滬科版九年級(jí)上冊(cè)-數(shù)學(xué)-課件-21.4-二次函數(shù)的應(yīng)用

21.4二次函數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？

一般式：y＝ax2+bx+c(a≠0)

頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a≠0)

交點(diǎn)式：y＝a(x-X1)(X-X2)(a≠0)1已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)的對(duì)應(yīng)值，通常選擇一般式2已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（對(duì)稱軸和最值）通常選擇頂點(diǎn)式3已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，通常選擇交點(diǎn)式

二次圖象特點(diǎn)及函數(shù)性質(zhì)：

例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6）。求a、b、c。(一)根據(jù)函數(shù)圖象特點(diǎn)及性質(zhì)求函數(shù)解析式解：∵二次函數(shù)的最大值是2∴拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2又∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+1上∴當(dāng)y=2時(shí)，x=1∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x解：根據(jù)題意得頂點(diǎn)為(－1,4)由條件得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)(2,0)；(-4,0）

例2（如圖所示）已知當(dāng)x＝－1時(shí)，拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，且與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為6，求此函數(shù)解析式y(tǒng)ox設(shè)二次函數(shù)解析式：y＝a(x-2)(X+4)故所求的拋物線解析式為y=(x＋1)2＋4把（-1，4）代入y＝a(x-2)(X+4)得a＝

例3、

二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在下列各不等式中成立的個(gè)數(shù)是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤Δ=b-4ac>0(二)根據(jù)圖象求解析式中相關(guān)系數(shù)的關(guān)系(1)a確定拋物線的開口方向：a>0a<0(2)c確定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置:c>0c=0c<0(3)a、b確定對(duì)稱軸的位置:ab>0ab=0ab<0(4)Δ確定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：Δ>0Δ=0Δ<0x=-b2a

例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為(－3，

)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.D是BO的中點(diǎn)，直線DC的解析式為y＝kx＋4.(三)根據(jù)圖象求一系列相關(guān)問題(1)求拋物線的解析式；(2)求直線CD的解析式；(3)求△ADC的面積；(4)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PB＝PD，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；(5)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求PA＋PC的值最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)；③是否存在t，使得S△CDP＝S△BDP成立，若存在，求t的值，若不存在，說明理由；④若PD將四邊形BPCD的面積分成2∶3的兩部分，求t的值；(1)【思維教練】拋物線的解析式有一般式，頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式三種形式．題中給出了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，故可將拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式，再結(jié)合直線CD的解析式y(tǒng)＝kx＋4可得C點(diǎn)坐標(biāo)，代入所設(shè)的拋物線即可求解.(6)點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，若S△BDP＝S△BDC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(7)點(diǎn)P是拋物線在第二象限部分圖象上一點(diǎn)，連接PD，PC，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.①寫出S△CDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②計(jì)算S△CDP的最大值，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；解：∵直線CD的解析式為y＝kx＋4，∴與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)C為(0，4)，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，

)，∴拋物線解析式可設(shè)為y＝a(x＋3)2＋

，將點(diǎn)C(0，4)代入得a(0＋3)2＋

＝4，解得a＝－

，∴拋物線解析式為y＝－

(x＋3)2＋

，即y＝.(2)【思維教練】要求直線CD的解析式，需知點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，結(jié)合題意，C點(diǎn)坐標(biāo)已知，只需求得D點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可，由點(diǎn)D是BO的中點(diǎn)，結(jié)合拋物線求得B點(diǎn)坐標(biāo)即可得D點(diǎn)坐標(biāo)．解：令y＝－

x2－

x＋4＝0，解得x1＝－8，x2＝2.∴點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(－8，0)．∵點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D(－4，0)，將點(diǎn)D代入直線y＝kx＋4得－4k＋4＝0，解得k＝1，∴直線CD的解析式為y＝x＋4.(3)【思維教練】因?yàn)椤鰽CD的AD邊在坐標(biāo)軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)已知，則由S△ADC＝

·CO·AD求解即可．解：∵D(－4，0)，A(2，0)，∴AD＝6，∵OC＝4，∴S△ADC＝

AD·OC＝×6×4＝12.(4)【思維教練】若PB＝PD，則P為BD的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)．解：當(dāng)PB＝PD，則P點(diǎn)在BD的垂直平分線上，∵點(diǎn)B(－8，0)，點(diǎn)D(－4，0)，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－6，且在拋物線上，∴y＝，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－6，4)．(5)【思維教練】要求PA＋PC值最小，則可找出點(diǎn)A或C，其中一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，與另一點(diǎn)連接與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．解：由題圖知，B點(diǎn)即為A點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b.∵點(diǎn)B(－8，0)，點(diǎn)C(0，4)．∴，解得

，∴直線BC的解析式為y＝

x＋4.∴當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，

)．(6)【思維教練】S△BDP＝S△BDC，由三角形的面積公式為×底×高，結(jié)合題意知△BDP和△BDC的底同為BD，△BDC的高為OC，則只需求得拋物線上點(diǎn)到線段BD的距離等于OC的點(diǎn)即為P點(diǎn)．解：∵S△BDP＝S△BDC，∴|yP|＝y(tǒng)C，即yP＝y(tǒng)C＝4或yP＝－yC＝－4.當(dāng)yP＝y(tǒng)C時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，當(dāng)yP＝－yC＝－4時(shí)，，解得xP＝－3±，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3－，－4)或(－3＋，－4)．綜上，滿足題意的P點(diǎn)有3個(gè)，為(－6，4)，(－3－，－4)，(－3＋，－4)．∵點(diǎn)C(0，4)，對(duì)稱軸為x＝－3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－6，4)；(7)①【思維教練】要求△CDP的面積，因?yàn)辄c(diǎn)P的位置不確定，故過點(diǎn)D作DE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)E，分點(diǎn)P在點(diǎn)E的左、右兩側(cè)進(jìn)行討論．因?yàn)檫@兩種情況下，△CDP的三條邊均不在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上，故過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，采用割或補(bǔ)的方法把它轉(zhuǎn)化為易求出面積的圖形來(lái)求解．解：過D作DE⊥x軸交拋物線于E.∵點(diǎn)D(－4，0)，∴點(diǎn)E(－4，6)．如解圖①，當(dāng)點(diǎn)P在BE段拋物線上，即－8<t≤－4，過P作PG⊥x軸于G，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴PG＝，∴S△PCD＝S四邊形PGOC－S△PGD－S△DOC

＝

＝

＝－

t2－5t.如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在CE段時(shí)，－4<t<0，則S△PCD＝S四邊形PGOC＋S△PDG－S△DOC綜上，S＝－

t2－5t.(7)②【思維教練】由①中可知S△CDP關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，若S△CDP的值最大，即用配方法求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值．解：∵S＝－

t2－5t＝－

(t＋5)2＋

，∴當(dāng)t＝－5時(shí)，S有最大值，最大值為.(7)③【思維教練】若使S△CDP＝S△BDP，由①知S△CDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題圖BD在x軸上，易求BD的長(zhǎng)度和S△BDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，將兩函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立求解即可得t的值，若無(wú)解，即不存在這樣的t.解：∵S△BDP＝

BD·yP＝×4×(－t2－

t＋4)＝－

t2－3t＋8，根據(jù)題意有－

t2－3t＋8＝－

t2－5t，解得t＝－4.即存在t＝－4，使S△CDP＝S△BDP.(7)④【思維教練】由題圖，PD將四邊形CD分成了△BDP和△CDP兩部分，且2S△BDP＝3S△CDP或3S△BDP＝2S△CDP，由①可知S△CDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，由③可得S△BDP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)兩者之間的等量關(guān)系聯(lián)立求解即可得t的值．解：根據(jù)題意，(1)若2S△BDP＝3S△PCD，則

，解得t1＝－2，t2＝－16(舍)，(2)若3S△BDP＝2S△PCD，則

，解得t1＝－6，t2＝8(舍)，綜上，存在這樣的t且值分別為－2或－6.探究三角形或四邊形面積的最值問題：1.可設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，at2＋bt＋c)；2.①求一邊在坐標(biāo)軸上的三角形面積時(shí)，取在坐標(biāo)軸上的線段為底邊，則底邊上的高為動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的絕對(duì)值；②求三條均不在坐標(biāo)軸上的三角形或不規(guī)則的四邊形面積時(shí)，常采用割或補(bǔ)的方法把它轉(zhuǎn)化為易求出面積的圖形；3.用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；4.用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)求最大值或最小值時(shí)，常采用配方法求解；

解決此類題目需要特別注意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)或者圖形的變換引起的圖形變化，看是否需要進(jìn)行分類討論．二次函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用（難點(diǎn)）例5

(2016合肥38中一模)音樂噴泉(圖①)可以使噴水造型隨音樂的節(jié)奏變化而變化，某種音樂噴泉形狀如拋物線，設(shè)其出水口為原點(diǎn)，出水口離岸邊20m，音樂變化時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝kx上變動(dòng)，從而產(chǎn)生一根根不同的拋物線(圖②)，這組拋物線的統(tǒng)一形式為y＝.例1題圖(1)若已知k＝1，且噴出的拋物線，水線最大高度達(dá)3m，求此時(shí)a、b的值；(1)【思維教練】要求a、b的值，需找出a、b的關(guān)系式，由已知k＝1可得y＝x，由拋物線的頂點(diǎn)y＝xt，及水線最大高度為3m，可得出a、b的關(guān)系式，求解即可．解：(1)∵y＝的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝kx上，k＝1，拋物線水線最大高度達(dá)3m，∴,,解得a＝，b＝2，即k＝1，且噴出的拋物線水線最大高度達(dá)3m時(shí)a、b的值分別是、2；(2)若k＝1，噴出的水恰好達(dá)到岸邊，則此時(shí)噴出的拋物線，水線最大高度是多少？【思維教練】求水線的最大高度即求拋物線y＝ax2+bx的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由已知噴出的水恰好達(dá)到岸邊，可得拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)y＝ax2+bx的頂點(diǎn)在直線y＝x上求解即可．(2)∵k＝1，噴出的水恰好到岸邊，出水口離岸邊20m，拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝kx上，∴此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為x＝10，y＝x＝10，即此時(shí)噴出的拋物線，水線最大高度是10米；(3)若k＝2，且要求噴出的拋物線水不能到岸邊，求a的取值范圍．【思維教練】求a的取值范圍，需找出關(guān)于a的不等式，由已知噴出的拋物線水不能到岸邊，可得對(duì)稱軸，再結(jié)合k＝2，拋物線y＝ax2+bx的頂點(diǎn)在直線y＝2x上可得b值代入不等式求解即可．(3)∵y＝ax2+bx的頂點(diǎn)

在直線y＝2x上，∴

，解得b＝4，∵噴出的拋物線水線不能到岸邊，出水口離岸邊20m，∴

，即

，解得：a>例6圣誕節(jié)期間，某商店銷售一種圣誕帽，這種帽子每頂進(jìn)價(jià)為10元．銷售統(tǒng)計(jì)表明，該產(chǎn)品在圣誕節(jié)前每天的銷售量t(頂)與每件的銷售價(jià)x(元/頂)之間大致存在關(guān)系：t＝－2x＋80；該產(chǎn)品在圣誕節(jié)后每天的銷售量p(頂)與每件的銷售價(jià)x(元/頂)之間大致存在關(guān)系：p＝(10＜x≤20，p取整數(shù))．(1)在圣誕節(jié)前這種帽子銷售價(jià)定為多少元時(shí)其銷售量為零；(2)設(shè)每天所得的銷售利潤(rùn)為y元，分別寫出圣誕節(jié)前和圣誕節(jié)后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求銷售價(jià)定為多少時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？(1)【思維教練】銷售量為零，即t＝0，把t＝0代入t＝－2x＋80，求出x的值；解：∵當(dāng)t＝－2x＋80＝0時(shí)，x＝40，∴在圣誕節(jié)前這種帽子銷售價(jià)定為40元/頂時(shí)，其銷售量為零；

(2)【思維教練】根據(jù)“銷售利潤(rùn)＝銷售量×(銷售單價(jià)－進(jìn)貨單價(jià))”列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；解：由題意，得：①圣誕節(jié)前，y＝t(x－10)＝(－2x＋80)(x－10)＝－2x2＋100x－800；②圣誕節(jié)后，y＝(10＜x≤20)；(3)【思維教練】根據(jù)第(2)問中所求圣誕節(jié)前和圣誕節(jié)后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，分別求出圣誕節(jié)前與圣誕節(jié)后的最大銷售利潤(rùn)，兩者比較，即可求解．解：在圣誕節(jié)前，y＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450，∴當(dāng)x＝25時(shí)，y有最大值y