問題、探究結

論、解決問題的過程中，呈現(xiàn)具體一抽象--具體的過程.

5.本節(jié)課的教法主要是引導一一操作法、觀察法、討論法、多媒體電化教學法相結合.

學法主要是學生動手實踐、自主探索與合作交流相結合.

五、教學過程

教學流程安排

_________________活動流程_____________________________活動內容和目的_____________

活動1：通過實例引出新課介紹角尺、演示木工用角尺畫平行線的

過程，引起學生興趣、為后面出現(xiàn)的應用問

題做鋪墊.

從用直尺和三角尺畫平行線開始，設計

活動2：探究判定方法1問題串，引導學生探究并認可“同位角相等，

兩直線平行”.

首先明確判定1是畫法的依據，進而解

活動3：應用判定方法1解決（實際）問題決引課中的.問題，并通過一個直接應用問題

鞏固判定方法1.讓學生熟悉和應用判定L

活動4：在解決問題中探究判定方法2和3通過“小明的畫板問題”探究得到判定

方法2,并經過簡單推理予以證明.再讓學生

類比以上過程獨立說明判定方法3的正確性.

活動5：鞏固練習（例題）通過解決問題鞏固和加深對三個判定方

法的理解和掌握.

活動6：小結，布置作業(yè)引導學生總結回顧本節(jié)知識點，培養(yǎng)學

生的概括表達能力并鞏固知識、靈活應用.通

過補充作業(yè)題，滿足部分學生的需求.

教學過程設計

問題與情境_________師生行為__________________設計意圖_________

【活動1】同學們看過木工師教師請一名學生幫助演活動1來源于生活實際，

傅工作嗎？展示和介紹角尺示木工用角尺在木板上畫平用角尺演示木工畫圖過程容

的結構、用途，并演示畫圖.行線.學生觀察、思考，引出易激發(fā)學生的學習興趣;教材

F本節(jié)課題.中提到了這個實例,但學生很

少見到角尺的實物，為了''啟

后”，故在此展示；這個實例

又可以作為判定方法1的直

接應用.____________________

【活動2】探究本節(jié)課的問師生一起用直尺和三角一方面是復習，更重要的

題，從畫平行線開始入手.板畫平行線.是利用此畫法探究得到判定

方法1.

e_*這個過程比較重要,學生

畫圖只可以看到兩條平行線，

如何在圖形中反映出畫教師演示課件,引導學生沒有這個圖形是較難發(fā)現(xiàn)結

圖的過程？得到上面兩個圖形,并讓學生論的.

Zl和/2有著怎樣的數(shù)把自己的畫圖過程也如此反

量關系？多少度？又有著怎映出來.層層遞進的問題串體現(xiàn)

樣的位置關系？了思維和探究過程的連續(xù)性，

在畫圖中，三角板起著通過問題串引導學生發(fā)學生在教師的引導下發(fā)現(xiàn)自

怎樣的作用？現(xiàn)“畫法中畫的就是一對相等己確實是利用三角板畫了兩

可以用一個角代替三角的同位角”這一事實.個相等的同位角.

板嗎？用任意角代替三角板畫

用量角器能實現(xiàn)這一過平行線是對一般情況的證明，

程嗎？引導學生理解和承認結學生是可以理解的,可以發(fā)展

論的正確性,從而得到判定方學生的邏輯思維能力和想象

法1,并明確其用法.力等.

用量角器畫平行線,既是

對結論正確性的一種補充，

同時為后續(xù)的“數(shù)學活動”提

供了一種畫平行線的方法.

以上讓學生經歷發(fā)現(xiàn)、探

究結論的全過程，在操作、思

考中學生的體驗會更加深刻，

過程中也滲透了由特殊到一

般的思維過程和研究問題的

方法.

【活動3】用直尺和三角板畫

平行線的依據是什么呢？

教師再次提出這兩個實利用這兩個實際問題去

際問題，學生思考并解答問發(fā)現(xiàn)、得到判定方法1,再反

題.過來應用其解決實際問題,明

引導學生說出這兩種畫確依據,體現(xiàn)數(shù)學學習中的具

法的依據正是判定方法1；體----抽象----具體這一過

程.

如圖,已知Nl=52°,

當N2=時，AB//CD,理此問題讓學生思考、回

答,引導學生明確截線與被截應用和熟悉判定方法1,

線，準確說明理由.說明問題時要有理有據.

【活動4】小明有一塊小畫此問題由教材習題5.2

板，他想知道它的上下邊緣以“小明的小畫板問題”的第5題改編,應該比較吸引

是否平行，于是他在兩個邊提出問題，讓學生思考、交流學生,引起學生思考和解決問

緣之間畫了一條線段；小明其方法正確與否，并說明理題的愿望.

身邊只有一個量角器，他通由.

過測量某些角的大小就能知

道這個畫板的上下邊緣是否通過問題引出判定方法

平行，讓我們來看看他是怎2和3是對教材的引出方式的

樣做的.一個改變,可以起到更好的效

果，在學生解決問題的過程

中，很自然的得到了另外兩個

為說明結論成立的一般判定方法.

性，引導學生一起畫圖，明確

條件和結論,教師講解和示范

規(guī)范的推理過程,得到判定方通過對這兩個判定方法

如何說明結論的正確法2.的推理論證,讓學生知道數(shù)學

性？中的結論是需要證明其正確

同桌小麗還有另外一種通過小麗的方法說明正性的，而不僅僅是通過實驗、

度量方法，也可以嗎？確的理由后,讓學生仿照判定探究得出.兩個判定方法的不

請大家仿照判定方法2,方法2獨立完成畫圖，明確條同處理既給學生起到了示范，

畫圖進行說明.件、結論以及說理的過程，得同時又讓學生得到了訓練,當

到判定方法3.然這時還不易要求過高.

這時,教師及時對三個判

定方法及其探究過程進行總

結，向學生說明其中的數(shù)學思

想方法等.___________________

【活動5】例1如圖所教師用大屏幕依次展示通過前兩個問題,讓學生

示：例1、例2,學生思考、回答，正確應用判定方法,熟悉判定

(1)如果已知Nl=N3,同時進行適當?shù)囊龑?，反復、方法?內容，能夠準確表述，

則可判定—〃其準確的應用判定方法的條件培養(yǎng)分析、思考、解決問題的

理由是__________________；和結論,同時糾正學生在表述能力.

(2)如果已知/4+/中出現(xiàn)的問題.以填空的形式出現(xiàn),符合

5=180°,則可判定______//學生現(xiàn)有的認知水平,重點培

,其理由是注意關注學生能否準確養(yǎng)學生的理解和應用能力、準

______________________9的思考和表述,邏輯性是否正確表述思維過程的能力.

(3)如果已知/1=/6,確.特.別是例2的三種方法，

則可判定_____//_____,其是否準確的說清楚理由.根據教學過程的進程,例

理由是__________________;3可以作為備選內容，如果本

(4)如果已知N5+N例3要求學生能準確書節(jié)課處理，目的是讓學生初步

2=180°,那么根據對頂角相寫推理過程,關注學生對圖形掌握“簡單推理”過程，嚴謹、

等，有N2=,的處理以及理由是否書寫正準確的解答問題.時間不允許

因此可知N4+N5=,確，找學生用實物投影展示、的情況下,可以放在下一課時

所以可判定_____//______,說明其解答過程.解決.

其理由是

例3同時也是判定直線

A平行的一個方法,無論本節(jié)課

是否處理,都可以在下一課時

一起歸納總結平行線的所有

C判定方法.

￡?4------------F

.例2在鋪設鐵軌時,兩

條直軌必須是互相平行

的.如圖，已經知道/2是直

角，那么再度量圖中哪個角

(圖中已標出的)，就可以判

斷兩條直軌是否平行？說出

你的理由.___________________

“〃〃/〃〃/〃〃/

鐵軌

f∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕7∕777∕A

枕木

例3如圖，已知ALa,

cA.a,那么b與。平行嗎？

為什么？

bc

__________

u

【活動6】說說今天你學教師引導學生回顧、總結對本節(jié)課所學知識進行

了哪些平行線的判定方法.本節(jié)課所學內容，學生,回答，及時整理、鞏固和提高，培養(yǎng)

你能說一說我們得到這三個教師進行適當補充.學生整理、歸納的習慣和能

判定方法的過程嗎？除此之力.

外我們還有哪些收獲呢？

1.判定直線平行的三個

方法：

①同位角相等，兩直線

平行；

②內錯角相等，兩直線

平行；

③同旁內角互補，兩直

線平行.

2.我們知道了“轉化”

的數(shù)學思想方法.

3.我們要學會用“推

理”的方式解決數(shù)學問題.

布置作業(yè)：

教師布置作業(yè),學生記錄補充題有多種證法,屬于

教材第16頁習題5.2,

作業(yè).一題多解,鼓勵學有余力的學

第1、2、4、7題.

生積極思考，提高能力，樹立

補充題：

信心，調動學生學習的積極

已知：如圖，直線/6、CD、

性.，

跖被胸V所截，NI=N2,Z

3+Zl=180o,試說明CD//

EF.（考慮多種證法）

第七章平行線的證明

7.3平行線的判定

一、學生知識狀況分析

學生技能基礎：在學習本課之前，學生對平行線的判定已經比較熟悉，也有了初步的邏

輯推理能力，對簡單的證明步驟有較清楚的認識，這為今天的學習奠定了一個良好的基礎.

活動經驗基礎：在以往的幾何學習中，學生對動手操作、猜想、說理、討論等活動形

式比較熟悉，本節(jié)課主要采取學生分組交流、討論等學習方式，學生已經具備必要的基礎.

二、教學任務分析

在以前的幾何學習中，主要是針對幾何概念、運算以及幾何的初步證明（說理），在學生的

頭腦中還沒有形成一個比較系統(tǒng)的幾何證明體系，本節(jié)課安排《為什么它們平行》旨在讓學

生從簡單的幾何證明入手，逐步形成一個初步的、比較清晰的證明思路，為此，本課時的教

學目標是：

1.熟練掌握平行線的判定公理及定理；

2.能對平行線的判定進行靈活運用，并把它們應用于幾何證明中.

通過經歷探索平行線的判定方法的過程，發(fā)展學生的邏輯推理能力，逐步掌握規(guī)范的推理論

證格式.

3.通過學生畫圖、討論、推理等活動，給學生滲透化歸思想和分類思想.

三、教學過程分析

本節(jié)課的設計分為四個環(huán)節(jié):情景引入一一探索平行線判定方法的證明——反饋練習一一反

思與小結.

第一環(huán)節(jié)：情景引入

活動內容：

回顧兩直線平行的判定方法

師：前面我們探索過直線平行的條件.大家來想一想：兩條直線在什么情況下互相平行呢？

生1：在同一平面內，不相交的兩條直線就叫做平行線.

生2：兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行.

生3：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行.

師：很好.這些判定方法都是我們經過觀察、操作、推理、交流等活動得到的.

上節(jié)課我們談到了要證實一個命題是真命題.除公理、定義外，其他真命題都需要通過推理

的方法證實.

我們知道：“在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線”是定義.“兩條直線被第三條直

線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”是公理.那其他的三個真命題如何證實呢？

這節(jié)課我們就來探討?

第二環(huán)節(jié)：探索平行線判定方法的證明

活動內容：

①證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.

師：這是一個文字證明題，需要先把命題的文字語言轉化成幾何圖形和符號語言.所以

根據題意，可以把這個文字證明題轉化為下列形式：

如圖，已知，/1和/2是直線a、6被直線C截出的同旁內角,且Nl與/2互補，求證：a

//b.

如何證明這個題呢？我們來分析分析.

師生分析：要證明直線a與6平行，可以想到應用平行線的判

理來證明.這時從圖中可以知道：Nl與/3是同位角，所以只

明Nl=N3,則a與人即平行.

因為從圖中可知N2與N3組成一個平角，即∕2+N3=180°,

以：Z3=180o-Z2.又因為已知條件中有N2與Nl互補，

l=180o—N2,因此由等量代換可以知道：N1=N3.

師：好.下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫.（在書寫的同時說明：符號

讀作“因為”，讀作“所以”）

證明：YNl與N2互補（已知）.?.N1+∕2=18O°（互補定義）

ΛZl=180o-Z2（等式的性質）VZ3+Z2=180o（平角定義）

ΛZ3=180o-Z2（等式的性質）

/1=/3（等量代換）

.?.a〃方（同位角相等，兩直線平行）

這樣我們經過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命題稱為：直線平行的判

定定理.

這一定理可簡單地寫成：同旁內角互補，兩直線平行.

注意：（1）已給的公理，定義和已經證明的定理以后都可以作為依據.用來證明新定理.（2）

證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”.這些根據，可以是已知條件，也可以是

定義、公理，己經學過的定理.在初學證明時，要求把根據寫在每一步推理后面的括號內.

②證明：內錯角相等,兩直線平行.

師：小明用下面的方法作出了平行線，你認為他的作法對嗎？為什么？（見相關動畫）

生：我認為他的作法對.他的作法可用上圖來表示：N遁45°,N應后45°.因為/戚

與NFEA組成一個平角，所以N￡￡4=180°-N配戶180°-45°=135°.而NC叨與

是同旁內角.且這兩個角的和為180°,因此可知：CD//?,.

師：很好.從圖中可知：NCFE與NFEB是內錯角.因此可知：“內錯角相等，兩直線平行”

是真命題.下面我們來用規(guī)范的語言書寫這個真命題的證明過程.

師生分析：已知，Nl和/2是直線a、人被直線C截出的內錯角，且/1=/2.

證明：VZ1=Z2（己知）Zl+Z3=180o（平角定義）

ΛZ2+Z3=180o（等量代換）.?./2與/3互補（互補的定義