2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題1（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.過(guò)點(diǎn)P(2,3),且一個(gè)法向量為〃=(3,-1)的直線的點(diǎn)法向式方程是.

【正確答案】3(x-2)-(y-3)=0

【分析】根據(jù)直線的方向向量與其法向量垂直列式可得.

【詳解】在所求直線上任取一點(diǎn)Uy),則所求直線的方向向量為(x-2,y-3),

再根據(jù)直線的方向向量與法向量垂直可得，

(3,-l)(x-2,y-3)=0,

B∣J3(x-2)-(γ-3)=0.

故答案為：3(x-2)-(y-3)=0.

本題考查了直線的方向向量與法向量以及直線的點(diǎn)法向式方程,屬于基礎(chǔ)題.

2.若Y+y2-2x-4y=0,求圓心坐標(biāo)為.

【正確答案】(1,2)

【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出答案.

【詳解】解：由f+∕-2x-4y=0,可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-I)2+(y-2)2=5,

所以圓心坐標(biāo)為(L2).

故答案為.(1,2)

3.橢圓》卷=1的焦距是.

【正確答案】2亞

根據(jù)橢圓中“，b,C的數(shù)量關(guān)系求解.

【詳解】解：橢圓與+?=1的焦距是2c=2√？≡P^=2√^=2√I.

故2√∑.

本題考查了橢圓中。，b,C的數(shù)量關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.雙曲線V-X=I的兩條漸近線夾角為.

3

【正確答案】γ

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，求出漸近線的斜率，由夾角公式tanα=^島即

可求出漸近線的夾角.

【詳解】因?yàn)殡p曲線所以漸近線方程為V=Sx或y=-Gx,

設(shè)兩條漸近線的夾角為銳角α,

∣√3-(-√3)∣π

JllJtana=J~=----τ≡-∣=√3.所以?shī)A角為

∣l+√3×(-√3)∣3

故答案為?

本題考查雙曲線漸近線方程的求法以及夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知直線/：奴+W-l)y+a-3=0,當(dāng)。變化時(shí)，直線/總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為

【正確答案】(5,-3)

,,一,fx+2y+l=0a

【分析】把直線方程化為α(x+2y+l)-y-3=O,令：八，求出小》的值即可.

[-y-3=0

[詳解】因?yàn)橹本€/:?+(勿_1)丁+〃_3=0可化為a(x+2y+l)_y_3=0,

fx+2y+l=0

令:八，解得x=5,y=-3,

[-γ-3=0

所以直線/過(guò)定點(diǎn)(5,-3),

故答案為.(1-3)

6.若原點(diǎn)到直線/：θr+y+8=0的距離為4,貝IJa的值是.

【正確答案】士石；

|8|

由點(diǎn)到直線的距離公式得/「，=4,再求解即可.

√02+l2

|8|

【詳解】解：由點(diǎn)到直線的距離公式可得：d==4,解得ɑ=±G,

>/?2+ι2

故答案為.±6

本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.

7.已知直線/過(guò)點(diǎn)(-1,0)且與直線2x-y=0垂直，則圓f+y2-4x+8y=0與直線/相交所得

的弦長(zhǎng)為一

【正確答案】2√i5

先求出直線/的方程，再求出圓心C與半徑，計(jì)算圓心到直線/的距離d,山垂徑定理求弦

長(zhǎng)IABl.

【詳解】解：由題意可得，/的方程為x+2y+l=0,

f+y_4x+8y=0可化為(X-2)2+(>+4)2=20,圓心(2,-4),半徑z?=2√5,

圓心(2,-4)到/的距離"=l2^^+11石,

.?.AB=2?Jr2-d2=2√20-5=2√15?

故2√i?.

本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查兩條直線垂直以及直線與圓相交所得弦長(zhǎng)的計(jì)算

問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

2

8.設(shè)耳瑪是橢圓三+丁=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，且滿足/耳P6=60。，則△/岑用的

4

面積是-

【正確答案】縣

3

∣PfJ∣+∣PF,∣=4

【詳解】由題意，得除舊崎_(kāi)邛竹座"。。=(2城

'?PF.?+?PF2?=4

即，∣2∣HI，則3|刊訃|尸司=42-12,

?PF^+?PF2^-?PFl?]PF2?^2

即I刊計(jì)IPgI=g,所以APKK的面積為S=3w∣?∣尸為sin60。=走.

點(diǎn)睛:本題考查橢圓的定義和余弦定理的應(yīng)用；在處理橢圓或雙曲線中涉及兩個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題時(shí),

往往利用橢圓或雙曲線的定義(定和或定差)進(jìn)行處理，往往再結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)

行求解.

9.已知M(T,2),N是曲線C∕2+V-6x-2y+9=0上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線x+2y+2=0上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則IPMI+1PM的最小值為.

【正確答案】3√5-l

【分析】根據(jù)題意，求得M關(guān)于直線x+2y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,結(jié)合圖像即可得到當(dāng)P,”,C

三點(diǎn)共線時(shí)，IPMI+∣PN∣取得最小值.

如圖，曲線C:-6x-2y+9=O是以C(3,1)為圓心，以1為半徑的圓,

則根據(jù)圓的性質(zhì)可知，IPNl的最小值為IPCI-1,

設(shè)〃關(guān)于直線x+2y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為"5，”),

—=2

m+，解得m=—3

則可得,??即”(—3,—2),

吧+2χS+2=0n=-2

I22

連接，C,分別交直線x+2y+2=0與圓C于P,N,

Ijiij?PM?+∣PJV∣≥?PM?+∣PC∣-1?∣PW∣+∣PC∣-1≥ClT,

當(dāng)且僅當(dāng)p,”,C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值36-1,

所以IPMl+1PNl的最小值為3百-1.

故答案為：3√5-l

10.已知K、用是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且/耳?用=(,則

橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為一.

【正確答案】勺叵

3

【分析】設(shè)IPBI=r”∣PF2∣=r2,∣F1F2μ2c,橢圓和雙曲線的離心率分別為e∣,e2,由余弦定理

可得

JT

222

4c=(ri)+(r2)-2∏r2cosy,①在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4a?-3r∣r2…②，在雙曲線中,

?3

化簡(jiǎn)為即4c2=4a∕+r∣r2…③，所以一+丁=4,再利用柯西不等式求橢圓和雙曲線的離

e?eι

心率的倒數(shù)之和的最大值.

【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a,雙曲線的實(shí)半軸為a∣,(a>al),半焦距為c,

由橢圓和雙曲線的定義可知，

設(shè)IPBl=r∣,∣PF2∣=r2,∣BF2∣=2c,

橢圓和雙曲線的離心率分別為e∣,e2.

22

VZF1PF2=J,則，由余弦定理可得4c2=(r?)+(r2)-2r∣Γ2CθSy,①

在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4a2-3rm…②，

在雙曲線中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4aJ+r∣n…③，

13

所以-?+二=4,

由柯西不等式得(1+∣)(4+Λ)>(?+-×ψ)2

3ele2e,e2√3

I1/6

所rrι以q一+一≤---

eie23

故答案為竽

本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)

鍵.屬于難題.

二、單選題

11.“a=l”是“直線x+ay-l=O與直線0r-y+l=0相互垂直”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】直線x+αy-l=O與直線?-y+l=0相互垂直得到αeR,再利用充分必要條件的

定義判斷得解.

【詳解】因?yàn)橹本€χ+“y-ι=o與直線6-y+i=0相互垂直，

所以l>(α)+αx(-1)=0,

所以αeR.

所以。=1時(shí)，直線x+?-1=0與直線0r-y+l=0相互垂直，所以"a=l''是"直線

彳+即-1=()與直線奴-卜+1=0相互垂直”的充分條件；

當(dāng)直線x+αy-l=0與直線依-y+l=0相互垂直時(shí)，α=l不一定成立，所以“。=1”是“直線

》+3-1=0與直線依-丫+1=0相互垂直”的非必要條件.

所以""=1''是"直線x+αy-1=O與直線or-y+1=O相互垂直”的充分非必要條件.

故選：A

方法點(diǎn)睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：(1)定義法；(2)集合法；(3)轉(zhuǎn)化法.要

根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

12.已知兩點(diǎn)A(2,T),8(-5,-3),直線/過(guò)點(diǎn)(1/)，若直線/與線段AB相交，則直線/的

斜率取值范圍是()

「2、Γ2'

A.(-∞,-2]l-,+∞IB.-2,-

21(21

C.--,2D.I-∞,--(2,+oo)

【正確答案】A

根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)P(1,1),畫(huà)出圖形，再求出融，心的斜率，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.

則k≤L或k≥kpts,

-3-12

因?yàn)榧碅=^7―Γ=-2,

Z-I-5-l^3,

所以直線/的斜率取值范圍是（-8,-2]U∣,+∞

故選：A.

本題主要考查直線斜率的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知橢圓E：/∕=l（">"0）的右焦點(diǎn)為匕左頂點(diǎn)為A，若E上的點(diǎn)尸滿足

3_

LX軸，SinNPAK=1，則E的離心率為（）

A.?B.—C.—D.—

2545

【正確答案】C

【分析】由題意構(gòu)建方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為4。的齊次式，從而得到結(jié)果.

3

【詳解】?.?SinNPAK=g，

3

，IanZPAiF2=-

￡

'tanNPAF2=U-=于即4∕+3e-l=O

?e」

??C-.

4

故選：C

Y+V

14.已知橢圓C：=1（。>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,延長(zhǎng)A招交

橢圓C于點(diǎn)B,若△4BZ為等腰三角形，則橢圓的離心率e=（）

A.-B.3C.—1

333

【正確答案】B

由^A幽為等腰三角形，可知忸用≈∣84∣,可求出恒可=匹設(shè)內(nèi)到=x,結(jié)合橢圓的定義

3

可求得X=I”,過(guò)點(diǎn)B作X軸的垂線，交X軸于C點(diǎn)，易知./。鳥(niǎo)s.BCg,可求出點(diǎn)8的

坐標(biāo)，將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入橢圓方程，進(jìn)而可求出離心率.

【詳解】在直角三角形AoK中，∣A^∣=√?2+c2=α,且IA周=",

易知忸用>”,?BA?>α,故等腰△AB耳中，忸用=∣54∣.

設(shè)忸周=X,貝∣∣∣*R班ITA^l=X-α,

由橢圓的定義知I耳M+內(nèi)B∣=2α,則χ+χ-α=2a,解得x=；a,所以忸用=》,

過(guò)點(diǎn)8作X軸的垂線，交X軸于C點(diǎn)，易知.5。8sBCg,

所以IBClTMCI=gc,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為仔,司，

將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入橢圓方程得紇+與=1,解得e2=??=l?,故e=B.

4a24?2cr33

本題考查橢圓的性質(zhì)，考查離心率的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題

15.設(shè)直線的方程為(α+l)x+),+2-α=0,α∈R.

(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；

(2)若與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,求”的值.

【正確答案】(1)3x+y=0或x+y+2=0(2)o=3±√7

【分析】(1)討論截距是否為0：當(dāng)截距為O時(shí)，過(guò)原點(diǎn)，代入可得。，進(jìn)而得直線方程;

當(dāng)截距不為O時(shí)，使得截距相等，求得“，進(jìn)而得直線方程；

(2)先求得直線在X軸，V軸上的截距，結(jié)合面積為1,即可解方程求得α的值.

【詳解】(1)由題意知，

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距都為0,

此時(shí)α=2,直線的方程為3x+y=0；

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由截距相等，得”-2=±[,則.=0,

a+1

直線的方程為χ+y+2=o,

綜上所述，所求直線的方程為3x+y=O或x+y+2=0.

Q—2

⑵由題意知，直線在X軸，y軸上的截距分別為六Ta—2>

1a-2

×(a-2)

2a+l

解得”=3±>∕7.

本題考查了直線方程截距的概念，直線方程的求法，由直線圍成圖形面積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

16.如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8,燈桿P4是半徑為r的圓C的一段

劣弧.路燈采用錐形燈罩，燈罩頂P到路面的距離為10,到燈柱所在直線的距離為2.設(shè)Q

為圓心C與P連線與路面的交點(diǎn).

(I)當(dāng)r為何值時(shí)，點(diǎn)。恰好在路面中線上？

(2)記圓心C在路面上的射影為且”在線段。。上，求HQ的最大值.

【正確答案】(1)r=2√5;(2)(12-4√5)m.

【分析】(1)以。為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心C(α8),根

據(jù)圓心C到A,P的距離相等得到α+6-10=0,再由圓心在直線尸。上聯(lián)立求解.

(2)由(1)知α+b-Io=0,當(dāng)α=2時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為x=2,易得"Q=O；

當(dāng)α*2時(shí)，設(shè)燈罩軸線所在方程為：y-10==?(x-2),令y=0得到Q(12-跑,01，然

a-2Ia)

后由IHQl=I2-230-4,利用基本不等式求解.

a

【詳解】(1)以。為原點(diǎn)，以04所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則A(0,8),P(2,l()),Q(7,0),

.??直線P。的方程為2x+y-14=0.

設(shè)C(α⑼,則卜=「，兩式相減得：α+6T0=0,

a+(b-S)=產(chǎn)

X2^7+/7-14=0,解得α=4,h=6,

?r=√42+(6-8)2=2√5.

，當(dāng)r=2逐時(shí)，點(diǎn)Q恰好在路面中線上.

(2)由(1)知α+IO=O,

當(dāng)4=2時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為x=2,此時(shí)"Q=O

當(dāng)“w2時(shí)，燈罩軸線所在方程為：y-10=二?(x-2),

a-2

令y=0可得元=12—亍20，gpρl(12-2-0,0A1,

2∩

???〃在線段。。上，???12—丁./,解得2強(qiáng)以10.

：.\HQ∣=12---a=12-f-+α^∣,,12-2λ^0=12-4√5,

on

當(dāng)且僅當(dāng)'="即α=2不時(shí)取等號(hào).

a

.??∣"Q∣的最大值為(12-4石)m.

本題主要考查直線，圓的實(shí)際應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法和

運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

17.設(shè)橢圓E:]+V=1,直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(,%0),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(〃,0),直線∕∣直線"，

且直線4,4分別與橢圓E相交于4B兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn).

(1)若用，N分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，且直線4Lx軸，求四邊形ABCO的面積;

(∏)若直線4的斜率存在且不為0,四邊形ABC。為平行四邊形，求證：機(jī)+〃=0;

(III)在(H)的條件下，判斷四邊形ABCO能否為矩形，說(shuō)明理由.

【正確答案】(I)2近；(∏)證明見(jiàn)解析；(In)不能，證明見(jiàn)解析

J1匈』］

(?)計(jì)算得到故A,81,,CIL,計(jì)算得到面積.

2

4k2m

x∣+%=~;——

(H)設(shè)4為y=z(χ-m),聯(lián)立方程得到■￡+1,計(jì)算

2k2m2-2

和二工廠

∣A8∣=√mr丞踵寇，同理∣c*CrF"u⑹尸生,根據(jù)M同=Cq得到

乙KIi乙KI1

m2=n2,得到證明.

(III)設(shè)AB中點(diǎn)為P(a,b),根據(jù)點(diǎn)差法得到α+2妨=O,同理c+2A∕=0,故即。=—不^≠-7

2κκ

得到結(jié)論.

【詳解】(I)M(-1,O),N(1,O),故A

故四邊形ABCr)的面積為S=2√2?

《一

(H)設(shè)4為y=Mx-m),貝葉^2^+y-，故(2&2+1卜2一4公爾+2川工一2=0,

y=k^x-mj

_4k2m

x+x

l2~2?2+l

設(shè)Aa,y),3(看，%)，故，

2k2m2-2

XIX2=-2k2+↑

222

∣AB∣=Λ∕1+?∣XI-JC2∣=yj?+k??(?j+x2)-4X∣X2=?J1+k2由—+8,

,16/-8//+8

同理可得∣co∣=√i1F

2?2+l

吐可故后"廿二中受盧,

即他2二鹿2,m≠n,故6+〃=0.

(IH)設(shè)AB中點(diǎn)為尸(。㈤,貝吟+犬=1,亨+H"

相減得到α+書(shū)*-切+(y+%)(X-必)=O，即α+2妨=O,

同理可得：CO的中點(diǎn)Q(Gd),滿足c+2k∕=0,

故kpQ=S=W，故四邊形ABC。不能為矩形?

本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積，形狀，根據(jù)四邊形形狀求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力

和綜合應(yīng)用能力.

18.設(shè)機(jī)＞0,橢圓「：二→L=1與雙曲線C："∕f-y2=m2的焦點(diǎn)相同.

3mtn

（1）求橢圓「與雙曲線C的方程；

（2）過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)作兩條斜率分別為尢，◎的直線4，4,分別交雙曲線C于點(diǎn)P,

Q（P,。不同于右頂點(diǎn)），若匕？&-1,求證：直線PQ的傾斜角為定值，并求出此定值;

（3）設(shè)點(diǎn)T（0,2）,若對(duì)于直線Ly=χ+"橢圓「上總存在不同的兩點(diǎn)A與B關(guān)于直線/對(duì)

稱(chēng)，且9＜47??TB＜10,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【正確答案】（1）橢圓「的方程為1+V=I,雙曲線C的方程為V-V=I;（2）詳見(jiàn)解析.

（3）見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合焦點(diǎn)相同，建立方程，計(jì)算m值，即可.（2）

設(shè)出直線4方程，代入雙曲線方程，建立等式，計(jì)算P的坐標(biāo)，同理得到Q的坐標(biāo)，結(jié)合

4?&-Ir可以得到％=發(fā)現(xiàn)直線PQ與X軸平行，故證之.（3）結(jié)合題意，設(shè)出直

線AB的方程，代入橢圓解析式中，建立方程，計(jì)算出AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)，而M又在直線

1上，代入，結(jié)合題目所提供的不等式，建立不等關(guān)系，即可得到b的范圍.

【詳解】解：（1）由題意，2根=W?+],所以機(jī)=L

所以橢圓r的方程為q→y2=i,雙曲線C的方程為V-y2=l.

（2）雙曲線C的右頂點(diǎn)為（1,0）,因?yàn)樨埃?-1.不妨設(shè)匕＞0,則《＜0，

設(shè)直線6的方程為y=K(χ-i),

由‘)：!'I?'，得(I-M)χ2+2婷X-^∣2-l=θ1

則1???=?7X1+?=~τ??>?

K1—1I-AC1

E用V+l2k,

問(wèn)理，?=TTZV>凡=尸二7'

?v??rv??

攵

又κ?&-1,所以q=/2T+1

fv?1

因?yàn)閷O=為，所以直線P。與X軸平行，即即O為定值O,傾斜角為0?

(3)設(shè)A(x∣,y),B(x2,y2),直線AB的方程為V=一工+〃,

y=-x+n,

由整理得4爐-6nx+3"'-3=0,

1^+"i

△=(-6∕z)2-16(3T22-3)=12(4-n2)>O,故-2<〃<2.

3n3(n2-l)

…=萬(wàn)，卬”、2

設(shè)48的中點(diǎn)為M(??,%),則Xo=%；>=學(xué),%=-??+”=(,

又M(Λ?,%)在直線/:y=kx+b±.,所以W=與+6,?=-∣∈(-l,l).

因?yàn)??=(Λ1,y∣-2),TB=(x2,y2-2),

所以7?1?7^=（百，%一2＞（三，%-2）=（丹，一百+〃一2＞（馬,一丹+〃一2）

t、/、,、，3(”—1)3n(n~~2)/λ

=2xl?-(tt-2)(xl+x2)+(n-2)=------------------+(?-2)

=n2-n+∣=4?2+2?+∣<∣,所以一；<6<0.X9<47??7'B<10

b≠—

4

即呵一卜￡|《一川.

本道題考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，難度較大.

19.如圖，過(guò)點(diǎn)E（1,O）的直線與圓0：/+丁=4相交于八，B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C（2,0）且與AB垂

直的直線與圓。的另一交點(diǎn)為。.

(I)當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(O,-2)時(shí)，求直線a＞的方程；

(2)記點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為尸(異于點(diǎn)A,B),求證：直線8尸恒過(guò)定點(diǎn)；

(3)求四邊形ACBr)面積S的取值范圍.

【正確答案】(1)x+2y-2=0.(2)直線BF恒過(guò)定點(diǎn)7(4,0)；(3)(0,4√3J.

(1)當(dāng)8(0,-2)時(shí)，直線AB的斜率為2,由Cn與A8垂直，直線CQ的斜率為由此能

求出直線C。的方程；

(2)由對(duì)稱(chēng)性可知直線5尸恒過(guò)的定點(diǎn)必在X軸上，記為T(mén)(r,O),設(shè)AB方程為X=My+1,

A(4M),B(X2,%),然后聯(lián)立直線A8的方程與圓的方程消元，求出

Xl)3+￡%=("5+1)、2+(，"乃+1)X=2,"Xy2+(凹+*)=2畋丫2

%+%，M.%，然后利用，=+1算出

,

%+%yl+Λ>'1+J2y+%

答案即可;

(3)當(dāng)直線AB與X軸垂直時(shí)，求出四邊形ACBO的面積，當(dāng)直線AB與X軸不垂直時(shí)，設(shè)

直線AB方程為履-V-火=0,則直線C。方程為x+b^-2=0,求出點(diǎn)O到直線AB的距

離，從而得到弦長(zhǎng)A3和C。，然后表示出面積，然后用換元法能求出四邊形ACBO面積的

范圍.

【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,-2)時(shí)，直線AB的斜率為上上4=2,

1—0

因?yàn)镃D與AB垂直，所以直線CD的斜率為-g,

所以直線C。的方程為y=-g(x-2),即x+2y-2=0.

(2)設(shè)A(XI,y∣),B(x2,y2),則Faf),由對(duì)稱(chēng)性可知直線M恒過(guò)的定點(diǎn)必在X軸上，

記為T(mén)&0)

設(shè)由題意直線AB斜率存在且不為0,設(shè)AB方程為x=，*+l,代入圓O可得:

(w2+l)y2+2my—3=0,

?AC2m

"2=品

—點(diǎn)共線???魯Δ1Λ,解得,JGf)+占=2+3

,

%%+xy.÷>2

.x/2+?Λ_("?+l)y+(ray+l).y_2my,y+(y+y)_2myy

???——22l—212—l2+1=2tn——+1=4

y+必>.+3,2-2ιn

???直線BF恒過(guò)定點(diǎn)T(4,0)

(3)當(dāng)直線AB與X軸垂直時(shí)，AB=2瓜CD=4,所以四邊形ACBf)面積S=；ABCD=4后.

當(dāng)直線AB與X軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=Z(XT)(ZNO),即區(qū)-y—%=0,

貝IJ直線CO方程為y=-}(x-2),即x+6-2=0

K

點(diǎn)O到直線AB的距離為,所以AB=2^4-^J=y=2點(diǎn)手，

點(diǎn)。到直線CO的距離為主|【，所以CD=2-木7=4同，

則四邊形AC3。面積5=件87府4底=4任手，

令公+1=/>1(當(dāng)&=O時(shí)四邊形ACBO不存在)，

所以S=4爛野ΞD=4J∑ipy≡(0,4√3),

綜上：四邊形ACB方面積S的取值范圍為(0.4石].

結(jié)論點(diǎn)睛：(1)圓中的弦長(zhǎng)要用幾何法計(jì)算，較代數(shù)法簡(jiǎn)單；(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形

的面積等于對(duì)角線長(zhǎng)度相乘的一半.

22Q

20.如圖，已知雙曲線C的方程為5-2=1(a>8>0),兩條漸近線的夾角為arccos=,

a^b5

焦點(diǎn)到漸近線的距離為L(zhǎng)M,N兩動(dòng)點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一象

限和第四象限，P是直線MN與雙曲線右支的一個(gè)公共點(diǎn)，MP=入PN.

(2)當(dāng);1=1時(shí)，求PM?PN的取值范圍；

(3)試用/1表示Z?MON的面積S,設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的取值范圍為集合Ω,

若(eΩ,求S的取值范圍.

【正確答案】(1)y-/=1；(2)PM?PNe(ro,T];(3)SG

5

(I)先由題意，得到雙曲線的漸近線方程，根據(jù)夾角公式，由題中條件，得到“2=4〃,

再由點(diǎn)到直線距離公式，求出“I,進(jìn)而可得出結(jié)果；

(2)先由題意，設(shè)M(2加,加)，N(2",τι),m>0,??>0,當(dāng)4=1,得到p(m+”,q°}代

入雙曲線方程，得到z≡=l,再計(jì)算向量數(shù)量積，即可得出結(jié)果；

(3)同(2),設(shè)Λ∕(2∕n,m),N(2〃,一〃)，m>0,n>0,

由MP=ZlPN得.號(hào)=，彳二?]，代入雙曲線方程，得到ZWJ=史再由點(diǎn)到直線

距離公式，兩點(diǎn)間距離公式，求出s=014-=ι+?L"+L],由題中條件，求出

2λ2{λ)

Λ∈[5√5-10,+∞),進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】(1)由題意雙曲線漸近線為桁±沖=0.

根據(jù)夾角公式fl=g?=3=/=%Λ

a~+b~a"+b~5

I力Cl=I=>?=1=>Β2=4.

√?2÷ɑ2

所以E-y2=ι.

4

(2)由題意，設(shè)M(2八加)，N(2n,-n),m>0fπ>0,

當(dāng)；1=1時(shí)，MP=PN，貝IJPlm+%'∣l''

所以(祖+/)2_(加―/7)2=],整理得Zm=1；

44

EnA”(,(-n-m?

又PM=?m-n,---I,PnN7=?n-m,——--I,

所以PMpN=―(加=一、()〃++4%〃=一；(加2+τ?2+2mn^+4

≤-∣??4+4=-1,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=1時(shí)，等號(hào)成立；

4

所以PM?PN∈(fo,-1].

(3)同(2),設(shè)M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0,

由MP=λPN得OP-OM=MoN-OP),∣∣J(1+Λ)OP