2024春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末提分練案第4講二次函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)與一元二次方程2?？碱}型專練專項(xiàng)1與二次函數(shù)有關(guān)的幾何探究題作業(yè)課件新版北師大版

期末提分練案第4講二次函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)與一元二次方程2?？碱}型專練專項(xiàng)1與二次函數(shù)有關(guān)的幾何探究題點(diǎn)擊顯示本課時(shí)答案1234提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題56781．【2023·黑龍江龍東地區(qū)】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于A(－3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.(1)求拋物線的表達(dá)式．返回目錄解：因?yàn)閽佄锞€y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A(－3，0)和點(diǎn)B(1，0)，所以

所以拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3.1．【2023·黑龍江龍東地區(qū)】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于A(－3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S△PBC＝

S△ABC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．返回目錄解：存在．如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，易得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，0)，過(guò)點(diǎn)D作與BC平行的直線l，交拋物線于點(diǎn)P1,P2(P1在P2的左邊，P2在圖中未能顯示)，則此時(shí)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b1(k≠0)．易得直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1，0)和C(0，3)，所以

所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－3x＋3.又l∥BC，所以可設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝－3x＋b2，因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(－1，0)，所以3＋b2＝0.

解得b2＝－3.所以直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝－3x－3.返回目錄所以點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(－2，3)，點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(3，－12)．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，3)或(3，－12)．返回目錄解：由拋物線C的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線x＝－2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，2)．將點(diǎn)P(a，6)的坐標(biāo)代入拋物線C的表達(dá)式得6＝

(a＋2)2＋2，解得a＝－6或a＝2.

∵點(diǎn)P位于第二象限，∴a＝－6.2．【2023·衡水七中模擬】點(diǎn)P(a，6)是拋物線C：y＝

(x＋2)2＋2上位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線C與y軸的交點(diǎn)．(1)寫出拋物線C的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求a的值；返回目錄(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)程序：已知數(shù)對(duì)[m，n]，表示輸入m和n的值，可將拋物線C沿x軸方向向右(m>0)或向左(m<0)平移|m|個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸方向向上(n>0)或向下(n<0)平移|n|個(gè)單位長(zhǎng)度得到C′，若平移后的拋物線C′：y＝

x2－x－2與y軸交于點(diǎn)A′，求數(shù)對(duì)[m，n]的值及△AA′P的面積．返回目錄解：拋物線C′：y＝

x2－x－2可整理為y＝

(x－2)2－3，相當(dāng)于把拋物線C：y＝

(x＋2)2＋2，先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，∴[m，n]＝[4，－5]．拋物線C′：y＝

x2－x－2與y軸交于點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′(0，－2)，∵點(diǎn)A為拋物線C：y＝

(x＋2)2＋2與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)．∴AA′＝3－(－2)＝5，∴△AA′P的面積＝

×AA′·|xP|＝

×5×6＝15.返回目錄解：將B(0，－4)，C(2，0)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋x＋m，3．【2023·成都錦江區(qū)期末】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋x＋m(a≠0)與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)．(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式．返回目錄3．【2023·成都錦江區(qū)期末】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋x＋m(a≠0)與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．返回目錄解：存在．向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)D到直線AB的距離最大，此時(shí)△ABD的面積最大．∵當(dāng)

x2＋x－4＝0時(shí)，x1＝2，x2＝－4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－4，0)．設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，將A(－4，0)，B(0，－4)的坐標(biāo)代入y＝kx＋b(k≠0)，返回目錄∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x－4.設(shè)直線AB平移后的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x－4＋n，則方程－x－4＋n＝

x2＋x－4有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即

x2＋2x－n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴4－4××(－n)＝0，解得n＝－2.此時(shí)

x2＋2x＋2＝0的解為x1＝x2＝－2，將x＝－2代入拋物線表達(dá)式得y＝×(－2)2－2－4＝－4，∴當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2，－4)時(shí)，△ABD的面積最大．返回目錄解：將A(3，0)，C(0，－3)的坐標(biāo)代入y＝ax2－2x＋c，得

∴y＝x2－2x－3.4．如圖，拋物線y＝ax2－2x＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，點(diǎn)C(0，－3)，直線y＝－x＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F.(1)求拋物線的表達(dá)式；返回目錄4．如圖，拋物線y＝ax2－2x＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，點(diǎn)C(0，－3)，直線y＝－x＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F.(2)連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得△CDF∽△AQE？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．返回目錄解：存在．將A(3，0)的坐標(biāo)代入y＝－x＋b中，得0＝－3＋b，∴b＝3，∴y＝－x＋3.設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋b′，

∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴D(1，0)，F(xiàn)(1，－2)，返回目錄返回目錄5．【2023·徐州節(jié)選】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝－

x2＋2x的圖象與x軸分別交于點(diǎn)O，A，頂點(diǎn)為B.連接OB，AB，將線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC，連接BC.點(diǎn)D，E分別在線段OB，BC上，連接AD，DE，EA，DE與AB交于點(diǎn)F，∠DEA＝60°.(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．返回目錄解：∵y＝

∴頂點(diǎn)為B(1，

)．令y＝0，則－

x2＋2x＝0，解得x＝0或x＝2，∴A(2，0)．返回目錄解：∠EDA的大小不變．理由如下：在AB上取點(diǎn)M，使得BM＝BE，連接EM，作拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，如圖．∵y＝－

(x－1)2＋

，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴ON＝1.∵將線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC，返回目錄(2)隨著點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)．①∠EDA的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△BAC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°.∵A(2，0)，B(1，

)，∴OA＝2，OB＝

AB＝

∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°.∵∠MBE＝60°，BM＝BE，∴△BME是等邊三角形，返回目錄∴∠BME＝∠BEM＝60°，ME＝BE，∴∠AME＝120°.∵∠DBE＝∠ABO＋∠ABC＝120°，∴∠DBE＝∠AME.∵∠BEM＝∠DEA＝60°，∴∠BED＝∠MEA，∴△BED≌△MEA，∴DE＝EA.又∠AED＝60°，∴△AED是等邊三角形，∴∠EDA＝60°，即∠EDA的大小不變．返回目錄返回目錄(2)隨著點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)．②線段BF的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：存在．∵BF＝AB－AF＝2－AF，∴當(dāng)AF的長(zhǎng)度最小時(shí)，BF的長(zhǎng)度最大，即當(dāng)DE⊥AB時(shí)，BF的長(zhǎng)度最大．∵△DAE是等邊三角形，∴此時(shí)∠DAF＝

∠DAE＝30°，∴∠OAD＝60°－∠DAF＝30°，∴AD⊥OB，∴AD＝OA×cos∠OAD＝2cos30°＝

，∴AF＝AD×cos∠DAF＝

∴BF＝AB－AF＝2－

返回目錄6．如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋2mx＋2m＋1(m是常數(shù)，且m>0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)(用數(shù)或含m的式子表示)，并求∠OBC的度數(shù)；返回目錄解：當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋2mx＋2m＋1＝0.解方程，得x1＝－1，x2＝2m＋1.∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且m>0，∴A(－1，0)，B(2m＋1，0)．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2m＋1.∴C(0，2m＋1)．∴OB＝OC＝2m＋1.∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°.返回目錄6．如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋2mx＋2m＋1(m是常數(shù)，且m>0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.(2)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y＝－x2＋2mx＋2m＋1(m是常數(shù)，且m>0)的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得∠ACP＝75°，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，求出m的取值范圍．返回目錄解：如圖，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)Q總在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)∠CQA>∠CBA，即∠CQA>45°.∵∠ACQ＝75°，∴∠CAO<60°.∴tan∠CAO<.∵OC＝2m＋1，OA＝1，返回目錄7．【2023·福州鼓樓區(qū)模擬】如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c經(jīng)過(guò)B(3，0)，D兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；返回目錄返回目錄7．【2023·福州鼓樓區(qū)模擬】如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c經(jīng)過(guò)B(3，0)，D兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C.(2)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．返回目錄【點(diǎn)撥】①當(dāng)以AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB，且PQ＝AB即可．令y＝－

x2＋x＋

＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)．∴AB＝4.∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或－4，返回目錄②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，作P3H⊥x軸于點(diǎn)H，如圖．∵四邊形AQ3BP3是平行四邊形，∴AQ3∥BP3，AQ3＝BP3，∴∠Q3AB＝∠P3BA，在△AOQ3和△BHP3中，∴△AOQ3≌△BHP3，∴OA＝HB＝1，∴OH＝OB－