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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué):平面向量的線性運(yùn)算

一.選擇題(共10小題)

1.(2021秋?遼陽期末)在4/8C中,。為NC的中點(diǎn),E為線段CB上靠近8的三等分點(diǎn),

W∣JDE=()

?--∣AB-t^ACb??ABACc?-^-AB÷γACd?-∣-AB-4^AC

eUOUUOOU

2.(2021春?洪山區(qū)校級(jí)期中)己知。,E分別為4/8C的邊/8,/C上的點(diǎn),線段和

線段CD相交于點(diǎn)P,若無i=2而,且而=λ&,CE=μ^EA-其中入>0,μ>0,則1

?

的最小值為()

A.2√3B.4C.4√3D.6

3.(2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中)已知?jiǎng)狱c(diǎn)。在448C所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),若對(duì)于空間中任意

一點(diǎn)P,都有笆=-2隹+5而+mδ?,則實(shí)數(shù)的值為()

A.0B.2C.-1D.-2

4.(2021秋?河南期中)如圖所示,矩形/8C。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段。8上且

OE=IVB,若標(biāo)=入語μ!5(入,μ∈R),則入-μ=()

3

A.?B.-?C.1D.2

333

5.(2021秋?蘭溪市期中)如圖,在矩形N8C。中,/8=1,/0=2,點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心

且與8。相切的圓上,NBCP=".若下=入標(biāo)+乩而,則入+μ的值為()

4

A.2B.2-C.3D.3-???θ

1010

6.(2021秋?朔州期中)如圖,梯形中,AB//CD,AB=2CD,M是BC中點(diǎn),若屈

第1頁(共20頁)

D.2

7.(2021春?河南期中)已知向量;,E,W滿足Ia+E+3I=4,且IZI=IEI=2,IWl=&

向量Z與E,Z與W的夾角都是22L,則,與3的夾角為()

3

A.0B.—C.2兀D.∑ZL

336

8.(2021春?孝感期中)在C中,。為18的中點(diǎn),E為CO的中點(diǎn),若標(biāo)=X屈+y正,

則x+y=()

A.-?B.?C.3D.一旦

4444

9.(2021春?運(yùn)城期中)如圖,四邊形月8。為平行四邊形,AE=幣=舸,若血

C.1D.-1

3

10.(2021春?海淀區(qū)期中)已知函數(shù)/(X)=(X-I)3.。是/(X)的圖象上一點(diǎn),若在

./,(X)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)",N,使得而=2而-而成立,其中。是坐標(biāo)原點(diǎn),則

這樣的點(diǎn)Q()

A.有且僅有1個(gè)B.有且僅有2個(gè)

C.有且僅有3個(gè)D.可以有無數(shù)個(gè)

二.填空題(共4小題)

11.(2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中)如圖,矩形N8C。中,/8=3,AD=4,M,N分別為線段

BC,Co上的點(diǎn),且RtACMN斜邊上的高為1,若正=X疝+y■崩,則x+y的最小值

是.

第2頁(共20頁)

M

DC

/ΛN

AB

12.(2021秋?濠江區(qū)校級(jí)期中)正方形力BeQ的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,

動(dòng)點(diǎn)尸滿足I而=返,若屈="?標(biāo)+〃屈,其中加,n∈R,則細(xì)工的最大值是.

22n+2

13.(2021春?大竹縣校級(jí)期中)已知點(diǎn)尸為4/8C的外心,NBAC=&匚/8=2,AC=2√2>

4

若下=入族+|1正,則入+μ=.

14.(2021秋?沈北新區(qū)校級(jí)期中)如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形48CD中,半徑為1的動(dòng)圓0

的圓心。在邊CO和上移動(dòng)(包含端點(diǎn)4,C,D),尸是圓0上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),

?BP=wBC+nBA(m,〃eR),則機(jī)+〃的取值范圍是

三.解答題(共4小題)

15.(2018春?福州期末)己知。,A,8三點(diǎn)不共線,且而=加贏+”而,Cm,n∈R).

(1)若nz+"=l,求證:A,P,8三點(diǎn)共線;

(2)若4P,8三點(diǎn)共線,求證:m+n=?.

16.(2021春?北侖區(qū)校級(jí)期中)如圖,在直角梯形月8CZ)中,角8是直角,AD=2BC>AB

=4D=2,點(diǎn)E為/8的中點(diǎn),DP=λDC(0≤λ≤l).

(1)當(dāng)入=1寸,用X,前表示欣;

3

(2)求I而的最小值,及此時(shí)實(shí)數(shù)人的值.

第3頁(共20頁)

B

A1D

17.(2021春?膠州市期中)在BC中,Λ∕,N為C所在平面內(nèi)的兩點(diǎn),NB=3,AC=2&,

NBAC=J,MC=4≡-NA+NC=O-

TEO

(?)以足和正作為一組基底表示加,并求I而|;

(2)。為直線MV上一點(diǎn),設(shè)而=X屈+ym(χ,y∈R),若直線8經(jīng)過C的垂

,心,求X,y?

18.(2021春?河北期中)如圖,在AZBC中,。是5C邊上一點(diǎn),G是線段4。上一點(diǎn),且

至望=2,過點(diǎn)G作直線與/8,4C分別交于點(diǎn)£,F.

DGCD

(1)用向量標(biāo),正表示菽.

(2)試問笆?4JΔC是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

AEAF

第4頁(共20頁)

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué):平面向量的線性運(yùn)算

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.(2021秋?遼陽期末)在△zBC中,。為4C的中點(diǎn),E為線段CB上靠近8的三等分點(diǎn),

則血=()

?-?∣?^+yACB.IABqACC.看Aβ÷∣?ACDC-39—AB?^1—AC*

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】計(jì)算題:平面向量及應(yīng)用.

【分析】利用向量減法的三角形法則,轉(zhuǎn)化為屈?正即可.

【解答】解:DE=AE-AD=AB+BE-?AC=AB+^BC--^AC

232

=AB+A(AC-AB)-AAC

32

=2標(biāo)-上而

36

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量減法的三角形法則?屬基礎(chǔ)題.

2.(2021春?洪山區(qū)校級(jí)期中)已知。,E分別為Zk∕18C的邊/8,NC上的點(diǎn),線段BE和

線段。相交于點(diǎn)P,若標(biāo)=2而,且而=入同,CE=μEA>其中入>0,μ>0,則1

?

的最小值為()

A.2√3B.4C.4√3D.6

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理;基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

[分析]由標(biāo)=2而,由而二λ元,由而二U應(yīng),AP=?×-??g÷λ+1'?g,

3λ+1λ+1

利用共線可得2義」_^入(J+1)=ι,進(jìn)而可求結(jié)果.

3λ+lλ+l

【解答】解:由AD=2DB,得AD=∕?AB,

3

,?“?ι'ιι?ι?l,?

由DP=入PC,得DP=√^?DG

λ+1

第5頁(共20頁)

由通=W瓢,得正=(μ+l)AE.

AP=AD÷DP=4ABY-DC=且ABY-(AC-AD)

3λ+ι3λ+ι

=1AB+^2_[(μ+DAE-2函

3λ+l3

=Zx3語””1)標(biāo),

3入÷1X+1

因?yàn)?,P,E三點(diǎn)共線,所以2義以一+人(乩+1)=1,所以人μ=工,

3λ+lλ+l3

所以上」=3(入+μ)≥3×2√λμ=2√3.

λ[1人Iwl

當(dāng)且僅當(dāng)入=μ=1時(shí)取等號(hào).

3

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的運(yùn)算,及三點(diǎn)共線問題和基本不等式的運(yùn)用,屬中檔題.

3.(2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中)已知?jiǎng)狱c(diǎn)。在4/8C所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),若對(duì)于空間中任意

一點(diǎn)P,都有西=-2隹+5而??iδ?,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.0B.2C.-?D.-2

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】計(jì)算題:轉(zhuǎn)化思想:綜合法:平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先將題中條件:“西=-2近+5瓦+πiδ?”化成“同=-2而+5而-嬴”,利用

四點(diǎn)共面的充要條件,列出方程求出"1.

【解答】解:?.?西=-2元+5而出而,

?PQ=-2PA+5PB-mPC.

又動(dòng)點(diǎn)。在448C所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),

-2+5-m=1,

解得m=2,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的基本定理及其意義、四點(diǎn)共面的充要條件:P∈平面力8C,

若OP=X0A÷yOB+zOG則χ+y+z=1.

4.(2021秋?河南期中)如圖所示,矩形ZBCo的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段06上且

第6頁(共20頁)

OE=A08,若標(biāo)=入!S+μ75(入,μ∈R),則入-μ=()

3

A.?B.-?C.1D

33-i

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解:AE=AO+≡?∣?AD÷^-AB÷∣-(AB-AD)≈-∣-AB+∣-AD=λAB+μAD'

故λ=~~,IWI?-?-

33

故入-IWl=-?-?

0

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):向量的線性運(yùn)算,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維

能力,屬于基礎(chǔ)題.

5.(2021秋?蘭溪市期中)如圖,在矩形/5CD中,AB=X,/0=2,點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心

且與8。相切的圓上,ZSCP=-IZL.若下=入正+四標(biāo),則入+μ的值為()

4

1010

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】計(jì)算題;整體思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)圓的半徑為A利用等面積法求出r,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,8所在直線分

別為X,N軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)坐標(biāo),再利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出入,

μ的值,從而求出結(jié)果.

【解答】解:設(shè)圓的半徑為則繹

r,,?=BCXCD=jL=

BD√55

以C為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,CQ所在直線分別為X,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

第7頁(共20頁)

則Z(-2,1),8(-2,0),。(0,1),P(^?θ-,???),

一55

.?.AB=(0,-1),AD=(2,O),AP=(√M+2,

55

又:點(diǎn)=入標(biāo)+|1而,

.?.(2∩∑+2?fi?-?)=入(0,-1)+μ(2,0)=(2μ,-入),

55

隼+2.√io

2μ=-入=117―

O

z-,解得,

√101μ+1

-'1?

Λλ+μ=2-??θ,

10

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.

6.(2021秋?朔州期中)如圖,梯形NBCO中,AB∕∕CD,AB=2CD,M是BC中點(diǎn),若靠

=2,AD=?H5∣=2√2,4D=1,NDAB=2L,則MM=()

D

222

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)條件得到AM=工(AB+AC)=L(AB+AD+DO=L(且AB^AD),再根

2222

據(jù)向量的數(shù)量積求解結(jié)論即可.

【解答】解::梯形/8C。中,AB//CD,4B=2CD,M是BC中點(diǎn),且|/用=2&,AD

TT

=1,ZDAB=-,

4

.?.AM=A(AB+AO=A(AB+AD+DO=上(亙AB+AD),

2222

第8頁(共20頁)

州2="^研2+[黜?(2料)2+^-×2√2×?×cos-^-+A-×I2=

-2--5-?

4

.?.MM=5,

2

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積以及向量的模長(zhǎng)計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.

7.(2021春?河南期中)已知向量Z,E,3滿足G+E+3I=4,且IZl=EI=2,∣cI=6;

向量Z與T=與W的夾角都是空,則還W的夾角為()

b,a3

A.0B.—C.2πD.5兀

336

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角.

【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】將l?+b+c1=4兩邊平方,由數(shù)量積的運(yùn)算即可求得港3的夾角.

【解答】解:設(shè)會(huì)與W的夾角為。,

因?yàn)閘a+b+才=1城+IbF+Id?+2a,b+2a*c1^2b*c

=4+4+36+2X2X2X(-?)+2×2×6×(-?)+2×2×6×cosθ

22

=28+24cosθ=16,

所以cosθ=-―,解得e=22L.

23

故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩向量夾角的求法,考查運(yùn)算求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

8.(2021春?孝感期中)在C中,。為NB的中點(diǎn),E為C。的中點(diǎn),若標(biāo)=X薪+yM,

貝!]x+y=()

A.-?B.?C.?D.-3

4444

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理:向量數(shù)乘和線性運(yùn)算.

【專題】對(duì)應(yīng)思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由已知把正用瓦、屈表示,求得X與y的值,則答案可求.

第9頁(共20頁)

【解答】解:如圖,

A

:。為48的中點(diǎn),E為CO的中點(diǎn),

;?AE=y(AC+AD)=yAC卷疝=/正÷^AB>

又AE=XAB+yAC,."?χ--,y--<

42

則x+^=?l?+-L=3.

’424

故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.

9.(2021春?運(yùn)城期中)如圖,四邊形/BCO為平行四邊形,AE=-^-Aβ,DF=若在

A.?B.2C..AD.-1

233

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理;向量數(shù)乘和線性運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用平面向量基本定理將應(yīng)轉(zhuǎn)化為屈,屈表示,即可得到答案.

【解答】解:由題意可知,AE=I忠,DF=yfC,

所以DE=入AC+M?AF=入(AB+AD)+μ(AD-^AB)=

(λ÷yμ)AB÷(λ+μ)AD,

xDE?∣AB-AD-

所以入+μ=-1.

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,平面向量的線性運(yùn)算,平面向量相等的

第10頁(共20頁)

應(yīng)用,考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力,屬于中檔題.

10.(2021春?海淀區(qū)期中)已知函數(shù)/(x)=(X-I)3.。是/(χ)的圖象上一點(diǎn),若在

/(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)〃,N,使得而=2而-而成立,其中。是坐標(biāo)原點(diǎn),則

這樣的點(diǎn)Q()

A.有且僅有1個(gè)B.有且僅有2個(gè)

C.有且僅有3個(gè)D.可以有無數(shù)個(gè)

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;邏輯推理;直觀想象.

【分析】先由已知可得。為M,N的中點(diǎn),然后根據(jù)函數(shù)/(x)的對(duì)稱性即可做出判斷.

【解答】解:因?yàn)槎?2而-祈,則而+≡=2而,所以。為的中點(diǎn),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(χ-l)3關(guān)于點(diǎn)a,0)成中心對(duì)稱,

所以當(dāng)。的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),取關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)Λ/,N符合題意,

M,N在(1,0)兩側(cè)時(shí),中點(diǎn)也要在函數(shù)f(x)上,只能是(1,0),

M,N在(1,0)同側(cè)時(shí),相當(dāng)于M,Q,N所在的直線與/(x)在一側(cè)有3個(gè)交點(diǎn),不

可能成立,

故滿足條件的。只有一個(gè),

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的對(duì)稱性,考查了學(xué)生的分

析問題的能力,屬于中檔題.

二.填空題(共4小題)

11.(2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中)如圖,矩形/8Cz)中,AB=3,AD=4,M,N分別為線段

BC,CQ上的點(diǎn),且RtZ?CMN斜邊上的高為1,若正=XM+7祈,則Xty的最小值是

5__

第11頁(共20頁)

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】方程思想;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)模型法;換元法;平面向量及應(yīng)用:數(shù)學(xué)抽象;數(shù)

學(xué)建模;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】以點(diǎn)N為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)題中的等式,最后運(yùn)

用函數(shù)的思想求解最值.

【解答】解:根據(jù)題意,建立坐標(biāo)系如下,

各點(diǎn)坐標(biāo)為/(0.0),B(3,0),C(3,4),D(0,4),

設(shè)點(diǎn)N(3,b),M(α,4)(0≤α≤3,0≤?≤4),

則正=(3,4),AM=(a,4),AN=(3,b),

由正=XTji+y前導(dǎo),(3,4)=X(a,4)+y(3,b),

'=3-3y

.?.產(chǎn)ax+3y解得廣X,

[4=4x+byb=4^^4x

y

又RtACMN斜邊上的高為1,

?I≡I=ICNI?Iciib

Il22

計(jì)算得_ι1,化簡(jiǎn)得-一-+一工一-

(3-a)2"(4-b)Z9(x+y-1)16(x+y-l)

令/=聲"則y=Lx,代入上式化簡(jiǎn)得

16X2+9(LX)2=16×9×(LI)2,

整理得25X2-18CC+9Z2-144(Li)2=0,

此方程有解,

所以A=(18/)2-4×25×[9r2-144(Z-I)2]>0,

化簡(jiǎn)得:24/2-50/+2520,

第12頁(共20頁)

解得f22或fW?∑,/W另寸,不合題意.

66

所以χ+y的最小值為包.

故答案為:1.

4

D

4

-1~A1Γ^j34*

-IL

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的建模能力及計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng),屬于中檔題.

12.(2021秋?濠江區(qū)校級(jí)期中)正方形488的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線4C、8。相交于點(diǎn)O,

動(dòng)點(diǎn)尸滿足I而=返,若靠=機(jī)加〃菽,其中機(jī),"∈R,則里?的最大值是1.

22n+2

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】計(jì)算題:數(shù)形結(jié)合:綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo),找到相應(yīng)向量的坐標(biāo),代入到屈=加標(biāo)+〃菽,

表示出“、〃,把加、〃代入到生IL中,再轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系即可求解.

2n+2

【解答】解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

則N(-1,-1),S(1,-1),0(-1,1),P(2ZicoS0,?^sinθ),

.?存嚕:θsθ+l,21?inθ÷l),AB=(2,0),AD=(0,2),

*.*AP=mAB+”AD,<

2n^y-sinθ+1

.?.2m+l-COS8+2收

2n+2sinθ+3Λ∕2

其幾何意義為過點(diǎn)E(-3√2--2√2)與點(diǎn)。(sinθ,cosθ)的直線的斜率上

設(shè)過E點(diǎn)的直線方程為了+2料=4(x+3√2)>即b-y+3√?r-2&=0,

第13頁(共20頁)

點(diǎn)。的軌跡方程為f+y2=l,

等苧Ul,解得…

由直線與圓的位置關(guān)系有

則辿L的最大值是].

2n+2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離,屬

于難題.

13.(2021春?大竹縣校級(jí)期中)已知點(diǎn)P為a∕8C的外心,NBAC=a/8=2,AC=2√2>

4

若林=入族+|1正,則入+μ=-L?

2

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解:建立坐標(biāo)系如圖:

「NBAC=平但2,AC=2√2.

4

:.B(-2,0),C(2,2),

「在/8的中垂線X=-I上,設(shè)P(-1,6),

貝IJZP=CP,

則41+b2=d9+(b-2)2,

即1+廬=9+(?-2)2,

即1=9-46+4,得46=12,6=3,

BPP(-1,3),

第14頁(共20頁)

?,*AP=λAB+μAC.

.?.(-1,3)=入(-2,O)+μ(2,2),

λ

spr-2λ+2μ=-lιd

l2u=3

則入+μ=2+3=工,

22

故答案為:?.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的基本定理,建立坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法

是解決本題的關(guān)鍵,是中檔題.

14.(2021秋?沈北新區(qū)校級(jí)期中)如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形488中,半徑為1的動(dòng)圓0

的圓心。在邊CO和。/上移動(dòng)(包含端點(diǎn)4,C,D),尸是圓0上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),

設(shè)而=機(jī)皮切或(切,〃eR),則加+〃的取值范圍是「1-返,2+烏.

44

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】數(shù)形結(jié)合;分類法;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用.

【分析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,可得加=(0,4),BC=(4,0),

第15頁(共20頁)

gp=(4m,O)+(O,4n)=(4加,4〃).由圖可知,當(dāng)動(dòng)圓。的圓心經(jīng)過點(diǎn)。時(shí),P

(4+返,4+亞).此時(shí)機(jī)+”取得最大值:4OT+4Π=8+Λ∕2>可得∕Π+N=2+Y^.當(dāng)動(dòng)圓

224

Q的圓心為點(diǎn)C或點(diǎn)”時(shí),利用三角函數(shù)求m+n的最小值.

【解答】解:如圖所示,邊長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形48C。中,動(dòng)圓0的半徑為1,圓心。在邊

8和。/上移動(dòng)(包含端點(diǎn)4C,D),尸是圓。上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),

向量而=機(jī)前+n就(〃?,〃為實(shí)數(shù)),

BA=<0>4),BC=(4,0),可得而=(4m,0)+(0,4n)=(4m,4n)-

當(dāng)動(dòng)圓。的圓心經(jīng)過點(diǎn)。時(shí),如圖:P(4+零,4+乎?).

此時(shí)加+N取得最大值:4"?+4〃=8+&,可得"+"=2+乎.

當(dāng)動(dòng)圓。的圓心為點(diǎn)C時(shí),8P與OC相切且點(diǎn)尸在X軸的下方時(shí),BP=(4+cosθ,sinθ),

此時(shí),4機(jī)+4〃=4-?/^sin(O+-ΞL),

4

,〃+〃取得最小值為:1-返,此時(shí)尸(4-返,-返).

422

同理可得,當(dāng)動(dòng)圓。的圓心為點(diǎn)力時(shí),8尸與。/相切且點(diǎn)尸在y軸的左方時(shí),

m+〃取得最小值為:1-返,此時(shí)P(迎,4-返).

422

則m+n的取值范圍為[1-返,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,考查了分類討論思想方法,

考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

Ξ.解答題(共4小題)

第16頁(共20頁)

15.(2018春?福州期末)已知O,A,8三點(diǎn)不共線,且加=加丞+〃屈,(m,n∈R).

(1)若機(jī)+〃=1,求證:A,P,8三點(diǎn)共線;

(2)若/,P,B三點(diǎn)共線,求證:w+n=l.

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】平面向量及應(yīng)用.

【分析】利用向量共線定理即可證明.

【解答】證明:(1)'."m+n—1,.*./K=1-n,

又OP=0A+”0B,

?OP=(1-n)OA?0B=OA?(≡-0A)-

化為方=n標(biāo),

:.A,P,B三點(diǎn)共線;

(2)':A,P,8三點(diǎn)共線,.?.存在實(shí)數(shù)〃使得下=n版,

?,?0P-0A=n(0B-0A).

化為而=(l-n)ω?M

又OP=機(jī)0A+a0B>

'.m=?-n,即m+n—1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了考查了向量共線定理及其充要條件,考查了推理能力和計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

16.(2021春?北侖區(qū)校級(jí)期中)如圖,在直角梯形/BCO中,角8是直角,AD=2BC-AB

=/。=2,點(diǎn)E為/8的中點(diǎn),DP=λDC(0≤λ≤l).

(1)當(dāng)人=LI寸,用X,&表示而;

3

(2)求I麗的最小值,及此時(shí)實(shí)數(shù)λ的值.

:o

P

AD

第17頁(共20頁)

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理.

【專題】整體思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)由已知結(jié)合向量的線性表示即可直接求解;

(2)建立直角坐標(biāo)系,然后結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解:(1)當(dāng)人=工時(shí),直角梯形48co中,48=NZ)=2,BC-?,?p??-??,

33

?y(PA+PB)=y(DA-DP+PC+CB)=ycDA-jDC看5娉瓦)=-∣DC+∣jDA?

(2)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則AD=(2,0),DC=(-1,2),

因?yàn)槭?λ^56=(-λ,2λ),

所以卻=而+而=(2-入,2入),P(2-入,2λ),

因?yàn)镋(0,1),

mPE=(λ-2,1-2λ),∣PΘ=√(2.λ)2+(2λ.1)2=√5λ2-8λ+5,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,坐標(biāo)的建立可以簡(jiǎn)

化基本運(yùn)算,屬于中檔題.

17.(2021春?膠州市期中)在C中,M,N為C所在平面內(nèi)的兩點(diǎn),N8=3,AC=2√^,

ZBAC=-'MC=?BC>NA+NC=O.

43

(1)以示口戢作為一組基底表示而,并求|而|;

(2)。為直線MN上一點(diǎn),設(shè)而=X標(biāo)+y正(χ,y∈R)>若直線CD經(jīng)過4/8C

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