2023-2024學(xué)年天津市南開區(qū)高二年級上冊1月階段性質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市南開區(qū)高二上冊1月階段性質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.如圖，直線4，4，4的斜率分別為尤，h，ki,則（）

C.ki<k2<k3D.k3<k2<kl

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)圖象得傾斜角范圍以及大小關(guān)系，再根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系確定斜率大小.

【詳解】令直線4,4，4的傾斜角分別為4，%,θi,

由圖像可得0°<4<%<90°<4<180。，

所以ta∏q<0<tan03<tan02,即4<0<&.

所以仁&2

故選:A.

2.｛〃,,｝是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，如果氏=32°23,則〃等于（）.

A.2020B.2021C.2022D.2023

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意求出｛4｝通項(xiàng)公式即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意可知｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3",當(dāng)為=32°23時(shí)，"=2023

故選：D

3.橢圓工+匕=1的離心率是（）

94

542

BC

A.9-9-D.3-

【正確答案】B

【分析】求出〃、C的值，可得出橢圓的離心率的值.

【詳解】在橢圓工+二=1中，α=3,b=2,則C=L2―6=石,

94

因此，橢圓二+反=1的離心率為e=￡=好.

94a3

故選：B.

4.在等差數(shù)列｛4｝中,a3+a1=6,則生+%=().

A.3B.4C.6D.8

【正確答案】C

【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)相同且下標(biāo)和相等的性質(zhì)即可確定答案.

[詳解1由等差數(shù)列的性質(zhì)知.a2+as=a,+a1=6

故選：C.

5.己知點(diǎn)A(2,0),β(3,√3),則直線AB的傾斜角為()

A.30oB.60oC.120°D.150°

【正確答案】B

【分析】求出直線AB的斜率即得解.

【詳解】解：由題得直線AB的斜率A=Y2=G,

3-2

設(shè)直線的傾斜角為α,tana=?a∈[0,180),

所以a=60.

故選：B

6.雙曲線1-g=l的漸近線方程是().

169

A.y=±-xB.y=±-xC.y=?-xD.y=±-x

1694.3

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接得出該雙曲線的漸近線方程.

【詳解】在雙曲蝙一》中,?*X,因此,該雙曲線的漸近線方程為y=±%±%

故選：C.

a=1

7.在數(shù)列｛4｝中，6=；，n——n≥2^∈N+,則％）23=（）

a

2n-?

A.?B.1C.-1D.2

【正確答案】A

【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列｛”“｝的前4項(xiàng),推導(dǎo)出為周期數(shù)歹∣J,從而得到的）23

的值

【詳解】%=1-1=1-2=-1,α3=1---=1+1=2,41—

qa2a322

可得數(shù)列｛凡｝是以3為周期的周期數(shù)列，??.?=α3x674+,=4=g,

故選：A

8.已知拋物線∕=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】D

【詳解】試題分析：拋物線V=4），焦點(diǎn)在y軸上，開口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,準(zhǔn)線

方程為y=T,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4+1=5,因?yàn)閽?/p>

物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.

本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生

的運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡

化運(yùn)算.

9.如圖，在三棱錐尸-ABC中，點(diǎn)N為棱AP的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱BC上，且滿足CM=28”,

則MN=（）

A.Λa+λbΛcB,^a-hΛc

233233

C.-d+-b——cD.——d——?+—c

233233

【正確答案】B

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)N為棱AP的中點(diǎn)，且CM=28M,

21

所以MN=MC+CP+PN=-BC-PC+-PA

32

22II21

=-PC一一PB-PC+-PA=一一PC一一PB+-PA

332332

故選.B

92

10.己知K，尸2是雙曲線［-4=14>0b>0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)K關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰

crh~

好落在以尸2為圓心，|。段為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為()

A.√2B.GC.2D.√3+l

【正確答案】C

【分析】先求解F/到漸近線的距離，結(jié)合OA〃尸2M,可得/BMF2為直角，結(jié)合勾股定理

可得解

【詳解】由題意,B(-c,O),尸2(c,0),

設(shè)一條漸近線方程為y=∕x,則Fl到漸近線的距離為+/=b.

設(shè)Fi關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為MEM與漸近線交于A,.??MF∣?=2b,

A為BM的中點(diǎn)，又。是BF2的中點(diǎn)，

二OA//F2M,.'.NFlMF2為直角，

.?.為直角三角形，

.?.由勾股定理得4c2=c2+4?2

/.3c?2-4(c2~a2),c2=4a2,

".c-2a,：.e=2.

故選：C

二、填空題

11.已知直線4：2x+沖+1=0與33x-y-l=0平行，則，”的值為.

2

【正確答案】

【分析】根據(jù)給定條件利用兩直線平行是性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€/∕2x+”+l=0與個(gè)3*->，-1=0平行，

所以當(dāng)M=O時(shí)，兩條直線不平行，不符合題意；

22

當(dāng)ZnHo時(shí)，---=3,解得m=—.

m3

..一2

故答案為.-]

12.已知圓/+丁+2》-4)，-5=0與W+V+2x-1=0相交于A,B兩點(diǎn)，則直線A8的方程

是.

【正確答案】y+ι=o

【分析】根據(jù)兩相交圓與公共弦關(guān)系，兩相交圓方程相減所得方程即是公共弦方程.

【詳解】+√+2x-l-(x2+∕+2x-4y-5)=0,得y+l=0

故y+ι=0

13.數(shù)列｛a,l]的前〃項(xiàng)和S”=+九∈N*,則an=.

【正確答案】2n

fS.,n=1,、

【分析】根據(jù)%=js〔s“>2來求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Sl=2,

22

當(dāng)“≥2時(shí)，??=ξ,-5n.l=∏+W-[(Λ-1)+(?-!)]=2?.

當(dāng)”=1時(shí)上式也符合，

所以4=2”.

故2〃

14.等比數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，前〃項(xiàng)的積為T.，若兀=乜，則的”=.

【正確答案】2

【分析】由題意可得0<4<l,且?！?gt;0,由條件可得α∣%…%=4°口2…佝，化簡得

“Mi4%=4,再由=4o43=%%，求得4嗎5的值.

【詳解】解:等比數(shù)列解“｝是遞減數(shù)列,其前〃項(xiàng)的積為HSeN"),若13=4。,設(shè)公比為

q,

則由題意可得O<"l,且q,>O.

.?.ag…％3=4。［。2???6?，?*?at0anai2ai3=4.

又由等比數(shù)歹IJ的性質(zhì)可得O8-a∣5=al0al3=anal2,.?.as?al5=2.

故2.

15.已知48分別是C/(X-I)2+(y-3)2=l,G:(x+5)、(y-l)2=4上的兩個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)

M是直線x-y=O上的一個(gè)動點(diǎn)，貝IJlMAl+1MBl的最小值為.

【正確答案】5

【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，畫圖確定最值位置，再求解最小值即可.

【詳解】如圖，圓。3是圓Cl關(guān)于直線χ-y=O的對稱圓，

所以圓G的方程為(x-3)2+(y-l)2=l,圓心為C3(3,1),且由圖知,

?MA?+?MB?^?MAy?+?MB?

.?.G,8,M,Λ1,G五點(diǎn)共線時(shí)，Igl+1MBl有最小值，

2

此時(shí)，(∣Λ∕A∣+∣MB∣)mw=C2C3-l-2=√8+0-3=5

所以∣M4∣+∣MB∣的最小值為5.

故5.

三、解答題

16.已知等差數(shù)列應(yīng)｝滿足%=9,其前11項(xiàng)和L=⑵；數(shù)列也｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,

且滿足4+d=9,?Λ=8.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式.

⑵求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和

H

【正確答案】(l)4=2〃-l(〃eN”)，?Π=2-'(M∈N?)

⑵I=2"T

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由已知條件可得出關(guān)于4、d的方程組，解出這兩個(gè)

量的值，可得出等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性與基本性質(zhì)可求得偽、b4

的值，可求得等比數(shù)列也｝的公比，進(jìn)而可得出數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用等比數(shù)列的求和公式可求得7“.

“5=4+44=9(]

【詳解】⑴解：設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由已知可得。IlxlOJ…，解得c，

SU=lI1l4H----------=12114=2

aa

所以，n=?+(〃-l)d=2n-l(∕7∈N*).

4+4=9

?

優(yōu)

4=4仇8-

因?yàn)閿?shù)列2是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，由已知可得＜?8

?以

!<

所以，數(shù)列｛〃｝的公比為夕=怖=2,所以2=40i=2"T("∈N*).

(2)解.T=」~~—1-2",,

n1=2-l

ι-q1-2

17.已知圓C:九2+y2-2y-4=0,直線/：/nr—y+1—/77=0∈R).

(1)寫出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，并判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；

(2)設(shè)直線/與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若直線/的傾斜角為120。，求弦AB的長.

【正確答案】(1)圓心(0,1),半徑不，/與圓相交；

(2)√I7.

【分析】(1)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求其圓心C和半徑r,求出直線/經(jīng)過的定點(diǎn),

判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷/與圓的位置關(guān)系：

(2)求出圓心到直線的距離d,根據(jù)MBI=2,產(chǎn)-"2即可求弦長.

【詳解】(1)由題設(shè)知圓C：x2+(y-l)2=5,

，圓C的圓心坐標(biāo)為C(O,1),半徑為「=石.

又直線/可變形為：y-l=a(x-l),則直線恒過定點(diǎn)M(L1),

V12+(1-1)2=1<5,

.?.點(diǎn)用在圓C內(nèi)，故直線/必定與圓相交.

(2)由題意知〃zwθ,

*??直線I的斜率k=m=tan120°=-?/?,

∣-√3∣

???圓心C((U)到直線/：6+y一石—1=()的距離d=

√(√3)2+I22

Λ∣ABl=2y!r2-d2=2^5-∣=√Γ7.

18.已如數(shù)列｛叫的前”項(xiàng)和為S“，4=；,當(dāng)∕J≥2時(shí)，SnSn,l=Sn,l-Sll.

(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求S”;

(2)求數(shù)列的前〃項(xiàng)和為Z,.

【正確答案】(1)證明見解析，S,=一二

〃+1

Mi

(2)Tn=n-2

【分析】(1)由S,,Sltτ=S,τ-S,,可得=1,即可證明數(shù)列J是以2為首項(xiàng)，1為公

差的等差數(shù)列，從而求出S〃；

(2)由(1)知不=5+l)?2",利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.

【詳解】(1)解：當(dāng)〃22時(shí)，由S,￡T=S,I-S“，得J-J-=I,

?n?rt-l

所以數(shù)列是以J=L=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

IBJSlq

11

所以不=〃+1,即S=-.

2〃

(2)解：由(1)—=(n+l)?2π,

所以7；=2x2+3x2?++n×2"-'+(M+l)×2n,①

所以2(,=2χ22+3χ23++n×2n+{n+Y)×2n+',②

①一②得-1=4+(22+23++2,,)-(π+l)?2n+l

=4+(2'用一4)-(n+1)?2"+∣=-n-2"+',

所以J=”?，

19.如圖，在直三棱柱ABC-ABIG中，AClBC,BEEBt,AB=CC、=2BC=2.

(1)證明：ACIC1E;

(2)求直線SB1與平面AEC1所成角的正弦值；

(3)求平面AEC1與平面ABE的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵畫

10

⑶叵

4

【分析】（I）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,C3,CC∣的方向分別為劉y，Z軸的正方向建立空間直角

坐標(biāo)系C-孫Z,利用坐標(biāo)法證明即可：

（2）根據(jù)空間向量坐標(biāo)法求解即可；

（3）根據(jù)空間向量坐標(biāo)法求解即可；

【詳解】（1）解：依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4,CB,CG的方向分別為X，Vz軸的正方向

建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z,如圖,

則A(√3,0,0),A(√3,0,2),B(O,1,O),B1(0,1,2),C1(0,0,2),E(0,l,l).

C4=(√3,(),0),C1E=(0,1,-1),

因?yàn)镃4?C∣E=0,

所以AC^GE.

(2)解：結(jié)合(1)得AG=(飛,0,2),AE=(M,1,1),8a=(0,0,2),

設(shè)平面AECt的法向量為m=（x1,y1,zl）,

m?ACi=-6xι+2Z]=0

則<

m?AE=->∕3XI÷yl÷z1=0

令士=2,得tn=（2,區(qū)后）.

B瓦?"7∣而

設(shè)直線BBl與平面AEC所成角為Θ,則Sine=卜os（

1四,叫=1~~r

/1網(wǎng)Im?10

所以直線BBt與平面AECt所成角的正弦值為我.

10

(3)解：結(jié)合(1)BE=(0,0,1),

設(shè)平面ABE的法向量為〃=(x2,%，Z2)，

n?BE=z?=0,

則Γ

n?AE=-√3X2+γ2+z2=0,

令占=1,則"=(1,6,0),

由(2)知平面AECl的法向量為加=(2,百,6)

設(shè)平面AE尸和平面EFC的夾角為α,

/??m?n?2+3?/lθ

貝代。Sa=Icos(%,")I=麗=而3=丁?

所以，平面AEF與平面ErC的夾角余弦值為亞.

4

22

20.已知橢圓C:=+2=l(a>6>0)上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)片(-G.0),M(K,0)的距離的

ab

和為4.經(jīng)過點(diǎn)D(LO)且不經(jīng)過點(diǎn)M(l,l)的直線與橢圓C交于尸,。兩點(diǎn),直線MQ與直線χ=4

交于點(diǎn)E,直線PE與直線Λffi>交于點(diǎn)N.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：EMN的面積為定值.

【正確答案】(1):+V=1

4-

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c=√L根據(jù)橢圓的定義得出為=4,根據(jù)以b、C的關(guān)系

得出6,即可得出橢圓方程；

(2)直線PQ方程為X=)+