2023年河南省新鄉(xiāng)市高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年河南省新鄉(xiāng)市高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題。本大題共12小題每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合A={x∣-3<x<-1},B={x?x1-4x-I2≤0},則A∩B=()

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.(-1,6]D.(-3,-1)

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z=2-i,2為Z的共軌復(fù)數(shù)，則(l+z)?z=()

A.5+zB.5-iC.7-/D.7+/

→TTT兀

3.(5分)已知向量α=(0,2),b=(2√3,x),且α與b的夾角為則X=()

A.-2B.2C.1D.-1

(%-y≤0

4.(5分)若X,y滿足約束條件卜+y≤2,則Z=祟的最大值為()

.%+1≥0

135

A.-B.-C.-D.3

242

5.(5分)如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時(shí),則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是()

A.z≤3?B.z≤4?C.i≤5?D.z≤6?

6.（5分）已知/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（?）=3-Zr,則不等式/（x）

>0的解集為（）

A.（一或3，3B.（一8,-∣3）U?3,+8）

3333

C.（-8,-2）U（0,2）D.（-2）0）U（2>+∞）

7.（5分）某班45名同學(xué)都參加了立定跳遠(yuǎn)和100米跑兩項(xiàng)體育學(xué)業(yè)水平測(cè)試，立定跳遠(yuǎn)

和100米跑合格的人數(shù)分別為30和35,兩項(xiàng)都不合格的人數(shù)為5.現(xiàn)從這45名同學(xué)中

按測(cè)試是否合格分層（分成兩項(xiàng)都合格、僅立定跳遠(yuǎn)合格、僅100米跑合格、兩項(xiàng)都不

合格四種）抽出9人進(jìn)行復(fù)測(cè)，那么抽出來(lái)復(fù)測(cè)的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有（）

A.1AB.2ΛC.5人D.6A

y2%?VX

8.（5分）已知橢圓彳+77=l（a>b>O）與直線乙一二=1交于A,B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)尸（0,

a2b2ab

-C）,其中C為半焦距，若AAB尸是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）

√5-l√3-l√3+l√5+l

Tr

9.（5分）將函數(shù)f（x）=sin3x-√3cos3x÷1的圖象向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）

6

的圖象，給出下列關(guān)于g（X）的結(jié)論：

①它的圖象關(guān)于直線X=等對(duì)稱；②它的最小正周期為學(xué)；

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（常，1）對(duì)稱；④它在［苧，等］上單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

10.（5分）如圖，在正四棱柱ABC。-AIBICICI,AB=^2AA1,E,F分別為A8,8C的

中點(diǎn)，異面直線ABI與CIF所成角的余弦值為〃7,則（）

D?Ci

AEB

A.直線4E與直線CIF異面，且m=孝

B.直線AIE與直線ClF共面，且Tn=孝

C.直線AlE與直線Cl尸異面，且Tn=字

D.直線4E與直線ClF共面，且m=亭

11.（5分）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的

垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是

逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為

“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列

的第19項(xiàng)為（）（?:I2+22+32+-+n2=n（n+12n+1）

×Ol

A.1624B.1198C.1024D.1560

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=aex（a>0）與g（X）=2JC2-m（∕H>0）的圖象在第一象限有

公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)變化時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

B-+8)C.(0,?)

二、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上。

13.（5分）已知數(shù)列｛“”｝是等比數(shù)列，a?-?,?3=36,則“2=.

14.（5分）歐陽(yáng)修的《賣(mài)油翁》中寫(xiě)到：“（翁）乃取一葫蘆，置于地，以錢(qián)覆其口，徐以

杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕”.可見(jiàn)“行行出狀元”，賣(mài)油翁的技藝讓人嘆為觀止.若

銅錢(qián)是直徑為4cτn的圓面，中間有邊長(zhǎng)為Ie”的正方形孔，隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油（油

滴的直徑忽略不計(jì)），則正好落入孔中的概率是.

χ22

15.（5分）已知雙曲線"一J?=l（d>6>0）與拋物線y2=8χ有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F,兩

a2b2'

曲線的一個(gè)交點(diǎn)P,若IPQ=5,則點(diǎn)尸到雙曲線的漸近線的距離為.

16.（5分）如圖，在三棱錐4-8Co中，點(diǎn)E在B力上，EA=EB=EC=ED,BD=√2CD,

△4C。為正三角形，點(diǎn)M,N分別在AE,Co上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且AM=CM則當(dāng)

2

四面體C-EMN的體積取得最大值§時(shí),三棱錐A-BCD的外接球的表面積為.

三、解答題。本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第

17?21題為必考題，每道試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知（SinA+sinB）（α-內(nèi)+bsinC

=CSinC.點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，且Ao=√7.

（1）求A；

（2）若b=2c,求zλABC的面積.

18.（12分）某校高三（1）班在一次語(yǔ)文測(cè)試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較

為嚴(yán)重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時(shí)間站起來(lái)大聲誦讀，為了解

同學(xué)們對(duì)站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度，對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制

成如表：

考試分?jǐn)?shù)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)[125,135)[135,145]

頻數(shù)510155105

贊成人數(shù)469364

(1)欲使測(cè)試優(yōu)秀率為30%,則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少分？

(2)依據(jù)第1問(wèn)的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度與考試成績(jī)是否

優(yōu)秀的關(guān)系，列出2X2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是

否優(yōu)秀有關(guān)系.

參考公式及數(shù)據(jù)：Y=(a+b)器就?c)(b+dyn=a+b+c+d.

P(∕C2≥to)0.1000.0500.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

19.(12分)如圖，ABCC是正方形，點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上(P不與8,C重合),

E為線段BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形ABCQ沿BC折起，使得平面ABCQ，平面BCP.

(1)證明：8P_L平面。CP.

(2)若BC=2,當(dāng)三棱錐O-BPC的體積最大時(shí)，求E到平面BOP的距離.

X軸的拋物線C的弦，已知以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0).

(1)求P的值及該圓的方程；

(2)設(shè)例為/上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作C的切線，切點(diǎn)為N,證明：MFLNF.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x+l)￡+Jx)―3τ∏,(x)=-mx+lnx(m∈R).

(1)求函數(shù)g(X)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)當(dāng)/”>0時(shí)，是否存在Xi,X2∈[l,2],使得/(xι)>g(X2)成立？若存在，求實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

選考題。共10分請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

?/?^γ—?_1_f?

22.(10分)在直角坐標(biāo)系X。)，中，已知點(diǎn)M(l,-),Cl的參數(shù)方程為2十°C為

2(y=√3t

參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)

方程為-7=2+cos2θ.

P2

(1)求CI的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

11

(2)設(shè)曲線Cl與曲線C2相交于A,B兩點(diǎn)，求77—+的值.

?MA??MB?

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)f(x)=IX-3∣+∣χ-1|.

(1)求不等式/(x)W6的解集；

(2)設(shè)/(x)的最小值為M,正數(shù)α,匕滿足J+4廿=M,證明：a+2b^4ab.

2023年河南省新鄉(xiāng)市高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題。本大題共12小題每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合A={x∣-3Vx<-1},B={x∣√-4χ-I2≤0},則A∩B=()

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.(-1,6]D.(-3,-1)

【解答】解：：集合8={小2-4「12忘0}={衛(wèi)-2忘;^6},集合A={x∣-3<x<-1},

.?.4∩B={x∣-2≤x<-1},

故選：A.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z=2-i,2為Z的共軌復(fù)數(shù)，則(l+z)?2=()

A.5+/B.5-ZC.7-zD.7+z

【解答】解：?.?z=2-i,z=2+i,

則(l+z)?z=(3-r)(2+i))

=7+z.

故選：D.

TTTTTT

3.(5分)已知向量a=(0,2),b=(2√3,x)9且α與力的夾角為3則X=()

A.-2B.2C.1D.-1

→→TTTC

【解答】解：?.?向量Q=(0,2),b=(2√3,?),且Q與b的夾角為1

→T________TC________

Λα?b=0+2r=2?-√12÷x2?cos-,即2x=√12+x2,求得x=2,

3

故選：B.

X-y≤0

4.(5分)若X,y滿足約束條件％+y≤2,則Z=祟的最大值為)

?+1≥0

【解答】解：因?yàn)閆=Sl表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)的直線的

斜率;

畫(huà)出可行域;

可知可行域的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4(-1,3),β(-1,-1),C(1,1)；

旦KAD=I；

故z≤a?

即Z=Ml的最大值為∣.

故選：C.

5.（5分）如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時(shí),則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是（）

A.Z≤3?B.∕≤4?C.j≤5?D.∕≤6?

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

當(dāng)S=I時(shí)，i=9；

當(dāng)S=1+9=10時(shí),i=8；

當(dāng)S=I+9+8=18時(shí)，i=7；

當(dāng)S=1+9+8+7=25時(shí)，Z=6；

當(dāng)S=I+9+8+7+6=31時(shí),i=5.

此時(shí)輸出5=31,則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是,W5?.

故選：C.

6.（5分）已知/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí);/（x）=3-Ix,則不等式/（x）

>0的解集為（）

?-（一|，|）b?（一8，-1）u（|,+∞）

3333

C.（—8,-1）U（0,2）D.（―2f0）U（2+8）

【解答】解：根據(jù)題意，/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(?)=3-Zr,

則其圖象如圖：

且八|)=0，

Q3

則不等式/(x)>0的解集為(-8,-5)U(0,-)；

Z2

7.(5分)某班45名同學(xué)都參加了立定跳遠(yuǎn)和100米跑兩項(xiàng)體育學(xué)業(yè)水平測(cè)試，立定跳遠(yuǎn)

和100米跑合格的人數(shù)分別為30和35,兩項(xiàng)都不合格的人數(shù)為5.現(xiàn)從這45名同學(xué)中

按測(cè)試是否合格分層(分成兩項(xiàng)都合格、僅立定跳遠(yuǎn)合格、僅100米跑合格、兩項(xiàng)都不

合格四種)抽出9人進(jìn)行復(fù)測(cè)，那么抽出來(lái)復(fù)測(cè)的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有()

A.1ΛB.2ΛC.5人D.6A

【解答】解：設(shè)這兩項(xiàng)成績(jī)均合格的人數(shù)為X,

則立定跳遠(yuǎn)合格100米跑不合格的人數(shù)為30-X,

貝I」30-x+35+5=45,

得x=25,

即這兩項(xiàng)成績(jī)均合格的人數(shù)是25人，

則抽出來(lái)復(fù)測(cè)的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有9x賓=5,

故選：C.

V2X2VX

8.(5分)己知橢圓彳+77=l(Q>b>O)與直線乙一二=1交于4,B兩點(diǎn)，焦點(diǎn)廠(0,

a2bzab

-c),其中C為半焦距，若AAB尸是直角三角形，則該橢圓的離心率為()

V2X2VX

【解答】解：橢圓=÷—=l(a>b>O)與直線一一三=1交于AB兩點(diǎn)，焦點(diǎn)F(0,

QNbZab9

-c),其中。為半焦距，

若aAB尸是直角三角形，不妨設(shè)A(0,a),B(-?,0),

則易?麻解得廬=也∣2

=0,gJa-c2=ac，BPe2+e-1=0,c∈(0,1),

故e=與?.

故選：A.

一TC

9.(5分)將函數(shù)/(x)=sin3x-√3cos3x+1的圖象向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)

6

的圖象，給出下列關(guān)于g(X)的結(jié)論：

①它的圖象關(guān)于直線X=等對(duì)稱；②它的最小正周期為雷；

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(彎，1)對(duì)稱；④它在［等，等］上單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

【解答】解：將函數(shù)f(%)=sin3x—y∕3cos3x+1=2sin(3x—5)+1的圖象向左平移f個(gè)

?6

單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)g(x)=2Sirl+1=2Sirl(3x+5)÷1的圖象.

令X=等，求得g(x)=2sin-^-+1=0,不是最值，故g(x)的圖象不關(guān)于直線X=等對(duì)

稱，故①不正確；

它的最小正周期為弓，故②正確；

當(dāng)X=等時(shí)，gG)=1,故g(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(晉，1)對(duì)稱，故③正確；

在［竽，1；為上,3x+看∈［5τr+看，6π+?］＞g(x)沒(méi)有單調(diào)性，故④錯(cuò)誤，

故選：B.

10.(5分)如圖，在正四棱柱ABCQ-Aι8ιCιCι,AB=^2AA1,E,F分別為AB,BC的

中點(diǎn)，異面直線ABl與ClF所成角的余弦值為〃?，則()

B.直線AIE與直線Cl/共面，且m=￥

C.直線AiE與直線Cl尸異面，且m=亭

D.直線4E與直線ClF共面，且Tn=當(dāng)

【解答】解：連結(jié)ERAiCi,GD,DF,

'：E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),：.EF//AiCi,

，直線4E與直線ClF共面，

由題意得ABi〃。。，...異面直線ABl與CI尸所成角為NoejR

設(shè)AΛι=√Σ,則AB=V2AA1=2,則DF=√5,ClF=√3,CID=√6,

由余弦定理得異面直線ABi與ClF所成角的余弦值：

m—CosZDCiF==孝.

2×√3×√63

綜上：直線AIE與直線ClF共面，且m=￥.

故選：B.

11.(5分)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的

垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是

逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為

“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列

的第19項(xiàng)為()(?:I2+22+32+-+n2=nn+12n+1

(XO))

A.1624B.1198C.1024D.1560

【解答】解：設(shè)該數(shù)列為令bn=an+l-an,

設(shè)｛為｝的前〃項(xiàng)和為B,,

又令Cn=M+1-bn,設(shè)｛Cn｝的前n項(xiàng)和為Cn.

n

易Cn=n,Cn=進(jìn)而得bn+ι=3+Cri=3+n

所以匕=3+以?=%;n+3,則Bn=迎呼g+3n,

所以“"+1=1+3”所以αi9=1024.

故選：C.

12.（5分）己知函數(shù)/（x）=aex（a>0）與g（x）=2x1-m（∕n>O）的圖象在第一象限有

公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實(shí)數(shù)“變化時(shí)，實(shí)數(shù)α的取值范圍為（）

?-G,+8）B.煜’+∞）c.（0,6D.（0,攝）

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為A（?w,州），

2

4x0=2x0-m

X0>0，

｛m>0

2

由?n=2XQ—4x0>0,解得xo>2.

由上可知α=都令人（X）=奈則"（x）=1?2

因?yàn)閤>2,所以h'（x）=4（；；*）VO,∕ι（x）=今在（2,+∞）上單調(diào)遞減，

所以0VTl（X）V攝,即αe（0,式）,

故選：D.

二、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上。

13.（5分）己知數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，m=L03=36,則。2=±6.

【解答】解：設(shè)｛〃〃｝的公比為G由m=l,43=36,得才=36,

所以q=±6,

故α2=±6.

故答案為：±6

14.（5分）歐陽(yáng)修的《賣(mài)油翁》中寫(xiě)到：“（翁）乃取一葫蘆，置于地，以錢(qián)覆其口，徐以

杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕”.可見(jiàn)“行行出狀元”，賣(mài)油翁的技藝讓人嘆為觀止,若

銅錢(qián)是直徑為4c機(jī)的圓面，中間有邊長(zhǎng)為ICm的正方形孔，隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油（油

滴的直徑忽略不計(jì)），則正好落入孔中的概率是—.

—4π一

【解答】解：由題意可得直徑為4cm的圓的面積為π×φ2=4π,

而邊長(zhǎng)為ICm的正方形面積為1X1=1,

故所求概率P=

故答案為：

15.(5分)已知雙曲線一-7=1(4>b>O)與拋物線∕=8χ有一個(gè)共同的焦點(diǎn)凡兩

a727b2

曲線的一個(gè)交點(diǎn)P，若IPfl=5,則點(diǎn)尸到雙曲線的漸近線的距離為_(kāi)百_.

【解答】解：???拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)B(2,0),P=4,

拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)相同，

'.p-2c,即c=2,

；設(shè)P(m,〃)，由拋物線定義知：

?PF?-m+^=m+2-5,

點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,±2√6)

'a2+b2=4-

二2_上—1解得：a=?,?=√3,

3一廬一1

則漸近線方程為)=±√3x,

即有點(diǎn)尸到雙曲線的漸近線的距離為d=號(hào)=√3,

V3+1

故答案為：v?.

16.(5分)如圖，在三棱錐A-BCZ)中，點(diǎn)E在8。上，EA=EB=EC=ED,BD=√2CD,

△4CZ)為正三角形，點(diǎn)M,N分別在AE,CO上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，且AM=CM則當(dāng)

2

四面體C-EMN的體積取得最大值［時(shí),三棱錐A-BCD的外接球的表面積為32π.

【解答】解：設(shè)M=4,則CZ)=可得Cd+DE2=。2，CE_LEZX

當(dāng)平面48。，平面BCO時(shí)，當(dāng)四面體C-EMN的體積才有可能取得最大值，設(shè)AM=X.

則四面體C-EΛW的體積=i×(a-X)Xi×a×x×?=條ax(a-x)≤y∣a(x+~?)2=

?乙LΛ?乙?X乙乙?

當(dāng)且僅當(dāng)X=制取等號(hào).

解得a=2√2.

此時(shí)三棱錐A-BCD的外接球的表面積=4π∕=32n.

故答案為：32π.

三、解答題。本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第

17?21題為必考題，每道試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(12分)ZVlBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知(SinA+sin5)(α-〃)+加inC

=CSinC.點(diǎn)。為邊3C的中點(diǎn)，?AD=√7.

(1)求A；

(2)若b=2c,求AABC的面積.

【解答】解：(1)A43C中，(sinA+sinB)(a-b)+?sinC=csinC;

(si∏A+sinB)(a-?)=(SinC-Sin3)c,

由正弦定理可得，(α+b)(α-6)=(C-b)c,

化簡(jiǎn)可得，?2+c2-a1=be,

由余弦定理可得，cosA=b+2b7a=l,

V0<A<π,

??AΛ一-Ξ?,

222

(2)V?+c-a=befb=2c,

*.a2=3c1=b2-c?2,

?n_?！竉亢

??8=2，C=不

，在直角48AO中，AD2=C2+φ2=>7=?+∣c2=>c=2,a=2√3;

?

?,-SMBC=/。=2收

18.(12分)某校高三(1)班在一次語(yǔ)文測(cè)試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較

為嚴(yán)重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時(shí)間站起來(lái)大聲誦讀，為了解

同學(xué)們對(duì)站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度，對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制

成如表：

考試分?jǐn)?shù)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)[125,135)[135,145J

頻數(shù)510155105

贊成人數(shù)469364

（1）欲使測(cè)試優(yōu)秀率為30%,則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少分？

（2）依據(jù)第1問(wèn)的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度與考試成績(jī)是否

優(yōu)秀的關(guān)系，列出2X2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是

否優(yōu)秀有關(guān)系?

2

172_九(QdfC)

參考公式及數(shù)據(jù):八一(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'n=α+h+c+d.

P(ΛT2≥?O)0.1000.0500.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

【解答】解：（1）因?yàn)闇y(cè)試的優(yōu)秀率為30%,所以測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為50×30%=15,

由表中數(shù)據(jù)知，優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為125分.

（2）由（1）知，測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有50X0.3=15人，其中“贊成的”有10人:

測(cè)試成績(jī)不優(yōu)秀的學(xué)生有50-15=35人，其中“贊成的”有22人;

填寫(xiě)2X2列聯(lián)表如下:

贊成不贊成合計(jì)

優(yōu)秀10515

不優(yōu)秀221335

合計(jì)321850

50x(10x13-5x22)2

計(jì)算K2=25

32×18×15×35=3780.066<2.706,

因此，沒(méi)有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系.

19.（12分）如圖，A8C。是正方形，點(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上（P不與B,C重合）,

E為線段BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形ABCz）沿BC折起，使得平面ABC。_L平面BCP.

（1）證明：BPl5FffiDCP.

（2）若8C=2,當(dāng)三棱錐O-8PC的體積最大時(shí)，求E到平面BQP的距離.

D

【解答】(1)證明：因?yàn)槠矫鍭gCZ)，平面8PC,ABCD是正方形,

所以O(shè)C，平面BPC.

因?yàn)锽Pu平面BPC,所以BP_LoC.

因?yàn)辄c(diǎn)P在以BC為直徑的半圓弧上，所以BPLPC.

又DCCPC=C,所以Bp_L平面。CP.

(2)解：顯然，當(dāng)點(diǎn)尸位于死的中點(diǎn)時(shí)，48CP的面積最大，三棱錐O-BPC的體積

也最大.

因?yàn)锽C=2,所以尸E=I,所以4BEP的面積為工XIXl=2，

22

111

所以三棱錐D-BEP的體積為一×-×2=".

323

因?yàn)?P_L平面DCP,所以BP工DP,DP=J(2√2)2-(√2)2=√6,ABDP的面積為三X

y/2×?/e=?/?.

設(shè)E到平面BDP的距離為d,由三X?/?Xd=I得d=苧,

即E到平面BDP的距離為弓.

20.(12分)設(shè)拋物線C：)2=2PX(P>0)的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,AB為過(guò)焦點(diǎn)尸且垂直于

X軸的拋物線C的弦，已知以A8為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0).

(1)求P的值及該圓的方程;

(2)設(shè)例為/上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作C的切線，切點(diǎn)為N,證明：MFLNF.

【解答】解：(1)易知A點(diǎn)的坐標(biāo)為§±p),

所以P=§—(―1),解得p=2,

又圓的圓心為F(1,0),

所以圓的方程為(X-I)2+y≈4;

(2)證明：易知直線MN的斜率存在且不為0,

設(shè)M(-I,和)，MN的方程為y=k(x+l)+yo,代入C的方程得ky2-4y+4(>υ+?)=0,

1

令A(yù)=16-16左(jo+?)=0.得y0+k=/

所以姨-4y+4(γo+fc)=—~~=0,解得y=p

κκ

將y=%弋入C的方程，得χ=??,即N點(diǎn)的坐標(biāo)為S，

K]Ck2k

TTl2

所以FM=(-2,M)),FN=(―-1,-),

k2k

→→99917

所以FM?FN=2----2+)0R=2----2+(1—k)?丘=0

故MFLNF.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x+l)g+JX)_37n,g(χ)=-mx+lnx(w∈R).

(1)求函數(shù)g(X)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)當(dāng)相>0時(shí)，是否存在XLX2∈[1,2],使得/(xι)>g(JC2)成立？若存在，求實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)g'(X)—-m+?,Λ>0,

當(dāng)加WO時(shí)，g'(X)>0恒成立，函數(shù)g(%)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),無(wú)單調(diào)減區(qū)

間，所以不存在極值，

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，當(dāng)0<χv]時(shí)，g'(X)>0此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x>[時(shí)，g'(x)<0,

此時(shí)函數(shù)，單調(diào)遞減

故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,?),單調(diào)減區(qū)間為(N，+8),

mm

11

此時(shí)函數(shù)g(X)在X=3處取得極大值，極大值為g(-)=-I-Inm,無(wú)極小值，

mm

綜上，當(dāng)機(jī)WO時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),無(wú)單調(diào)減區(qū)間，不存在極值.

11

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，函數(shù)g(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,-),單調(diào)減區(qū)間為(一，÷∞),極大值

mm

?-1-Inm,無(wú)極小值，

(2)當(dāng)”>0時(shí)，假設(shè)存在XI,X2∈[l,2],使得/(xi)>g(A2)成立

則對(duì)冗6[1,2J,湖足/(X)nιax>g(X)min,

`:f(X)=號(hào)當(dāng)∈[1,2],

1

令h(X)=x-lnx,x∈[l,2],則∕ι'(X)=I—土≥0,

所以M(X)在[1,2]上單調(diào)遞增,

所以九(x)沁(1)=1,所以/(x)>0,所以/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增,

所以f(X)n,ax=f(2)='U贄2)-3w,

由(1)可知，①當(dāng)OV^≤1時(shí)，即啟1時(shí)，函數(shù)g(x)在口，2］上單調(diào)遞減,

所以g(x)的最小值是g(2)=-2m+ln2,

②當(dāng)Z≥2,即OVτn≤??,函數(shù)g(X)在［1,2］上單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值是g(1)=-m.

③當(dāng)lV?i?<2時(shí)，即工VnIVl時(shí)，函數(shù)g(X)在［1,工］上單調(diào)遞增，在［工，2］

m2mm

上單調(diào)遞減.又g(2)-g(1)=Inl-m,

1

,所以當(dāng)IVmV仇2時(shí)，g(X)在［1,2］上的最小值是g(1)=-m.

當(dāng)ln2Wm<l時(shí)，g(x)在1,2］上的最小值是g(2)=ln2-2m,

所以當(dāng)OVMV歷2時(shí)，g(x