中考數(shù)學一輪復習考點（精講精練）復習專題26 特殊三角形（原卷版）

專題26專題26特殊三角形知識導航知識導航知識精講知識精講考點1：等腰三角形的性質與判定1．定義:兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質:①等腰三角形的兩腰相等;②等腰三角形的兩底角相等，即“等邊對等角”;③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，即“三線合一”;④等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，對稱軸是底邊的垂直平分線.

3．判定:①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;②有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對等邊”.【例1】如圖，在SKIPIF1<0的正方形網格中有兩個格點A、B，連接SKIPIF1<0，在網格中再找一個格點C，使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【例2】如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，連結AP，則SKIPIF1<0的度數(shù)是_______．針對訓練針對訓練1．如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD＝5，則CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．32．等腰三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個等腰三角形的周長是．3．如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，SKIPIF1<0，將邊SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0旋轉到SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度數(shù)．考點2：等邊三角形的性質與判定1．定義:三邊相等的三角形是等邊三角形.2．性質:①等邊三角形的三邊相等,三角相等,且都等于60°;②“三線合一”;③等邊三角形是軸對稱圖形,有三條對稱軸.

3．判定:①三條邊都相等的三角形是等邊三角形;②三個角都相等的三角形是等邊三角形;③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

【例3】如圖，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，點E是AC的中點，且SKIPIF1<0（1）尺規(guī)作圖：作SKIPIF1<0的平分線AF，交CD于點F，連結EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為等邊三角形．方法技巧方法技巧（1）等邊三角形與全等三角形的結合運用;（2）等邊三角形與含30°角的直角三角形的結合運用.針對訓練針對訓練1．在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一點，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：SKIPIF1<0；（2）如圖3，當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且SKIPIF1<0，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉60°得到線段EP，連接FP，當SKIPIF1<0最小時，直接寫出SKIPIF1<0的面積．2．在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．（1）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖1，求SKIPIF1<0的長；（2）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，E是邊SKIPIF1<0上的一個動點，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經過的路徑長；（3）SKIPIF1<0是邊長為3的等邊三角形，M是高SKIPIF1<0上的一個動點，小亮以SKIPIF1<0為邊作等邊三角形SKIPIF1<0，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經過的路徑長；（4）正方形SKIPIF1<0的邊長為3，E是邊SKIPIF1<0上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形SKIPIF1<0，其中點F、G都在直線SKIPIF1<0上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經過的路徑長為______，點G所經過的路徑長為______．考點3：直角三角形的性質1．性質:①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.2．判定:有一個角是直角的三角形是直角三角形.

【例4】如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為．針對訓練針對訓練1．如圖，已知點SKIPIF1<0是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作、延長線的垂線，垂足分別為點、．若，，則的值為（）A． B． C．2 D．考點4：勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;②勾股定理的逆定理:若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形.【例5】《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（示意圖如圖，則水深為尺．方法技巧方法技巧（1）已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長.（2）已知直角三角形的一邊長，求另兩邊長的關系.（3）用于證明平方關系的問題.針對訓練針對訓練1．如圖，，，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點B，則點B的坐標為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點都在同一個圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是（）A． B． C． D．專題26特殊三角形考點1：等腰三角形的性質與判定1．如圖．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．2．如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______（用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示）．3．將一張圓形紙片（圓心為點O）沿直徑SKIPIF1<0對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線SKIPIF1<0剪開，再將SKIPIF1<0展開得到如圖3的一個六角星．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為______．4．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0；交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．5．如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于點O．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）判斷△BOC的形狀，并說明理由．考點2：等邊三角形的性質與判定6．）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，P為AB邊上一動點，過點P作SKIPIF1<0的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為________．7．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點．分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是．8．如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP．求證：△ABQ≌△CAP；（2）如圖1，當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；（3）如圖2，當點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．考點3：直角三角形的性質9．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．（1）求證：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數(shù)．10．小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的