專題7：二次函數(shù)與幾何綜合問題-2020中考數(shù)學(xué)（華師大版）二輪專題復(fù)習(xí)測試

&.教學(xué)目標(biāo)：&.典例探究：類型一：線段的數(shù)量關(guān)系及最值問題(3)設(shè)拋物線C?的頂點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-4),問在C?的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,(2)作AP⊥x軸，設(shè)A(a,a2-2a-3),所以AP=-a2+2a+3,PO=a,可得(3)假設(shè)C?的對稱軸上存在點(diǎn)Q,過點(diǎn)B'作B'D⊥l-5),②當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的上方時，同理可得Q(1,-2).【解答】解：(1)C:y?=3x2-6x-1的頂點(diǎn)為(1,-4),(2)作AP⊥x軸，設(shè)A(a,a2-2a-3)(3)假設(shè)C?的對稱軸上存在點(diǎn)Q,過點(diǎn)B'作B'D⊥1于點(diǎn)D①當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的下方時∵B(-1,-4),C(1,-4),拋物線的設(shè)點(diǎn)Q(1,b)②當(dāng)點(diǎn)Q在頂點(diǎn)C的上方時，同理可得Q(1,-2);【解題技巧】本題是二次函數(shù)的綜合題；熟練掌握二次函數(shù)的圖象性，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.類型二：面積數(shù)量關(guān)系與最值問題于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD//x軸，交拋物線于點(diǎn)D.(1)求拋物線的解析式；E,過點(diǎn)H作HF⊥x軸于點(diǎn)F,求矩形GEFH的最大面積；解(2)由(1)知拋物線的解析式為：y=x2+2x-3,和點(diǎn)B(1,0)(3)由A(-3,0),B(1,0)得AB=4,,類型三：特殊三角形的存在性問題(2)線段AB上有一動點(diǎn)P,過P作y軸的平行專題：壓軸題；存在型。分析：(1)如圖1,易證BC=AC,從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式。(2)如圖2,運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式。設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,從而可以用t的代數(shù)式表示出PQ的長，然后利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)就可解決問題。(3)由于AB為直角邊，分別以∠BAM=90°(如圖3)和∠ABM=90°(如圖4)進(jìn)行討論，通過三角形相似建立等量關(guān)系，就可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。解答：解：(1)如圖15(1),∵A(-3,0)、C(0,4)∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,4)∵A(-3,0)、C(0,4)、B(5,4)在(2)如圖15(2),設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n∵A(-3,0)、B(5,4)在直線AB上,∴直線AB的解析式為設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(-3≤t≤5),則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也為t·:,(3)①當(dāng)∠BAM=90°時，如圖15(3)所示②當(dāng)∠ABM=90°時，如圖15(4)所示類型四：特殊四邊形的存在性問題$.例3、如圖拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-1),且對稱抽x=1.(1)求出拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使四邊形ABDC的面積為3.若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在。說明理由(使用圖1);(3)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(使用圖2)。解：(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,-1).且對稱抽x=1(2)設(shè)在x軸下方的拋物線上存在D(a,積為3.(O<a<3)使四邊形ABCD的面∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,),,(2,-1)(8分)(3)①當(dāng)AB為邊時，只要PQ//AB,且PQ=AB=4即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-4或4所以此時點(diǎn)P?的坐標(biāo)為(-4,7),P?的坐標(biāo)為(4,(10分)②當(dāng)AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點(diǎn)為G,PQ必過G點(diǎn)且與y軸交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交于點(diǎn)H,可證得APHG=△QOG∵線段AB的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1∴此時點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2&.專題訓(xùn)練(1)求m的值；(2)若直線(與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,直線(與直線：y=-3x+b交于點(diǎn)P,且求b的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)直線(,與y軸交于點(diǎn)Q,問：是否存在實(shí)數(shù)k,使得So=S,∵拋物線C與直線(只有一個交點(diǎn)(2)過A、P、B分別作AC⊥OD,PE⊥OD,BD⊥OD,垂足分別為C、E、D,設(shè)A、P、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x,xp,x(4分)∵A、B是直線(與拋物線C的兩個交點(diǎn)，P直線(與直線(?:y=-3x+b的交點(diǎn)·:,.整理得：3t2-.整理得：3t2-9t-2=0,解得：2、如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A0),點(diǎn)B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,1),連接BC.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；解：(1)設(shè)拋物線的解析式為由題可得：∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式,,此時點(diǎn)N的坐標(biāo)為②當(dāng)0<t<2時，整理得：3t2-t-2=0,解得∴1=1,此時點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,2)綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為,軸交于兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對稱軸方程為x=1.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M從從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到到終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)△MBN的面積為S,點(diǎn)M運(yùn)動時間為t,試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大(3)在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t,使△MBN為直角三角形?若存在，求出t值；故拋物線的解析式為(2)設(shè)運(yùn)動時間為t,那么可以得到MB=6-3t過N作NH⊥BM于點(diǎn)H,即(3)若△MBN為直角三角形，則設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AM=3t,化簡得：17t=24,解出(2)若∠ADC=90°,求二次函數(shù)的解析式。中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系數(shù)a解答：(1)解方程x2+4x-5=0,得x?=-5或x?=1∴對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,-9a),∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-5a).依題意畫出圖形，如右圖所示，則OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E,則DE=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a(2)如圖所示，在RIADCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2在R△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2在R△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+8la2第(1)問中求△ACD面積的方法。5、如圖，已知點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M.(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；(2)試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并加以證明；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得Sncx=4?如果存在，那么這樣的點(diǎn)有幾個?如果存在，那么這樣的點(diǎn)有幾個?如果不存在，請說明理由。解析：(1)∵Ri△ACB中，∠ACB=90,CO⊥AB又∵AO=1,BO=4∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1,0),B(4,0)(2)∵∠ACB=90F.∴CH垂直CM(3)拋物線上存在點(diǎn)N,使得SAcv=4,這樣的點(diǎn)有3個；理由為：于是可設(shè)與直線BC平行且距離為的直線為x+2y+m=0(m≠∴由得x2-4x-4=0∴由△>0知x2-4x-4=0有兩個不同的實(shí)數(shù)解∴由△=0知x2-4x+4=0有兩個相同的實(shí)數(shù)解故：物線上存在點(diǎn)N,使得SAx=4,這樣的點(diǎn)有3個。6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C,且對稱設(shè)運(yùn)動時間為t秒。(1)直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，并求出該拋物線的解析式；(2)在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個單位/秒的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個單位/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，當(dāng)1為何值時，APCQ為直角三角形?(3)在圖2中，若點(diǎn)P在對稱軸上從點(diǎn)B開始向點(diǎn)A以2個單位/秒的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P作PF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G,交拋物線于點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,CQ.當(dāng)t為何值時，△ACQ的面積最大?最大值是多少?解：(1)∵拋物線的對稱軸x=1,矩形OCDE的三個頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)(2)由題意得：OC=3,OE=4時，△PCQ為直角三角形(8分)解得：∵P(1,4-1),將4-1代入y=-2x+6得，∴當(dāng)1=1時，AACQ的面積最大，最大值為1(12分)(1)求經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△BCP是以BC為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)過拋物線上動點(diǎn)Q作QE垂直于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為(2)存在過點(diǎn)C作CM⊥BC交x軸于點(diǎn)M,作BN⊥BC交y軸于點(diǎn)N,如圖1解方程組此時P點(diǎn)坐標(biāo)(1,4)解方程組得此時P點(diǎn)坐標(biāo)(-2,-5)或綜上所述，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)或(-2,-5)時，使得△BCP是以BC為直角邊的直角三角形(3)連接OD,作OH⊥BC,如圖2易得四邊形DEOF為矩形經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C,動點(diǎn)P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x的另一個交點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q由點(diǎn)C沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動且速度是點(diǎn)P運(yùn)動速度的2倍。(1)求此拋物線的解析式和直線的解析式；(2)如果點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t(秒),試問當(dāng)t為何值時，以A,P,Q為頂點(diǎn)(3)在直線CA上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使得△ACD的面積最大。若存在，求出點(diǎn)D解：(1)∵直線y=kx-3與x軸交于點(diǎn)A(4,0)由直線.與y軸交于點(diǎn)C,可知C(0,-3)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C(2)對于拋物線或(3)存在，如備用圖：過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為E,交AC于點(diǎn)F故滿足條件的D的坐標(biāo)為D(2,9、如圖，已知拋物線(k為常數(shù)，且k>0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D.(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運(yùn)動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運(yùn)動到D后停止。當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時最少?解：(1)拋物線的解析式為：∵直線直線經(jīng)過點(diǎn)B(2)由拋物線的解析式，令x=0,得：y=-k①若△ABC∽△APB,則有∠BAC=∠PAB,如圖2-1所示,代入拋物線解析式,得：,,②若△ABC∽△PAB,則有∠ABC=∠PAB,如圖2-2所示設(shè)P(x,y),過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y解得：x=6或x=-2(與點(diǎn)(3)作DK//AB,AH⊥DK,AH最小，點(diǎn)M在整個運(yùn)動中用時為：10、如圖，二次函數(shù)線y=x2+bx-3b+3的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),交y軸于點(diǎn)C,且經(jīng)過點(diǎn)(b-2,2b2-5b-1).(1)求拋物線的解析；(2)⊙M過A、B、C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；F,若ADMF為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。解：(1)把點(diǎn)(b-2,2b2-5b-1)代入解析式，得2b2-5b-1=(