人教版九年級上學期期中考試數(shù)學試卷共五套（附答案解析）

人教版九年級上學期期中考試數(shù)學試卷（一）一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）1．下列汽車標志中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應變形為（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=93．二次函數(shù)y=﹣3x2+1的圖象是將（）A．拋物線y=﹣3x2向左平移3個單位得到B．拋物線y=﹣3x2向左平移1個單位得到C．拋物線y=3x2向上平移1個單位得到D．拋物線y=﹣3x2向上平移1個單位得到4．將等腰Rt△ABC繞點A逆時針旋轉15°得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分面積為（）A． B．3 C． D．5．根據(jù)下列表格的對應值：x89101112ax2+bx+c﹣4.56﹣2.01﹣0.381.23.4判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）A．8＜x＜9 B．9＜x＜10 C．10＜x＜11 D．11＜x＜126．y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下面結論中正確的結論有（）①ac＜0；②ab＞0；③2a＜﹣b；④a+c＞b；⑤4a+2b+c＞0；⑥a+b+c＞0．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．一元二次方程x2=16的解是．8．一元二次方程x2﹣3x﹣2a=0的判別式為1，則a為．9．鐘表分針的運動可看作是一種旋轉現(xiàn)象，一只標準時鐘的分針勻速旋轉，經(jīng)過15分鐘旋轉了度．10．果農丁點2017年的年收入為8萬元，由于黨的惠農政策的落實，2019年年收入增加到20.48萬元，則平均每年的增長率是．11．已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+m的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程x2+2x=m的解為．12．如圖，在直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），進行如下操作：將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；又將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2，如此重復操作下去，得到線段OP3，OP4，…，則：（1）點P5的坐標為；（2）落在x軸正半軸上的點Pn坐標是，其中n滿足的條件是．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．解方程：2x2+1=3x．14．解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．15．圖①、圖②均為7×6的正方形網(wǎng)格，點A、B、C在格點上．（1）在圖①中確定格點D，并畫出以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形．（畫一個即可）（2）在圖②中確定格點E，并畫出以A、B、C、E為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形．（畫一個即可）16．已知拋物線經(jīng)過原點，點（1，﹣4）和（﹣1，2），求拋物線解析式．17．進價為30元/件的商品，當售價為40元/件時，每天可銷售40件，售價每漲1元，每天少銷售1件，當售價為多少元時，每天銷售該商品獲得利潤最大，最大利潤是多少元．四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分）18．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點O處，將三角板繞點O旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長線于E，F(xiàn)兩點，如圖①與②是旋轉三角板所得圖形的兩種情況．（1）三角板繞點O旋轉，△OFC是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即給出△OFC是等腰直角三角形時BF的長），若不能，請說明理由；（2）三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關系？用圖①或②加以證明．19．如圖所示，某建筑物有一拋物線形的大門，小強想知道這道門的高度．他先測出門的寬度AB=8m，然后用一根長為4m的小竹竿CD豎直地接觸地面和門的內壁，并測得AC=1m．小強畫出了如圖的草圖，請你幫他算一算門的高度OE（精確到0.1m）．20．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）當α=30°時，求線段EF的長度．21．有一批圖形計算器，原售價為每臺800元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺每臺都為760元．依此類推，即每多買一臺則所買各臺單價均再減20元，但最低不能低于每臺440元；乙公司一律按原售價的75%促銷．某單位需購買一批圖形計算器：（1）若此單位需購買6臺圖形計算器，應去哪家公司購買花費較少；（2）若此單位恰好花費7500元，在同一家公司購買了一定數(shù)量的圖形計算器，請問是在哪家公司購買的，數(shù)量是多少？五、（本大題，滿分10分）22．已知拋物線y1=x2+4x+1的圖象向上平移m個單位（m＞0）得到的新拋物線過點（1，8）．（1）求m的值，并將平移后的拋物線解析式寫成y2=a（x﹣h）2+k的形式；（2）將平移后的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，與平移后的拋物線沒有變化的部分構成一個新的圖象．請寫出這個圖象對應的函數(shù)y的解析式，并在所給的平面直角坐標系中直接畫出簡圖，同時寫出該函數(shù)在﹣3＜x≤時對應的函數(shù)值y的取值范圍；（3）設一次函數(shù)y3=nx+3（n≠0），問是否存在正整數(shù)n使得（2）中函數(shù)的函數(shù)值y=y3時，對應的x的值為﹣1＜x＜0？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．六、（本大題1小題，滿分12分）23．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α．（1）發(fā)現(xiàn)問題：①當α=0°時，求AE與BD的比值？②當α=180°時，求AE與BD的比值？③猜想：當0°≤α＜360°時，AE與BD的比值是定值嗎？（不必證明）（2）解決問題：當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，線段BD的長度是多少？參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）1．下列汽車標志中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確．故選：D．【點評】本題主要考查對中心對稱圖形和軸對稱圖形的理解和掌握，能正確判斷一個圖形是否是中心對稱圖形和軸對稱圖形是解此題的關鍵．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時，原方程應變形為（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【分析】方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上1變形即可得到結果．【解答】解：方程移項得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故選：B【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．3．二次函數(shù)y=﹣3x2+1的圖象是將（）A．拋物線y=﹣3x2向左平移3個單位得到B．拋物線y=﹣3x2向左平移1個單位得到C．拋物線y=3x2向上平移1個單位得到D．拋物線y=﹣3x2向上平移1個單位得到【分析】根據(jù)平移規(guī)律判斷各選項即可．【解答】解：二次函數(shù)y=﹣3x2+1的圖象是將拋物線y=﹣3x2向上平移1個單位得到的．故選D．【點評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．會利用方程求拋物線與坐標軸的交點．4．將等腰Rt△ABC繞點A逆時針旋轉15°得到△AB′C′，若AC=1，則圖中陰影部分面積為（）A． B．3 C． D．【分析】設B′C′與AB交點為D，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出∠BAC=45°，再根據(jù)旋轉的性質求出∠CAC′=15°，AC′=AC，然后求出∠C′AD=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所得到直角邊等于斜邊的一半可得AD=2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面積公式列式進行計算即可得解．【解答】解：如圖，設B′C′與AB交點為D，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵△AB′C′是△ABC繞點A逆時針旋轉15°后得到，∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，∴∠C′AD=∠BAC﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，∵AD=2C′D，∴AD2=AC′2+C′D2，即（2C′D）2=12+C′D2，解得C′D=，故陰影部分的面積=×1×=．故選D．【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記性質并求出陰影部分的兩直角邊的長度是解題的關鍵．5．根據(jù)下列表格的對應值：x89101112ax2+bx+c﹣4.56﹣2.01﹣0.381.23.4判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）A．8＜x＜9 B．9＜x＜10 C．10＜x＜11 D．11＜x＜12【分析】根據(jù)表格知道8＜x＜12，y隨x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍．【解答】解：依題意得當8＜x＜12，y隨x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是10＜x＜11．故選C．【點評】此題主要考查了拋物線的增減性，利用拋物線的增減來確定拋物線與x軸交點的坐標的可能位置．6．y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下面結論中正確的結論有（）①ac＜0；②ab＞0；③2a＜﹣b；④a+c＞b；⑤4a+2b+c＞0；⑥a+b+c＞0．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：①錯誤，由函數(shù)圖象開口向下及與y軸的交點在y軸的交點可知，a＜0，c＜0，則ac＞0；②錯誤，由函數(shù)圖象開口向下可知，a＜0，由對稱軸在x軸的正半軸上可知，﹣＞0，由于a＜0，故b＞0，ab＜0；③錯誤，由于＞0，a＜0，b＞0，所以2a＞﹣b；④錯誤，當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，故a+c＜b；⑤正確，當x=2時，y=4a+2b+c＞0；⑥正確，當x=1時，y=a+b+c＞0；故選A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉換是解答此題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．一元二次方程x2=16的解是4或﹣4．【分析】兩邊開方即可求出答案．【解答】解：x2=16，開方得：x==±4，故答案為：4或﹣4．【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關鍵．8．一元二次方程x2﹣3x﹣2a=0的判別式為1，則a為﹣1．【分析】根據(jù)根的判別式△=b2﹣4ac=1，即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2a=0的判別式為1，∴△=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2a）=9+8a=1，解得：a=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記根的判別式△=b2﹣4ac是解題的關鍵．9．鐘表分針的運動可看作是一種旋轉現(xiàn)象，一只標準時鐘的分針勻速旋轉，經(jīng)過15分鐘旋轉了90度．【分析】畫出圖形，利用鐘表表盤的特征解答．【解答】解：如圖，15分鐘分針轉過了3個大格，每個大格30°，共轉了30°×3=90°．【點評】本題考查鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉動的度數(shù)關系：分針每轉動1°時針轉動（）°；兩個相鄰數(shù)字間的夾角為30°，每個小格夾角為6°，并且利用起點時間時針和分針的位置關系建立角的圖形．10．果農丁點2017年的年收入為8萬元，由于黨的惠農政策的落實，2019年年收入增加到20.48萬元，則平均每年的增長率是60%．【分析】設平均每年的增長率是x，可得2018年的收入為：8（1+x）元，則2019年年收入為：8（1+x）2，進而得出等式求出答案．【解答】解：設平均每年的增長率是x，根據(jù)題意可得：8（1+x）2=20.48，解得：x1=0.6，x2=﹣2.6（不合題意舍去），則平均每年的增長率是60%．故答案為：60%．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，正確表示出2015年的收入是解題關鍵．11．已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+m的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程x2+2x=m的解為x1=﹣3，x2=1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象得出拋物線與x軸的交點，進而可得出結論．【解答】解：∵由圖可知，拋物線的對稱軸為x=﹣1，拋物線與x軸的一個交點為﹣3，∴另一個交點=2×（﹣1）+3=1，∴關于x的一元二次方程x2+2x=m，即﹣x2﹣2x+m=0的解為x1=﹣3，x2=1．故答案為：x1=﹣3，x2=1．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，熟知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系是解答此題的關鍵．12．如圖，在直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），進行如下操作：將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；又將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2，如此重復操作下去，得到線段OP3，OP4，…，則：（1）點P5的坐標為；（2）落在x軸正半軸上的點Pn坐標是（2n，0），其中n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2，…）．【分析】（1）易得P5在第三象限的角平分線上，先得到OP5的長度，進而判斷P5的坐標即可；（2）易得x軸正半軸上的點橫坐標與底數(shù)為2的冪相關，根據(jù)每8個點循環(huán)一圈可得n滿足的條件．【解答】解：（1）由圖可得P5在第三象限的角平分線上，∵OP1=21，OP2=22，∴OP5=25=32，作P5A⊥x軸，P5B⊥y軸，∴AO=OB=16，∴點P5的坐標為（﹣16，﹣16）；故答案為（﹣16，﹣16）；（2）由（1）可得落在x軸正半軸上的點Pn坐標是（2n，0），∵每8個點循環(huán)一圈，∴n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2，…），故答案為（2n，0），n=8k（k=0，1，2，…）．【點評】考查坐標的旋轉問題；得到相應的旋轉規(guī)律及OPn的長度的規(guī)律是解決本題的關鍵．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．解方程：2x2+1=3x．【分析】先進行移項，然后系數(shù)化1，再進行配方，即可求出答案．【解答】解：移項，得2x2﹣3x=﹣1，二次項系數(shù)化為1，得x2﹣x=﹣，配方x2﹣x+（）2=﹣+（）2，（x﹣）2=，由此可得x﹣=，x1=1，x2=．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．14．解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．【分析】方程的左邊提取公因式x﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．【解答】解：原式可化為：（x﹣3）（x﹣3+4x）=0∴x﹣3=0或5x﹣3=0解得．【點評】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．15．圖①、圖②均為7×6的正方形網(wǎng)格，點A、B、C在格點上．（1）在圖①中確定格點D，并畫出以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形．（畫一個即可）（2）在圖②中確定格點E，并畫出以A、B、C、E為頂點的四邊形，使其為中心對稱圖形．（畫一個即可）【分析】先要找出什么樣的圖形是軸對稱圖形，什么樣的圖形是中心對稱圖形．【解答】解：（1）有以下答案供參考：．（2）有以下答案供參考：．【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，考查中心對稱、軸對稱的概念與畫圖的綜合能力．16．已知拋物線經(jīng)過原點，點（1，﹣4）和（﹣1，2），求拋物線解析式．【分析】將三點代入二次函數(shù)的一般式，然后解方程組即可．【解答】解：∵拋物線經(jīng)過原點，∴設拋物線解析式為：y=ax2+bx，由題意知：，解得：∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法球二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是關鍵．17．進價為30元/件的商品，當售價為40元/件時，每天可銷售40件，售價每漲1元，每天少銷售1件，當售價為多少元時，每天銷售該商品獲得利潤最大，最大利潤是多少元．【分析】根據(jù)題意可以列出相應的二次函數(shù)，然后將二次函數(shù)化為頂點式即可解答本題．【解答】解：設售價為x元，總利潤為w元，w=（x﹣30）[40﹣（x﹣40）×1]=﹣（x﹣55）2+625，∴x=55時，獲得最大利潤為625元，答：售價為55元時，每天銷售該商品獲得利潤最大，最大利潤是625元．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質解答．四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分）18．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點O處，將三角板繞點O旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長線于E，F(xiàn)兩點，如圖①與②是旋轉三角板所得圖形的兩種情況．（1）三角板繞點O旋轉，△OFC是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即給出△OFC是等腰直角三角形時BF的長），若不能，請說明理由；（2）三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關系？用圖①或②加以證明．【分析】（1）由題意可知，①當F為BC的中點時，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的長度，即可推出BF的長度，②當B與F重合時，③當OC=FC時，根據(jù)直角三角形的相關性質，即可推出OF的長度，即可推出BF的長度；（2）連接OB，由已知條件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF．【解答】解：（1）△OFC是能成為等腰直角三角形，①當F為BC的中點時，∵O點為AC的中點，∴OF∥AB，∴CF=OF=AB=，∵AB=BC=5，∴BF=，②當B與F重合時，∵OF=OC=，∴BF=0；（2）如圖①，連接OB，∵由（1）的結論可知，BO=OC=，在△OEB與△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA），∴OE=OF．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質，解題的關鍵在于作好輔助線，構建全等的三角形．19．如圖所示，某建筑物有一拋物線形的大門，小強想知道這道門的高度．他先測出門的寬度AB=8m，然后用一根長為4m的小竹竿CD豎直地接觸地面和門的內壁，并測得AC=1m．小強畫出了如圖的草圖，請你幫他算一算門的高度OE（精確到0.1m）．【分析】根據(jù)所建坐標系，易求A、B、D的坐標，因它們都在拋物線上，所以代入解析式得方程組求解，再求頂點坐標得高度OE長．【解答】解：由題意得，拋物線過點A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣3，4），設y=a（x+4）（x﹣4），把D（﹣3，4）代入y=a（x+4）（x﹣4），得4=a（﹣3+4）（﹣3﹣4），解得a=﹣，∴y=﹣（x+4）（x﹣4）．令x=0得y=，即（0，），∴OE=≈9.1∴門的高度約為9.1m．【點評】根據(jù)所建坐標系及圖形特點，選擇合適的函數(shù)表達式形式，有利于減小計算量．本題選取交點式較簡便．20．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）當α=30°時，求線段EF的長度．【分析】（1）首先證明AE=CF，OE=OF，結合AO=CO，利用SSS證明△AOE≌△COF；（2）首先畫出α=30°時的圖形，根據(jù)菱形的性質得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的長，進而得到EF的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO=OC，∴，∴AE=CF，OE=OF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF．（2）當α=30°時，即∠AOE=30°，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠OAD=60°，∴∠AEO=90°，在Rt△AOB中，sin∠ABO===，∴AO=1，在Rt△AEO中，cos∠AOE=cos30°==，∴OE=，∴EF=2OE=．【點評】本題主要考查了菱形的性質以及解三角形的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的性質，解答（2）問時需要正確作出圖形，此題難度不大．21．有一批圖形計算器，原售價為每臺800元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺每臺都為760元．依此類推，即每多買一臺則所買各臺單價均再減20元，但最低不能低于每臺440元；乙公司一律按原售價的75%促銷．某單位需購買一批圖形計算器：（1）若此單位需購買6臺圖形計算器，應去哪家公司購買花費較少；（2）若此單位恰好花費7500元，在同一家公司購買了一定數(shù)量的圖形計算器，請問是在哪家公司購買的，數(shù)量是多少？【分析】（1）把數(shù)量6分別代入甲乙兩公司的計算方法即可求出到哪家公司購買花費較少；可以利用等式總花費=單價×數(shù)量；（2）把總價7500代入甲乙兩公司的計算方法，看哪個適合題意．【解答】解：（1）在甲公司購買6臺圖形計算器需要用6×=4080（元），在乙公司購買需要用75%×800×6=3600（元）＜4080（元），∴應去乙公司購買；（2）設該單位買x臺，若在甲公司購買則需要花費x元；若在乙公司購買則需要花費75%×800x=600x元；①若該單位是在甲公司花費7500元購買的圖形計算器，則有x=7500，解之得x1=15，x2=25．當x1=15時，每臺單價為800﹣20×15=500＞440，符合題意；當x2=25時，每臺單價為800﹣20×25=300＜440，不符合題意，舍去．②若該單位是在乙公司花費7500元購買的圖形計算器，則有600x=7500，解之得x=12.5，不符合題意，舍去．答：該單位是在甲公司購買的圖形計算器，買了15臺．【點評】本題考查了利用方程思想解決生活中的數(shù)學問題．只要把握住總花費=單價×數(shù)量，這一等量關系，解決此題就會比較容易．注意不要忽視了單價不低于440元這個條件．五、（本大題，滿分10分）22．已知拋物線y1=x2+4x+1的圖象向上平移m個單位（m＞0）得到的新拋物線過點（1，8）．（1）求m的值，并將平移后的拋物線解析式寫成y2=a（x﹣h）2+k的形式；（2）將平移后的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，與平移后的拋物線沒有變化的部分構成一個新的圖象．請寫出這個圖象對應的函數(shù)y的解析式，并在所給的平面直角坐標系中直接畫出簡圖，同時寫出該函數(shù)在﹣3＜x≤時對應的函數(shù)值y的取值范圍；（3）設一次函數(shù)y3=nx+3（n≠0），問是否存在正整數(shù)n使得（2）中函數(shù)的函數(shù)值y=y3時，對應的x的值為﹣1＜x＜0？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線y1=x2+4x+1的圖象向上平移m個單位，可得y2=x2+4x+1+m，再利用又點（1，8）在圖象上，求出m即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，即可得出函數(shù)大小分界點；（3）根據(jù)當y=y3且對應的﹣1＜x＜0時，x2+4x+3=nx+3，得出n取值范圍即可得出答案．【解答】解：（1）由題意可得y2=x2+4x+1+m，又點（1，8）在圖象上，∴8=1+4×1+1+m，∴m=2，∴y2=（x+2）2﹣1；（2）當時，0＜y≤1；（3）不存在，理由：當y=y3且對應的﹣1＜x＜0時，x2+4x+3=nx+3，∴x1=0，x2=n﹣4，且﹣1＜n﹣4＜0得3＜n＜4，∴不存在正整數(shù)n滿足條件．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及圖象交點求法，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握．六、（本大題1小題，滿分12分）23．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α．（1）發(fā)現(xiàn)問題：①當α=0°時，求AE與BD的比值？②當α=180°時，求AE與BD的比值？③猜想：當0°≤α＜360°時，AE與BD的比值是定值嗎？（不必證明）（2）解決問題：當△EDC旋轉至A，D，E三點共線時，線段BD的長度是多少？【分析】（1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°時，可得AB∥DE，然后根據(jù)=，求出的值即可．③首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)==，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．（2）分兩種情況分析，A、D、E三點所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．【解答】解：（1）①當α=0°時，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC===4．∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴AE=4÷2=2，BD=8÷2=4，∴==．②如圖1，當α=180°時，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC===4．∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴CD=4，CE=2，∴AE=4+2=6，BD=8+4=12，∴==．③猜想：當0°≤α＜360°時，AE與BD的比值是定值．如圖2，當0°≤α＜360°時，的大小沒有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵==，∴△ECA∽△DCB，∴==．（2）①如圖3，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD====8，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=5．②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD====8，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，∴四邊形BDQP為矩形，∴BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ=4﹣﹣=．綜上所述，BD的長為4或．【點評】此題屬于幾何變換綜合題．考查了、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．人教版九年級上學期期中考試數(shù)學試卷（二）一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．在平面直角坐標系中，點P（3，﹣2）關于y軸的對稱點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．一個三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的第三邊的長可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．一個多邊形的每個外角都是45°，則這個多邊形的內角和為（）A．360° B．1440° C．1080° D．720°5．如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）A．360° B．250° C．180° D．140°6．如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上爬行（A，C端點除外），設甲蟲P到另外兩邊的距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關系是（）A．d＞h B．d＜h C．d=h D．無法確定二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）7．如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背后加釘了一根木條，這樣做的道理是．8．如圖，是從鏡中看到的一串數(shù)字，這串數(shù)字應為．9．如圖所示，△ABC中，AD為中線，且△ABC的面積為5，則△ACD的面積為．10．如圖為6個邊長等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3=°．11．△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=5cm，△CBD的周長為24cm，則△ABC的周長為．12．已知△ABC是軸對稱圖形，∠A=70°，則∠B的度數(shù)為．13．如圖，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=．14．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結論有．（把你認為正確的序號都填上）三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）15．作圖題：（不寫作法，但要保留痕跡）在圖中找出點A，使它到M，N兩點的距離相等，并且到OH，OF的距離相等．16．如圖，在網(wǎng)格中有兩個全等的圖形（陰影部分），用這兩個圖形拼成軸對稱圖形，試分別在圖（1）、（2）中畫出兩種不同的拼法．17．如圖，點B、D、C、F在一條直線上，BC=FD，AB=EF，且AB∥EF．求證：AC∥ED．18．如圖，AD為△ABC的中線，BE為三角形ABD中線．（1）在△BED中作BD邊上的高EF；（2）若△ABC的面積為40，BD=5，求EF的長．四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分）19．如圖所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，點O是AD、BC的交點，點E是AB的中點．試判斷OE和AB的位置關系，并給出證明．20．如圖，點D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內一點，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F．求證：CE=CF．21．如圖，寫出△ABC的各頂點坐標，并畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并求出△ABC的面積．22．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長．五、（本大題共10分）23．如圖，△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點，且AD=CE，AE與BD相交于點P，（1）求∠BPE的度數(shù)；（2）若BF⊥AE于點F，試判斷BP與PF的數(shù)量關系．六、（本大題共12分）24．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，點P在射線AC上，連接PB，將線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，AN交直線BC于M．（1）如圖1．若點P與點C重合，則=，=（直接寫出結果）：（2）如圖2，若點P在線段AC上，求證：AP=2MC；（3）如圖3，若點P在線段AC的延長線上，完成圖形，并直接寫出=．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷后即可得解．【解答】解：（1）是軸對稱圖形；（2）不是軸對稱圖形；（3）是軸對稱圖形；（4）是軸對稱圖形；所以，是軸對稱圖形的共3個．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，本題仔細觀察圖形是解題的關鍵．2．在平面直角坐標系中，點P（3，﹣2）關于y軸的對稱點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標．【分析】根據(jù)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)求出對稱點的坐標，再根據(jù)各象限內點的坐標特點解答．【解答】解：∵點P（3，﹣2）關于y軸的對稱點是（﹣3，﹣2），∴點P（3，﹣2）關于y軸的對稱點在第三象限．故選C．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．3．一個三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的第三邊的長可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm【考點】三角形三邊關系．【分析】首先設第三邊長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關系可得7﹣3＜x＜7+3，再解不等式即可．【解答】解：設第三邊長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關系可得：7﹣3＜x＜7+3，解得：4＜x＜10，故答案為：C．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．4．一個多邊形的每個外角都是45°，則這個多邊形的內角和為（）A．360° B．1440° C．1080° D．720°【考點】多邊形內角與外角．【專題】計算題．【分析】根據(jù)n邊的外角和為360°可得到這個多邊形的邊數(shù)==8，然后根據(jù)n邊形的內角和為（n﹣2）×180°即可求得8邊形的內角和．【解答】解：∵多邊形的每個外角都是45°，∴這個多邊形的邊數(shù)==8，∴這個多邊形的內角和=（8﹣2）×180°=1080°．故選C．【點評】本題考查了多邊形的內角和和外角和定理：n邊形的內角和為（n﹣2）×180°；n邊的外角和為360°．5．如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）A．360° B．250° C．180° D．140°【考點】三角形內角和定理；多邊形內角與外角．【分析】先利用三角形內角與外角的關系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內角和定理即可得出結果．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故選B．【點評】此題主要考查了三角形內角和定理及外角的性質，三角形內角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．6．如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上爬行（A，C端點除外），設甲蟲P到另外兩邊的距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關系是（）A．d＞h B．d＜h C．d=h D．無法確定【考點】等邊三角形的性質．【專題】應用題；壓軸題．【分析】如圖，連接BP，過點P做PD⊥BC，PE⊥AB，分別交于BC，AB于點D，E，則△ABC分成兩個三角形：△BPC和△BPA，根據(jù)兩三角形面積之和等于等邊三角形的面積可推得：d=h．【解答】解：如圖，連接BP，過點P做PD⊥BC，PE⊥AB，分別交BC，AB于點D，E，∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=BC?PD+AB?PE=BC?PD+BC?PE=BC（PD+PE）=d?BC=h?BC∴d=h．故選：C．【點評】本題通過作輔助線，把等邊三角形分成兩部分，利用三角形的面積公式求得d=h．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）7．如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背后加釘了一根木條，這樣做的道理是利用三角形的穩(wěn)定性．【考點】三角形的穩(wěn)定性．【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變．【解答】解：這樣做的道理是利用三角形的穩(wěn)定性．【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用，三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得．8．如圖，是從鏡中看到的一串數(shù)字，這串數(shù)字應為810076．【考點】鏡面對稱．【專題】幾何圖形問題．【分析】關于鏡子的像，實際數(shù)字與原來的數(shù)字關于豎直的線對稱，根據(jù)相應數(shù)字的對稱性可得實際數(shù)字．【解答】解：∵是從鏡子中看，∴對稱軸為豎直方向的直線，∵鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，∴這串數(shù)字應為810076，故答案為：810076．【點評】考查鏡面對稱，得到相應的對稱軸是解決本題的關鍵；若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反．9．如圖所示，△ABC中，AD為中線，且△ABC的面積為5，則△ACD的面積為．【考點】三角形的面積．【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形解答．【解答】解：∵如圖所示，△ABC中，AD為中線，∴S△ACD=S△ABC．又∵△ABC的面積為5，∴S△ACD=S△ABC=．故答案是：．【點評】本題考查了三角形的面積，熟記三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形是解題的關鍵．10．如圖為6個邊長等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3=135°．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】觀察圖形可知∠1與∠3互余，∠2是直角的一半，利用這些關系可解此題．【解答】解：觀察圖形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【點評】此題綜合考查角平分線，余角，要注意∠1與∠3互余，∠2是直角的一半，特別是觀察圖形的能力．11．△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=5cm，△CBD的周長為24cm，則△ABC的周長為34．【考點】線段垂直平分線的性質．【分析】由△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=5cm，根據(jù)線段垂直平分線的性質，可求得CD=AD，AC=10cm，又由△BD的周長為24cm，可求得AB+BC=24cm，繼而求得答案．【解答】解：∵△ABC中，DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，CE=AE=5cm，∴AC=AE+CE=10cm，∵△CBD的周長為24cm，∴BC+CD+BD=BC+AD+BD=BC+AB=24（cm），∴△ABC的周長為：AC+AB+BC=10+24=34（cm）．故答案為：34．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵．12．已知△ABC是軸對稱圖形，∠A=70°，則∠B的度數(shù)為70°或55°．【考點】軸對稱圖形．【分析】分別利用當∠A為底角和∠A為頂角，分別求出答案．【解答】解：∵△ABC是軸對稱圖形，∠A=70°，∴當∠A為底角，∠A=∠B，則∠B=70°，當∠A為頂角，則∠B=∠C==55°，則∠B的度數(shù)為：70°或55°．故答案為：70°或55°．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，正確利用分類討論得出是解題關鍵．13．如圖，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=126°．【考點】平行線的性質；角平分線的定義．【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根據(jù)兩直線平行同旁內角互補，可求得∠DEA的度數(shù)，再由三角形外角和為360°求得∠BED度數(shù)．【解答】解：∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE=36°∵ED∥AC∴∠CAE+∠DEA=180°∴∠DEA=180°﹣36°=144°∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°∴∠BED=360°﹣144°﹣90°=126°．故答案為126°．【點評】考查平行線的性質和三角形外角和定理．兩直線平行，同旁內角互補．14．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結論有①②③⑤．（把你認為正確的序號都填上）【考點】等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質．【專題】動點型．【分析】由已知條件運用等邊三角形的性質得到三角形全等，進而得到更多結論，然后運用排除法，對各個結論進行驗證從而確定最后的答案．【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正確）；②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正確）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，∵△ADC≌△BEC∴AD=BE，∴AD﹣DP=BE﹣QE，∴AP=BQ，（故③正確）；④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④錯誤）；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正確）．∴正確的有：①②③⑤．故答案為：①②③⑤．【點評】本題考查等邊三角形的性質及全等三角形的判定等知識點；得到三角形全等是正確解答本題的關鍵．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）15．作圖題：（不寫作法，但要保留痕跡）在圖中找出點A，使它到M，N兩點的距離相等，并且到OH，OF的距離相等．【考點】作圖—復雜作圖；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質．【分析】直接利用角平分線的性質與作法結合線段垂直平分線的性質與作法分別得出答案．【解答】解：如圖所示：點A即為所求．【點評】此題主要考查了復雜作圖，正確掌握角平分線以及線段垂直平分線的性質是解題關鍵．16．如圖，在網(wǎng)格中有兩個全等的圖形（陰影部分），用這兩個圖形拼成軸對稱圖形，試分別在圖（1）、（2）中畫出兩種不同的拼法．【考點】利用軸對稱設計圖案．【專題】網(wǎng)格型．【分析】本題為開放性問題，答案不唯一．只要是根據(jù)軸對稱圖形的性質畫出了軸對稱圖形即可．【解答】解：不同的畫法例舉如下：【點評】主要考查對軸對稱圖形意義的理解，動手操作能力和空間想象能力，找到對稱軸是關鍵．17．如圖，點B、D、C、F在一條直線上，BC=FD，AB=EF，且AB∥EF．求證：AC∥ED．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】首先根據(jù)平行線的性質得到∠B=∠F，然后利用SAS證明△ABC≌△EFD，進而得到∠ACB=∠EDF，于是得到AC∥DE．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠B=∠F，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD，∴∠ACB=∠EDF，∴AC∥DE．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是利用SAS證明△ABC≌△EFD，此題難度不大．18．如圖，AD為△ABC的中線，BE為三角形ABD中線．（1）在△BED中作BD邊上的高EF；（2）若△ABC的面積為40，BD=5，求EF的長．【考點】作圖—復雜作圖；三角形的面積．【分析】（1）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法作圖即可；（2）利用三角形中線的性質得出S△BDE=S△ABC，進而借助三角形面積公式求出即可．【解答】解；（1）如圖所示：（2）∵AD為△ABC的中線，BE為三角形ABD中線，∴S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，∴S△BDE=S△ABC，∵△ABC的面積為40，BD=5，∴×5×EF=10，∴EF=4．【點評】此題主要考查了基本作圖以及三角形中線的性質，根據(jù)三角形中線平分三角形面積得出是解題關鍵．四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分）19．如圖所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，點O是AD、BC的交點，點E是AB的中點．試判斷OE和AB的位置關系，并給出證明．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．【專題】探究型．【分析】首先進行判斷：OE⊥AB，由已知條件不難證明△BAC≌△ABD，得∠OBA=∠OAB再利用等腰三角形“三線合一”的性質即可證得結論．【解答】解：OE垂直且平分AB．證明：在△BAC和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．又點E是AB的中點，∴OE垂直且平分AB．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質；解決此類問題，要熟練掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性質等知識．20．如圖，點D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內一點，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分別為E、F．求證：CE=CF．【考點】角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】連接AC，證明△ABC≌△ADC，求得AC平分∠EAF，再由角平分線的性質即可證明CE=CF．【解答】證明：連接AC，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC=∠BAC．又∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．【點評】本題主要考查平分線的性質，綜合利用了三角形全等的判定，輔助線的作法是解決問題的關鍵．21．如圖，寫出△ABC的各頂點坐標，并畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并求出△ABC的面積．【考點】作圖-軸對稱變換．【分析】首先根據(jù)坐標系寫出A、B、C三點坐標，再確定A、B、C三點關于y軸對稱的點的坐標，然后連接可得△A1B1C1，最后計算出面積即可．【解答】解：A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1），△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1如圖所示：△ABC的面積：3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣2×3=6.5．【點評】此題主要考查了作圖﹣﹣軸對稱變換，關鍵是正確確定組成圖形的關鍵點的對稱點的位置．22．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】先證明△ACD≌△CBE，再求出EC的長，解決問題．【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∠E=∠ADC=90°∵∠BCE+∠ACE=∠DAC+∠ACE=90°∴∠BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，BE=CD=2.5﹣1.7=0.8（cm）．【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．再根據(jù)全等三角形的性質解決問題．五、（本大題共10分）23．如圖，△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點，且AD=CE，AE與BD相交于點P，（1）求∠BPE的度數(shù)；（2）若BF⊥AE于點F，試判斷BP與PF的數(shù)量關系．【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．【分析】（1）由等邊三角形的性質得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可證明△ABD≌△CAE，得到∠ABD=∠CAE，利用外角∠BPE=∠BAP+∠ABD，即可解答（2）由△ABD≌△CAE得出對應角相等∠ABD=∠CAE，根據(jù)三角形的外角性質得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性質即可得出PF與BP的關系．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠CAE，∵∠BPE=∠BAP+∠ABD，∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°．（2）PF=BP．∵△ABD≌△CAE，∴∠ABD=∠CAE，∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，∵BF⊥AE，∴∠PFB=90°，∴∠PBF=30°，∴PF=BP．【點評】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．六、（本大題共12分）24．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，點P在射線AC上，連接PB，將線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，AN交直線BC于M．（1）如圖1．若點P與點C重合，則=1，=（直接寫出結果）：（2）如圖2，若點P在線段AC上，求證：AP=2MC；（3）如圖3，若點P在線段AC的延長線上，完成圖形，并直接寫出=．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．【分析】（1）先求出∠C=∠CBN，再利用“角角邊”證明△ACM和△NBM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AM=MN，MC=MB，再求出AP=AC=2MC，然后求解即可；（2）過點N作NE⊥BC于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠PBC=∠BNE，然后利用“角角邊”證明△PBC和△BNE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=PC，NE=BC，然后求出AP=CE，AC=NE，再利用“角角邊”證明△ACM和△NEM全等根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MC=ME，整理即可得證；（3）過點N作NE⊥BC交CB的延長線于E，然后與（2）的求解方法相同．【解答】（1）解：∵線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，∴∠CBN=90°，BC=BN，∴∠C=∠CBN，AC=BN，在△ACM和△NBM中，，∴△ACM≌△NBM（AAS），∴AM=MN，MC=MB，∴AP=AC=BC=MC+MB=2MC，∴=1，=；（2）證明：如圖2，過點N作NE⊥BC于E，∴∠BNE+∠CBN=90°，∵線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，∴∠PBC+∠CBN=90°，∴∠PBC=∠BNE，在△PBC和△BNE中，，∴△PBC≌△BNE（AAS），∴BE=PC，NE=BC，∴AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE，AC=NE，在△ACM和△NEM中，，∴△ACM≌△NEM（AAS），∴MC=ME，∴CE=2MC，∴AP=2MC；（3）解：如圖3，過點N作NE⊥BC交CB的延長線于E，過點N作NE⊥BC于E，∴∠BNE+∠CBN=90°，∵線段PB繞點B逆時針旋轉90゜得線段BN，∴∠PBC+∠CBN=90°，∴∠PBC=∠BNE，在△PBC和△BNE中，，∴△PBC≌△BNE（AAS），∴BE=PC，NE=BC，∴AP=AC﹣PC=BC﹣BE=CE，AC=NE，在△ACM和△NEM中，，∴△ACM≌△NEM（AAS），∴MC=ME，∵AP=AC+PC，CE=BC+BE=2MC，∴AP=CE=2MC，∴=．故答案為：（1）1，；（3）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法與性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．人教版九年級上學期期中考試數(shù)學試卷（三）一、精心選一選（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出四個答案，其中只有一個正確）1．下列命題中，是真命題的為（）A．銳角三角形都相似 B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似 D．等邊三角形都相似2．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當AB=BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形C．當∠ABC=90°時，它是矩形 D．當AC=BD時，它是正方形3．根據(jù)下列表格的對應值：x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解為x的取值范圍是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.264．如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊的中點，菱形ABCD的周長為36，則OH的長等于（）A．4.5 B．5 C．6 D．95．一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不允許將球倒出來的情況下，為估計白球的個數(shù)，小剛向其中放入8個黑球，黑球和白球除顏色外完全相同，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估計盒中大約有白球（）A．32個 B．36個 C．38個 D．40個6．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與直線a、b、c分別交于點A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，則BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.57．目前我國建立了比較完善的經(jīng)濟困難學生資助體系．某校去年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389元，今年上半年發(fā)放了438元，設每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為x，則下面列出的方程中正確的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=3898．順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形9．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且，則S△ADE：S四邊形BCED的值為（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：410．如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．二、細心填一填（本大題共5小題，每小題3分，共15分，請你把答案填在橫線的上方）11．若（abc≠0），則=．12．學校決定從兩名男生和一名女生中選出兩名同學作為茂名市的志愿者，則選出一男一女的概率是．13．如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點距離相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為m．14．一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一個根為0，則a=．15．已知菱形A1B1C1D1的邊長為2，∠A1B1C1=60°，對角線A1C1，B1D1相較于點O，以點O為坐標原點，分別以OA1，OB1所在直線為x軸、y軸，建立如圖所示的直角坐標系，以B1D1為對角線作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2為對角線作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2為對角線作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，在x軸的正半軸上得到點A1，A2，A3，…，An，則點An的坐標為．三、解答題（共3小題，滿分21分）16．解方程：x2+8x﹣20=0．17．如圖，在8×6的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點．（1）以點O為位似中心，在網(wǎng)格圖中作與△ABC位似的△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC的相似比為1：2．（2）求四邊形AA′C′C的周長．18．小昆和小明玩摸牌游戲，游戲規(guī)則如下：有3張背面完全相同，牌面標有數(shù)字1、2、3的紙牌，將紙牌洗勻后背面朝上放在桌面上，隨機抽出一張，記下牌面數(shù)字，放回后洗勻再隨機抽出一張．（1）請用畫樹形圖或列表的方法（只選其中一種），表示出兩次抽出的紙牌數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結果；（2）若規(guī)定：兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為奇數(shù)，則小昆獲勝，兩次抽出的紙牌數(shù)字之和為偶數(shù)，則小明獲勝，這個游戲公平嗎？為什么？四、沉著冷靜，縝密思考（本大題共2小題，每小題7分，共14分）19．已知方程x2﹣6x+c=0．（1）當此方程有兩個不相等的實數(shù)根時，求c的取值范圍；（2）若3+是方程的一個根，求方程的另一個根及c的值．20．如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點位置，AE=60cm．如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經(jīng)過反彈后，球剛好彈到D點位置．（1）求證：△BEF∽△CDF；（2）求CF的長．五、滿懷信心，再接再厲（本大題共3小題，每小題8分，共2分）21．寫出下列命題的已知、求證，并完成證明過程．命題：如果平行四邊形的一條對角線平分它的一個內角，那么這個平行四邊形是菱形．已知：如圖，．求證：．證明：22．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC，AF與CE的延長線相交于點F，連接BF．（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；（2）將下列命題填寫完整，并使命題成立（圖中不再添加其它的點和線）：①當△ABC滿足條件AB=AC時，四邊形AFBD是形；②當△ABC滿足條件時，四邊形AFBD是正方形．23．一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元，該校最終向園林公司支付樹苗款8800元，請問該校共購買了多少棵樹苗？六、靈動智慧，超越自我（本大題共2小題，每小題分，共16分）24．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上．（1）若這個矩形是正方形，那么邊長是多少？（2）若這個矩形的長是寬的2倍，則邊長是多少？25．已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：（1）當t為何值時，PQ∥BC；（2）設△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．參考答案與試題解析一、精心選一選（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出四個答案，其中只有一個正確）1．下列命題中，是真命題的為（）A．銳角三角形都相似 B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似 D．等邊三角形都相似【考點】相似三角形的判定．【專題】常規(guī)題型．【分析】可根據(jù)相似三角形的判定方法進行解答．【解答】解：A、銳角三角形的三個內角都小于90°，但不一定都對應相等，故A選項錯誤；B、直角三角形的直角對應相等，但兩組銳角不一定對應相等，故B選項錯誤；C、等腰三角形的頂角和底角不一定對應相等，故C選項錯誤；D、所有的等邊三角形三個內角都對應相等（都是60°），所以它們都相似，故D選項正確；故選：D．【點評】此題考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是絕對相似的三角形大致有三種：①全等三角形；②等腰直角三角形；③等邊三角形．2．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當AB=BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形C．當∠ABC=90°時，它是矩形 D．當AC=BD時，它是正方形【考點】正方形的判定；平行四邊形的性質；菱形的判定；矩形的判定．【專題】證明題．【分析】根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形．【解答】解：A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當AB=BC時，它是菱形，故A選項正確；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，故B選項正確；C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確；D、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當AC=BD時，它是矩形，不是正方形，故D選項錯誤；綜上所述，符合題意是D選項；故選：D．【點評】此題主要考查學生對正方形的判定、平行四邊形的性質、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，學生答題時容易出錯．3．根據(jù)下列表格的對應值：x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解為x的取值范圍是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【考點】圖象法求一元二次方程的近似根．【分析】根據(jù)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax2+bx+c=0的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍．【解答】解：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的縱坐標為0；由表中數(shù)據(jù)可知：y=0在y=﹣0.03與y=0.09之間，對應的x的值在3.25與3.26之間，即3.25＜x＜3.26．故選：D．【點評】本題考查了用函數(shù)圖象法求一元二次方程的近似根，是中考的熱點問題之一．掌握函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點與方程ax2+bx+c=0的根的關系是解決此題的關鍵．4．如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊的中點，菱形ABCD的周長為36，則OH的長等于（）A．4.5 B．5 C．6 D．9【考點】菱形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．【分析】可先求得AB的長，再根據(jù)三角形中位線定理可求得OH的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，且周長為36，∴AB=BC=CD=AD=9，又∵O為BD中點，H為AD的中點，∴OH為△ABD的中位線，∴OH=AB=4.5，故選A．【點評】本題主要考查菱形的性質，掌握菱形的四邊相等、對角線互相垂直平分是解題的關鍵．5．一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不允許將球倒出來的情況下，為估計白球的個數(shù)，小剛向其中放入8個黑球，黑球和白球除顏色外完全相同，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估計盒中大約有白球（）A．32個 B．36個 C．38個 D．40個【考點】利用頻率估計概率．【分析】可根據(jù)“黑球數(shù)量÷黑白球總數(shù)=黑球所占比例”來列等量關系式，其中“黑白球總數(shù)=黑球個數(shù)+白球個數(shù)“，“黑球所占比例=隨機摸到的黑球次數(shù)÷總共摸球的次數(shù)”．【解答】解：設盒子里有白球x個，根據(jù)得：，解得：x=32．經(jīng)檢驗得x=32是方程的解．故選A．【點評】考查了利用頻率估計概率的知識，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解，注意分式方程要驗根．6．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與直線a、b、c分別交于點A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，則BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【考點】平行線分線段成比例．【分析】由直線a∥b∥c，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的長，則可求得答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴，解得：DF=，∴BF=BD+DF=3+=7.5．故選：B．【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理．題目比較簡單，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．7．目前我國建立了比較完善的經(jīng)濟困難學生資助體系．某校去年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389元，今年上半年發(fā)放了438元，設每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為x，則下面列出的方程中正確的是（）A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】增長率問題．【分析】先用含x的代數(shù)式表示去年下半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生的錢數(shù)，再表示出今年上半年發(fā)放的錢數(shù)，令其等于438即可列出方程．【解答】解：設每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為x，則去年下半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389（1+x）元，今年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389（1+x）2元，由題意，得：389（1+x）2=438．故選B．【點評】本題考查求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2=b．8．順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【考點】中點四邊形．【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中位線定理可得E