貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級(jí)診斷性考試（一）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

畢節(jié)市2023屆高三年級(jí)診斷性考試(一)

理科數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題K答案』后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的K答案』標(biāo)號(hào)涂黑.

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它K答案H標(biāo)號(hào)，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.回答第II卷時(shí)，將K答案》寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.請(qǐng)保持答題卡平整，不能折疊.考試結(jié)束，監(jiān)考員將答題卡收回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=tr+α+(α+l)ι為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)”的值為()

A.0B.0或-1C.1D.-1

K答案HA

K解析D

K祥解》根據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型可得出關(guān)于”的等式與不等式，解之即可.

z?.Q2-+CQ=O

R詳析D因?yàn)閺?fù)數(shù)z=∕+9α+(α+i)ι為純虛數(shù)，則{，解得α=0.

',[a+l≠0

故選：A.

2.設(shè)集合A={—2,—1,0,1,2},8={x∣2χ2一5xWθ},則AC他B)=()

A.{θ,l,2}B.{1,2}C.{—2,—1,0}D.{—2,—1}

K答案HD

K解析H

K祥解H首先求集合B,再根據(jù)集合的運(yùn)算求4?β)

R詳析22√-5%≤0,解得：0≤x≤*,所以B=IXO≤x≤[(,

22,

所以48={x∣x<0或x>?∣},

因?yàn)锳={—2,—1,0,1,2卜

所以AC(QjB)={-2,—1}.

故選：D

3.已知數(shù)列｛4,,｝的通項(xiàng)公式為=2",則q-%+t?一“4++。9-4o的值為()

2(l+2'°)θ2(l-21°)

A.2(2l0-l)B.2(2l0+l)c

33

K答案HD

K解析】

R祥解》根據(jù)給定條件，判斷｛(一I)"%”｝為等比數(shù)歹U,再利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算作答.

(T)"

,n

K詳析》依題意，(-lΓa,=(-l)-'?2?數(shù)列｛(-1)"Tan｝是首項(xiàng)為2,公比為-2的

i(T)Z

等比數(shù)列,

2[l-(-2)l012(1-210)

所以%一生+%—4++4；-%01-(-2)3-

故選：D

4.某營(yíng)救小組有48人，需要乘船過(guò)河去執(zhí)行營(yíng)救任務(wù)，現(xiàn)從甲、乙兩種型號(hào)的船中選擇一種.甲型號(hào)的船

比乙型號(hào)的船少5艘.若只選擇甲型號(hào)的，每艘船載4人，則船不夠；每艘船載5人，則有船沒(méi)有載滿(mǎn).若

只選擇乙型號(hào)的，每艘船載3人，則船不夠：每艘船載4人，則有多余的船.甲型號(hào)的船有()

A.9艘B.IO艘C.11艘D.12艘

K答案，B

K解析R

R祥解》設(shè)甲船有X艘，則乙船有(x+5)艘，根據(jù)題意列出不等式組，解之即可得解.

詳析工設(shè)甲船有X艘，則乙船有(x+5)艘,

'4x<48<5x

由題意可得《“u?“o’)/U,\，解得9.6<x<ll,

3(x+5)<48≤4(x+5-l)

又因?yàn)閄為正整數(shù)，所以x=l(),

即甲型號(hào)的船有10艘.

故選：B.

5.已知向量α=（χ2-3,x）,b=（2,1）,則“x=3”是"。與O同向''的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案，c

R解析，

R祥解力先求出“與人同向的X的值，再利用條件定義判斷.

/一3X

K詳析》因?yàn)楫?dāng)。與/,同向時(shí)，---=即x=3或X=-I（舍）；

21

所以“x=3”是與b同向”充要條件.

故選：C.

6.圖（1）是由正方形ABaD和正三角形QA。組合而成的平面圖形，將三角形QAZ）沿AO折起，使得平

面QAD，平面ABCD,如圖（2）,則異面直線(xiàn)P3與OC所成角的大小為（）

C.45D.60

K答案1C

K解析D

K樣解》由平面，平面ABC。，4?_LAT＞可得ABl平面Q4D,從而ABJ由ABDC可

知NPBA為異面直線(xiàn)PB與。C所成角，從而得解.

K詳析U：平面∕?T＞，平面ABC。，平面Q4Dc平面ABcD=Ar）,ABU平面ABCD,ABlAD,

.??Aβ工平面24。，又JR4U平面PAD,.?.AB_LQ4.

VABOC,.?.NPBA為異面直線(xiàn)PB與。C所成角，

???Λ4=AB,???NP3A=45"?

故選：C.

7.如圖所示，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)

一的和諧美，若函數(shù)/S）的圖象能將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分，則稱(chēng)/（x）為這個(gè)圓的一個(gè)“太

極函數(shù)已知函數(shù)/(x)=χ3+bf+3x是圓(x—l)2+(y-l)2=l的一個(gè)太極函數(shù)，若函數(shù)

g(x)=∕(x)-，以+12有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

A.(0,+∞)B.[0,+∞)

C.(-∞,O)D,(-∞,0]

K答案，A

K解析H

K祥解》首先由題意，可知函數(shù)/(χ)關(guān)于點(diǎn)(Ll)對(duì)稱(chēng)，列式求/?,再根據(jù)函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

g'(χ)=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

R詳析11圓(x—1)2+(>T)2=1的圓心為(1,1),若函數(shù)〃尤)=/+樂(lè)2+3%是圓的太極函數(shù)，

則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)，則Vx∈R,<∕(2-x)=2-∕(x),

即(2-xy+b(2-xy+3(2-x)+χ3+bχ2+3χ=2,

整理為：(6+2/?)f—(12+4〃)工+4〃+12=0恒成立，

解得：b=-3,

則函數(shù)g(x)=,f(X)—如+12=ΛJ—3X2+(3—〃Z)X+12,

g'(x)=3x2-6x+3-m,若函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則g'(x)=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則A=36-4χ3x(3-m)>0,解得：相>0.

故選：A

8.給出下列命題：

①函數(shù)f(x)=2Λ-X2恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

②若函數(shù)/⑴=X一污在上單調(diào)遞增’則實(shí)數(shù)0的取值范圍是―

③若函數(shù)AX)滿(mǎn)足/(x)+∕(lr)=4,則+/[')=18；

④若關(guān)于X的方程2μ-加=()有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(0,1]?

其中正確的是()

A.①③B.②④C.③④D.②③

K答案，D

K解析D

R祥解力對(duì)于①，由零點(diǎn)存在性定理得到(—1,0)有1個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合〃2)=/(4)=0,①錯(cuò)誤；對(duì)于②，轉(zhuǎn)

化為導(dǎo)函數(shù)在(1,”)大于等于0,參變分離后進(jìn)行求解；對(duì)于③，求出/(W)=2,從而分組求和即可；

對(duì)于④，先計(jì)算出y=2W∈[l,+s),從而得到K答案》.

R詳析力對(duì)于①，/(2)=/(4)=0,故2,4為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，

又當(dāng)X<0時(shí)，弘=2'單調(diào)遞增，必=工2單調(diào)遞減，

故/(x)=2*-χ2在χ<0上單調(diào)遞增，且f(-l)=2T-l<0,/(O)=20=1>O,

由零點(diǎn)存在性定理可知：玉Oe(To),使得/(x0)=0,

故函數(shù)F(X)=2,零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于2個(gè)，

故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，由題意得了'(X)=1+=≥O在(1,+8)上恒成立，

X

即α≥—f在(1,+8)上恒成立，

因?yàn)樵?1,+8)上，y=-x2<-l,故α≥T,故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[—1,+8),②正確；

對(duì)于③,函數(shù)f(χ)滿(mǎn)足f(x)+f(l-x)=4,

令x=A，則2/(得)=4,解得/(得)=2,

則/?+/

=4x4+2=18,③正確；

由題意得2兇=機(jī)有解，其中丁=2忖w[l,4w),

故實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是［1,+8),④錯(cuò)誤.

故選：D

9.已知點(diǎn)P在直線(xiàn)/：3x+4y—33=。上，過(guò)點(diǎn)尸作圓C:(x-l)2+V=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,6,

則圓心C到直線(xiàn)AB的距離的最大值為()

124

A.-B.-C.1D.一

333

K答案DB

K解析》

"羊解D根據(jù)題意，設(shè)P(相,〃)為直線(xiàn)/：3x+4y—33=0上的一點(diǎn)，由圓的切線(xiàn)的性質(zhì)得點(diǎn)AB在以CP

為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓C的方程聯(lián)立可得直線(xiàn)AB的方程，將其變形分析可得直線(xiàn)AB恒

過(guò)的定點(diǎn)，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分析可得K答案

K詳析H由題意可得U(XT)2+V=4的圓心C(LO)到直線(xiàn)/:3x+4y—33=0的距離為

A∣3-33∣

a=--------=O>2,

5

即∕3x+4y-33=0與圓相離;

設(shè)尸(八〃)為直線(xiàn)∕3x+4y-33=0上的一點(diǎn),則3加+4〃-33=(),

過(guò)點(diǎn)P作圓C:(x—l)2+y?=4的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A8,則有CA_LPA,CBLPB,

則點(diǎn)AB在以CP為直徑的圓上，

以CP為直徑的圓的圓心為("L2),半徑為廠=J.Id=而可運(yùn)，

2222

則其方程為(X—等?>+(y-9="耳"，變形可得/+y2一(m+1次—町+加=0,

（1—],+y2=4

聯(lián)立。，可得：（加-1）%+〃）一加-3=。，

%+y-[m+l）x-ny+m=O

又由3機(jī)+4月-33=0,則有4（m一1）%+（33-3機(jī)）y-4a-12=0,

變形可得小（4%—3'一4）-4%+33丫-12=0,

4x-3y-4=0

則有<

-4x+33y-12=0

設(shè)Λ∕（y,石■）,由于（《-I）?+（百）2<4,故點(diǎn)Af（W,不）在C:（犬一I）?+y2=4內(nèi),

則C5J_A5時(shí)，C到直線(xiàn)A3的距離最大，

其最大值為ICMI=JG-I）2+（?）2=I,

故選：B

10.正方體ABcD-A耳G2的棱長(zhǎng)為0，點(diǎn)M為Ag的中點(diǎn)，一只螞蟻從M點(diǎn)出發(fā)，沿著正方體表

面爬行，每個(gè)面只經(jīng)過(guò)一次，最后回到M點(diǎn).若在爬行過(guò)程中任意時(shí)刻停下來(lái)的點(diǎn)與M點(diǎn)的連線(xiàn)都與AG

）

A.6√2B.6C.3√3D.3

!［答案］B

K解析H

K樣解》由題意可知螞蟻從M點(diǎn)出發(fā)，沿著與AG垂直的正方體ABCz）-4耳GA的截面爬行，回到M

點(diǎn)，作出螞蟻爬行得路線(xiàn)，求得相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度，即可求得K答案》.

R詳析員由題意可知螞蟻從M點(diǎn)出發(fā)，沿著與AG垂直的正方體ABC。—A4G2的截面爬行，回到M

點(diǎn),

潑E,F,G,H,P為B?B,BC,CD,DDi,QA的中點(diǎn)，連接ME,EF,FG,GH,HP,PM,

連接Ao廁PH〃A1D,PH=gAQ,而A1M〃DG,A,M=DG,即四邊形AtMGD為平行四邊形,

故AtD/7MG,A,D=VG,所以PH〃MG,PH=^MG,

故四邊形P"GΛ1為梯形，則延長(zhǎng)MRG”必交于一點(diǎn)，設(shè)為N,

則MP,G"確定一平面，設(shè)為α,

同理可證MP〃印，GF〃EH,:.GF〃MP,

而Gea,故GEUa洞理可證EEUa,MEua,

即用,E,F,G,",P共面,該平面即為α：

又AA，平面A1B1C1D1,PMU平面44GA,故AAsLPM,

又PM〃BQ】,BlDl1AtCl,:.PM±AlC1,

而AlAAlG=4，AAAGu平面A4∣G,故。Λ∕J■平面A4∣G,

AGU平面A4∣C∣,故PMj.AC∣,同理可證P"J.AG

而PMPH=P,PM,PHua,故AClLa,

即平面α即為過(guò)點(diǎn)M和AG垂直的平面,

則螞蟻沿著ME,EF,FG,GH,HP,PM爬行,

由題意可得ME=EF=FG=GH=HP=PM==1>

故爬行的總路程為6,

故選：B

11.已知α=31og83,?=--logl16,c=Iog45,則a,h,C的大小關(guān)系為()

25

A.a>b>cB.c>a>bC,a>c>h).c>b>a

K答案】A

K解析H

r∣QQ+/724“門(mén)r—??

R祥解力首先化簡(jiǎn)得到。=Iog?3,?=log4,再根據(jù)a>b>Q，m>0,則----求解即可.

3bb+m

3

K詳析羊a=3Iog83=Iog827=Iog233=Iog23,

∕7=-^-log116=-∣log316=log34,

23

C,,aa+m

首先證明a>b>0，m>0,則r/>-----

bb-?-m

,aa+根a(Z?+w)-h(a+〃7)(a-b)m

因町一兀無(wú)

b(b+m)b(b+m)'

又因?yàn)?。??〉0,m>0,b(b+m)>O,

Qa-?-mC口…TQQ+機(jī)

所以:一?——>0,即證丁——

bb+mbb+m

39

Ig3lg3+lg2lg29

因?yàn)镼=log?3=----->------------——-----=Iog—>Iog4,即4>Z?,

^lg2lg2+lg∣但3323

Ig4'g4+lgξlgJ16

因?yàn)閎=Iog4=γ=->---------T-=—?-=Iog—>log,5,即b>c,

3lg3lg3+lg^愴413

所以〃>/?>(:.

故選：A

?PFI

12.已知耳，鳥(niǎo)為雙曲線(xiàn)。的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑長(zhǎng)為的圓記為D,過(guò)大作。的

4

3

切線(xiàn)與C交于M,N兩點(diǎn)，且CoSN耳NK=則C的離心率為（）

?8√5+4o4√5+8

A.--------------D.--------------

1113

c8百+4D9G+3

'-∏-'13

K答案，C

K解析H

R祥解X首先利用幾何關(guān)系表示焦半徑的長(zhǎng)度，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，即可求解.

K詳析力如圖，點(diǎn)E為切點(diǎn)，則OELMN,過(guò)點(diǎn)/作巴R_LMN,垂足為點(diǎn)尸，則尸工//。石,

因?yàn)镮OEI=廠=會(huì)I。耳∣=c,則但用="c，

因?yàn)辄c(diǎn)0是線(xiàn)段￡F?的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E是線(xiàn)段石尸的中點(diǎn)，則/耳∣=Gc,IEEl=c,

因?yàn)镃OSN-NK=1,則tan∕[NK=±則加可=孑，∣N用=（c,

因?yàn)镮NGITN入∣=2α=Gc+jc-（c=24,

解得：￡=86+4

a11

故選：C

第∏卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答;第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（、歷x-y）5展開(kāi)式中Yy3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

K答案H-20

K解析U

K祥解X根據(jù)二項(xiàng)式定理得到(=-20χ2y3,得到K答案》.

K詳析》(√∑x-y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為*+I=G(√∑xL?(-y)'=q(√∑)''?(—l)'?χ5τy,

2

取r=3得到T4=C,(√2)?(—I)，?V/=—20∕y3.

故R答案H為：一2()

14.勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作圓弧，三段圓弧圍

22

成的曲邊三角形(如圖)，已知橢圓?+方=l(0<8<2)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個(gè)勒洛三角形，則該勒

洛三角形的周長(zhǎng)為.

K樣解》根據(jù)給定條件，求出正三角形邊長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算作答.

22

K詳析D因?yàn)闄E圓土+與=1(0<人<2)的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)能作出一個(gè)勒洛三角形，令其半焦距為C,

4b-

則點(diǎn)(-c,O),(c,0),(0,b)或(-c,O),(c,O),(O,-?)或(-c,0),(0,?),(0,-?)或(c,0),(0,b),(O,-b)為一正三角

形的三個(gè)頂點(diǎn)，

于是得正三角形邊長(zhǎng)為&+從=〃=2,顯然勒洛三角形三段圓弧長(zhǎng)相等，所對(duì)圓心角為T(mén)，

TT

所以該勒洛三角形的周長(zhǎng)為3x—χ2=2π.

3

故K答案H為：2π

15.已知函數(shù)y=sin<υx(6>>())在區(qū)間θ,?上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為.

K答案D[2,4)

K解析，

K樣解D由題意求出<yχw[0,孚],由題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)列出不等式，求得K答案』.

2

K詳析U當(dāng)0?兀時(shí)，則0χw[O,竽],則/(0)=0,

22

要使y=sin0x3;〉0)在區(qū)間0,?∣上恰有兩個(gè)零點(diǎn),

則?！荏茫?兀，解得2≤。＜4,

2

即。的取值范圍是［2,4),

故R答案H為：［2,4).

%+2,〃為奇數(shù)

16.已知數(shù)列｛a,,｝滿(mǎn)足q=1,a,的前〃項(xiàng)和

π+1勺+1,〃為偶數(shù)IT)((?,+2),

n

K答案》

6n+4

K解析》

"羊解Il先根據(jù)遞推關(guān)系式求出生.，然后利用裂項(xiàng)相消法求和.

K詳析》由題意可得。2=q+2=3,。2“=%"-∣+2=/,,-2+3，n≥2,

所以｛%“｝是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以％”=3+3(〃-1)=3”,

111

-D(g”+2)(3〃-1)(3"+2)313〃-13“+2,

1

設(shè)數(shù)列《,的前〃項(xiàng)和為s“,

.3.TM+2),

貝電=((\11I11(11n

1+…H—--------------------

25+31583(3〃-13n+23123n+26〃+4

Yl

故R答案H為：------.

6/1+4

三、解答題：本大題共7小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.2021年10月16日，搭載“神舟十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國(guó)人民普遍關(guān)注的大事，因此每

天有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞.某機(jī)構(gòu)將每天關(guān)注這件大事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人

稱(chēng)為“天文愛(ài)好者”，否則稱(chēng)為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取了100人

進(jìn)行分析，得到下表(單位：人)：

天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合^計(jì)一

女2050

男15

合計(jì)100

(I)將上表中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非

天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？

(2)現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者'’這兩種類(lèi)型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：K?=7-----"""產(chǎn))------，其中力=Q+h+c+d.

(α+b)(c+d)(α++

P(?≥%)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K答案2Q)2x2列聯(lián)表見(jiàn)詳析：能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天

文愛(ài)好者”與性別有關(guān)；

(2)分布列見(jiàn)詳析；

R解析』

R祥解2(1)根據(jù)題意，即可得出完整的2x2列聯(lián)表，再根據(jù)給出的公式求出Kz,并與勺比較，即可得

出結(jié)論；

(2)根據(jù)分層抽樣得出在女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”，

再?gòu)?人中隨機(jī)選出3人，再根據(jù)超幾何分布的概率求法求出概率，進(jìn)而得出分布列和數(shù)學(xué)期望.

R小問(wèn)1詳析］

解：由題意，得2x2列聯(lián)表如下：

天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)

女203050

男351550

合計(jì)5545100

出‘n=崢(吵H吵3五,9091>7879,

：.K2=-

α+∕)(c+d)(α+c)(b+d)50×50×55×45

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0?005的前提下認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān).

K小問(wèn)2詳析》

解：由題得，抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛(ài)好者”有20人，“非天文愛(ài)好者”有30人,

所以按分層抽樣在50個(gè)女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛(ài)好者"，有.3人為“非天文愛(ài)好者”，

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X,則X的可能值為0,1,2,

??P(X-10,

G?C_6_3

P(X=I)

Cl-10-5

C?G.3

P(X=2)=

C；10

所以X的分布列如下表:

X012

133

P

10510

所以數(shù)學(xué)期望為：E(X)=0×-?+l×∣+2×-^=∣.

A+8

18.已知一ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為“，b,c.若。CoS--------=CSin8.

2

(1)求角C；

(2)若C=百，求BC邊上的高的取值范圍.

2兀

K答案X(1)C=—；

3

3

(2)(0,一).

2

K解析，

"羊解》(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.

IT

(2)由(1)可得Be(O,§),再利用三角形面積公式計(jì)算作答.

R小問(wèn)1詳析H

在_A8C中，由正弦定理及A+B=乃一C,得SinBCOS------=SinCSin8,

2

而A?βe（0,乃），ye^θ,?j,即SinBH0,sin-?≠0,

即有sinBSin-=2sin-cos一sinB

222

因此COSC=LCπ

222^-3

所以C=里.

3

R小問(wèn)2詳析』

令一ABe邊BC上的高為人

由SAbe=g=gαcsinB,得〃=百SinB，

TT

由（1）知，Be（O,~）,即SinB,則/z=?/?sinfi∈

3

所以BC邊上的高的取值范圍是(0,一).

2

19.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，附，底面ABCz),AB=6√2>AD=6,M,N分別為CZX

尸。的中點(diǎn)，K為抬上一點(diǎn)，PK=-PA.

3

(1)證明：B,M,N,K四點(diǎn)共面；

(2)若尸C與平面ABC。所成的角為2,求平面BMNK與平面BAD所成的銳二面角的余弦值.

6

K答案Il(I)證明見(jiàn)K解析H

⑵旦

6

K解析》

K祥解Il(I)先證明線(xiàn)線(xiàn)平行，再利用基本事實(shí)判定四點(diǎn)共面：

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求解兩個(gè)平面的法向量，然后利用向量法求解二面角平面角的

余弦值.

K小問(wèn)1詳析》

證明：連接AC交BM于E,連接KE,

：四邊形A8CD是矩形，M為8的中點(diǎn),

1CECM1

...QV/〃AMCM=-AB,——=——=-,

2AEAB2

PK=-PA,：.PK=-KA,.?.KE∕∕PC,

32KAAE

???M,N分別是CDPD的中苴，；.MN〃PC,；.KE〃MN,

?.K,E,M,N四點(diǎn)共面，

BGEM，B,M,N,K四點(diǎn)共面.

K小問(wèn)2詳析］

AB=6>∕2'AD=6，??AC=6>/3,

Tt

R4_￡平面ABCD9：.PC與平面ABCD所成的角為ZPCA=-,

在△/?C中，—=tan-=-..??AP=6,

AC63

以AB為X軸，A。為)，軸，AP為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

A(0,0,0),β(6√2,0,0),M(3√2,6,0).K(0,0,4),

BM=(-3√2,6,0).BK=(—6α,0,4),

n,?BM=-3?∣2x+6y=0

設(shè)平面BMNK的一個(gè)法向量為勺=(x,y,z),則<L

馬BK--6√2x+4z=0

令X=叵,得平面BMNK的一個(gè)法向量為“二(75,1,3),

又平面PAD的一個(gè)法向量為％=(1,0,0),

設(shè)平面BMNK與平面必力所成的銳二面角的大小為6,

聞—√2-√6

?.COSθ=I~~∩~~r=-------^==――，

∣∕η∣?∣π2∣1×√126

，平面BMNK與平面以。所成的銳二面角的余弦值為

20.已知函數(shù)/(x)=(α-x)lnx.

(1)求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線(xiàn)方程；

(2)證明：當(dāng)。〉0時(shí)，函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn).

K答案D(1)γ=(tz-l)(x-l)

(2)證明見(jiàn)K解析》

K解析D

K祥解E(I)求導(dǎo)得到/'(X)=TnX+幺/，計(jì)算/⑴=0,r(l)=a-1,得到切線(xiàn)方程.

X

(2)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造g(x)=-XInX-X+”,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定存在唯一的

Λ0∈(4,O+1),使得/'(χo)=O,再判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到極值.

e

R小問(wèn)1詳析D

函數(shù)/⑶的定義域?yàn)?0,+∞),/(1)=0,/，(X)=—Inx+幺'，

X

故曲線(xiàn)/(X)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線(xiàn)方程為y=(a-?)(x-1).

K小問(wèn)2詳析H

、a-X-xlnx—X+Q

/(x)=-l1nx+------=-----------------,

XX

令g(x)=-xlnx-x+α,g'(x)=-InX-2,令g'(x)=O,???,

g,(x)>0,0<x<4；g,(x)<0,x>?,

ee^

g(χ)在(0,二)為增函數(shù)，在2,+81上為減函數(shù)，

e^Le-J

當(dāng)Xe(O,3時(shí)，g(x)=-x(lnx+l)+”>O恒成立，

當(dāng)x∈(4,+e)時(shí)，a+l>l>4r,g(α+l)=-(α+l)ln(α+l)+α-(α+l)<(),

故存在唯一的Λ0∈(-Ua+l),使得g(%)=0,即/'(無(wú)0)=0，

e

且當(dāng)x∈(?4,??)時(shí)，g(x)>0,即/'(X)>0；當(dāng)Xe(Xo,400)時(shí)，g(x)<O,即/(幻<°，

e

綜上所述：

當(dāng)尤e(O,x0)時(shí)，∕,(%)>O,函數(shù)單調(diào)遞增：當(dāng)Xe(Xo,+∞)時(shí)，f'(x)<O,函數(shù)單調(diào)遞減，即/*)存在

唯一的極大值點(diǎn)為.

鹿點(diǎn)石成金』》關(guān)鍵Γ點(diǎn)石成金』：本題考查了曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，證明極值點(diǎn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，

轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，構(gòu)造新函數(shù)，確定新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷隱零點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

21.設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。(2p,0),過(guò)尸的直線(xiàn)交。于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)MO

垂直于X軸時(shí)，∣M∕7∣=5.

(1)求C的方程；

(2)在X軸上是否存在一定點(diǎn)。，使得?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

從①點(diǎn)N關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'與M,Q三點(diǎn)共線(xiàn)：②X軸平分NMQN這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在題

目中“”處并作答.

注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

K答案，(1)y2=4x

(2)K答案》見(jiàn)K解析U

K解析H

K祥解II(I)當(dāng)直線(xiàn)垂直于X軸時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2〃，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，IWl=T+2p=5,

則C的方程可求：

(2)若選①，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：x^my+l,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線(xiàn)MN'的斜

率，得直線(xiàn)MN'的方程即可判斷；

若選②，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：x=my+↑,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)Qa0),由題意&,即+底°=。，結(jié)

合韋達(dá)定理得4m(r+l)=0對(duì)任意的機(jī)∈R恒成立，則/=一1,得出K答案"

K小問(wèn)1詳析』

當(dāng)直線(xiàn)垂直于X軸時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2。

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，IMrl=5+2p=5,?"=2

則拋物線(xiàn)方程為：∕=4x.

I(小問(wèn)2詳析)

若選①，若直線(xiàn)MNLy軸，則該直線(xiàn)與曲線(xiàn)。只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

7,

∕(l,0),設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：x=my+l,設(shè)M(X,y),N(x2,y2),N(x2,-y2)

x=tny+l.

聯(lián)立(24，得y--4my-4=0,△=16m？+16>0恒成立

y=4x

得X+%=4根，,必=-4

_X+>2_4m_4m_4_4χ

直線(xiàn)MN'的斜率MNLX「X?一工「々一袱3_%)_)[+4一%2+4

?X

，直線(xiàn)W的方程為y-χ=工[(χ-χ∣)

24y

由玉=1~,化簡(jiǎn)得>=素=(％+1)

???直線(xiàn)肱v'過(guò)定點(diǎn)(TO),???存在。(TO)

若選②，若直線(xiàn)MNj.y軸，則該直線(xiàn)與曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

F(l,0),設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：x=my+l

設(shè)M(%1,χ),N(X2,%)，設(shè)Q&0)

x=my+1C

聯(lián)立《,■，得y2-4my-4=o,A=16∕√+16>0恒成立

y=Ax

得弘+必=4m，yiy2=-4

X軸平分NMQN

?k+k上+上=y+%..

,?(MQ十ZVNQ

X1-/x1-1myx+1-Zmy2+l-f

X(，町?+1T)+%(，〃X+1T)_2/盯%+(