數(shù)1-01真題初步答案

2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題〔此題共5小題，每題3分，總分值15分，把答案填在題中橫線(xiàn)上〕(1).【解】由通解知對(duì)應(yīng)的特征根為從而特征方程為于是所求方程為.〔2〕【解】根據(jù)定義有于是(3)【解】因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)橛挚蓪⒏膶?xiě)為于是有(4)【解】由題設(shè)，有也即故.〔5〕【解】根據(jù)切比雪夫不等式有.二、選擇題〔此題共5小題，每題3分，共15分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).〕〔1〕〔D〕【解】從題設(shè)圖形可見(jiàn)，在軸的左側(cè)，曲線(xiàn)是嚴(yán)格單調(diào)增加的，因此當(dāng)時(shí)，一定有對(duì)應(yīng)圖形必在軸的上方，由此可排除〔A〕，〔C〕；又的圖形在軸右側(cè)有三個(gè)零點(diǎn)，因此由羅爾中值定理知，其導(dǎo)函數(shù)圖形在軸一定有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)一步可排除〔B〕.故正確答案為〔D〕.〔2〕〔C〕【解】題設(shè)只知道一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，但不一定可微，因此可立即排除〔A〕；至于〔B〕，〔C〕,(D)那么需要通過(guò)具體的計(jì)算才能進(jìn)行區(qū)分，令，那么有因此過(guò)點(diǎn)的法向量為±{?3,?1,1}，可排除〔B〕；曲線(xiàn)可表示為參數(shù)形式：其中點(diǎn)的切向量為故正確選項(xiàng)為〔C〕.〔3〕〔B〕【解】方法1：因?yàn)榭梢?jiàn)，假設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo)，那么極限一定存在；反過(guò)來(lái)，假設(shè)存在，那么存在，即在點(diǎn)可導(dǎo)，因此正確選項(xiàng)為〔B〕.至于〔A〕，〔C〕,(D)均為必要而非充分條件，可舉反例說(shuō)明不成立.比方，,在處不可導(dǎo)，但均存在，可排除〔A〕、〔C〕.又如在處不可導(dǎo)，但存在，進(jìn)一步可排除〔D〕.〔4〕〔A〕【解】方法1：因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且其特征值為：故存在正交矩陣,使得可見(jiàn)，那么既合同又相似.方法2：是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且故是的特征值，另一個(gè)特征值，由即有特征值〔三重根〕，和對(duì)角陣的特征值完全一致，故相似且合同于.(5)〔A〕【解】，故.答案應(yīng)選〔A〕.三、(此題總分值6分)【解】四、(此題總分值6分)【解】由題設(shè)，有五、(此題總分值8分)【解】因故，于是，上述級(jí)數(shù)顯然在收斂于1，而，所以上述等式在處亦成立：，又在處右邊級(jí)數(shù)收斂，左邊連續(xù)，所以等式可擴(kuò)大到.從而，因此六、(此題總分值7分)【解】方法1：記為平面上所圍成局部的上側(cè)，為在坐標(biāo)面上的投影.由斯托克斯公式得按第一型曲面積分的算法，將投影到，然后再將的方程代入，計(jì)算得由于關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，所以方法2：轉(zhuǎn)換投影法.用斯托克斯公式，取平面被所圍成的局部為，按斯托克斯公式的規(guī)定，它的方向向上，在平面上的投影域記為.為于是其中用的性質(zhì)：為的奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)于軸；為的奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)于軸；積分均應(yīng)為零.方法3：降維法，取S如解法1中定義，代入中，其中，為在平面上投影，逆時(shí)針.方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面積分逐個(gè)投影法，由方法1，已有用逐個(gè)投影法，例如計(jì)算其中分別令,可得到的4條邊界線(xiàn)的方程：右：；上：；左：；下：.于是類(lèi)似地，可計(jì)算〔由奇、偶數(shù)及對(duì)稱(chēng)性〕方法5：參數(shù)法.:,當(dāng)時(shí)，,從1到0.于是當(dāng),,從0到-1當(dāng),,從－1到0當(dāng),，從0到1所以七、(此題總分值7分)【解】方法1：〔1〕任給非零x∈(?1,1)，由拉格朗日中值定理得因?yàn)閒''(x)在(?1,1)內(nèi)連續(xù)且f''(x)≠0,所以f''(x)在(?1,1)內(nèi)不變號(hào)，不妨設(shè)那么f''(x)在(?1,1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)且增加，故唯一.〔2〕對(duì)于非零x∈(?1,1)，由拉格朗日中值定理得于是有上式兩邊取極限，得左端＝右端＝故【解2】〔1〕同【解1】.〔2〕由泰勒公式得在0與x之間所以從而由于故八、【解】記V為雪堆體積，S為雪堆的側(cè)面積，那么由題意知將上述和代入，得解得由h(0)=130,得令h(t)→0得t=100〔小時(shí)〕.因此高度為130厘米得雪堆全部融化所需要時(shí)間為100小時(shí).九、【解】由于為均為的線(xiàn)性組合，所以為均為Ax=0的解.下面證明線(xiàn)性無(wú)關(guān).設(shè)即由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此其系數(shù)全為零，即其系數(shù)行列式可見(jiàn)，當(dāng)即當(dāng)s為偶數(shù)，當(dāng)s為奇數(shù)，時(shí)，上述方程組只有零解因此向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而也為Ax=0的一個(gè)根底解系.十、【解】〔1〕方法一：因?yàn)橛谑蔷C合上述三式有即也即其中方法二：設(shè)那么由AP=PB得上式可寫(xiě)成將代入〔3〕式得由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故由〔1〕式可得由〔2〕式可得由〔4〕式可得故方法三：將改寫(xiě)成故為A的特征值，為屬于-3的特征向量；為A的特征值，為屬于1的特征向量；為A的特征值，為屬于-3的特征向量；令于是但另一方面，Q為特征向量組成的矩陣，所以為由對(duì)應(yīng)的特征值組成的對(duì)角矩陣：所以〔2〕由〔1〕知，A與B相似