中考數(shù)學(xué)《勾股定理的應(yīng)用》練習(xí)（附答案解析）

中考數(shù)學(xué)《勾股定理的應(yīng)用》專題練習(xí)(附答案解析)

一、綜合題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xθy中，拋物線y=%2+α%+b經(jīng)過點(diǎn)4(一2,0),

B(-l,3).

4-

B

?3h

2，

4

A

八▲▲?▲:

-5-4-3-2-IO?I2X

-I∣?

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和ZBOC的度數(shù).

2.如圖1,已知0為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F,OD到點(diǎn)E,使0F=20A,

0E=20D,連結(jié)EF,將aFOE繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到aF'OE,(如圖2).

(1)探究AE'與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(2)當(dāng)a=30°時，求證：4A0E'為直角三角形.

3.設(shè)ZXABC的三邊長為a,b,c,其中a,b是方程χZ-(c+2)x+2(c+l)=0的兩個實(shí)數(shù)根。

(1)判斷^ABC是否為直角三角形？是說明理由。

(2)若AABC是等腰三角形，求a,b,C的值。

4.有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒子中裝有3張卡片，卡片上分別寫著3cm、7cm、

9cm；乙盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫著2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一張寫

著5cm的卡片.所有卡片的形狀、大小都完全相同.現(xiàn)隨機(jī)從甲、乙兩個盒子中各取出

一張卡片，與盒子外的卡片放在一起，用卡片上標(biāo)明的數(shù)量分別作為一條線段的長度.

(1)請用樹狀圖或列表的方法求這三條線段能組成三角形的概率；

(2)求這三條線段能組成直角三角形的概率.

5.已知aABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖，4(0,4),B(4,4),C(6,2),00’為

ΔABC的外接圓.

(2)設(shè)瓠AC與線段AB、BC所圍成的封閉圖形的面積為S(圖中陰影部分)，嘉琪說

S>l,請通過計(jì)算判斷嘉琪的說法是否符合題意；

(3)我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn).直線1與0。’相切于點(diǎn)B,直接寫出

直線1經(jīng)過的圖中格點(diǎn)坐標(biāo).(切點(diǎn)除外)

6.下面是6X6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長都是1,正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如

圖1,△?!BC的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格上的格點(diǎn).

圖2

⑴48=,BC=,AC=

(2)ZABC=°.

(3)在格點(diǎn)上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合)，使/4PC=90。，請?jiān)趫D中標(biāo)

出所有滿足條件的格點(diǎn)P(用Pl、P2???表示).

(4)請?jiān)趫D2中畫出一個三角形，使三邊長分別為3,√Tθ,5,并求此三角形的面

積.

7.在如圖的網(wǎng)格中建立平而直角坐標(biāo)系，XABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為?(0,l),8(2,5),

C(4,4),僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，并回答下

列問題：

(1)直接寫出4ABC的形狀；

(2)畫出ZC邊上的高線BE；

(3)畫出點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F；

(4)D(2,l),點(diǎn)P在AB上，若ZDPA=450,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

8.已知在△力BC中，ZA,/B,/C的對邊分別是α,b,c,關(guān)于X的方程/+2bx+

a2+c2=0有兩個相等實(shí)根.

(1)試判斷△4BC的形狀；

(2)若3b=α+3c,求COS4

9.如圖，拋物線與X軸交于A(1,0)、B(-3,0)兩點(diǎn)，于y軸交于點(diǎn)C(0,3),

頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)請計(jì)算以A、13、D、C為頂點(diǎn)的四邊形的面積;

(3)在X坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得Q點(diǎn)到C、D兩點(diǎn)的距離之和最短，若存在，

請直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

10.如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)4(0,4)、B(4,4)、C

(6,2)

(1)用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心"的位置，并標(biāo)出"點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若〃點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0),想一想直線切與。材有怎樣的位置關(guān)系，并證明你

的猜想.

11.如圖，A(4,3)是反比例函數(shù)y=［在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接0A,過A作AB

〃x軸，截取AB=OA(B在A右側(cè))，連接0B,交反比例函數(shù)y=1的圖象于點(diǎn)P.

(1)求反比例函數(shù)y=［的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)求aOAP的面積.

12.已知：如圖，雙曲線y=1(k≠0)與直線y=πιx(m≠0)交于A(2,4)、B兩點(diǎn),

點(diǎn)D是X軸上一點(diǎn)，C在雙曲線上且是AD的中點(diǎn).

(1)求雙曲線和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連結(jié)BC,求aABC的面積.

13.如圖1是一款“雷達(dá)式”懶人椅。當(dāng)懶人椅完全展開時，其側(cè)面示意圖如圖2所示，

金屬桿AB,CD在點(diǎn)O處連接，且分別與金屬桿EF在點(diǎn)B,D處連接，金屬桿CD的OD

部分可以伸縮(即OD的長度可變).已知0A=50cm,0B=20cm,0C=30cm,DE=BF=5cm.當(dāng)

把懶人椅完全疊合時，金屬桿AB,CD,EF重合在一條直線上(如圖3所示)，此時點(diǎn)E

和點(diǎn)A重合。

(1)如圖2,已知NBOD=6N0DB,Z0BF=140o。

①求NAOC的度數(shù)。

②求點(diǎn)A,C之間的距離。

(2)如圖3,當(dāng)懶人椅完全疊合時，求CF與CD的長。

14.如圖，鐵路MN和鐵路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處是某市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A

到鐵路MN的距離為80米，假使火車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響.

，Q

(I)火車在鐵路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響？請說明理由；

(2)如果受到影響，已知火車的速度是180千米/時，那么學(xué)校受到影響的時間是

多久？

15.矩形ABCD中，點(diǎn)C(3,8),E、F為AB、CD邊上的中點(diǎn)，如圖1,點(diǎn)A在原點(diǎn)處，

點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿X軸向右以每秒1個單

位長度的速度運(yùn)動，點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動矩形ABCD在平面內(nèi)滑動，如圖2,設(shè)

運(yùn)動時間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時停止運(yùn)動.

(1)當(dāng)t=0時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為；

(2)當(dāng)t=4時，求OE的長及點(diǎn)B下滑的距離；

(3)求運(yùn)動過程中，點(diǎn)F到點(diǎn)0的最大距離；

(4)當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，求t的值.

16.如圖，在AABC中，內(nèi)角力、B、C所對的邊分別為a、b、c.

B

A

(1)若a=6,b=8,c=12,請直接寫出NA與/B的和與NC的大

小關(guān)系；

(2)求證：ΔABC的內(nèi)角和等于180。;

(3)若a=∕α+b+c),求證：δabc是直角三角形.

a—b+cc

參考答案與解析

1.【答案】(1)解：：拋物線y=x2+ax+b經(jīng)過點(diǎn)A(-2,O),B(-l,3),

?(4-2α+b=0,

I1-α+b=3.

解得(α=6,

Lb=8.

'.y=X2+6x+8.

(2)解：C(-3,-l),ZBOC=90°

2.【答案】(1)證明：為正方形ABCD的中心，

ΛOA=OD,

V0F=20A,0E=20D,

OE=OF,

：將AEOF繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)ɑ角得到△￡'0F,,

.?.0E'=OF,,

VZF,0B=ZE,0A,OA=OB,

在△￡'AO和aF'BO中，

(OE,=OF,

?ZF,OB=ZE,OA，

IOA=OB

ΛΔE,A0^ΔF,BO(SAS),

ΛAEz=BF'；

(2)證明：：取OE'中點(diǎn)G,連接AG,

,.?ZΛ0D=90o,α=30o,

.?.NE'0A=90o-a=60°,

V0E,=20A,

二OA=OG,

,NE'OA=NAGO=NoAG=60°,

ΛAG=GEz,

ΛZGAE,=NGE'A=30o,

ΛZE/A0=90o,

ΛΔΛ0E,為直角三角形.

3.【答案】(1)4ABC是直角三角形

理由：：a,b是方程χ2-(c+2)x+2(c+l)=0的兩個實(shí)數(shù)根

a+b=c+2,ab=2(c+l)

.,.(a+b)2=(c+2)2,

a2+2ab+b~-c'+4c+4

a2+2×2(c+l)+b2=c2+4c+4,

整理得a2+b2=c2,

Va,b,C是aABC的三邊，

/.△ABC是直角三角形.

(2)解：?.?∕?ABC是以C為斜邊的直角三角形，

當(dāng)aABC時等腰三角形時，則a=b

.?.<√=2a2則C=√20

?*?α+α=y∕2α+2

解之：α=b=2+V∑

?".c=2+2√2

4.【答案】(1)解：畫樹狀圖得：

開始

379

∕√Vx.∕√V?∕√Vx

246R24682468

共有12種等可能的結(jié)果，這三條線段能組成三角形的有7種情況,

.?.這三條線段能組成三角形的概率為：?

(2)解：:這三條線段能組成直角三角形的只有：3cm,4cm,5cm；

.?.這三條線段能組成直角三角形的概率為：?

5.【答案】(1)(2,0)

（2）解：如圖2,連接.'z、O'c，

圖2

由勾股定理可知，。'/I=彳=2√5,OC=√22+42=2√5,

ΛC2=62+22=40,

?"?θ'A2+OC2=(2√5)2+(2√5)2=40=AC2^

AO'C為直角三角形，ZAO,C=90°,

S'=iθA-OC=i×2Λ∕5×2??∕5=10,SΛ=?×4×2=4,

△4。C2ZAAAbLBC2

則陰影部分的面積S=S扇形AO,c~S^AO'c—SAABC=5ττ-10-4≈1,7>1,

所以嘉琪的說法符合題意；

(3)解：(6,3)和(2,5).

6.【答案】(1)√5;2√5;5

(2)90

BC=3,AB=√10,AC=5,

19

?,?S^ABC=]X3X3=2

7.【答案】（1）解：ZSABC是直角三角形

（4）P.,?）,

8.【答案】（1）解：由題意，=4b2-4a2-4c2=0,

.*.b2-a2-c2=0,

Λb2=a2+c2,

...△ABC是直角三角形；

⑵解：=a+3c,

.".a=3b—3c,

Vb?2+c2,

Λb2=(3b-3c)2+c2,

4b2+5c2-9bc=0,

.5c29c.

..至一萬+4=0,

5cc

“萬—4)(6_1)=0，

?s?r或W=1，

?.?∕B=90°,cos4=半，NR為直角三角形ABC的內(nèi)角，

言=1舍去

??CoSA=Nb=H5.

9.【答案】(1)解：?；設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a∕+bx+c,

■a+b+c=0

將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋,物線表達(dá)式得：9a-3b+c=0，

c=3

a=-1

解得b=-2

.C=3

二拋物線的表達(dá)式為y=-X2-2X+3,

；拋物線的對稱軸為X=-1,當(dāng)X=-I時，y=-X2-2x+3=4,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4)

(2)解:：由點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)可知,BC2=18,CD2=2,BD2=20,

ΛBC2+CD2=BD-,

/.ΔBCD為直角三角形，

二四邊形ABCD的面積=^×BC×CD+^×AB×OC=?×3√2×√2+∣×4×3=9

(3)解：存在，Q(-I,0),如圖

作點(diǎn)C關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)E(0,-3),連接DE交X軸于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q為所求點(diǎn),

；設(shè)直線ED的表達(dá)式為y=kx+b,將D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,

[-3=0+6

U=-k+b'

解得仁二〉

直線DE的表達(dá)式為y=-7χ-3,

令y=-7χ-3=0,解得X=-j,

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-,,0).

10.【答案】(1)解：如圖所示，點(diǎn)M即為所求，且M(2,0).

(2)解：直線CD是OM的切線，由A(0,4),可得小正方形的邊長為1,

設(shè)過C點(diǎn)與X軸垂直的直線與X軸的交點(diǎn)為E,連接MC,作直線CD,

ΛCE=2,ME=4,ED=I,MD=5,在RtZ?CEM中，ZCEM=90°,

MC2=ME2+CE2=42+22=20,

在RtZXCED中，NCED=90°,

.?.CD2=ED2+CE2=l2+22=5,

ΛMD2=MC2+CD2,

ΛZMCD=90°,

又「MC為半徑,

二直線CD是。M的切線.

IL【答案】(1)解：將點(diǎn)A(4,3)代入y=],得：k=12,

則反比例函數(shù)解析式為y=?

(2)解：如圖，過點(diǎn)A作ACjLX軸于點(diǎn)C,

則OC=4、AC=3,

AOA=√42+32=5,

：AB〃x軸，且AB=OA=5,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,3)；

(3)解：???點(diǎn)B坐標(biāo)為(9,3),

AOB所在直線解析式為y=?X,

由

2),(負(fù)值舍去),

過點(diǎn)P作PD±x軸，延長DP交AB于點(diǎn)E,

則點(diǎn)E坐標(biāo)為(6,3),

；.AE=2、PE=LPD=2,

則aOAP的面積=；×(2+6)×3-?×6×2-?×2×1=5.

12.【答案】(1)解：：雙曲線y=((k≠0)與直線y=mx(πr≠0)交于A(2,4),

hr、

解得ff≡8，

??.雙曲線的解析式為y=-,直線AB的解析式為y=2x；

zX

(2)解：設(shè)C(Jn,?),D(n,0),

是AD的中點(diǎn),

；.C(爭，誓)即?(?,2)

：

.m-=2

Λm=4,

ΛC(4,2),

_8

聯(lián)立y=3,

y=2χ

解得二;或(舍去)，

/.B(-2,^4),

：.AC2=(4-2)2+(2—4)2=8,BC2=(-2-4)2+(-4-2)2=72,AB2=

(-2-2)2+(-4-4)2=80,

：.AC2+BC2=AB2,

.1△ABC是直角三角形，

：.S“BC=?AC?BC=∣×√8×√72=12.

13.【答案】(1)①解：設(shè)NODB=X度，貝INBOD=6X度.OBF=NB0D+NODB=140°

6x+x=140,解得％=20；.NA0C=NB0D=120°.②解：如圖2,連結(jié)AC,作AHj_

CD于點(diǎn)H.VZA0C=ZB0D=120o,ZΛ01l=60oΛ0H=25,AH=

25V3?*?∕ic=y∕CH2+AH2=552+Γ25A∕3)2二70，點(diǎn)A,C之間的距離為70Cm.

（2）解:如圖3,當(dāng)懶人椅完全疊合時，0E=0A=50cm.

^—2MN)V0B=20cm,0C=30cm,DE=BF=5cm.

CF=OC-OB-BF=5cm.CD=OC+OE-DE=30+50-5=75cm.

14.【答案】（1）解：會受到影響.過點(diǎn)A作AELMN于點(diǎn)E,

點(diǎn)A到鐵路MN的距離為80米，AE=80m,

周圍IOO米以內(nèi)會受到噪音影響，80<100,

學(xué)校會受到影響；

（2）解：以點(diǎn)A為圓心，IOO米為半徑畫圓，交直線MN于BC兩點(diǎn)，連接AB.AC。

O

A

則AB=AC=IOOm,

在Rt?ΛBE中,

AB=IOOm,AE=80m

BE=y∣AB2-AE2=√1002-802=60m，

BC=2BE=120m,

火車的速度是180千米/時=50m/S,

=^-1204S

t150-50=2s?

答：學(xué)校受到影響的時間是2.4秒.

15.【答案】(1)F(3,4)

(2)解：當(dāng)t=4時，0A=4.在RtZ?ABO中，AB=8,ZA0B=90