2023年九年級中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-三角形的綜合

4.如圖所示，已知ABC中，BC=30cm.AD=IOcm.AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于ABC中，且長邊FG在

2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)訓(xùn)練——三角形的綜合

一、綜合題

1.如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF

折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處。

(I)求y與X的函數(shù)關(guān)系式.并求自變量X的取值范圍.

(2)若x：y=l：2,求矩形EFGH的面積.

(3)當(dāng)EF為何值時(shí)，矩形EFGH的面積最大？最大面積是多少？

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形：

5.如圖，RtABe中，分別以AB、AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰RtABE、RtACD,點(diǎn)M是BC的

(2)若AB=6,AC=IO,求四邊形AECF的面積。

中點(diǎn)，連接MD、ME.

2.如圖，已知菱形中ABCD,且ZBAD=60°延長A8至點(diǎn)E,使BE=AB,連接BD和

(1)若AB=8,AC=4,求DE的長；

(1)求證：&DA瞄二CBE；(2)求證：AB-AC=2DM.

(2)求證：四邊形DBEC是菱形.6.如圖，菱形ABCD中，B=60o,AB=3cm,過點(diǎn)A作EAF=60。，分別交DC,BC的延長線于點(diǎn)E,

3.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，連接AE、EF、AF,JiQDAE=

(1)如圖1,當(dāng)CE=CF時(shí)，判斷AEF的形狀，并說明理由：

(2)線段AF的垂直平分線交AD于點(diǎn)G,連接FG,求證：EFG=90°；

(2)若AEF是直角三角形，求CE,CF的長度；

320

在的條件下，若求AEF

(3)(2)tanDFG=-,EF=-r,S.()當(dāng)?shù)拈L度發(fā)生變化時(shí)，的面積是否會(huì)發(fā)生變化，請說明理由.

433CE,CFCEF

7.已知等邊ABC和射線AP,作AC邊關(guān)于射線AP的對稱線段AD,連接BD,CD.D

圖2

（1）探究：在旋轉(zhuǎn)的過程中線段BE與線段CG有什么數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系？證明你的結(jié)論：

（1）如圖1,當(dāng)射線AP在IBAC內(nèi)部時(shí)，

（2）若正方形/BCZ）的邊長為°,探究：在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形OMCN的面積是否發(fā)生變化？若不變化求

①請依題意補(bǔ)全圖形；

其而積，若變化指出變化過程.

②若匚PAC=I5。，則UBDC=▲度:

③若PAC=x。，試求BDC的度數(shù)：

（2）如圖2,當(dāng)射線AP在［BAC外部的AC右側(cè)時(shí)，設(shè)BD交AP于點(diǎn)E,

①□BDC=▲度:

②線段AE,BE,DE之間有何數(shù)量關(guān)系？試說明理由.

8.如圖，正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2,2）.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）,在OAB和OCDψ,OA=OB,OC=OD,AOB=CoD=36。，連接

單位長度的速度沿X軸向點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)0同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作直線ΔΓ,

AC,BD交于點(diǎn)M.①rκ的值為_________;②AMB的度數(shù)為_________：

1垂直X軸.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接BP,作PDBP交直線1于點(diǎn)D.連結(jié)BD交y軸于點(diǎn)BD

（2）類比探究：如圖（2）,在OAB和OCDΦ,AOB=COD=90o,OAB=OCD=30o,連接

E,連接PE.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.

AC

AC,交BD的延長線于點(diǎn)M.請計(jì)算一的值及AMB的度數(shù).

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線交于點(diǎn)M.若OD

=1,OB=Ji耳，請直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長.

11.如圖，以BC為邊分別作菱形8CO石和菱形Be戶G（點(diǎn)C,D,產(chǎn)共線），動(dòng)點(diǎn)A在以BC為直徑且處

于菱形BCPG內(nèi)的圓弧上，連接E尸交BC于點(diǎn)。.設(shè)NG=O.

（1）①點(diǎn)D的坐標(biāo)為（用含t的代數(shù)式表示）.

②當(dāng)0Vt≤2時(shí)，PED的大小范圍是.

（2）當(dāng)0VtV2時(shí)，POE的周長C是否隨t的變化而變化？若變化，求出C關(guān)于t的關(guān)系式；若不變,

求出C的值.

（3）當(dāng)t=秒時(shí)，：.PBE為等腰三角形（直接給出答案）.

9.如圖，已知正方形。EFG的頂點(diǎn)。與正方形力8C。的中心。重合，若正方形OEFG繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

（1）求證：無論。為何值，EE與BC相互平分；并請直接寫出使$_LBC成立的。值.

（2）當(dāng)0=90。時(shí)，試給出幻〃NABC的值，使得E/垂直平分AC,請說明理由.

12.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)aB的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)43分別向上(I)如圖①，求4點(diǎn)的坐標(biāo)；

平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)力，8的對應(yīng)點(diǎn)C,D,連接4C,BD,CD.(2)如圖②，點(diǎn)。從。出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿)，軸正半軸運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從4出發(fā)，以每秒2個(gè)

單位的速度沿射線歷1運(yùn)動(dòng)，DE交線段XC于尸，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/,當(dāng)S∕E∕VS86時(shí)，求f的取值范

圍.

15.如圖1,在等腰直角三角形ADC中，NAoC=90,AO=4.點(diǎn)E是Ao的中點(diǎn)，以DE

為邊作正方形DEFG,連接AGCE.將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

a(0<a<90).

(1)寫出點(diǎn)C,。的坐標(biāo)并求出四邊形/8。。的面積：

(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)。，連接Qa。6,使!一月。8的面積等于四邊形”QC的面積的?半？若存在

這樣的點(diǎn)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由：

(3)如圖②，點(diǎn)尸是線段50上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸&PO,當(dāng)點(diǎn)尸在線段3。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究L。PC與

PCD,的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

13.如圖1,菱形ABCD中，DEAB,垂足為E,DE=3cm,AE=4cm,把四邊形BCDE沿DE所在直線折

(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

直，使點(diǎn)B落在AE上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN交AD于點(diǎn)F.

①判斷與ACED是否全等，并說明理由；

y_________D___________cNPDMGD

②當(dāng)CE=CD時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)“，求G”的長.

(2)如圖3,延長CE交直線AG于點(diǎn)P.

MEBAMEB

圖1圖2①求證：AGlCP；

(1)證明：FA=FM;

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

(2)求四邊形DEMF面積；

16.如圖1,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,且AC=6cm,BD=8cm,分別過點(diǎn)B、C作AC與

(3)如圖2,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DTNTF路徑以每秒ICm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t

BD的平行線相交于點(diǎn)E.

為何值時(shí)，DPF的面積與四邊形DEMF的面積相等.

14.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力在第一象限，力氏N軸于瓦/ClZy軸于C,A(4zw.3/〃)，且四邊形

力50。的面積為48.

圖1圖2

(1)判斷四邊形BoCE的形狀并證明;

(2)點(diǎn)G從點(diǎn)A沿射線AC的方向以2cm∕s的速度移動(dòng)了t秒，連接BG,當(dāng)SABG=2S°bg時(shí)，求t的

值.

(3)如圖2,長度為女m的線段GH在射線AC上運(yùn)動(dòng)，求BG+BH的最小值.

17.如圖I,已知點(diǎn)A,B,C,D在一條直線上，BF、CE相交于O,AE=DF,□E=□F,OB=OC.

(1)求證：ACEDBF：

(2)如果把DBF沿AD折翻折使點(diǎn)F落在點(diǎn)G,如圖2,連接BE和CG.求證：四邊形BGCE是平行四

邊形.

18.已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為

(1)如圖I,連接AF、CE求證：四邊形AFCE為菱形；

(2)如圖1,求AF的長：

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿ZlAFB和CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自

ATFTBTA停止，點(diǎn)Q自CTDTETC停止.在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P的速度為每秒ICm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

秒.若點(diǎn)Q的速度為每秒0?8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值.

答案解析部分ΛAB=AD,B=D=90。，ΛDBC,

：.BEA=DAE,

L【答案】(1)證明：???折疊，ΛAM=AB,CN=CD,FNC=LD=90o,AME=B=90o,

VUDAE=-AEF,

ΛANF=90o,CME=90o,二四邊形ABCD為矩形，ΛAB=CD,ADBC,

.*.BEA=AEF,

ΛAM=CN,.,.AM-MN=CN-MN,β∏AN=CM,

在ABE和AHE中，

ZFAN-ZECM

在ANF和CME中，-.AN-CMΛANFJ□CME(ASA),ΛAF=CE,ZB=ZAHE

ZANF-ZCME

VZBEA=ΛAEH,

又YAFCE,??.四邊形AECF是平行四邊形：

AE=AE

(2)解：?.?AB=6,AC=10,ΛBC=8,設(shè)CE=X,則EM=8-x,CM=IO-6=4,

：,ABEAHE(AAS),

在RtCEMΦ,(8-x)2+42=x2,解得：x=5,???四邊形AECF的面積的面積為：EC?AB=5×6=30.

ΛAB=AH,BE=HE,

2.【答案】(1)解：Y菱形ABCD

AH=AD,

??.AD?BC,AD=BCΛRtAIIFRtADF(HL),

???ZCBE=ZDABΛDF=HF,

?：BE=AB?.?EF=HE+HF,

???LDAB^CBE(SAS)ΛEF=BE+DF

(2)解：如圖2,由題意知GA=GF,

(2)解：V菱形ABCD,

：,DCBE,DC=AD=AB=BE，

??.四邊形DBEC是平行四邊形，

VZZMB=60°

???ABD是等邊三角形

：?AB=BD=BE.

???四邊形DBEC是菱形.

ΛGAF=!GFA,

3.【答案】(1)證明：過點(diǎn)A作AHEF于點(diǎn)H,

由(1)知AFE=AFD,

?：FADiAED=90°,

ΛLGFA+DAFE=90o,

Λ□EFG=90o

Γ)("t□

(3)解：由tanDFG=-----=—可設(shè)DG=3x,DF=4x,

DF4

22

則AG=GF=y∣DG?DF=J(3x)，(4x『=5x,EH=DF=4x,

Y四邊形ABCD是正方形,???BC=CD=AD=8x,

ΛCF=CD-DF=4x,(3)解：設(shè)四邊形EFGH的面積為S,

?2022

VEF=—,則S=x(30-3x)=-3x+30x=-3(x-5)+75,

3

20???當(dāng)x=5時(shí)，即EF=5時(shí)，S有最大值為75.

ABE=EH=EF-FH=--4x,

3

20205.【答案】(D解：直角ABE中，AE=—AB=4√2，

則EC=BC-BE=8x-(—-4x)=12x--,2

33

在RIUECF中，由EF2=EC2+CF2得(蟲)2=(12x--)2+(4x)2,

在直角ACD中，AD=叵AC=2√2，

33

2

解得：Xl=O(舍)，X2=l,

貝：

即AH=AD=8x=8,IJDE=AE-AD=4√2-2=2√2

(2)解：延長CD交AB于點(diǎn)F.

(?FAD=LCAD

4.【答案】⑴解:如圖,在!」ADF和LJADC中，AD=AD,

UADF=?ADC

ΛADF□□ADC(ASA),

ΛAC=AF,CD=DF,

BFDGC又???M是BC的中點(diǎn)，

VEF=x,FG=y,

???DM是CBF的中位線，

ΛDM=EF=x,AM=AD-DM=IO-X,

,DM=-BF=-(AB-AF)=-(AB-AC),

VEH//BC,222

.EHAM?IO-XΛAB-AC=2DM.

??,πNπJ-—=

BCAD3010

.*.y=30-3x;

Vy>O,

Λ3O-3x>O,即xV10,

Vx>0,

???x取值范圍為OVXVl0：

6.【答案】（1）解：AEF是等邊三角形，理由如下:

(2)解：=X:y=l：2,

連接BE、DF,如圖1所示：

?'.y=2x,

Vy=30-3x,

Λ2x=30-3x*

.*.x=6,

Λy=12,

???矩形EFGH的面積=6x12=72：

???ABC和ADC是等邊三角形，

ΛAC=AD,ACM=DD=CAD=60°=EAF,

：.MAC=LNAD,

ZMAC=ZNAD

在LlMAC和LNAD中，AC=AD,

ZACM=ZD

.,.MAC□NAD(ASA),

???四邊形ABCD是菱形，ΛAM=AN,CM=DN,

AAB=BC=DC=AD,ABC=CADC,Y∏EAF=60o,

BD=DC???AMN是等邊三角形，

在和中，

BCEDCFNBCE=NDCF,AAM=MN=AN,

CE=CF

設(shè)AM=AN=MN=m,DN=CM=b,BM=CN=a.

：.BCEDCF(SAS),

VCFLAD,

BE=DF,CBE=LCDF,

：.CFNDAN,

,

..ABC+CBE=ADC+CDF,.CFFNeNa

,,?

即ABE=ADF,^D~~AN~~DN~b'

'AB=AD.?FN=—,

b

在ABE和ADF中，NABE=NADF,..-am

??AF=m÷,

BE=DFh

：.ABEADF(SAS),同理：AE=m+—,

a

.?AE=AF,又EAF=60o,在RtAEF中，?：EAF=60o,

???AEF是等邊三角形：???AEF=30o,

ΛAE=2AF,

bmC,am、

??m+-=2(m÷-----),

ab

整理得：b2-ab-2a2=0,

(b-2a)(b+a)=0,

Vb+a≠O,

Λb-2a=0,

①AFE=90。時(shí)，連接AC、MN,如圖2所示:/.b=2a,

四邊形是菱形，.CF1

YABCD????--,

AD2

ΛAB=BC=DC=AD=3,D=B=60°,ADBC,ABCD,

ΛCF=—AD=—，LCEF的面積=-CE×FH=-CE×BCF='x9X且=逋，，LJCEF的面積是定值，不發(fā)生

22

222224

同理：CE=2AB=6;

變化.

②AEF=90。時(shí)，連接AC、MN,如圖3所示:

7.【答案】（1）解：①解：如圖，補(bǔ)全圖形：

②150。；

同①得：CE=?AD=；,CF=2AB=6:

（3）解：當(dāng)CE,CF的長度發(fā)生變化時(shí)，CEF的面積不發(fā)生變化：理由如下:③由對稱可知，PAC=PAD=xo,

AD=AB=AC,BAD=60o-2xo,

180。-2彳。180o-(60o-2xo)…

：.ADC==90o-xo,DADB=---------1-------------L=60o+ΛOn

-2~2

：.BDC=ADC+ADB=90o-.vo+600+"=150°；

BDC的度數(shù)為150。：

(2)解：①30。：②BD=2DE+AE,理由如下：

作FHCD于H,如圖4所示：

如圖，在BD上截取EG=EC,

由(2)得：BM=CN=a,CM=DN=b,

VADGCF,

???ADNUFCN,

.AoDNb

,,~CF~'CN~a'

VCE;AB,

Λ□FCH=∏B=60o,DCEM□CBAM,由⑵①知：□BDC=30o,□ADB=ABD=60o-α,

.CECMb由對稱可知，EDC=ECD=30o,AED=90o