不等式高級水平必備

第1頁高級水平必備Ch伯努利不等式Ch等式Ch等式Ch西不等式Ch5.切比雪夫不等式Ch序不等式Ch生不等式Ch波波維奇亞不等式Ch等式Ch赫爾德不等式Ch11.閔可夫斯基不等式Ch不等式Ch.麥克勞林不等式Ch不等式ChCh繆爾海德不等式Ch.卡拉瑪塔不等式Ch單調(diào)函數(shù)不等式Ch20.3個對稱變量pqr法Ch22.ABC法Ch23.SOS法Ch24.SMV法Ch25.拉格朗日乘數(shù)法Ch三角不等式第2頁\n\n)Ch伯努利不等式 (1)式為伯努利不等式. xCh等式⑴Qn=，為平方平均數(shù)，簡稱平方均值；An術(shù)平均數(shù)，簡稱算術(shù)均值；⑶Gn=na1a2...an，為幾何平均數(shù)，簡稱幾何均值；⑷Hn=，為調(diào)和平均數(shù)，簡稱調(diào)和均值.iffa1=a2=...=an時，等號成立.(注：iff=ifandonlyif當(dāng)且僅當(dāng).)(3)式稱為均值不等式.Ch等式r1Mr(a)=||(4)Mr(a)=||(4)(4)式的Mr(a)稱為冪平均函數(shù).Mr(a)共Ms(a)(5)(5)式稱為冪平均不等式，簡稱冪均不等式.第3頁1M(a)=(m1a1r+m2a2r+...+mnanr)r(6)(6)式稱為加權(quán)冪平均函數(shù).3.4若a=(a1,a2,...,an)為正實(shí)數(shù)序列，且實(shí)數(shù)r0，對M(a)則：M(a)M(a)11即：(m1a1r+m2a2r+...+mnanr)r(m1a1s+m2a2s+...+mnans)s(7)(7)式稱為加權(quán)冪平均不等式，簡稱加權(quán)冪均不等式.Ch西不等式(a12+a22+...+an2)(b12+b22+...+bn2)>(a1b1+a2b2+...+anbn)2(8)iff==...=時，等號成立.(注：iff=ifandonlyif當(dāng)且僅當(dāng).)(8)式為柯西不等式.4.2柯西不等式還可以表示為：a12+a22+...+a12+a22+...+an2b12+b22+...+bn2a1b1+a2b2+...+anbn2nnn簡稱：“平方均值兩乘積，大于積均值平方”ab+ab+...+abab+ab+...+ab，記：Dn=1122nn1122nnn則：[Qn(a)]2[Qn(b)]2>[Dn(ab)]4，即：Qn(a)Qn(b)>Dn(ab)(10)iff==...=時，等號成立.(11)式是柯西不等式的推論，稱權(quán)方和不等式.n(a1+a2+...+an)2+(b1+b2+...+bn)2(a1+a2+...+an)2+(b1+b2+...+bn)2(12)1122...nniff==...=時，等號成立.第4頁(b+c)+(c+a)+(a+b)>33(ab+bc+ca)(13)Ch5.切比雪夫不等式5.1若a1a2 an；b1b2...bn，且均為實(shí)數(shù).則： iffa1=a2=...=an或b1=b2=...=bn時，等號成立.(12)式為切比雪夫不等式.所以使用時，常采用WLOGa1a2...an……OfGenerality5.2切比雪夫不等式常常表示為：(12...n)(12...n)(1122...nn)(15)a+(12...n)(12...n)(1122...nn)(15)nnn簡稱：“切比雪夫同調(diào)數(shù)，均值積小積均值”.即：對切比雪夫不等式采用同單調(diào)性的兩個序列表示時，兩個序列數(shù)的均值之積不大于兩個序列數(shù)各積之均值.則：An(a)An(b)[Dn(ab)]2即：Dn(ab)(16)Ch序不等式都有下列不等式：a1b1+a2b2+...+anbn>x1b1+x2b2+...+xnbn>anb1+an1b2+...+a1bn(17)(17)式稱排序不等式(也稱重排不等式).x1b1+x2b2+...+xnbn稱亂序和.故(17)式可記為：正序和>亂序和>反序和(18)22212n1122nna+a+...+a22212n1122nn(19)Ch生不等式義凸函數(shù)：對一切x,y=[a,b]，=(0,1)，若函數(shù)f:[a,b]R是向下凸函數(shù)，則：第5頁f(x+(1-)y)共f(x)+(1-)f(y)(20)(20)式是向下凸函數(shù)的定義式.注：f:[a,b])R表示區(qū)間[a,b]和函數(shù)f(x)在[a,b]區(qū)間都是實(shí)數(shù).7.2若f:(a,b))R對任意x=(a,b)，存在二次導(dǎo)數(shù)f''(x)>0，則f(x)在(a,b)區(qū)間為向iffxab，若f''(x)>0，則f(x)在(a,b)區(qū)間為嚴(yán)格向下凸函數(shù).w (21)式就是加權(quán)的琴生不等式.簡稱：“對于向下凸函數(shù)，均值的函數(shù)值不大于函數(shù)的均值”.Ch波波維奇亞不等式8.1若f:[a,b])R是一個在[a,b]區(qū)間的向下凸函數(shù)，則對一切x,y,z=[a,b]，有：(22)式就是波波維奇亞不等式.8.2波波維奇亞不等式可以寫成：簡稱：“對于向下凸函數(shù)的三點(diǎn)情況，三點(diǎn)均值的函數(shù)與函數(shù)的均值之平均值，不小于均值的函數(shù)值之平均值”.(24)式是普遍的波波維奇亞不等式.第6頁f(x)+f(y)+f(z)+3f()>2[f()+f()+f()]即：f()+>[f()+f()+f()](25)(25)式正是(22)式.Ch等式a11a22...anna11+a22+...+ann(26)(26)式就是加權(quán)的均值不等式，簡稱加權(quán)不等式.(26)式形式直接理解為：幾何均值不大于算術(shù)均值.Ch赫爾德不等式10.1若實(shí)數(shù)a,b>0，實(shí)數(shù)p,q>1且+=1，則：ab+(27)iffap=bq時，等號成立.(27)式稱為楊氏不等式.pq1a1b1+a2b2+...+anbn(a1p+a2p+...+anp)p(b1q+b2q+...+bnq)q(28)式稱為赫爾德不等式.iff==...=時，等號成立.10.3赫爾德不等式還可以寫成：()()(28)(29)即：[Dn(ab)]2Mp(a)Mq(b)，即：Mp(a)Mq(b)>Dn(ab)(30)簡稱：“冪均值的幾何均值不小于積均值”.(注：赫爾德與切比雪夫的不同點(diǎn)：赫爾德要求是+=1，切比雪夫要求是同調(diào)；赫爾德的積均值小，切比雪夫的積均值大.)第7頁11(31)式稱為加權(quán)赫爾德不等式.i=1j=1j=1i=1(32)式稱為普遍的赫爾德不等式.簡稱：“立方和的乘積不小于乘積和的立方”.(33)111((ai+bi)p)p共(aip)p+(bip)p(34)ii=1i=1(34)式稱為第一閔可夫斯基不等式.1(35)(35)式稱為第二閔可夫斯基不等式.111((ai+bi)pmi)p共(aipmi)p+(bipmi)p(36)ii=1i=1(36)式稱為第三閔可夫斯基不等式.Ch不等式 P(x)=(x+a1)(x+a2) (x+an)=c0xn+c1xn1+...+cn1x+cn(37)c0=1；c2=a1a2+a1a3+...+an1an=aiaj；(i<jn)c3=aiajak；(i<j<kn)n12n.cn12n.k=1,2,...,n，我們定義pk==ck(38)則(37)式類似于二項(xiàng)式定理，系數(shù)為：ck=Cknpk.pk1pk+1pk2(39)iffa1=a2=...=ak時，等號成立.(39)式稱為牛頓不等式.Ch.麥克勞林不等式111p1>p22>...>pkk...>pnn(40)iffa1=a2=...=ak時，等號成立.(40)稱麥克勞林不等式.記：F(x1,x2,...,xn)=x11x22...xnn；故：T[1,0,0]=(31)!.(x1y0z0+y1x0z0+z1y0x0)=2(x+y+z).第8頁第9頁T21)!.(x1y1)=2xy.故：T[1,2]=(21)!.(x1y2+y1x2)=xy2+x2y.故：T[1,2,1]=2(xy2z+x2yz+xyz2).故：T[2,1,0]=x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y.故：T[3,0,0]=2(x3+y3+z3).故：T[a,b,c]=xaybzc+xayczb+xbycza+xbyazc+xcyazb+xcybza.TbacCh不等式(41)式稱為舒爾不等式.Txy+xy++y+z+yz++xz++x+z第10頁>x+y+xy++y+z+yz++xz++x+zxyxyyzyz+xz+x+z>0式與(41)式等價，稱為舒爾不等式.xyztR，則：xt(xy)(xz)+yt(yz)(yx)+zt(zx)(zy)>0(43)iffx=y=z或x=y,z=0及輪換，等號成立.TtTt1]>2T[t+1,1,0](44)(43)式是我們最常見的舒爾不等式形式.a(xy)(xz)+b(yz)(yx)+c(zx)(zy)>0(45)15.5推論：設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z>0，則：3xyz+x3+y3+z3>2[(xy)2+(yz)2+(zx)2](46)2(3k)+k(abc)k+a2+b2+c2>2(ab+bc+ca)(47)Ch第11頁注：這里的序列只有定性的比較，沒有定量的比較.Ch繆爾海德不等式T[i]T[i](48)iff(i)=(i)或x1=x2=...=xn時，等號成立.(48)式就繆爾海德不等式.若實(shí)數(shù)a1>a2>a3>0，實(shí)數(shù)b1>b2>b3>0，且滿足a1>b1，a1+a2>b1+b2，a1+a2+a3=b1+b2+b3；設(shè)x,y,z>0，則：滿足序列(b1,b2,b3)<(a1,a2,a3)條件，則：T[b1,b2,b3]=xb1yb2zb3+xb1yb3zb2+xb2yb1zb3+xb2yb3zb1+xb3yb1zb2+xb3yb2zb1T[a1,a2,a3]=xa1ya2za3+xa1ya3za2+xa2ya1za3+xa2ya3za1+xa3ya1za2+xa3ya2za1即(48)式為：T[b1,b2,b3]T[a1,a2,a3]用通俗的方法表達(dá)即：xa1ya2za3>xb1yb2zb3(49)symsym(49)式就繆爾海德不等式的常用形式.TT3,1,1]①T[2,2,1]=2(x2y2z+x2yz2+xy2z2)②T[3,1,1]=2(x3yz+xy3z+xyz3)③將②③代入①得：x2y2z+x2yz2+xy2z2x3yz+xy3z+xyz3即：xy+yz+zxx2+y2+z2④由柯西不等式：(x2+y2+z2)(y2+z2+x2)>(xy+yz+zx)2即：(x2+y2+z2)2>(xy+yz+zx)2即：x2+y2+z2>xy+yz+zx⑤⑤式④式等價，這就證明了④式是成立的，而繆爾海德不等式直接得到①式是成立第12頁.T2,0,0]>T[1,1,0]來表示，這正是繆爾海德不等式的(48)式.Ch.卡拉瑪塔不等式18.1設(shè)在實(shí)數(shù)區(qū)間IR的函數(shù)f為向下凸函數(shù)，且當(dāng)ai,biI(i=1,2,...,n)兩個序列(ai)1和(bi)1滿足(ai)>(bi)，則：f(a1)+f(a2)+...+f(an)>f(b1)+f(b2)+...+f(bn)(50)(50)式稱為卡拉瑪塔不等式.若函數(shù)f為嚴(yán)格向下凸函數(shù)，即不等取等號，(ai)(bi)，且(ai)>(bi)，則：f(a1)+f(a2)+...+f(an)>f(b1)+f(b2)+...+f(bn)(51)若函數(shù)f為嚴(yán)格向上凸函數(shù)，則卡拉瑪塔不等式反向.Ch單調(diào)函數(shù)不等式19.1若實(shí)數(shù)函數(shù)f:(a,b)R在區(qū)間(a,b)對一切x,y(a,b)為單調(diào)增函數(shù)，則當(dāng)x>y時，有f(x)>f(y)；若f在區(qū)間(a,b)對一切x,y(a,b)為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x>y時，有f(x)>f(y).19.2若實(shí)數(shù)函數(shù)f:(a,b)R在區(qū)間(a,b)對一切x,y(a,b)為單調(diào)減函數(shù)，則當(dāng)x>y時，有f(x)f(y)；若f在區(qū)間(a,b)對一切x,y(a,b)為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)x>y時，有f(x)<f(y).f在區(qū)間(a,b)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)對一切x(a,b)，f'(x)0，則f在區(qū)間(a,b)為單調(diào)遞減函數(shù).19.4設(shè)兩個函數(shù)f:[a,b]R和g:[a,b]R滿足下列條件：⑴函數(shù)f和g在[a,b]區(qū)間是連續(xù)的，且f(a)=g(a)；⑵函數(shù)f和g在[a,b]區(qū)間可導(dǎo)；⑶導(dǎo)數(shù)f'(x)>g'(x)對一切x(a,b)成立，則對一切x(a,b)有：f(x)>g(x)(52)(52)式就是單調(diào)函數(shù)不等式.20.1設(shè)x,y,zR+，對于具有變量對稱形式的不等式，采用下列變量代換：p=x+y+z；q=xy+yz+zx；r=xyz，則p,q,rR+.代換后的不等式f(p,q,r)，很容易看出其滿足的不等式關(guān)系，這樣證明不等式的方法稱為pqr法.20.2常用的代換如下：⑴x2=p22qcyc⑵x3=p(p23q)+3rcyc⑶x2y2=q22prcyc⑷(x+y)(y+z)(z+x)=pqr⑸(x+y)(y+z)=p2+qcyc⑹xy(x+y)=pq3rcyc⑺(1+x)(1+y)(1+z)=1+p+q+r⑻(1+x)(1+y)=3+2p+qcyc⑼x2(y+z)=xy(x+y)=pq3rcyccyc20.3常用的pqr法的不等式若x,y,z>0，則：⑴p3+qr>4pq⑵pq>9r⑶p2>3q⑷p3>27r⑸q3>27r2⑹q2>3pr⑺2p3+9r>7pq⑻2p3+9r2>7pqr⑼p2q+3pr>4q2第13頁第14頁abcR量代換：上述變換強(qiáng)烈含有“平均”的意味：w(53)式稱為傻瓜不等式.即：“算術(shù)平均值”≥“積均值”≥“幾何平均值”.(54)式稱為正值定理.Ch22.ABC法22.1ABC法即AbstractConcretenessMethod則函數(shù)f(x,y,z)變換為f(r,q,p).這與Ch20.3個對稱變量pqr法類似.值.23.1SOS法即SumOfSquares23.2本法的全部思想是將給出的不等式改寫成以下形式：第15頁23.3常用的形式cyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccyccycCh24.SMV法24.1SMV法即StrongMixingVariablesMethod24.2設(shè)(x1,x2,...,xn)為任意實(shí)數(shù)序列，ijn}使xi=min{x1,x2,...,xn}，xj=max{x1,x2,...,xn}；jxixj，經(jīng)過多次代換后各項(xiàng)xi(i=1,2,...,n)都趨于相同的nF是一個對稱的連續(xù)函數(shù)，滿足F(a1,a2,...,an)>F(b1,b2,...,bn)(56)第16頁22例題說明解析：采用SMV法.設(shè)：f(a,b,c)=++①則：f(t,t,c)=++=+②fttc=由(56)式得：f(a,b,c)>f(t,t,c)>證畢.Ch25.拉格朗日乘數(shù)法25.1設(shè)函數(shù)f(x1,x2,...,xn)在實(shí)數(shù)空間的I=R連續(xù)可導(dǎo)，且gi(x1,x2,...,xn)=0，其中(ikkfxxxn在I區(qū)間的邊界或偏導(dǎo)數(shù)(函數(shù)導(dǎo)數(shù)(函數(shù)為L=f入igi)全部為零的點(diǎn)上.i=1i這就是拉格朗日乘數(shù)法.Ch三角不等式.cossinsinsin；第17頁⑷coscoscos；scos+cos+cos；⑿coscoscos；⒀sin2+sin2+sin2>；⒁cos2+cos2+cos2； 111n第18頁abnN(1+)n+(1+)n>2n+1.xxxnRxx...+xn2=1，若n=N，n>2，求f(x1,x2,...,xn)=++...+27.10設(shè)a,b,c=R，求證：a2+(1b)2+b2+(1c)2+c2+(1a)2>.abcabc，求證：6(a3+b3+c3)+1>5(a2+b2+c2).27.13設(shè)a,b,c>0，且a+b+c=2，求證：a4+b4+c4+abc>a3+b3+c3.27.14設(shè)a,b,c>0，求證：8(a3+b3+c3)>(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3.27.15設(shè)a,b,c>0，求證：a3+b3+c3+abc>(a+b+c)3.7.16設(shè)a,b,c>0，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2+3abc>.cdabc+bcd+cda+dab+(abc)2+(bcd)2+(cda)2+(dab)28.27.20設(shè)a,b,c>0，且a2+b2+c2=3，求證：a2b2+b2c2+c2d2a+b+c.27.21設(shè)a,b,c=R，求證：3(a2ab+b2)(b2bc+c2)(c2ca+a2)>a3b3+b3c3+c3a3.27.22設(shè)a,b,c,d>0，且a+b+c+d+abcd=5，求證：+++>4.第19頁x2x3x1.(1x2x3x1.(1x1)x2(1x2)x3...(1xn)x12nx1x2...xn2nab(a2b2)bc(b2c2)ca(c2a2)M(a2b2c2)2abcabc3，求證：(a2bb2cc2a)(abbcca)9. 11127.1設(shè)x1,x2,...,xn(0,1]，求證：(1x1)x2(1x2)x3...(1xn)x12n.iffxi0或i1時，①式等號成立.iffixi1時，②式等號成立.iffixi1ixi)xi12④1111則：(1x1)x22；(1x2)x32；…；(1xn)x12.上面各式相乘得： 111畢.27.2設(shè)x1,x2,...,xn0，且x1x2...xn，求證：(1x1)(1x2)...(1xn).yixiyi第20頁畢.nnnbcc④432012344320123422c第21頁第22頁解析：不等式左邊=+++++不等式右邊=a+b+c=++則不等式其實(shí)就是：++>++①bcacab即：>>③則有排序不等式(18)：++>++其中，++為正序和；++為亂序和.iffa=b=c時，等號成立.證畢.ab>0，nN證：(1+)n+(1+)n>2n+1.當(dāng)n>2時，構(gòu)建函數(shù)f(x)=xn.則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=nxn1；二次導(dǎo)數(shù)f''(x)=n(n1)xn2>0，故在x>0時函數(shù)為向下凸函數(shù).將f(x1)=(1+)n，f(x2)=(1+)n，fn(+)]n>2n第23頁x++xn1...n44帶入①式得：(1+)n(1+)n>2n，即：(1+)n+(1x++xn1...n44即n=N時，(1+)n+(1+)n>2n+1成立.證畢.f(x1,x2,...,xn)=++...+n解析：記S=xi，(i=1,2,...,n).ni=1i則f(x1,x2,...,xn)=++...+①WLOG假設(shè)x1>x2>...>xn，則x14>x24>...>xn4②SxiSxkxixkxkxk同單調(diào)性.④代入④式得：(x14+...+xn4)(+...+)n(x14.+...+xn4.)>1...n=nn第24頁x+xn>n.x+xn>n.n=n.n=n⑨ ⑥故g(x)為向下凸函數(shù).ng()⑧nn將⑥和⑨式代入⑤式得：xacosybsincossin的tanAtanBtanCtanAtanBtanC條件.第25頁帶入不等式左邊得：=cosA+cosB+cosC②構(gòu)建函數(shù)f(x)=cosx，則在x=(0,)區(qū)間函數(shù)f(x)為向下凸函數(shù)，數(shù)值的均值不小于均值的函數(shù)值.f(1x1+2x2+...+nxn)1f(x1)+2f(x2)+...+nf(xn)③當(dāng)加權(quán)1=2=...=n=時，③式變?yōu)椋篺(x1)+f(x2)+...+f(xn)>f(x1+x2+...+xn)nn即：cosA+cosB+cosC⑤將⑤式帶入②式得：++.證畢.32c2+(1a)2>.227.10設(shè)a,b,c=R，求證：a2+(1b)2+b2+32c2+(1a)2>.2(a12+...+an2(a12+...+an2)+(b12+...+bn2)a2+b2>11nnc2+(1a)2則：a2+(1b)2+b2+(1c2+(1a)2 a2+(1b)2+(1b)2+a2+b2+(1c)2+(1c)2+b22+c2+(1a)2+(1a)2+c2222223223==22.解析：對赫爾德不等式(32)：m(aijj)(maij)j(32)i=1j=1j=1i=11111(a11a12a13a14)4+(a21a22a23a24)4+(a31a32a33a34)4+(a41a42a43a44)411111>[(a11a12a13a14)4+(a21a22a23a24)4+(a31a32a33a34)4+(a41a42a43a44)4]4①代入①式得：1111②式就是赫爾德不等式.cb第26頁第27頁將②式代入上式得：(1+a2)2(1+b2)2(1+c2)2(1+ac+bc+ab)4開方出來即：(1+a2)(1+b2)(1+c2)(1+ac+bc+ab)2③iffa=b=c=1時等號成立.證畢.abcabc，求證：6(a3+b3+c3)+1>5(a2+b2+c2).解析：采用pqr法.在20.2常用的代換如下：⑴x2=p22q；⑵x3=p(p23q)+3rcyccyc則：a2+b2+c2=p22q；a3+b3+c3=p(p23q)+3r=13q+3r于是，待證式變?yōu)椋?(13q+3r)+1>5(p22q)即：28q+18r>0，即：14q+9r>0，即：p34pq+9r>0①在20.3常用的pqr法的不等式⑴p3+qr>4pq，即：p34pq+9r>0故：①式成立，即待證式成立.證畢.27.13設(shè)a,b,c>0，且a+b+c=2，求證：a4+b4+c4+abc>a3+b3+c3.解析：由舒爾不等式(43)：xt(xy)(xz)+yt(yz)(yx)+zt(zx)(zy)>0①即：xt(x2xyxz+yz)+yt(y2yzxy+zx)+zt(z2zxyz+xy)>0即：xt(x2+yz)+yt(y2+zx)+zt(z2+xy)>xt+1(y+z)+yt+1(z+x)+zt+1(x+y)即：xt+2+xtyz+yt+2+xytz+zt+2+xyzt>xt+1(y+z)+yt+1(z+x)+zt+1(x+y)即：xt+2+yt+2+zt+2+(xt1+yt1+zt1)xyz>xt+1(y+z)+yt+1(z+x)+zt+1(x+y) ：第28頁2(xt+2+yt+2+zt+2)+(xt1+yt1+zt1)xyz>(xt+1+yt+1+zt+1)(x+y+z)②②式就是舒爾不等式.設(shè)t=2，代入②式得：2(x4+y4+z4)+(x+y+z)xyz>(x3+y3+z3)(x+y+z)將a+b+c=2代入上式得：2(x4+y4+z4)+2xyz>2(x3+y3+z3)即：a4+b4+c4+abc>a3+b3+c3③③式就是我們要證明的不等式.證畢.27.14設(shè)a,b,c>0，求證：8(a3+b3+c3)>(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3.解析：待證式化為：8(a3+b3+c3)>2(a3+b3+c3)+3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)即：2(a3+b3+c3)>a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2①解析1：繆爾海德不等式(48)：T[i]T[i](48)iff(i)=(i)或x1=x2=...=xn時，等號成立.由于T[3,0,0]=2(a3+b3+c3)，T[2,1,0]=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2滿足繆爾海德不等式的條件，即：(b1,b2,b3)=(2,1,0)，(a1,a2,a3)=(3,0,0)，故滿足序列(b1,b2,b3)<(a1,a2,a3).解析2：采用pqr法.在20.2常用的代換如下：⑵x3=p(p23q)+3r，⑼x2(y+z)=xy(x+y)=pq3rcyccyccyc即①式等價于：2x3>x2(y+z)cyccyc即：2[p(p23q)+3r]>pq3r，即：2p36pq+6r>pq3r即：2p3+9r>7pq②②式是與①式等價的.在20.3常用的pqr法的不等式：⑺2p3+9r>7pq是成立的，故②式成立.證畢.解析3：采用琴生不等式.構(gòu)建函數(shù)f(x)=x3③第29頁則f(x)為向下凸函數(shù).采用琴生不等式(21)式：>f()上面三式相加得：f(a)+f(b)+f(c)>f()+f()+f()④將③帶入④得：a3+b3+c3>()3+()3+()3即：8(a3+b3+c3)>(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3.證畢.27.15設(shè)a,b,c>0，求證：a3+b3+c3+abc>(a+b+c)3.解析：待證式：7(a3+b3+c3)+7abc>(a+b+c)3①即：7a3+7abc>(a+b+c)3=a3+3a2b+6abccyccycsym即：6a3+abc>3a2b，即：2a3+abc>a2b②cycsymcycsym由排序不等式(17)得：2a3>a2bcycsym所以：2a3+abc>2a3>a2bcyccycsym②式得證.證畢.abc>0，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2+3abc>.解析：待證式：9(a2+b2+c2)+27abc>4①將①式齊次化：9(a2+b2+c2)(a+b+c)+27abc>4(a+b+c)3②②式：(a2+b2+c2)(a+b+c)=a3+ab2+ac2+a2b+b3+bc2+ca2+b2c+c3=a3+b3+c3+ab2+ac2+a2b+bc2+ca2+b2c=a3+a2b③cycsym第30頁abc)3=xa3+3xa2b+6abc④cycsym將③④式代入②式：即待證式為：5xa3+3abc>3xa2b⑤cycsym由舒爾不等式(43)：a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)>0即：xa3+3abc>xa2b⑥cycsym由繆爾海德不等式(47)：xxa1ya2za3>xxb1yb2zb3(49)symsym?。?(a3b0c0+a0b3c0+a0b0c3)即：2xa3>xa2b⑦cycsym由⑥+2×⑦兩式相加得：5xa3+3abc>3xa2b⑧cycsym舒爾不等式和繆爾海德不等式相加得到的結(jié)果，而⑧式就是待證式⑤，這證明，⑤式即①式是成立的.證畢.exexexnexxexxexnx)因?yàn)榇C式兩邊都是正數(shù)，所以取對數(shù)后為：x①第31頁WLOG，假設(shè)2x1x2>2x2x3>...>2xnx1，且x1>x2>...>xn②設(shè)xn+1=x1，則：n(2xkxk+1)=2nxknxk=nxk③k=1k=1k=1k=1而且2xkxk+1=xk+(xkxk+1)>xk(k=1,2,...,n，)④Ch6.定義序列，則：(xk)=1就是(2xkxk+1)=1的優(yōu)化值，于是序列(xk)<(2xkxk+1)⑤構(gòu)建函數(shù)：f(x)=ln(1+ex)⑥函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：f'(x)=，其二次導(dǎo)函數(shù)為：f''(x)=>0⑦由⑦式，函數(shù)f(x)=ln(1+ex)是向下凸函數(shù)，對于兩個序列(xk)和(2xkxk+1)由卡拉瑪塔不等式(50)得：f(x1)+f(x2)+...+f(xn)f(2x1x2)+f(2x2x3)+...+f(2xnx1)⑧將⑥帶入⑧得：ln(1+ex1)+...+ln(1+exn)ln(1+e2x1x2)+...+ln(1+e2xnx1)而這正是待證式①式.證畢.解析：先介紹一個不等式：①①證明如下：+=② 111[(1+x)2+(1+y)2](1+xy)(1+x)2(1+y+=②(1+x)2(1+y)21+xy(1+x)2(1+y)2(1+xy)②式得分子為：[2+2(x+y)+(x2+y2)](1+xy)(1+2x+x2)(1+2y+y2)=[2+2(x+y)+(x2+y2)]+[2xy+2xy(x+y)+xy(x2+y2)][(1+2x+x2)+2y(1+2x+x2)+y2(1+2x+x2)]=[2+2x+2y+x2+y2+2xy+2x2y+2xy2+x3y+xy3][1+2x+x2+2y+4xy+2x2y+y2+2xy2+x2y2]第32頁=12xy+x3y+xy3x2y2=(12xy+x2y2)+(x3y+xy32x2y2)=(1xy)2+xy(x2+y22xy)=(1xy)2+xy(xy)2>0帶入②式得：+>0，則：①式成立.而：+=+=+=1④故由③④：+++>+=1iffa=b=c=d=1時等號成立.證畢.abc+bcd+cda+dab+(abc)2+(bcd)2+(cda)2+(dab)28.解析：采用SMV法⑴設(shè)：f(a,b,c,d)=abc+bcd+cda+dab+(abc)2+(bcd)2+(cda)2+(dab)2ttf(t,t,t,d)=t3+t2d+t2d+t2d+t6+t4d2+t4d2+t4d2=t3+3t2(43t)+t6+3t4(43t)2=t3+12t29t3+t6+3t4(1624t+9t2)=12t28t3+t6+48t472t5+27t6=4(7t618t5+12t42t3+3t2)①⑵采用導(dǎo)數(shù)法求①的極值點(diǎn).由①式的導(dǎo)數(shù)為零得：42t590t4+48t36t2+6t=0即：t(7t415t3+8t2t+1)=0即：t(7t47t38t3+8t2t+1)=0即：t(t1)(7t38t21)=0②其中，7t38t21=0③采用盛金公式求③式得.cdAbac64，B=bc9ad=63，C=c23bd=24判別式：=B24AC=632+4.64.24=101130Y1=Ab+Y1=Ab+3a.=117.5841653；2Y=Ab+3Y=Ab+3a.=222941583522..2③式得實(shí)數(shù)解為：t3==1.236320209.代入①式得到這些極值點(diǎn)的函數(shù)值：ftftf(t3)=7.38889在邊界點(diǎn)的函數(shù)值為：f(0)=0；f()=()3+()6=7.989023063故：f(t,t,t,d)8④⑶由于f(t,t,t,d)f(a,b,c,d)=[()3abc]+d[3()2(ab+bc+ca)]+[()6(abc)2]+d[3()4(a2b2+b2c2+c2a2)]>0即：f(t,t,t,d)>f(a,b,c,d)⑤由(a+b+c)2>3(ab+bc+ca)得到：3()2(ab+bc+ca)>0；由琴生不等式得到：3()4(a2b2+b2c2+c2a2)>0⑥⑷構(gòu)建函數(shù)g(x)=x4顯然g(x)=x4為向下凸函數(shù)，故函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值.第33頁第34頁[()4+()4+()4]⑦代入⑦式得：()4>[a2b2+b2c2+c2a2]ca⑸故由④⑤式：f(a,b,c,d)f(t,t,t,d)8.bc解析：采用SMV法.第35頁(b-c)2(b+c)2(b-c)2=-=-③③f(a,b,c)-f(a,t,t)>(b-c)2[-]即：f(a,b,c)>f(a,t,t)④fatt即可.aaaa=-4(3-a)+2(3-a2=-3(a-1)2(a+1)2(3-a)2-2(3-a2)=-(3-a)=-3(a-1)2(a+1)23a2-6a+3=-=-=(a-1)2(a+1)2-⑤444 第36頁222k2kc+3c代入⑤式得：f(a,t,t)>0，即：f(a,b,c)>f222k2kc+3c即：a2b2+b2c2+c2d2a+b+c.證畢.27.21設(shè)a,b,cR，求證：3(a2ab+b2)(b2bc+c2)(c2ca+a2)>a3b3+b3c3+c3a3.解析：不等式即：3(a2ab+b2)(b2bc+c2)(c2ca+a2)a3b3b3c3c3a3>0設(shè)：f(a,b,c)=3(a2ab+b2)(b2bc+c2)(c2ca+a2)a3b3b3c3c3a3①abkck用SOS法.即若=g(k,c)，則可采用SOS法.⑴f(k,k,c)=3k2(k2kc+c2)2k62k3c3=3k2(k4+k2c2+c42k3c+2k2c22kc3)k62k3c3=k2(3k4+3k2c2+3c46k3c+6k2c26kc3k42kc3)=k2(2k46k3c+9k2c28kc3+3c4)②⑵采用長除法分解因式2k46k3c+9k2c28kc3+3c4(k22kc+c2)2k46k3c+9k2c28kc3+3c4)2k44k3c+2k2c232232kc+7kc322332232kc+4kc32232234+3kc6kc2234+3kc6kc+3c2234故：2k46k3c+9k2c28kc3+3c4=(ck)2(2k22kc+3c2)③S⑶采用SOS法，就是將不等式改寫成：g(a,b,c)=Sa(bc)2+Sb(ca)2+Sc(ab)2④第37頁將①式展開化簡后得：f(a,b,c)=3(a4b2+a2b4)4a3b33a4bc+3a2b2c2⑤cyccyccycf(a,b,c)=[2c4+4a2b2abc(a+b+c)](ab)2⑥⑷根據(jù)SOS法Sc=