2022-2023學(xué)年湖南省郴州市湘粵學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市湘粵學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義算式?：x?y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對任意x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中算式?：x?y=x（1﹣y），我們可得不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對任意x都成立，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的二次不等式恒成立，進(jìn)而根據(jù)二次不等式恒成立的充要條件，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵x?y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對任意x都成立，則（x﹣a）?（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立則△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故選D【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要條件是a＜0，△＜0構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．2.將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖．【分析】根據(jù)三視圖的特點(diǎn)，知道左視圖從圖形的左邊向右邊看，看到一個(gè)正方形的面，在面上有一條對角線，對角線是由左下角都右上角的線，得到結(jié)果．【解答】解：被截去的四棱錐的三條可見棱中，在兩條為長方體的兩條對角線，它們在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面（長方形）的兩條邊重合，另一條為體對角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對角線重合，對照各圖，只有D符合．故選D．3.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）A．3 B．11 C．38 D．123參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】通過框圖的要求；將第一次循環(huán)的結(jié)果寫出，通過判斷框；再將第二次循環(huán)的結(jié)果寫出，通過判斷框；輸出結(jié)果．【解答】解；經(jīng)過第一次循環(huán)得到a=12+2=3經(jīng)過第一次循環(huán)得到a=32+2=11不滿足判斷框的條件，執(zhí)行輸出11故選B4.已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是()A．(－1，1，0)

B．(1，－1，0)

C．(0，－1，1)

D．(－1，0，1)參考答案：B5.用數(shù)學(xué)歸納法證明第一步應(yīng)驗(yàn)證等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.極坐標(biāo)方程表示的曲線是（

）A．圓

B．橢圓

C.雙曲線的一支

D.

拋物線參考答案：D略7.若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，那么的取值范圍是（

）A.（）B.（）C.（）D.（）參考答案：D略8.在等差數(shù)列{an}中，7a5+5a9=0，且a5<a9，則使數(shù)列前n項(xiàng)和Sn取得最小值的n等于A、5

B、6

C、7

D、8參考答案：B9.已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率是，則E的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出=即可得到結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線的離心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，則=，即雙曲線的漸近線方程為y═±x=±x，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，根據(jù)雙曲線離心率的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．10.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=(3n－1)a，a1=2,則a5= （A）486

（B）242

（C）242a

（D）162參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過原點(diǎn)向曲線可作三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：略12.．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角余弦值是(

)．

A． B． C． D．0參考答案：D略13.已知雙曲線=1（a＞b＞0）的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出雙曲線的右頂點(diǎn)A（a，0），拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程，根據(jù)已知條件得出①及=2c②，求出a=b，即可得雙曲線的離心率．【解答】解：∵右頂點(diǎn)為A，∴A（a，0），∵F為拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，∴F（0，），∵|FA|=c，∴①拋物線的準(zhǔn)線方程為y=﹣，代入雙曲線的方程得x=±，∴=2c②，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴雙曲線的離心率為．故答案為：．【點(diǎn)評】熟練掌握圓錐曲線的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.右邊程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是________．參考答案：90015.若直線被兩平行線所截得的線段的長為，則的傾斜角可以是

①

②

③

④

⑤其中正確答案的序號是

.（寫出所有正確答案的序號）參考答案：解析：兩平行線間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或。故填寫①或⑤16.過拋物線的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則等于 .參考答案：817.．已知，那么展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為

。參考答案：

135略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求證：．參考答案：(1)見解析；(2)證明見解析【分析】（1）由f（x）含有參數(shù)a，單調(diào)性和a的取值有關(guān)，通過分類討論說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）法一：將已知變形，對a分類討論研究的正負(fù)，當(dāng)與時(shí)，通過單調(diào)性可直接說明，當(dāng)時(shí)，可得g（x）的最大值為,利用導(dǎo)數(shù)解得結(jié)論．法二：分析時(shí)，且使得已知不成立；當(dāng)時(shí)，利用分離變量法求解證明.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，由得，得，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減；（2）法一：由得（*），設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，可知且時(shí)，，，可知（*）式不成立；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，可知（*）式成立；③當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，所以，由（*）式得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，而，h（1）=1-2=-1<0，所以存在t，使得h（t）=0，由得；綜上所述，可知．法二：由得（*），①當(dāng)時(shí)，得，且時(shí)，，可知（*）式不成立；②當(dāng)時(shí)，由（*）式得，即，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，（**），當(dāng)時(shí)，，得，所以在上遞增，同理可知在上遞減，所以，結(jié)合（**）式得，所以，綜上所述，可知．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及到了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分類討論、構(gòu)造函數(shù)等方法技巧，屬于較難題．19.已知函數(shù)（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=f′（2）=1，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可求出f（x）的解析式，從而求出切線方程即可；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．【解答】解：（1）因?yàn)閒′（x）=x2﹣2ax+b，由f′（0）=f′（2）=1即，得，則f（x）的解析式為，即有f（3）=3，f′（3）=4所以所求切線方程為4x﹣y﹣9=0．（2）由（1）f（x）=x3﹣x2+x，∴，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵x∈[﹣3，2]，∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣3，﹣1]，減區(qū)間為（﹣1，2]，∵，∴g（x）的最小值為﹣9．20.已知雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，實(shí)半軸長為.(Ⅰ)求雙曲線的方程；(Ⅱ)若直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,且(其中為原點(diǎn)),求的取值范圍.

參考答案：(Ⅰ)設(shè)雙曲線的方程為,,,故雙曲線方程為.(Ⅱ)將代入得由得且設(shè),則由得=,得又，,即略21.已知直線l經(jīng)過點(diǎn),傾斜角，圓C的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)寫出直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB中點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離.參考答案：（Ⅰ）直線的參數(shù)方程為即（為參數(shù)，）由