《21.2.1 直接開平方法解一元二次方程》課件（兩套）

21.2.1配方法第二十一章一元二次方程第1課時直接開平方法學習目標1.會把一元二次方程降次轉化為兩個一元一次方程.(難點）2.運用開平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.(重點）1.如果

x2=a,則x叫做a的

.導入新課復習引入平方根2.如果

x2=a(a≥0),則x=

.3.如果

x2=64,則x=

.±84.任何數都可以作為被開方數嗎？負數不可以作為被開方數.講授新課直接開平方法一

問題：一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25開平方得即x1=5，x2=－5.因棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm．x=±5，試一試：

解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根據平方根的意義，得x1=2,x2=-2.解:根據平方根的意義，得x1=x2=0.解:根據平方根的意義，得

x2=-1,因為負數沒有平方根，所以原方程無解.(2)當p=0

時，方程(I)有兩個相等的實數根=0；(3)當p<0

時,因為任何實數x，都有x2≥0

，所以方程(I)無實數根.探究歸納一般的，對于可化為方程x2=p,(I)(1)當p>0

時，根據平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數根，；利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.歸納

例1

利用直接開平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接開平方，得（2）移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析在解方程(I)時，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+3)2=5，②得對照上面方法，你認為怎樣解方程（x+3）2=5探究交流于是，方程（x+3）2=5的兩個根為上面的解法中，由方程②得到③，實質上是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉化為我們會解的方程了.解題歸納例2

解下列方程：⑴（x＋1）2=2；

解析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=解析：第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解.例2

解下列方程：（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移項，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.∴x1=

，

x2=(3)12（3－2x）2－3=0.解析：第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以-2即可.解：(3)移項，得12（3-2x）2=3，兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5解：方程的兩根為解：方程的兩根為例3

解下列方程：1.能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？

如果一個一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解.2.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明.探討交流當堂練習

(C)

4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;

x2=(D)

(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1.下列解方程的過程中，正確的是（）(A)

x2=-2,解方程，得x=±(B)

(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

D(1)方程x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2=4.

x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.填空:解：x1＝9,x2＝－9；解：x1＝5,x2＝－5；解：x1＝1,x2＝－3.4.（請你當小老師）下面是李昆同學解答的一道一元二次方程的具體過程，你認為他解的對嗎?如果有錯，指出具體位置并幫他改正.①②③④解：解：不對，從開始錯，應改為解方程:挑戰(zhàn)自我解：方程的兩根為課堂小結直接開平方法概念步驟基本思路利用平方根的定義求方程的根的方法關鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).一元二次方程兩個一元一次方程降次直接開平方法21.2解一元二次方程第1課時用直接開平方法等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.1、一元二次方程的概念復習回顧2、一元二次方程的一般形式1、判斷下面哪些方程是一元二次方程√

×

×

×

×

練一練2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2化為一般形式是：___________,其二次項系數是____,一次項系數是____,常數項是____.3、方程(m-2)x|m|+3mx-4=0是關于x的一元二次方程，則（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

2x2-3x-1=02-3-1C4、關于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0(1)當a取什么值時,它是一元一次方程?(2)當a取什么值時,它是一元二次方程?a2-4=0a+2≠0解:(1)∴a=2∴當a=2時，原方程是一元一次方程.(2)a2-4≠0∴a≠±2∴當a≠±2時，原方程是一元二次方程.5、已知關于x的方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一個根是0，試確定m的值.解：∵0是方程的解∴代入得m2-9=0∴m=±3經檢驗m=±3都符合題意∴m=±3.如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?解：（1）∵x是4的平方根即原方程的根為：x1=2，x2=－2

（2）移項，得x2=2

∵x是2的平方根∴x=

∴x＝±2即原方程的根為：x=，x=

12思考這時,我們常用χ1、χ2來表示未知數為χ的一元二次方程的兩個根.

像解x2=4，x2-2=0這樣，利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法.什么叫直接開平方法？概括總結例1、解下列方程（1）x2-1.21=0

（2）4x2-1=0

解：（1）移項，得x2=1.21∵x是1.21的平方根∴x=±1.1即x1=1.1，x2=-1.1（2）移項，得4x2=1兩邊都除以4，得∵x是的平方根∴x=即x1=，x2=x2=例題練習即x1=-1+，x2=-1-

例2、解下列方程：⑴（x＋1）2=2

分析：只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解；解：（1）∵x+1是2的平方根∴x+1=∴x+1=或x+1=例題練習⑵（x－1）2－4=0∴x1=3，x2=-1解：移項，得（x-1）2=4∵x-1是4的平方根∴x-1=±2即x-1=+2或x-1=-2例題練習⑶12（3－2x）2－3=0∴x1=，x2=解：移項，得12（3-2x）2=3兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25∵3-2x是0.25的平方根∴3-2x=±0.5即3-2x=0.5或3-2x=-0.5例題練習例3、解方程(2x－1)2=(x－2)2即x1=-1，x2=1

分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同樣可以用直接開平方法求解解：2x-1=即2x-1=±（x-2）∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2例題練習首先將一元二次方程化為左邊是含有未知數的一個完全平方式，右邊是非負數的形式，然后用平方根的概念求解.歸納1.能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？如果一個一元二次方程具有x2=a（a≥0）或（ax＋h）2=k（k≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解.2.用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是什么？3.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明.;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1、下列解方程的過程中，正確的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=D練一練2、解下列方程：

（1）x2-0.81=0

（2）9x2=4練一練3、解下列方程：（1）（x+2）2=3（2）（2x+3）2-5=0（3）（2x-1）2=（3-x）2

練一練A.n=0B.m、n異號

C.n是m的整數倍D.m、n同號已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接開平方