解析：北京市房山區(qū)2022-2023學年九年級上學期數(shù)學期末試卷（解析版）

房山區(qū)2022-2023學年度第一學期診斷性評價

九年級數(shù)學

2022.12

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.如圖，在中，DE//BC,如果AO=3,BD=6,AE=2,那么AC的值為（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】

A]~）4/7

【分析】由平行線分線段成比例可得到——=—,從而AC的長度可求.

ABAC

【詳解】VDE//BC

.AD_AE

''-AC

.3：=2

,?3+6-AC

/.AC=6

故選B

【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵.

2.在Rt^ABC中，NC=90。，如果AC=4,BC=3,那么cosA的值為（）

43

A.B.

55

43

C.D.

4

【答案】A

【解析】

【分析】先利用勾股定理求出AB的長度，從而cosA=——可求.

AB

【詳解】VZC=90°,AC=4,BC=3

；?AB=A/AC2+BC2=%+32=5

4

AB5

故選A

【點睛】本題主要考查勾股定理及余弦的定義，掌握余弦的定義是解題的關鍵.

3.把二次函數(shù)y=x2-2x+4化為y=a(x-h)2+k的形式，下列變形正確的是()

A.y=(x+1)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x-1)2+5D.y=(x-1)2+3

【答案】D

【解析】

【詳解】y=d—2》+4=(爐—2x+l)+3=(x—iy+3,

所以,y=(x-iy+3.故選D.

4.如圖，A,B,C是。上的三個點，如果NB4c=25。，那么j0。的度數(shù)是()

A.35°B.45°c.50°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得結果.

【詳解】：在彳。中，ZBAC=25°,

：.ZBOC=2ZBAC=5Q°,

故選：C

【點睛】本題考查圓周角定理，掌握圓周角定理，并能找出同弧所對的圓周角和圓心角是解題的關鍵.

5.河堤的橫截面如圖所示，堤高2C是5米，迎水坡AB的長是13米那么斜坡的坡度i是()

A.1：3B.1：2.6C.1：2.4D.1：2

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：在RSABC中，根據(jù)勾股定理求得AC的長，根據(jù)坡面AB的坡比即為NBAC的正切即可

求解.

詳解：

在RtAABC中，BC=5米，AB=13米，

根據(jù)勾股定理得AC=12米，

.BC51

--AB的坡度i=---=—=---.

AC122.4

故選C.

點睛：本題主要考查學生對坡度坡角的掌握，熟練運用勾股定理是解答本題的關鍵.

6.已知點4(%,%)，5(%,%)都是反比例函數(shù)y=L圖象上的點，并且石<%<0,貝u()

A.%>%>°B.%>%>°c.X<%<°D-%<%<°

【答案】D

【解析】

【分析】反比例函數(shù)丁=,在每一象限內，y隨尤的增大而減小，從而可得答案.

X

【詳解】解：：點4(王,%)，都是反比例函數(shù)y圖象上的點，

又：1>0,

反比例函數(shù)y=工的圖象在第一象限和第三象限，

x

即當藥<々<0時，y隨x的增大而減小，

<0，

故選：D.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質，掌握反比例函數(shù)的增減性是解本題的關鍵.

7.道路施工部門在鋪設如圖所示的管道時，需要先按照其中心線計算長度后再備料.圖中的管道中心線

A3的長為（單位：m）（

1600萬3200萬

D.-----

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求A3長即可求解?

120x7ix40_80兀

【詳解】解：依題意，1

AB-180—-亍,

故選：B.

【點睛】本題考查了求弧長，掌握弧長公式是解題的關鍵.

8.如圖，在平面直角坐標系xQy中，A3兩點同時從原點。出發(fā)，點A以每秒2個單位長的速度沿x

軸的正方向運動，點8以每秒1個單位長的速度沿y軸的正方向運動，設運動時間為/秒，以A3為直徑作

圓，圓心為點尸.在運動的過程中有如下5個結論：

①NABO的大小始終不變；

②CP始終經(jīng)過原點O；

③半徑"的長是時間r的一次函數(shù)；

④圓心P的運動軌跡是一條拋物線；

⑤AB始終平行于直線y=--x.

2

A.①②③④B.①②⑤C.②③⑤D.①②③⑤

【答案】D

【解析】

0A1

【分析】根據(jù)tanB=—=2,即可判斷①，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出0P=—A3,即可

0B2

判斷②，根據(jù)題意求得AP,即可判斷③④，待定系數(shù)法求得A3的解析式，即可判斷⑤，即可求解.

【詳解】解：依題意4。=2/,。8=/,

tanB==2,

0B

，NABO的大小始終不變，故①正確；

,,AB=VOB~+OA^=>/5t>OP=-AB=

「P始終經(jīng)過原點O,故②正確

,/AP=-AB=—t

22

???半徑AP的長是時間才的一次函數(shù)，故③正確；

?：OP=-AB=—t

22

圓心P運動軌跡是一條直線；故④不正確

???8(01),A(2r,0),

設直線AB的解析式為y=kx+b,

2tk+b=0

則1，

b-t

L-l

解得：［2,

b=t

直線AB的解析式為y^-^x+t

，A3始終平行于直線y=—故⑤正確.

故選：D

【點睛】本題考查了求正切，，勾股定理，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移，點的軌跡，綜合運用以上

知識是解題的關鍵.

二、填空題(本題共8道小題，每小題2分，共16分)

9.二次函數(shù)y=—(x+l)2—2的頂點坐標為.

【答案】(-1,-2)

【解析】

【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可求得頂點坐標.

【詳解】解：二次函數(shù)y=—(x+l)2—2的圖象的頂點坐標為(-1,-2).

故答案為：(-1,-2)

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，找出函數(shù)圖象的頂點坐標是解題的關鍵.

k

10.如圖，平面直角坐標系中，若反比例函數(shù)y=—(左W0)的圖象過點A和點3,則。的值為.

【解析】

【分析】根據(jù)點A的坐標求得反比例函數(shù)解析式，將尤=-2代入，即可求解.

詳解】解：依題意，將點4。,—3)代入丁=人，得出上=—3,

X

3

?,?反比例數(shù)解析式為y=—-,

x

3

當x=-2時，y=—,

口3

即n。=—,

2

3

故答案為：一.

2

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求得反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵.

11.在正方形網(wǎng)格中，,ABC的位置如圖所示，則sinNA5。為

【答案】眄

10

【解析】

【分析】根據(jù)題意找到RtA4BD,根據(jù)正弦的定義即可求解.

【詳解】解：如圖

?/是直角三角形，

AZ)=1,AB=A/12+32=VTo，

1_V10

sinZABC=—

AB

故答案為：叵.

10

【點睛】本題考查了求正弦，勾股定理與網(wǎng)格，掌握正弦的定義是解題的關鍵.

12.平面直角坐標系xOy中，拋物線y=f-2x+加與x軸只有一個交點，則加的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得出y=0,即V—2x+%=0,然后再根據(jù)一元二次方程的判別式，計算即可.

【詳解】：拋物線y=Y-2x+7〃與x軸只有一個交點,

；?方程x2-2x+m=0根的判別式A=0，

即4—4m=0,

解得：=1,

故答案為：1

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與無軸交點問題，轉為為一元二次方程根的判別式進行求解是解題的關鍵.

13.麗麗的圓形鏡子摔碎了，她想買一個同樣大小的鏡子.為了測算圓形鏡子的半徑，如圖，她將直角三

角尺的直角頂點C放在破損的圓形鏡子的圓框上，兩直角邊分別與圓框交于A,8兩點，測得C4為

8cm,CB為6cm,則該圓形鏡子的半徑是cm.

【答案】5

【解析】

【分析】連接A3,根據(jù)圓周角定理可得：A3是該圓形鏡子的直徑，進而直接根據(jù)勾股定理求得A3,即

可求解.

【詳解】如圖，連接A3,

ZACB=90°,

???A3是該圓形鏡子的直徑，

在Rt/XACB中，C4=8cm,CB=6cm,

AB=A/C42+C42=V82+62=10皿

該圓形鏡子的半徑是——=—=5cm,

??22

故答案為：5.

【點睛】本題考查圓周角定理和勾股定理的應用，解題的關鍵是構造直角三角形，證得A3是該圓形鏡子的

直徑.

AF1

14.如圖，在矩形A3CD中，若AB=2，BC=4,且一=—,則斯的長為.

FC4

【答案】g

5

【解析】

【分析】先證明由勾股定理求得痛的長度，再根據(jù)三角形相似比得到5尸=4跖,

最后利用EF+BF=BE=小得EF的長度.

【詳解】???ABCD是矩形，且AB=2,BC=4,

：.AD//BC,

；.ZEAF=ZBCF,5.ZAFE^ZBFC,

：./\AEFs^CBF,

AEEFAF1「—，

----------------——，且BC=4，

BCBFFC4

AAE=bBF=4EF，

"：AB=2,

BE=^AB2+AE2=

：.EF+BF=BE=#，且BF=4EF

故答案為：好.

5

【點睛】本題考查相似三角形的綜合應用，矩形的性質及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質、

勾股定理的應用是解題關鍵.

15.《九章算術》是東方數(shù)學思想之源，該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何."

其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內切圓的

直徑是多少步.”該問題的答案是步.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內切圓的半徑的求法確定出內切圓半

徑，得到直徑.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為,82+152=17,

設內切圓半徑為廣，由面積法gx（17+15+8）/=gx8><15

r=3（步），即直徑為6步，

故答案為：6.

【點睛】考點：三角形的內切圓與內心.

16.在平面直角坐標系xOy中，以點P&0）為圓心，單位長1為半徑的圓與直線,=米-2相切于點

直線y=2與y軸交于點N,當取得最小值時，/的值為.

【答案】6或-百##-0或6

【解析】

【分析】根據(jù)題意先求得/=0,即可求得9=1，PN=2,設直線,=依-2與x軸的交點為

A||,oI,然后利用即可求得左的值

J22

詳解】,?,直線丁=依-2與>軸交于點N,

.?.N（0,-2）,且P&0）,

PN=y/o^+ON2=Vr+4,

..?單位長1為半徑的圓與直線y=2相切于點

PM工MN,

MN='PM-PM。="+3,

當/=0時，MN取得最小值6,

.?.點p(o,o),

設直線y=Ax—2與x軸的交點為A]j,0

■■SAPAN=^AN>PM=^AP.PN,

解得：k=>/3或左=—y/3，

故答案為：6或一百

【點睛】本題考查了切線的性質、勾股定理及分式方程，解決問題的關鍵是利用三角形的面積相等解分式

方程

三、解答題(本題共12道小題，共68分.17,18,20,21每題5分；其余每題6分)

17.計算：2cos30。+行sin45?！猼an60。?

【答案】1.

【解析】

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

【詳解】原式=2x3+0x變-6

22

=^3+1—A/3，

=1.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.

18.拋物線y=-爐+a+/過點(0,-3)和(2,1).

(1)求b,c的值；

(2)直接寫出當x取何值時，函數(shù)y隨％的增大而增大.

【答案】(1)b=4fc=-3

（2）x<2（或x<2）

【解析】

【分析】（1）將已知點代入拋物線表達式即可求得b,c的值

（2）根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸即可求得x的取值范圍

【小問1詳解】

解：:拋物線y=-x2+bx+c過點（0,-3）和（2,1）,

.0=-3

[-4+2/?+c=1'

解得：Z?=4,c=—3

【小問2詳解】

由（1）知拋物線的表達式為丁=一/+4》一3,

<a=—1<0,b=4,

b

???拋物線開口向下，對稱軸為尤=——=2,

2a

?,?當％42（或％〈2）時，函數(shù)y隨％的增大而增大

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解決問題的關鍵

19.如圖，ABC中，AB=AC=5,sinNA3C=|.

A

（1）求BC的長.

（2）破是AC邊上的高，請你補全圖形，并求班的長.

【答案】（1）2721

⑵返

5

【解析】

【分析】（1）過點A作ADIBC于點￡）,根據(jù)三線合一得出3。=DC=工BC,在RtADfi中，勾股定

2

理求得3D,進而即可求解；

（2）過點8,作交C4的延長線于點E,根據(jù)？ACS?ABC,以及正弦的定義，結合（1）

的結論，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖，過點A作AOIBC于點

BD=DC=-BC,

2

VsinZABC=-

5

AD25「

??——,AB—5,

AB5

；?AD=2

在Rt_AD5中，BD=y/AB2-AD2=752-22=V21>

：,BC=2BD=2721

【小問2詳解】

解：如圖，過點B,作3ELC4交C4的延長線于點E

?ACB?ABC

VsinZABC=-

5

BF2

sinZACB=—=-

BC5

,?*BC=2歷,

?nzr4721

??JDJC二------------

5

【點睛】本題考查了三線合一的性質，解直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵.

20.下面是曉雨同學設計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.

已知：如圖，。。及（0外一點P.

求作：過點尸的。的切線PD（。為切點）.

作法：①連接尸0與（0交于點A,延長P0與。交于點8；

②以點。為圓心，A3長為半徑作??；以點尸為圓心，P0長為半徑作弧，在P。上方兩弧交于點C；

③連接OC,PC,OC與（。交于點。；

④作直線P￡）.

則直線尸。即為所求作的：O的切線.

請你根據(jù)曉雨同學的作法，完成以下問題:

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成以下證明過程：

證明：由作圖可知，OC=AB,PC=PO,

點為線段C。中點，

PD±OC（）

又：點。在i。上，

.??P。是。。切線（）

【答案】（1）見解析（2）D-,三線合一；切線的判定定理

【解析】

【分析】（1）根據(jù)基本作圖補全圖形即可求解；

（2）根據(jù)作圖步驟，由三線合一得出進而判斷是.。切線

【小問1詳解】

點￡＞為線段C。中點,

/.PD±OC（三線合一）

又；點、D在。上，

是，。切線（切線的判定定理）

故答案為：D；三線合一；切線的判定定理

【點睛】本題考查了切線的判定，三線合一，掌握基本作圖是解題的關鍵.

21.如圖，割線PB與。交于點AB,割線PC過圓心。，且NCPfi=30°.若PC=13,。的半

徑。4=5,求弦A3的長.

【解析】

【分析】作于點。，根據(jù)垂徑定理可得出=根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，在

2

Rt_AO￡）中，勾股定理求得AO=3,即可求解.

【詳解】解：如圖，作于點O,

VPC=13,OC=OA=5,

PO-8,

■:/CPB=30。,

：.OD=-PO=4,

2

在Rt_AOD中，AO=5,OD=4,

AD=y/AO--OD-=3^

AB=2AD=6.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關鍵.

22.中央電視塔是一座現(xiàn)代化的標志性建筑，其外觀優(yōu)美，造型獨特，在觀光塔上眺望，北京風景盡收眼

底.一次數(shù)學活動課上，某校老師帶領學生去測量電視塔的高度.如圖，在點C處用高1.5m的測角儀

CD測得塔尖A的仰角為37。，向塔的方向前進128m到達尸處，在尸處測得塔尖A的仰角為45°,請

34

你求出中央電視塔的高度（結果精確到1m）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?-,cos37°?-

3434

tan37°?-,sin53°?-,cos53°?-,tan53°--.）

4553

【答案】中央電視塔A3的高度為385.5米.

【解析】

【分析】在RtAGD中，及_人6￡中得出6。,6石，根據(jù)ED=GD—GE=128,進而求得AG的長，即

可求解.

A（Z

【詳解】解：在RtAGD中，tanZADG=—

GD

GD=AG相4

tan37°T=i

4

AQ

在RtAGE中,tanNAEG=,/AEG=45°

GE

AG=GE,

41

ED=GD-GE=-AG-AG=-AG

33

???￡0=128

AG=3ED=384,

由圖可知四邊形GBCD是矩形，則GB=CD=1.5

AB=AG+BG=384+1.5=385.5（米），

答：中央電視塔A3的高度為385.5米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵.

23.在歷史的長河中，很多文物難免損耗或破碎斷裂，而文物修復師能運用自身擁有的多門學科的專業(yè)知

識去修復破損的文物，使其重獲新生.如圖1,某文物修復師在修復一件破碎的古代瓷器束口盞(盞口原

貌為圓形)的時候，僅憑一塊碎片就初步推算出了該文物原貌口徑的尺寸.如圖2是文物修復師根據(jù)碎片

的切面畫出的幾何圖形.碎片的邊緣是圓弧，表示為A8,測得弧所對的弦長A3為12.8cm,弧中點到

弦的距離為2cm.設AB所在圓的圓心為。，半徑于。，連接。反求這個盞口半徑的長

(精確至IJ01cm).

【答案】11.2cm

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理求出6D，再根據(jù)勾股定理列出關于。8的方程求出答案即可.

【詳解】VOCLAB,且A3=12.8cm,

：.BD=-AB=6.4cm.

2

根據(jù)題意可知05=OC,

：.0D=0C—CD=(0C-2)(cm).

根據(jù)勾股定理，得如2=(OB-2)2+6.42，

解得如?11.2cm.

所以這個盞口半徑長為11.2cm.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等，勾股定理是求線段長的常用方法.

24.如圖，平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y='(x<0)的圖象經(jīng)過點4(—1,4),一次函數(shù)

y=一％+2的圖象與反比例函數(shù)丁=—(工<0)的圖象交于點8.

(2)點是y='(x<0)圖象上任意一點，過點C作y軸的垂線交y軸于點。，過點C作無軸

X

的垂線交直線y=—x+2于點E.

①當％=-2時，判斷CD與CE數(shù)量關系，并說明理由;

②當CE2CD時，直接寫出與的取值范圍?

【答案】(1)m=T

(2)①CD=CE；②尤c4-2或

【解析】

【分析】⑴將點4(一L4)代入反比例函數(shù)y='(x<0),即可求得機的值

X

(2)①將%=-2分別代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)即可求得CD與CE,即可得到CD與CE的數(shù)量關系

②當CE2CD時，可以得到關于飛的不等式，解不等式即可求得％的取值范圍

【小問1詳解】

?反比例函數(shù)y=-(x<0)的圖象經(jīng)過點4(T,4),

X

,m

；.4=—

-1

【小問2詳解】

將Xc=-2代入y=—(x<0)得：>c=2，

X

:.CD=2

將=-2代入y=—X+2得：yE=4,

***CE=%-=2,

：.CD=CE

-4

x

CD=—xc,CE=||=~c+2

Xc

丁CE>CD,

XQ—2%c-42XQ或XQ—-4<—XQ,且<0,

xcW-2或-1K%<0

【點睛】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，解決問題的關鍵是能夠按照點的坐標求到坐標軸的距離

25.如圖，AB是I。的直徑，直線MC與;.。相切于點C.過點8作525AMC于。，線段與、0

相交于點￡.

AyO

(1)求證：是NABD的平分線；

(2)若AB=10,BE=6,求8C的長.

【答案】(1)見解析(2)BC=4下

【解析】

【分析】(1)連接CO,根據(jù)切線的性質得出OCLMC,根據(jù)3。人MC,得出OC〃3。，根據(jù)平行

線的性質得出NDBC=NOCB,根據(jù)半徑相等，等邊對等角得出NOCB=NO3C,等量代換可得

ZDCB=ZOBC,即可得證；

(2)連接AE交CO于點尸，連接AC,勾股定理求得AE,垂徑定理求得A尸，進而勾股定理求得

FO,CF,AC,在RtZXACS中，勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接CO,

"Ir

???直線MC與C。相切于點C.

OCLMC,

BDAMC,

：.OC//BD,

：.ZDBC=NOCB,

?/OC=OB,

ANOCB=/OBC,

：.ZDBC=NOBC,

：.BC是NASD的平分線；

【小問2詳解】

解：如圖，連接AE交CO于點尸，連接AC,

,/AB是C。的直徑，

AAEB=90°,ZACB=90°,

又,：BAMC,

AE//MC,

：.CO±AE,

：.AF=FE=-AE,

2

VAB=10,BE=6,

AE=dAB?-BE?=8，

AF=-AE=4,

2

在RtVAFO中，F(xiàn)O=VA(72-AF2=A/52-42=3>

：.CF=CO-OF=5-3=2,

在RtZ\C4戶中，AC=VAF2+CF2=A/42+22=2A/5>

在RtAACB中，BC=[AB?_AC2=qIO?—(2肩=475，

???BC=4y/5.

【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，垂徑定理，直徑所對的圓周角是直角，綜合運用以上知識是

解題的關鍵.

26.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=依之-4依+3(。。0).

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)拋物線上存在兩點4(2-1,%),5(2+21,%)，若為〉%，請判斷此時拋物線有最高點還是最低

點，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，拋物線上有三點。,加)，(2,H),(5,夕)，當〃時，求。的取值范圍.

【答案】（1）直線x=2

（2）拋物線有最高點，理由見解析

3

（3）——<?<0

5

【解析】

【分析】（1）化為頂點式即可求解；

（2）將點4（2一/,%）,5（2+2,,%）代入拋物線解析式，根據(jù)％〉為，得出。<0,即可求解；

（3）將點（1,機），（2,n）,（5,夕）代入拋物線解析式，根據(jù)幡驢20時，結合”<0,解不等式即可求解.

【小問1詳解】

解：,.?丁=辦2—4。龍+3=。（％—2）2—4。+3

；?拋物線的對稱軸為直線x=2；

【小問2詳解】

解：拋物線有最高點，理由如下

:拋物線上存在兩點A（2—5（2+2/,%）,

??%=。（2—t—2y—4。+3—cit~—4。+3，,2=。（2+2t—2y—4。+3—4。廠一4。+3,

1?,%〉為，

即at~—4a+3>4a廠—4a+3，

?'-at1>4at2>

??a<0,

，此時拋物線有最高點；

【小問3詳解】

將點機），（2,〃），（5,7），代入拋物線解析式得：

m=—3a+3

<n=—4a+3,

p=5〃+3

mnp>0,

?，.（3—3a）（3—4a）（3+5a）20,

Va<0,

?，?（3—3〃）（3—4〃）>0,

3+5〃20,

3

—<a<0.

5

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵.

27.已知.ABC為等腰直角三角形，/B4C=90°,AB=2.點。為平面上一點，使得

ZBDA=90°.點P為中點，連接OP

（1）如圖，點。為A3C內一點.

①猜想NBD尸的大??；

②寫出線段AD，BD，PD之間的數(shù)量關系，并證明；

（2）直接寫出線段CD的最大值.

【答案】（1）①NBDP=45。②BD=AD+yfiPD

⑵1+75

【解析】

【分析】（1）①由.ABC為等腰直角三角形，ZBDA=9Q°,以A3為直徑作圓，則點。與點尸是圓周

上的點，再根據(jù)等腰直角三角形的性質可知NB4尸=45°,然后利用圓周角的性質可知

ZBDP=ZBAP=45°

②過點8作BE，。。交的延長線于點￡,得到RtAABDsRtAjJgE,即可得尸石=巫竺，然后

2

由BD=?DE，得到=AD+應PD

（2）連接OC與圓周交于點。，點。在外，此時CD最大，利用勾股定理即可求得

【小問1詳解】

①猜想N5￡>P=45°,下面證明：

以AB為直徑作「0,

?1,ZBDA=90°,

...點D在圓上，

連接AP,點P為8C中點，ABC為等腰直角三角形，

AAP±BP,即點P也在。上，ZABP=ZC=45°

：.ZBAP=ZABP=45°,

：.ZBDP=ZBAP=45°

②BD=AD+也PD，下面證明:

過點B作鹿_LPD交的延長線于點E,

由①知N&*=45°,ZBAP^ZABP=45°,AP=BP

：.ZDBE=45°,AP=BP，即=

ZABD+ZDBP=ZDBP+ZPBE=45°,

AZABD=ZPBE,且NA￡>5=NB上尸=90°,

；?RtAABQsRtAPBE,

BPPErr-

行=而'且科=

“3

2

:ZDBE=ZBDE=45°,

：.BE=DE,

（

：.BD=y/2DE=42（PD+PE）=s/2PD+=AD+42PD,

【小問2詳解】

連接0c與圓周交于點。，點D在ABC外，此時CD最大,

VOA=OD=1,AC=2,

CD=OC+OD=Vl2+22+1=1+75

【點睛】本題是圓與等腰直角三角形綜合題，考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質及勾股定理,

解決問題的關鍵是依據(jù)題意畫出輔助圓

28.在平面直角坐標系xQy中，已知一條開口向上的拋物線，連接此拋物線上關于對稱軸對稱的兩點

4B（A點在B點左側），以A3為