2022-2023學年高一下數(shù)學：平面向量的線性運算（附答案解析）

2022-2023學年高一下數(shù)學：平面向量的線性運算

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?遼陽期末）在4/8C中，。為NC的中點，E為線段CB上靠近8的三等分點,

W∣JDE=（）

?--∣AB-t^ACb??ABACc?-^-AB÷γACd?-∣-AB-4^AC

eUOUUOOU

2.（2021春?洪山區(qū)校級期中）己知。，E分別為4/8C的邊/8,/C上的點，線段和

線段CD相交于點P,若無i=2而,且而=λ&,CE=μ^EA-其中入>0,μ>0,則1

?

的最小值為（）

A.2√3B.4C.4√3D.6

3.（2021秋?思明區(qū)校級期中）已知動點。在448C所在平面內運動，若對于空間中任意

一點P，都有笆=-2隹+5而+mδ?,則實數(shù)的值為（）

A.0B.2C.-1D.-2

4.（2021秋?河南期中）如圖所示，矩形/8C。的對角線相交于點O,點E在線段。8上且

OE=IVB,若標=入語μ!5（入，μ∈R）,則入-μ=（）

3

A.?B.-?C.1D.2

333

5.（2021秋?蘭溪市期中）如圖，在矩形N8C。中，/8=1,/0=2,點P在以點C為圓心

且與8。相切的圓上，NBCP=".若下=入標+乩而，則入+μ的值為（）

4

A.2B.2-C.3D.3-???θ

1010

6.（2021秋?朔州期中）如圖，梯形中，AB//CD,AB=2CD,M是BC中點，若屈

第1頁（共20頁）

D.2

7.(2021春?河南期中)已知向量；，E,W滿足Ia+E+3I=4,且IZI=IEI=2,IWl=&

向量Z與E,Z與W的夾角都是22L,則，與3的夾角為（）

3

A.0B.—C.2兀D.∑ZL

336

8.（2021春?孝感期中）在C中，。為18的中點，E為CO的中點，若標=X屈+y正,

則x+y=()

A.-?B.?C.3D.一旦

4444

9.（2021春?運城期中）如圖，四邊形月8。為平行四邊形，AE=幣=舸，若血

C.1D.-1

3

10.（2021春?海淀區(qū)期中）已知函數(shù)/（X）=（X-I）3.。是/（X）的圖象上一點，若在

./,（X）的圖象上存在不同的兩點"，N,使得而=2而-而成立，其中。是坐標原點，則

這樣的點Q（）

A.有且僅有1個B.有且僅有2個

C.有且僅有3個D.可以有無數(shù)個

二.填空題（共4小題）

11.（2021秋?黃浦區(qū)校級期中）如圖，矩形N8C。中，/8=3,AD=4,M,N分別為線段

BC,Co上的點，且RtACMN斜邊上的高為1,若正=X疝+y■崩，則x+y的最小值

是.

第2頁（共20頁）

M

DC

/ΛN

AB

12.（2021秋?濠江區(qū)校級期中）正方形力BeQ的邊長為2,對角線AC、8。相交于點O,

動點尸滿足I而=返，若屈="?標+〃屈，其中加，n∈R,則細工的最大值是.

22n+2

13.（2021春?大竹縣校級期中）已知點尸為4/8C的外心，NBAC=&匚/8=2,AC=2√2>

4

若下=入族+|1正，則入+μ=.

14.（2021秋?沈北新區(qū)校級期中）如圖，邊長為4的正方形48CD中，半徑為1的動圓0

的圓心。在邊CO和上移動（包含端點4,C,D）,尸是圓0上及其內部的動點，

?BP=wBC+nBA(m,〃eR),則機+〃的取值范圍是

三.解答題（共4小題）

15.（2018春?福州期末）己知。,A,8三點不共線，且而=加贏+”而,Cm,n∈R）.

（1）若nz+"=l,求證：A,P,8三點共線；

（2）若4P,8三點共線,求證：m+n=?.

16.（2021春?北侖區(qū)校級期中）如圖，在直角梯形月8CZ）中，角8是直角，AD=2BC>AB

=4D=2,點E為/8的中點，DP=λDC（0≤λ≤l）.

（1）當入=1寸，用X，前表示欣；

3

（2）求I而的最小值，及此時實數(shù)人的值.

第3頁（共20頁）

B

口

A1D

17.(2021春?膠州市期中)在BC中，Λ∕,N為C所在平面內的兩點,NB=3,AC=2&,

NBAC=J,MC=4≡-NA+NC=O-

TEO

(?)以足和正作為一組基底表示加，并求I而|；

(2)。為直線MV上一點，設而=X屈+ym(χ,y∈R)，若直線8經(jīng)過C的垂

，心,求X,y?

18.(2021春?河北期中)如圖，在AZBC中，。是5C邊上一點，G是線段4。上一點，且

至望=2,過點G作直線與/8,4C分別交于點￡,F.

DGCD

(1)用向量標，正表示菽.

(2)試問笆?4JΔC是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

AEAF

第4頁(共20頁)

2022-2023學年高一下數(shù)學：平面向量的線性運算

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?遼陽期末）在△zBC中，。為4C的中點，E為線段CB上靠近8的三等分點,

則血=（）

?-?∣?^+yACB.IABqACC.看Aβ÷∣?ACDC-39—AB?^1—AC*

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】計算題：平面向量及應用.

【分析】利用向量減法的三角形法則，轉化為屈?正即可.

【解答】解：DE=AE-AD=AB+BE-?AC=AB+^BC--^AC

232

=AB+A（AC-AB）-AAC

32

=2標-上而

36

故選：D.

【點評】本題考查了向量減法的三角形法則?屬基礎題.

2.（2021春?洪山區(qū)校級期中）已知。，E分別為Zk∕18C的邊/8,NC上的點，線段BE和

線段。相交于點P,若標=2而,且而=入同,CE=μEA＞其中入＞0,μ＞0,則1

?

的最小值為（）

A.2√3B.4C.4√3D.6

【考點】平面向量的基本定理；基本不等式及其應用.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

［分析］由標=2而，由而二λ元，由而二U應，AP=?×-??g÷λ+1'?g,

3λ+1λ+1

利用共線可得2義」_^入（J+1）=ι,進而可求結果.

3λ+lλ+l

【解答】解：由AD=2DB,得AD=∕?AB,

3

，?“?ι'ιι?ι?l，?

由DP=入PC，得DP=√^?DG

λ+1

第5頁（共20頁）

由通=W瓢，得正=（μ+l）AE.

AP=AD÷DP=4ABY-DC=且ABY-（AC-AD）

3λ+ι3λ+ι

=1AB+^2_[（μ+DAE-2函

3λ+l3

=Zx3語””1）標，

3入÷1X+1

因為8,P,E三點共線，所以2義以一+人（乩+1）=1,所以人μ=工，

3λ+lλ+l3

所以上」=3（入+μ）≥3×2√λμ=2√3.

λ[1人Iwl

當且僅當入=μ=1時取等號.

3

故選:A.

【點評】本題考查平面向量的運算，及三點共線問題和基本不等式的運用，屬中檔題.

3.（2021秋?思明區(qū)校級期中）已知動點。在4/8C所在平面內運動，若對于空間中任意

一點P,都有西=-2隹+5而??iδ?,則實數(shù)機的值為（）

A.0B.2C.-?D.-2

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】計算題：轉化思想：綜合法：平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】先將題中條件：“西=-2近+5瓦+πiδ?”化成“同=-2而+5而-嬴”，利用

四點共面的充要條件，列出方程求出"1.

【解答】解：?.?西=-2元+5而出而，

?PQ=-2PA+5PB-mPC.

又動點。在448C所在平面內運動，

-2+5-m=1，

解得m=2,

故選：B.

【點評】本題考查空間向量的基本定理及其意義、四點共面的充要條件：P∈平面力8C,

若OP=X0A÷yOB+zOG則χ+y+z=1.

4.（2021秋?河南期中）如圖所示，矩形ZBCo的對角線相交于點O,點E在線段06上且

第6頁（共20頁）

OE=A08,若標=入！S+μ75(入，μ∈R),則入-μ=()

3

A.?B.-?C.1D

33-i

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】直接利用向量的線性運算的應用求出結果.

【解答】解：AE=AO+≡?∣?AD÷^-AB÷∣-(AB-AD)≈-∣-AB+∣-AD=λAB+μAD'

故λ=~~,IWI?-?-

33

故入-IWl=-?-?

0

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：向量的線性運算，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維

能力，屬于基礎題.

5.（2021秋?蘭溪市期中）如圖，在矩形/5CD中，AB=X,/0=2,點尸在以點C為圓心

且與8。相切的圓上，ZSCP=-IZL.若下=入正+四標，則入+μ的值為（）

4

1010

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】設圓的半徑為A利用等面積法求出r,以C為坐標原點，BC,8所在直線分

別為X,N軸，建立空間直角坐標系，求出各點坐標，再利用平面向量的坐標運算求出入,

μ的值，從而求出結果.

【解答】解：設圓的半徑為則繹

r,,?=BCXCD=jL=

BD√55

以C為坐標原點，BC,CQ所在直線分別為X,y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示,

第7頁（共20頁）

則Z(-2,1),8(-2,0),。(0,1),P(^?θ-,???),

一55

.?.AB=(0,-1),AD=(2,O),AP=(√M+2,

55

又：點=入標+|1而，

.?.(2∩∑+2?fi?-?)=入(0,-1)+μ(2,0)=(2μ,-入),

55

隼+2.√io

2μ=-入=117―

O

z-，解得，

√101μ+1

-'1?

Λλ+μ=2-??θ,

10

故選：B.

【點評】本題主要考查了平面向量的坐標運算，是基礎題.

6.（2021秋?朔州期中）如圖，梯形NBCO中，AB∕∕CD,AB=2CD,M是BC中點，若靠

=2，AD=?H5∣=2√2,4D=1,NDAB=2L,則MM=()

D

222

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)條件得到AM=工（AB+AC）=L（AB+AD+DO=L（且AB^AD）,再根

2222

據(jù)向量的數(shù)量積求解結論即可.

【解答】解：：梯形/8C。中，AB//CD,4B=2CD,M是BC中點,且|/用=2&,AD

TT

=1,ZDAB=-,

4

.?.AM=A（AB+AO=A（AB+AD+DO=上（亙AB+AD），

2222

第8頁（共20頁）

州2="^研2+[黜?（2料）2+^-×2√2×?×cos-^-+A-×I2=

-2--5-?

4

.?.MM=5,

2

故選：B.

【點評】本題主要考查向量的數(shù)量積以及向量的模長計算，屬于基礎題.

7.（2021春?河南期中）已知向量Z,E,3滿足G+E+3I=4,且IZl=EI=2,∣cI=6;

向量Z與T=與W的夾角都是空，則還W的夾角為（）

b,a3

A.0B.—C.2πD.5兀

336

【考點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】將l?+b+c1=4兩邊平方，由數(shù)量積的運算即可求得港3的夾角.

【解答】解：設會與W的夾角為。，

因為la+b+才=1城+IbF+Id?+2a，b+2a*c1^2b*c

=4+4+36+2X2X2X(-?)+2×2×6×(-?)+2×2×6×cosθ

22

=28+24cosθ=16,

所以cosθ=-―,解得e=22L.

23

故選：C.

【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，兩向量夾角的求法，考查運算求解能力,

屬于基礎題.

8.（2021春?孝感期中）在C中，。為NB的中點，E為C。的中點，若標=X薪+yM，

貝!]x+y=（）

A.-?B.?C.?D.-3

4444

【考點】平面向量的基本定理：向量數(shù)乘和線性運算.

【專題】對應思想；轉化法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】由已知把正用瓦、屈表示，求得X與y的值，則答案可求.

第9頁（共20頁）

【解答】解：如圖,

A

：。為48的中點，E為CO的中點，

；?AE=y(AC+AD)=yAC卷疝=/正÷^AB>

又AE=XAB+yAC，."?χ--,y--<

42

則x+^=?l?+-L=3.

’424

故選：C.

【點評】本題考查平面向量基本定理的應用，考查運算求解能力，是基礎題.

9.(2021春?運城期中)如圖，四邊形/BCO為平行四邊形，AE=-^-Aβ,DF=若在

A.?B.2C..AD.-1

233

【考點】平面向量的基本定理；向量數(shù)乘和線性運算.

【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】利用平面向量基本定理將應轉化為屈，屈表示，即可得到答案.

【解答】解：由題意可知，AE=I忠，DF=yfC,

所以DE=入AC+M?AF=入(AB+AD)+μ(AD-^AB)=

(λ÷yμ)AB÷(λ+μ)AD,

xDE?∣AB-AD-

所以入+μ=-1.

故選：D.

【點評】本題考查了平面向量基本定理的應用，平面向量的線性運算，平面向量相等的

第10頁(共20頁)

應用，考查了邏輯推理能力與轉化化歸能力，屬于中檔題.

10.(2021春?海淀區(qū)期中)已知函數(shù)/(x)=(X-I)3.。是/(χ)的圖象上一點，若在

/(x)的圖象上存在不同的兩點〃，N,使得而=2而-而成立，其中。是坐標原點，則

這樣的點Q()

A.有且僅有1個B.有且僅有2個

C.有且僅有3個D.可以有無數(shù)個

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯推理；直觀想象.

【分析】先由已知可得。為M,N的中點，然后根據(jù)函數(shù)/(x)的對稱性即可做出判斷.

【解答】解：因為而=2而-祈，則而+≡=2而，所以。為的中點，

因為函數(shù)/(x)=(χ-l)3關于點a,0)成中心對稱，

所以當。的坐標為(1,0)時，取關于點。對稱的點Λ/,N符合題意，

M,N在(1,0)兩側時，中點也要在函數(shù)f(x)上，只能是(1,0),

M,N在(1,0)同側時，相當于M,Q,N所在的直線與/(x)在一側有3個交點，不

可能成立，

故滿足條件的。只有一個，

故選：A.

【點評】本題考查了平面向量基本定理的應用，涉及到函數(shù)的對稱性，考查了學生的分

析問題的能力，屬于中檔題.

二.填空題(共4小題)

11.(2021秋?黃浦區(qū)校級期中)如圖，矩形/8Cz)中，AB=3,AD=4,M,N分別為線段

BC,CQ上的點，且RtZ?CMN斜邊上的高為1,若正=XM+7祈，則Xty的最小值是

5__

第11頁(共20頁)

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】方程思想；轉化思想；數(shù)學模型法；換元法；平面向量及應用：數(shù)學抽象；數(shù)

學建模；數(shù)學運算.

【分析】以點N為原點建立直角坐標系，運用向量的坐標表示化簡題中的等式，最后運

用函數(shù)的思想求解最值.

【解答】解：根據(jù)題意，建立坐標系如下，

各點坐標為/(0.0),B(3,0),C(3,4),D(0,4),

設點N(3,b),M(α,4)(0≤α≤3,0≤?≤4),

則正=(3,4),AM=(a,4),AN=(3,b),

由正=XTji+y前導，(3,4)=X(a,4)+y(3,b),

'=3-3y

.?.產(chǎn)ax+3y解得廣X,

[4=4x+byb=4^^4x

y

又RtACMN斜邊上的高為1,

?I≡I=ICNI?Iciib

Il22

計算得_ι1,化簡得-一-+一工一-

(3-a)2"(4-b)Z9(x+y-1)16(x+y-l)

令/=聲"則y=Lx,代入上式化簡得

16X2+9(LX)2=16×9×(LI)2,

整理得25X2-18CC+9Z2-144(Li)2=0,

此方程有解，

所以A=(18/)2-4×25×[9r2-144(Z-I)2]>0,

化簡得:24/2-50/+2520,

第12頁(共20頁)

解得f22或fW?∑,/W另寸，不合題意.

66

所以χ+y的最小值為包.

故答案為：1.

4

D

4

-1~A1Γ^j34*

-IL

【點評】本題考查了學生的建模能力及計算能力，綜合性較強，屬于中檔題.

12.(2021秋?濠江區(qū)校級期中)正方形488的邊長為2,對角線4C、8。相交于點O,

動點尸滿足I而=返，若靠=機加〃菽，其中機，"∈R,則里?的最大值是1.

22n+2

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】計算題：數(shù)形結合：綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】建立直角坐標系，設出各點的坐標,找到相應向量的坐標,代入到屈=加標+〃菽,

表示出“、〃，把加、〃代入到生IL中，再轉化成直線與圓的位置關系即可求解.

2n+2

【解答】解：建立如圖所示的直角坐標系，

則N(-1,-1),S(1,-1),0(-1,1),P(2ZicoS0,?^sinθ),

.?存嚕:θsθ+l,21?inθ÷l),AB=(2,0),AD=(0,2),

*.*AP=mAB+”AD，＜

2n^y-sinθ+1

.?.2m+l-COS8+2收

2n+2sinθ+3Λ∕2

其幾何意義為過點E(-3√2--2√2)與點。(sinθ,cosθ)的直線的斜率上

設過E點的直線方程為了+2料=4(x+3√2)＞即b-y+3√?r-2&=0,

第13頁(共20頁)

點。的軌跡方程為f+y2=l,

等苧Ul,解得…

由直線與圓的位置關系有

則辿L的最大值是］.

2n+2

【點評】本題考查了平面向量的坐標運算、直線與圓的位置關系及點到直線的距離，屬

于難題.

13.(2021春?大竹縣校級期中)已知點P為a∕8C的外心，NBAC=a/8=2,AC=2√2>

4

若林=入族+|1正，則入+μ=-L?

2

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法進行計算即可.

【解答】解：建立坐標系如圖：

「NBAC=平但2,AC=2√2.

4

：.B(-2,0),C(2,2),

「在/8的中垂線X=-I上，設P(-1,6),

貝IJZP=CP,

則41+b2=d9+(b-2)2,

即1+廬=9+(?-2)2,

即1=9-46+4,得46=12,6=3,

BPP(-1,3),

第14頁(共20頁)

?,*AP=λAB+μAC.

.?.(-1,3)=入(-2,O)+μ(2,2),

λ

spr-2λ+2μ=-lιd

l2u=3

則入+μ=2+3=工，

22

故答案為：?.

【點評】本題主要考查平面向量的基本定理，建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法

是解決本題的關鍵，是中檔題.

14.（2021秋?沈北新區(qū)校級期中）如圖，邊長為4的正方形488中，半徑為1的動圓0

的圓心。在邊CO和。/上移動（包含端點4,C,D）,尸是圓0上及其內部的動點，

設而=機皮切或（切，〃eR），則加+〃的取值范圍是「1-返，2+烏.

44

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】數(shù)形結合；分類法；轉化法；平面向量及應用.

【分析】建立如圖所示平面直角坐標系，可得加=（0,4）,BC=（4,0）,

第15頁（共20頁）

gp=（4m,O）+（O,4n）=（4加，4〃）.由圖可知，當動圓。的圓心經(jīng)過點。時，P

（4+返,4+亞）.此時機+”取得最大值：4OT+4Π=8+Λ∕2>可得∕Π+N=2+Y^.當動圓

224

Q的圓心為點C或點”時，利用三角函數(shù)求m+n的最小值.

【解答】解：如圖所示，邊長為4的長方形48C。中，動圓0的半徑為1,圓心。在邊

8和。/上移動（包含端點4C,D）,尸是圓。上及內部的動點，

向量而=機前+n就（〃?，〃為實數(shù)），

BA=<0>4）,BC=（4,0）,可得而=（4m,0）+（0,4n）=（4m,4n）-

當動圓。的圓心經(jīng)過點。時，如圖：P（4+零，4+乎?）.

此時加+N取得最大值：4"?+4〃=8+&,可得"+"=2+乎.

當動圓。的圓心為點C時，8P與OC相切且點尸在X軸的下方時，BP=（4+cosθ,sinθ）,

此時，4機+4〃=4-?/^sin（O+-ΞL）,

4

，〃+〃取得最小值為：1-返，此時尸（4-返，-返）.

422

同理可得，當動圓。的圓心為點力時，8尸與。/相切且點尸在y軸的左方時,

m+〃取得最小值為：1-返，此時P（迎，4-返）.

422

則m+n的取值范圍為［1-返,

【點評】本題考查了向量的坐標運算、點與圓的位置關系，考查了分類討論思想方法,

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

Ξ.解答題（共4小題）

第16頁（共20頁）

15.(2018春?福州期末)已知O,A,8三點不共線，且加=加丞+〃屈，(m,n∈R).

(1)若機+〃=1,求證：A,P,8三點共線；

(2)若/,P,B三點共線，求證：w+n=l.

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】平面向量及應用.

【分析】利用向量共線定理即可證明.

【解答】證明：(1)'."m+n—1,.*./K=1-n,

又OP=0A+”0B，

?OP=(1-n)OA?0B=OA?(≡-0A)-

化為方=n標，

：.A,P,B三點共線；

(2)'：A,P,8三點共線，.?.存在實數(shù)〃使得下=n版，

?,?0P-0A=n(0B-0A).

化為而=(l-n)ω?M

又OP=機0A+a0B>

'.m=?-n,即m+n—1.

【點評】本題考查了考查了向量共線定理及其充要條件，考查了推理能力和計算能力，

屬于基礎題.

16.(2021春?北侖區(qū)校級期中)如圖，在直角梯形/BCO中，角8是直角，AD=2BC-AB

=/。=2,點E為/8的中點，DP=λDC(0≤λ≤l).

(1)當人=LI寸，用X，&表示而；

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(2)求I麗的最小值，及此時實數(shù)λ的值.

:o

P

AD

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【考點】平面向量的基本定理.

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算.

【分析】(1)由已知結合向量的線性表示即可直接求解；

(2)建立直角坐標系，然后結合向量的坐標運算及二次函數(shù)的性質即可求解.

【解答】解：(1)當人=工時，直角梯形48co中，48=NZ)=2,BC-?,?p??-??,

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?y(PA+PB)=y(DA-DP+PC+CB)=ycDA-jDC看5娉瓦)=-∣DC+∣jDA?

(2)建立如圖所示的直角坐標系，則AD=(2,0),DC=(-1，2),

因為市=λ^56=(-λ,2λ),

所以卻=而+而=(2-入，2入)，P(2-入，2λ),

因為E(0,1),

mPE=(λ-2,1-2λ),∣PΘ=√(2.λ)2+(2λ.1)2=√5λ2-8λ+5,

【點評】本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的坐標表示，坐標的建立可以簡

化基本運算，屬于中檔題.

17.(2021春?膠州市期中)在C中，M,N為C所在平面內的兩點,N8=3,AC=2√^,

ZBAC=-'MC=?BC>NA+NC=O.

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(1)以示口戢作為一組基底表示而，并求|而|；

(2)。為直線MN上一點，設而=X標+y正(χ,y∈R)>若直線CD經(jīng)過4/8C