《27.2.3 相似三角形的應(yīng)用舉例》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

27.2.3相似三角形的應(yīng)用舉例【教學(xué)目標(biāo)】1．運(yùn)用三角形相似的知識(shí)計(jì)算不能直接測(cè)量物體的長度和高度；(重點(diǎn))2．靈活運(yùn)用三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問題．(難點(diǎn))【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”.在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對(duì)他說：“聽說你什么都知道，那就請(qǐng)你測(cè)量一下埃及金字塔的高度吧！”這在當(dāng)時(shí)條件下是個(gè)大難題，因?yàn)槭呛茈y爬到塔頂?shù)模阒捞├账故窃鯓訙y(cè)量金字塔的高度的嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用【類型一】利用影子的長度測(cè)量物體的高度如圖，某一時(shí)刻一根2m長的竹竿EF的影長GE為1.2m，此時(shí)，小紅測(cè)得一棵被風(fēng)吹斜的柏樹與地面成30°角，樹頂端B在地面上的影子點(diǎn)D與B到垂直地面的落點(diǎn)C的距離是3.6m，求樹AB的長．解析：先利用△BDC∽△FGE得到eq\f(BC,3.6)＝eq\f(2,1.2)，可計(jì)算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到AB的長．解：如圖，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(EF,GE)，即eq\f(BC,3.6)＝eq\f(2,1.2)，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即樹長AB是12m.方法總結(jié)：解答此類問題時(shí)，首先要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立相等關(guān)系求解．【類型二】利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度小紅用下面的方法來測(cè)量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度．如圖，在水平地面點(diǎn)E處放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)大樓的距離AE＝20m.當(dāng)她與鏡子的距離CE＝2.5m時(shí)，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，請(qǐng)你幫助小紅測(cè)量出大樓AB的高度(注：入射角＝反射角)．解析：根據(jù)物理知識(shí)得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．解：如圖，∵根據(jù)光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(AE,EC).∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴eq\f(AB,1.6)＝eq\f(20,2.5)，∴AB＝12.8，∴大樓AB的高度為12.8m.方法總結(jié)：解本題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程．解題時(shí)要靈活運(yùn)用所學(xué)各學(xué)科知識(shí)．【類型三】利用標(biāo)桿測(cè)量物體的高度如圖，某一時(shí)刻，旗桿AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測(cè)得旗桿AB在地面上的影長BC為9.6m，在墻面上的影長CD為2m.同一時(shí)刻，小明又測(cè)得豎立于地面長1m的標(biāo)桿的影長為1.2m.請(qǐng)幫助小明求出旗桿的高度．解析：根據(jù)在同一時(shí)刻物高與影長成正比例，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．解：如圖，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在同一時(shí)刻物高與影長成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴學(xué)校旗桿的高度為10m.方法總結(jié)：利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿(或直尺)的高(長)作為三角形的邊構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．【類型四】利用相似三角形的性質(zhì)設(shè)計(jì)方案測(cè)量高度星期天，小麗和同學(xué)們?cè)诒躺硩徆珗@游玩，他們來到1928年馮玉祥將軍為紀(jì)念北伐軍陣亡將士所立的紀(jì)念碑前，小麗問：“這個(gè)紀(jì)念碑有多高呢？”請(qǐng)你利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一種方案測(cè)量紀(jì)念碑的高度(畫出示意圖)，并說明理由．解析：設(shè)計(jì)相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．在距離紀(jì)念碑AB的地面上平放一面鏡子E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見紀(jì)念碑頂A.若人眼距地面距離為CD，測(cè)量出CD、DE、BE的長，就可算出紀(jì)念碑AB的高．解：設(shè)計(jì)方案例子：如圖，在距離紀(jì)念碑AB的地面上平放一面鏡子E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見紀(jì)念碑頂A.若人眼距地面距離為CD，測(cè)量出CD、DE、BE的長，就可算出紀(jì)念碑AB的高．理由：測(cè)量出CD、DE、BE的長，因?yàn)椤螩ED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.根據(jù)eq\f(CD,AB)＝eq\f(DE,BE)，即可算出AB的高．方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)計(jì)出具體圖形，將實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題求解．三、板書設(shè)計(jì)1．利用相似三角形測(cè)量物體的高度；2．利用相似三角形測(cè)量河的寬度；3．設(shè)計(jì)方案測(cè)量物體高度．【教學(xué)反思】通過本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生綜合運(yùn)用三角形相似的判定和性質(zhì)解決問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，加深學(xué)生對(duì)相似三角形的理解和認(rèn)識(shí)．基本達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，大部分學(xué)生都學(xué)會(huì)了建立數(shù)學(xué)模型，利用相似的判定和性質(zhì)來解決實(shí)際問題.27.2.3相似三角形的應(yīng)用舉例〔學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)〕學(xué)習(xí)過程設(shè)計(jì)意圖說明新課引入：復(fù)習(xí)相似三角形的定義及相似三角形相似比的定義回顧相似三角形的概念及判定方法以舊引新，幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系。提出問題：利用三角形的相似，如何解決一些不能直接測(cè)量的物體的長度的問題？（學(xué)生小組討論）↓“相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等”四條對(duì)應(yīng)邊中若已知三條則可求第四條。一試牛刀：例3：據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測(cè)量金字塔的高度。如圖27．2-8，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測(cè)得OA為201m，求金字塔的高度BO。分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=900?ABO∽?DEF二試牛刀：例4：如圖27．2-9，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R。如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ。分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P?PQR∽?PST，即，，。解得PQ=90三試牛刀：例5：已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m，一個(gè)身高1．6m的人沿著正對(duì)這兩棵樹的一條水平直路L從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C？分析：AB∥CD，?AFH∽?CFK。，即，解得FH=8。讓學(xué)生了解：利用三角形的相似可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的長度的問題。通過解決“泰勒斯測(cè)量金字塔的高度”問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生在濃厚的數(shù)學(xué)文化熏陶中探究解決問題的方法。讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，通過建模培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是把生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化的方法之一是畫數(shù)學(xué)示意圖，在畫圖的過程中可以逐漸明問題中的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，進(jìn)而形成解題思路。運(yùn)用提高：P41練習(xí)題12．P41練習(xí)題2讓學(xué)生在練習(xí)中熟悉利用三角形的相似去解決一些不能直接測(cè)量的物體的長度的問題。課堂小結(jié)：說說你在本節(jié)課的收獲.讓學(xué)生及時(shí)回顧整理本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)。布置作業(yè)：P43習(xí)題27·2題8，9，10.備選題：已知零件的外徑為25cm，要求它的厚度x，需先求出它的內(nèi)孔直徑AB，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（AC和BD的長相等）去量（如圖），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。分層次布置作業(yè)，讓不同的學(xué)生在本節(jié)課中都有收獲。備選題答案：x=227.2.3相似三角形的應(yīng)用舉例選擇題1．如圖所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，則下列結(jié)論中正確的是()A．B．C．D．（第1題）（第2題）（第4題）（第5題）2.如圖,在△ABC中,D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC邊上,DE∥BC.若AD:DB=2:1,則S△ADE

:S△ABC為()A.9:4B.4:9C.1:4D.3:2

3．某校有兩塊相似的多邊形草坪，其面積比為9∶4，其中一塊草坪的周長是36米，則另一塊草坪的周長是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4.如圖為△ABC與△DEC重疊的情形，其中E在BC上，AC交DE于F點(diǎn)，且AB//DE.若△ABC與△DEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=()

A．3B．7C．12D．15

5．如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米6.要把一個(gè)三角形的面積擴(kuò)大到原來面積的8倍，而它的形狀不變，那么它的邊長要增大到原來的（）倍.A.2B.4C.2D.64填空題如圖所示，為了測(cè)量一棵樹AB的高度，測(cè)量者在D點(diǎn)立一高CD＝2m的標(biāo)桿，現(xiàn)測(cè)量者從E處可以看到桿頂C與樹頂A在同一條直線上，如果測(cè)得BD＝20m，F(xiàn)D＝4m，EF＝1.8m，則樹AB的高度為______m．8.已知兩個(gè)相似三角形的相似比為，面積之差為25，則較大三角形的面積為______.

9．如圖，小明為了測(cè)量一座樓MN的高，在離點(diǎn)N為20m的A處放了一個(gè)平面鏡，小明沿NA后退到點(diǎn)C，正好從鏡中看到樓頂M，若AC＝1.5m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度是__________.（精確到0.1m）1（第7題）（第9題）（第11題）10.梯形ABCD中，AD∥BC,AC，BD交于點(diǎn),若=4，=9，=________.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，DE:CE=2:3，連接AE,BE,BD,且AE,BD交于點(diǎn)F，則________________.12.把一個(gè)三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的倍，那么邊長應(yīng)縮小到原來的________倍.三、解答題13.一位同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長為1m的竹竿影長0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹影時(shí)，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測(cè)得留在墻上的影高1.2m，又測(cè)得地面部分的影長2.7m，他求得樹高是多少？14.如圖所示，一段街道的兩邊沿所在直線分別為AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直線MN⊥AB于點(diǎn)M，交PQ于點(diǎn)N，小亮從勝利街的A處，沿著AB方向前進(jìn)，小明一直站在點(diǎn)P的位置等待小亮．（1）請(qǐng)你畫出小亮恰好能看見小明的視線，以及此時(shí)小亮所在的位置（用點(diǎn)C標(biāo)出）．（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m．求（1）中的點(diǎn)C到勝利街口的距離．15.在正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，(與不重合)，使為直角，交正方形一邊所在直線于點(diǎn).(1)找出與相似的三角形.(2)當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，與相似的三角形周長為，則的周長為多少？【答案與解析】選擇題1．【答案】D．【解析】提示：相似比為1:3．2．【答案】B．【解析】提示：面積比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．6．【答案】C．【解析】提示：面積比等于相似比的平方．二．填空題7．【答案】3.8．【答案】45cm2.9．【答案】21.3m．10．【答案】25.【解析】∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，∴AO:CO＝2:3，又∵，∴，又，∴．【答案】4:10:25【解析】∵平行四邊形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF與△BEF是同高的三角形，∴【答案】.綜合題13．【解析】作CE∥DA交AB于E，設(shè)樹高是xm，∵長為1m的竹竿影長0.9m∴即x＝4.2m14．【解析】(1)如圖1所示，CP為視線，點(diǎn)C為所求位置．(2)∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，∴∠CMD＝∠PND＝90°．又∵∠CDM＝∠PDN，∴△CDM∽△PDN，∴∵M(jìn)N＝30m，MD＝12m，∴ND＝18m．∴∴CM＝24(m)．∴點(diǎn)C到勝利街口的距離CM為24m．15．【解析】(1)與△BPC相似的圖形可以是圖(1)，(2)兩種情況：△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．(2)①如圖(1)，當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，若另一直角邊與AD交于點(diǎn)E，則∵△PDE∽△BCP∴△PDE與△BCP的周長比是1:2∴△BCP的周長是2a．②如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，若另一直角邊與BC延長線交于點(diǎn)E時(shí)，則，∵△PCE∽△BCP∴△PCE與△BCP的周長比是1:2∴△BCP的周長是2a．③如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，若另一直角邊與BC延長線交于點(diǎn)E時(shí)，∴∵△BPE∽△BCP∴