2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第15講：概率與統(tǒng)計(jì)（附答案解析）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第15講：概率與統(tǒng)計(jì)

選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022?濱海新區(qū)校級(jí)三模）某校隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取

的學(xué)生的成績(jī)都在50分至IOO分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下

B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為30人

C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?4分

D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分

2.（5分）（2022春?梁園區(qū)校級(jí)月考）已知某9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,方差為5,現(xiàn)又加入

一個(gè)新數(shù)據(jù)6,此時(shí)這10個(gè)數(shù)的平均數(shù)和方差52分別為（）

A.6,?B.6,9C.5,?D.5,5

222

3.（5分）（2022?甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座

效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷,

這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：

第1頁(yè)（共42頁(yè)）

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

4.（5分）（2022?乙卷）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位:

h）,得如圖莖葉圖:

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

甲乙

61

85303

753246

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

5.（5分）（2022?新疆模擬）若樣本數(shù)據(jù)Xi，X2<…，Xio的方差為2,則數(shù)據(jù)2xι-1,2x2

-1,-,2xιo-1的方差為（）

第2頁(yè)（共42頁(yè)）

A.2B.4C.8D.16

6.（5分）（2022?青秀區(qū)校級(jí)二模）從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，現(xiàn)有

如下說法：

①至少有一個(gè)黑球與都是黑球是互斥事件：

②至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球不是互斥事件；

③恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球是互斥事件；

④至少有一個(gè)黑球與都是紅球是對(duì)立事件.

在上述說法中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（5分）（2022?新高考1）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)

的概率為（）

A.?B.?C.?D.2

6323

8.（5分）（2022?三明模擬）某校為落實(shí)“雙減”政策.在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的

體育興趣小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球、羽毛球

四項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，則

恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（）

A.?B.-LC.-LD.ZL

64161632

9.（5分）（2022春?集美區(qū)校級(jí)期中）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件X="第一枚硬幣

正面朝上"，B="第二枚硬幣反面朝上”（）

A./與8互為對(duì)立事件B.N與8互斥

C.Z與8相等D.P（A）=PCB）

10.（5分）（2022?南平模擬）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣

正面朝上”互為對(duì)立的是（）

A.至多一枚硬幣正面朝上B,只有一枚硬幣正面朝上

C.兩枚硬幣反面朝上D.兩枚硬幣正面朝上

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

（多選）11.（5分）（2022春?番禺區(qū)校級(jí)期中）下列說法正確的是（）

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體

機(jī)被抽到的概率是0.1

第3頁(yè)（共42頁(yè)）

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)Xi,X2>?">Xio的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2x∣-1,2x2-1,…,2xιo^1的

標(biāo)準(zhǔn)差為32

（多選）12.（5分）（2022春?秦淮區(qū)校級(jí)期中）為了提升小學(xué)生的運(yùn)算能力，某市舉辦了

“小學(xué)生計(jì)算大賽”，并從中選出“計(jì)算小達(dá)人”.現(xiàn)從全市參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取

1000人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績(jī)的分組區(qū)間為[60,

70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],規(guī)定得分在90分及以上的被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”.下

列說法正確的是（）

B.該市每個(gè)小學(xué)生被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”的概率為0.01

C.被抽取的1000名小學(xué)生的均分大約是85分

D.學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)大約為75分

（多選）13.（5分）（2022?濟(jì)南二模）袋中裝有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球和2個(gè)白球,

從袋中不放回的依次抽取2個(gè)球.記事件Z="第一次抽到的是白球“，事件8="第二

次抽到的是白球“，則（）

A.事件N與事件8互斥B.事件Z與事件8相互獨(dú)立

C.P（B）=2D.P（A?B）=工

32

（多選）14.（5分）（2022?永州模擬）已知事件力與事件5為互斥事件，仄是事件力的對(duì)

立事件，可是事件8的對(duì)立事件，若P（A）=工，P（B）=L,則（）

36

?,P（A）?rB?P（AUB）]

O4

C.p（A∩^B）=0D.事件/與事件8不獨(dú)立

第4頁(yè)（共42頁(yè)）

（多選）15.（5分）（2022?廣州二模）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“第一枚骰子出現(xiàn)的

點(diǎn)數(shù)小于3”為事件4“第二枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3”為事件則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.事件/與事件8互為對(duì)立事件

B.事件”與事件8相互獨(dú)立

C.P（B）=2P（A）

D.P（A）+P（B）=1

≡.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

16.（5分）（2022?龍巖模擬）已知變量y關(guān)于X的回歸方程為V=/'-",若對(duì)y=*'」”

兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)/即與X線性相關(guān).現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表所示，當(dāng)x=5時(shí)，預(yù)

測(cè)y值為.

X1234

β4

yee3e6

17.（5分）（2022?甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概

率為?

18.（5分）（2022?乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙

都入選的概率為.

19.（5分）（2022?梅州二模）已知某班數(shù)學(xué)建模興趣小組有4名男生和3名女生，從中任

選3人參加該校的數(shù)學(xué)建模比賽，則恰有1名女生被選到的概率是.

20.（5分）（2022?寧河區(qū)校級(jí)模擬）袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球共4個(gè)球，現(xiàn)有一個(gè)游戲：

從袋中任取2個(gè)球，兩個(gè)球顏色恰好相同則獲獎(jiǎng)，否則不獲獎(jiǎng).則獲獎(jiǎng)的概率是；

有3個(gè)人參與這個(gè)游戲，則至少有2人獲獎(jiǎng)的概率是.

四.解答題（共5小題，滿分50分，每小題10分）

21.（10分）（2022春?梁園區(qū)校級(jí)月考）某學(xué)校為了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況，隨機(jī)調(diào)查了

50名就餐的教師和學(xué)生.根據(jù)這50名師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分，繪制出了如圖所示的

頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40,50）,[50,60）,[90,100].

（1）求頻率分布直方圖中α的值和樣本的眾數(shù).

（2）若采用分層抽樣的方式從評(píng)分在[40,60）,[60,80）,[80,米0]的師生中抽取式

人，則評(píng)分在[60,80）內(nèi)的師生應(yīng)抽取多少人？

第5頁(yè)（共42頁(yè)）

(3)學(xué)校規(guī)定：師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分不得低于75分，否則將進(jìn)行內(nèi)部整頓.用

每組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，試估計(jì)該校師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分，并據(jù)

此回答食堂是否需要進(jìn)行內(nèi)部整頓.

頻率

22.(10分)(2022春?寧河區(qū)校級(jí)月考)樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自

然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)

此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出

20人的樣本，并將這20人按年齡分組：第1組口5,25),第2組［25,35),第3組［35,

45),第4組［45,55),第5組［55,65］,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求樣本中第3組人數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)參與調(diào)查人群的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和第80百分位數(shù)：

(3)若從年齡在［15,35)的人中隨機(jī)抽取兩位，求至少有一人的年齡在［15,25)內(nèi)的

概率.

23.(10分)(2022春?西安期末)2021年秋季學(xué)期，某省在高一推進(jìn)新教材，為此該省某

市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進(jìn)行相關(guān)學(xué)科培訓(xùn)，培訓(xùn)后舉行測(cè)試(滿

分100分)，從該市參加測(cè)試的數(shù)學(xué)老師中抽取了100名老師并統(tǒng)計(jì)他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)，將

成績(jī)分成五組，第一組［65,70),第二組［70,75),第三組［75,80),第四組［80,85),

第五組［85,90］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求“的值以及這100人中測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0,85)的人數(shù)：

(2)估計(jì)全市老師測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和第50%分?jǐn)?shù)位(保留兩位小數(shù))；

(3)若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作交流分享，并在這6人

第6頁(yè)(共42頁(yè))

中再抽取2人擔(dān)當(dāng)該活動(dòng)的主持人；求第四組至少有1名老師被抽到的概率.

t頻率

藕

0.07

0.06

0.02

0.01

；0；5嬴￡7成7/分

24.（10分）（2021秋?平南縣期中）李先生計(jì)劃搭乘公交車去上班，經(jīng)網(wǎng)上公交實(shí)時(shí)平臺(tái)查

詢，得到1路與2路公交車預(yù)計(jì)到達(dá)公交/站的時(shí)間均為8：30,已知公交車實(shí)際到達(dá)

的時(shí)間與網(wǎng)絡(luò)報(bào)時(shí)的誤差不超過10分鐘.

（1）若李先生趕往公交A站搭乘1路車，預(yù)計(jì)他到達(dá)A站的時(shí)間在8：25到8：40之間，

求他比車早到的概率；

（2）求這兩路車到達(dá)Z站的時(shí)間之差不超過4分鐘的概率.

25.（10分）（2022春?洛陽(yáng)期中）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限X（單位：年）和所支出的維

修費(fèi)用V（單位：萬元）的有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料如表所示：

使用年限力年23456

維修費(fèi)用W萬元2.23.85.56.57.0

若由資料知y與X呈線性相關(guān)關(guān)系.

（1）求線性回歸方程y=bχ+a的回歸系數(shù)a,b;

（2）估計(jì)當(dāng)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

參考公式：回歸方程V=bχ+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=

Σ(χi-χ)(yi-y),

n_oa=y-bχ?

￡(χi-χ)

第7頁(yè)（共42頁(yè)）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第15講：概率與統(tǒng)計(jì)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022?濱海新區(qū)校級(jí)三模）某校隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取

的學(xué)生的成績(jī)都在50分至IOO分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下

列說法正確的是（）

頻率/組距，

0.040---------------------------------I~

X-----------------------

0.015--------------------1—

0.010----------------1—

0.005----------1-

0'z5060708090IOO購(gòu)

A.直方圖中X的值為0.040

B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為30人

C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?4分

D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析.

【分析】根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分至IOO分之間的頻率和為1可求得X值，以此判斷

計(jì)算成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80）的學(xué)生頻率，然后可計(jì)算該區(qū)間學(xué)生數(shù)，以此判斷當(dāng)按照頻

率頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算可判斷C；按照頻率分布直方圖中百分位數(shù)的

計(jì)算方法計(jì)算可判斷D.

【解答】解：對(duì)于小根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分至IOO分之間的頻率和為1,可得IOX

（0.005+0.01+0.015+x+0.040）=1,解得X=O.03,故力錯(cuò)誤；

對(duì)于8：在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為IOXo.015X400=60（人）,

故8錯(cuò)誤；

第8頁(yè)（共42頁(yè)）

對(duì)于C：估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?5X0.05+65×0.1+75X0.15+85X0.3+95X0.4=84

（分），故C正確；

對(duì)于。：全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為90+22x10=95（分），故。錯(cuò)

0.4

誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)，百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2022春?梁園區(qū)校級(jí)月考）已知某9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,方差為5,現(xiàn)又加入

一個(gè)新數(shù)據(jù)6,此時(shí)這10個(gè)數(shù)的平均數(shù)和方差52分別為（）

A.6,5B.6,旦C.5,?D.5,5

222

【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【專題】計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】依據(jù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)定義和方差定義，再利用題給條件去求這10個(gè)數(shù)的平均

數(shù)和方差即可解決.

【解答】解：10個(gè)數(shù)的平均數(shù)7=9X6+6=6,

10

10個(gè)數(shù)的方差s2=9×5Λ6z611=?

102

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求平均數(shù)與方差的問題，記住平均數(shù)與方差的公式是解題的關(guān)鍵.

3.（5分）（2022?甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座

效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，

這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：

第9頁(yè)（共42頁(yè)）

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】對(duì)于4,求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于2,求出講座后

問卷答題的正確率的平均數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于C,由圖形知講座前問卷答題的正確率相對(duì)

分散，講座后問卷答題的正確率相對(duì)集中，進(jìn)行判斷；對(duì)于。，求出講座后問卷答題的

正確率的極差和講座前正確率的極差，由此判斷D

【解答】解：對(duì)于從講座前問卷答題的正確率從小到大為：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

二講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：（70%+75%）/2=72.5%,故/錯(cuò)誤；

對(duì)于8,講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：

?（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）=89.5%>85%,故8正

10

確；

對(duì)于c,由圖形知講座前問卷答題的正確率相對(duì)分散，講座后問卷答題的正確率相對(duì)集

中，

第10頁(yè)（共42頁(yè)）

??.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，講座后問卷答題的正確率的極差為：100%-80%=20%,

講座前正確率的極差為：95%-60%=35%,

講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查散點(diǎn)圖、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2022?乙卷）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位:

h）,得如圖莖葉圖:

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

甲乙

615.

85306.3

7

753246

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

【考點(diǎn)】莖葉圖.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)：數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)據(jù)分析.

【分析】根據(jù)莖葉圖逐項(xiàng)分析即可得出答案.

【解答】解：由莖葉圖可知，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為爐_=7.4,

選項(xiàng)/說法正確；

由莖葉圖可知，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8,選項(xiàng)8說法正確；

甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值為&且＜04＞選項(xiàng)。說法錯(cuò)誤；

乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值為JI=°,g125＞0.6,選項(xiàng)。說法

正確.

第11頁(yè)（共42頁(yè)）

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查莖葉圖，考查對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2022?新疆模擬）若樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,…，xιo的方差為2,則數(shù)據(jù)2xι-l,2x2

-1,?,2x∣o-1的方差為（）

A.2B.4C.8D.16

【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合方差的公式，即可求解.

【解答】解：???樣本數(shù)據(jù)XI，X2,…，XlO的方差為2,

,數(shù)據(jù)2xι-l,2x2-1.…，2xιo-1的方差為22X2=8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方差的公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2022?青秀區(qū)校級(jí)二模）從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，現(xiàn)有

如下說法：

①至少有一個(gè)黑球與都是黑球是互斥事件；

②至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球不是互斥事件；

③恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球是互斥事件；

④至少有一個(gè)黑球與都是紅球是對(duì)立事件.

在上述說法中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理.

【分析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義求解即可.

【解答】解：至少有一個(gè)黑球與都是黑球能同時(shí)發(fā)生，故①中的兩個(gè)事件不是互斥事件，

故①錯(cuò)誤；

至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球能同時(shí)發(fā)生，故②中的兩個(gè)事件不是互斥事件，故②

正確；

恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故③中的兩個(gè)事件互斥

而不對(duì)立，故③正確；

至少有一個(gè)黑球與都是紅球是對(duì)立事件，故④正確.

第12頁(yè)（共42頁(yè)）

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥，對(duì)立的兩個(gè)事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2022?新高考I）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)

的概率為（）

A.?B.?C.?D.2

6323

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】整體思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先求出所有的基本事件數(shù)，再寫出滿足條件的基本事件數(shù)，用古典概型的概率

公式計(jì)算即可得到答案.

【解答】解：從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有Cg=21種方式，

其中互質(zhì)的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14種，

故所求概率為9=2.

213

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2022?三明模擬）某校為落實(shí)“雙減”政策.在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的

體育興趣小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球、羽毛球

四項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，則

恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（）

A.-LB.J—C.-LD.ZL

64161632

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；排列組合；邏輯推理.

【分析】首先分析得到四名同學(xué)總共的選擇為44個(gè)選擇，然后分析恰有兩人參加同一項(xiàng)

活動(dòng)的情況為cjc：，則剩下兩名同學(xué)不能再選擇同一項(xiàng)活動(dòng)，他們的選擇情況為

然后進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：?.?每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，且可以參加相同的項(xiàng)目，

.?.四名同學(xué)總共的選擇為44個(gè)選擇，恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的情況為Cjc：,剩下兩

第13頁(yè)（共42頁(yè)）

C?C?A

??.恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為‘_2π.

4416

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及其概率的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是能用排列組合的知識(shí)

將滿足條件的選擇方案數(shù)計(jì)算出來.

9.（5分）（2022春?集美區(qū)校級(jí)期中）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件Z="第一枚硬幣

正面朝上"，B="第二枚硬幣反面朝上”（）

A.4與8互為對(duì)立事件B.4與8互斥

C.4與B相等D.P（A）=P（B）

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作

答.

【解答】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正）,

（反，反），

事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件8包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反）,

顯然事件/，事件8都含有“（正，反）“這一結(jié)果，即事件4事件8能同時(shí)發(fā)生，

因此，事件4事件8既不互斥也不對(duì)立，A,8都不正確；

事件/，事件8中有不同的結(jié)果，于是得事件N與事件8不相等，C不正確；

由古典概型知，p（?）?l?l,P（B）卷,，所以P（A）=P（B）,。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件與對(duì)立事件，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.

10.（5分）（2022?南平模擬）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣

正面朝上”互為對(duì)立的是（）

A.至多一枚硬幣正面朝上B.只有一枚硬幣正面朝上

C.兩枚硬幣反面朝上D.兩枚硬幣正面朝上

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直接利用對(duì)立事件的定義求出結(jié)果.

第14頁(yè)（共42頁(yè)）

【解答】解：事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對(duì)立的是：兩枚硬幣反面朝上.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：對(duì)立事件的定理，主要考查學(xué)生對(duì)定義的理解，屬于基

礎(chǔ)題.

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

（多選）11.（5分）（2022春?番禺區(qū)校級(jí)期中）下列說法正確的是（）

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體

被抽到的概率是0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,Xio的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2xι-1,2x2-?,?">2xιo^1的

標(biāo)準(zhǔn)差為32

【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義可判斷選項(xiàng)a

由平均數(shù)的定義先確定〃?，再求方差即可；

由百分位數(shù)的定義及標(biāo)準(zhǔn)差的定義判斷即可.

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)/,個(gè)體機(jī)被抽到的概率是-L=O.ι,故正確；

50

對(duì)于選項(xiàng)5,l+2+∕n+6+7=4X5,，m=4,

?S2=A×[（1-4）2+（2-4）2+（4-4）2+（6-4）2+（7-4）2]=5.2,

5

故錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,V8×70%=5.6,

.?.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是從小到大排序的第6個(gè)數(shù),

即為23,

故正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，?；樣本數(shù)據(jù)XI，X2，…，XlO的標(biāo)準(zhǔn)差為8,

...數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1，…，2xi0-1的標(biāo)準(zhǔn)差為8X2=16,

故錯(cuò)誤；

故選：AC.

第15頁(yè)（共42頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)據(jù)數(shù)字特征的分析，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）12.（5分）（2022春?秦淮區(qū)校級(jí)期中）為了提升小學(xué)生的運(yùn)算能力，某市舉辦了

“小學(xué)生計(jì)算大賽”，并從中選出“計(jì)算小達(dá)人現(xiàn)從全市參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取

IOOO人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績(jī)的分組區(qū)間為[60,

70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],規(guī)定得分在90分及以上的被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”.下

列說法正確的是（）

A.加的值為0.015

B.該市每個(gè)小學(xué)生被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”的概率為0.01

C.被抽取的1000名小學(xué)生的均分大約是85分

D.學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)大約為75分

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.

【專題】應(yīng)用題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由頻率分布直方圖小長(zhǎng)方形的面積之和為1得（0.025+005+w+0.01）XlO=L

從而判斷選項(xiàng)4

由頻率分布直方圖小長(zhǎng)方形的面積為頻率可判斷選項(xiàng)B；

由頻率分布直方圖分別求平均數(shù)與中位數(shù)，從而判斷選項(xiàng)C、D.

【解答】解：由題意知，

（0.025+0.05+∕M+0,01）XlO=I,

解得m=OOl5,

故選項(xiàng)Z正確；

該市每個(gè)小學(xué)生被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”的概率為0.01X10=0.1,

故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

V65×0.025X10+75×0.05×10+85×0.015×l0+95×0.01×10=76,

第16頁(yè)（共42頁(yè)）

.?.被抽取的IOOO名小學(xué)生的均分大約是76分,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

V0.25<0.5,0.25+0.5>0.5,

,學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在區(qū)間［70,80］之間,

中位數(shù)為70+°?5-0?25Xιo=75,

0.5

故選項(xiàng)O正確；

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

(多選)13.(5分)(2022?濟(jì)南二模)袋中裝有除顏色外完全相同的I個(gè)紅球和2個(gè)白球,

從袋中不放回的依次抽取2個(gè)球.記事件力=”第一次抽到的是白球“，事件8="第二

次抽到的是白球"，貝IJ()

A.事件4與事件8互斥B.事件/與事件8相互獨(dú)立

C.P(B)=2D.P(A?B)="1

32

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；條件概率與獨(dú)立事件.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)互斥事件以及相互獨(dú)立事件的概念，可判斷B,事件8="第二次抽到

的是白球“，分兩種情況，即第一次抽到紅球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也

抽到白球，由此判斷C;根據(jù)條件概率的公式計(jì)算P(AlB)總，可判斷。.

【解答】解：對(duì)于由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同時(shí)發(fā)生，

故事件Z與事件8不互斥，/錯(cuò)誤；

對(duì)于8,由于是從袋中不放回的依次抽取2個(gè)球，因此第一次抽球的結(jié)果對(duì)第二次抽到

什么顏色的球是有影響的，因此事件N與事件8不是相互獨(dú)立關(guān)系，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,事件B="第二次抽到的是白球“，分兩種情況，即第一次抽到紅球第二次抽

到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，

故P(B)Wx］?=∣?,故C正確；

?

對(duì)于bP(AB)=?∣?X*a故P(AlB)S((T))卷卷,,故。正確，

~3

故選：CD.

第17頁(yè)(共42頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(多選)14.(5分)(2022?永州模擬)已知事件/與事件8為互斥事件，仄是事件力的對(duì)

立事件，E是事件8的對(duì)立事件，若p(A)」,P(B)4則()

36

?-p(?)??B.P(AUB)=?∣

O

C.P(A∩B)=0D.事件A與事件B不獨(dú)立

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件、獨(dú)立事件及交事件、和事件的定義，逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對(duì)于4P(A)=I-P<4)=—,故/正確；

3

對(duì)于8,Y事件力與事件B為互斥事件，p(?)JL,P(B)=Λ,

36

：.P(AlJB)=P(J)+P(B)=JL4JL=JL,故8正確；

362

對(duì)于C,?.?事件/與事件B為互斥事件，.??N,F不一定是互斥事件,

：.P(A∩B)=0不一定成立，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，P(AB)=0,PCA)P(B)=L,P(AB)≠P(A)P(B),

18

.?.事件/與事件5不是獨(dú)立事件，故。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，對(duì)立事件、互斥事件、獨(dú)立事件及交事件、和事件

的定義等，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

(多選)15.(5分)(2022?廣州二模)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“第一枚骰子出現(xiàn)的

點(diǎn)數(shù)小于3”為事件從“第二枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3”為事件8,則下列結(jié)論中正確

的是()

A.事件/與事件8互為對(duì)立事件

B.事件”與事件8相互獨(dú)立

C.P(B)=2P(N)

D.P(A)+P(B)=1

【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理.

【分析】利用互斥事件和對(duì)立事件的定義進(jìn)行判定即可.

第18頁(yè)(共42頁(yè))

【解答】4第一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3,第二枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)也可能小于3,

即事件A與事件B可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，

所以事件Z與事件8不對(duì)立，所以N不正確；

B.無論第一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是否小于3,對(duì)第二枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于3的概率沒

有影響，

即事件月的發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，所以事件N與事件8相互獨(dú)立，所

以8正確；

C.由題知，p(?)?l?l,P(B)=Λ上，所以尸(8)=2P(∕),所以C正確；

6363

d?由題知，P(A)P(B)=fτ^=?,所以P(A)+P(B)""4=L所以"正

636333

確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件和對(duì)立事件的定義，考查學(xué)生的分析能力，屬于中檔題.

Ξ.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

16.(5分)(2022?龍巖模擬)已知變量y關(guān)于X的回歸方程為若對(duì)夕=“*—。-5

兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)/即與X線性相關(guān).現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如表所示，當(dāng)x=5時(shí)，預(yù)

測(cè)y值為e7?5.

X1234

yeβ4e6

【考點(diǎn)】線性回歸方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析.

【分析】z=>y=bχ-0.5,化為線性相關(guān)，結(jié)合回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求從再預(yù)測(cè)即

可.

zw

【解答】解：?.?y=e<5,.?.如=fcc-05,

令Z=Iny=bx-0.5,

列表格如下，

X1234

Z==Iny1346

故：上=25白十

4

第19頁(yè)(共42頁(yè))

故3.5=2.530.5,

故b--,

5

故當(dāng)x=5時(shí)，z-lny--×5-0.5—7.5,

5

故y=e73,

故答案為：e7?5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查非線性回歸與線性回歸方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程

恒過樣本中心點(diǎn)，這是線性回歸方程中最?？嫉闹R(shí)點(diǎn).屬于中檔題.

17.（5分）（2022?甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概

率為

35

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；立體幾何：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計(jì)算“從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)”的取法，分

析其中“4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面”的情況，由古典概型公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有C4=70種取法，

8

若這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面，有底面2個(gè)和側(cè)面4個(gè)、對(duì)角面6個(gè)，一共有12種情況，

則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率尸=&=_L；

7035

故答案為：?.

35

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題.

18.（5分）（2022?乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙

都入選的概率為_工^.

10

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被

選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率.

【解答】解：方法一：設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，

從5人中選3人有以下10個(gè)基本事件：

甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁

第20頁(yè)（共42頁(yè)）

戊；

甲、乙被選中的基本事件有3個(gè)：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；

故甲、乙被選中的概率為W_.

10

方法二：

由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)Cg=I0,

甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)c；=3,

C?

根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率P=-?=W-?

熄1。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基

礎(chǔ)題.

19.（5分）（2022?梅州二模）己知某班數(shù)學(xué)建模興趣小組有4名男生和3名女生，從中任

選3人參加該校的數(shù)學(xué)建模比賽，則恰有1名女生被選到的概率是—四—

-35-

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法：概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出從4名男生3名女生中選3人的所有選法，然后求出恰有1名女生被選到

的選法，結(jié)合等可能事件概率公式即可求解.

【解答】解：從4名男生3名女生中選3人的所有選法共有C申=35種選法，

恰有1名女生被選到的情況有CgCj=I8種選法，

所以恰有1名女生被選到的概率P=型?，

35

故答案為：歿.

35

【點(diǎn)評(píng)】本潁主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式是關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

20.（5分）（2022?寧河區(qū)校級(jí)模擬）袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球共4個(gè)球，現(xiàn)有一個(gè)游戲：

從袋中任取2個(gè)球，兩個(gè)球顏色恰好相同則獲獎(jiǎng)，否則不獲獎(jiǎng).則獲獎(jiǎng)的概率是_工_；

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