中考數(shù)學復(fù)習策略（全國通用）3 截長補短模型

第03講截長補短模型

【應(yīng)對方法與策略】

條件或結(jié)論中出現(xiàn)於A=C時，用截長補短.

1、補短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證

中那一條線段相等；

2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與

線段中的另一段相等。

3、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使

之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是

常用.

.1BCD

9E9F圖1

9EtF圖2

9A9H圖3

如圖1,若證明線段AByCD,砂之間存在於4班⑶,可以考慮截長補短法.

截長法：如圖2,在用上截取上47,在證明汜切即可；

補短法：如圖3,延長47至〃點，使叱勿再證明］履砂即可.

【多題一解】

1.（2021?內(nèi)蒙古?呼和浩特市敬業(yè)學校九年級期中）如圖，在正方形ABS中，AB=2,點M為正方形

ABC。的邊C。上的動點（與點C,。重合）連接8M,作MFLBM,與正方形ABe。的外角E的平

分線交點/，設(shè)CM=X,的面積為y,求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

EDM

［答案］y=~^χ2+λ

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到NMZw=90。+45。=135。，在BC上截取C"=C",連

接證明AβHM二ZiMDE即可得解；

【詳解】???四邊形ABCQ是正方形，

o

：.CD=BCfZC=ZCΩA=90=ZADE,

TDb平分NA￡）七，

???NAoF=JZADE=45。，

2

???ZMDF=90o+45o=135o,

在3C上截取C"=CM,連接

則aMCH是等腰直角三角形，BH=MD,

：.4cHM=NCMH=45°,

???NBHM=I35。,

ΛZl+ZWMB=45o,ZBHM=ZMDF,

,

?MFLBM9

：.NFMB=90。,

：.N2+NBMH=45。,

：.Z1=Z2,

在LBHM和∕?MDF中，

'Z1=Z2

<BH=MD,

ZBHM=ZMDF

：?Z?BHM≡LMDF,

：.BH=MD=2-x,

.?.y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=gχ(2-X)=-gd+χ.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖像，全等三角形的判定與性質(zhì)，準確分析證明

是解題的關(guān)鍵?

2.(2022.江蘇徐州.模擬預(yù)測)(1)如圖1,在四邊形ABC力中，AB=AD,NB=ND=90°,E、2分別是

邊BC、C力上的點，且/￡4尸=3/84。，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是_；(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB^AD,ZB+ZD=?S0o,E、F分別是邊8C、8上的點，且/EAF

ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB^AD,Zβ+ZD=180o,E、尸分別是邊BC、CD延長線上的點，且

NEAYNBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

acBEC%

圖1圖2圖3

【答案】(1)EF=BE+FD;(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，見解析：(3)結(jié)論不成立，EF=BE-FD,見解

析

【分析】(1)延長CB至G,使BG=OR連接AG,證明AABGgZVlQF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG

=AF,/BAG=NDAF,再證明AGAEg△/?E,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=EG,結(jié)合圖形計算，證

明結(jié)論；

(2)延長CB至M,使BM=DF,連接4M,仿照(1)的證明方法解答；

(3)在EB上截取BH=QF,連接A4,仿照(1)的證明方法解答.

【詳解】解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如圖1,延長CB至G,使BG=OF,連接4G,

D

圖1

在和△4￡)尸中，

AB=AD

<ZABG=N0=90°,

BG=DF

：.∕?ABG^ΛADF(SAS),

/.AG=AFfZBAG=ZDAF9

9：AEAF=ZBAD,

：.NDAF+NBAE=ZEAFf

ZGAE=NBAG+NBAE=ZDAF+ZBAE=NEAF,

在^GAE和△胡E中，

AG=AF

<NGAE=/FAE,

AE=AE

ΛΔGAE^?ME(SAS),

：.EF=EG,

?：EG=BG+BE=BE+DF,

:?EF=BE+FD,

故答案為：EF=BE+FD↑

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長CB至M,使BM=OF,連接AM,

VZABC+ZD=180o,ZABC+Zl=180o,

ΛZl=ZD,

??ABMff?ADFφ,

AB=AD

<Zl=ZD,

BM=DF

：.∕?ABM^ΛADF(SAS),

：.AM=AFfZ3=Z2,

VZEAF=?ZBAD,

/.Z2+Z4=ZEAF,

JZEAM=Z3+Z4=Z2+Z4=ZE4F,

在AMAE和2?7?E中，

AM=AF

<NMAE=NFAE,

AE=AE

Λ?MAE^?ME(SAS),

：?EF=EM,

?：EM=BM+BE=BE+DF,

：?EF=BE+FD；

(3)(1)中的結(jié)論不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如圖3,在￡8上截取8"=OF,連接

D,

B（：

圖3

同（2）中證法可得，Z?AB"之ZXADR

.?AH=AF,NBAH=NDAF,

：.ZHAE=ZFAE,

在a∕ME和aME中，

AH^AF

-NHAE=NFAE,

AE=AE

.?ΛHAE^ΛFAE（SAS）,

..EF=EH

"JEH=BE-BH=BE-DF,

.'.EF=BE-FD.

【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?貴州遵義?一模）已知:如圖所示AABC.

（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作/8AC的平分線和BC的垂直平分線，它們的交點為D（不

寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若48=15,AC=9,過點。畫Z）E_L48,則8E的長為___.

【答案】⑴見解析

⑵3

【分析】（1）根據(jù)角平分線、垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可;

(2)在AB上取AF=AC,構(gòu)造.-ADC,可得。F=OC,由垂直平分線性質(zhì)可得80=CD,由此得

出.尸是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可知BE=JB尸，即可得出結(jié)論.

(1)

解：如圖，

①作NBAC的平分線AD,

②作BC的垂直平分線交AD于點D,

一

(2)

解：如圖，在A8上取一點F,時使A/二AC連接08、DF.DC9

在，AQb和一AoC中，

AF=AC

<ZFAD=ZCADf

AD=AO

：?LADF'ADC(SAS),

：.DF=DC,

又???直線HD是線段BC的垂直平分線，

：.DB=DC,

：.DB=DF,

??DELABi

：.BE=LBF,

2

又因為8尸=AB-A/=AB-AC,AB=I5,AC=9,

???BE=^AB-AC）=3.

故答案為3.

【點睛】此題主要考查了角平分線的作法以及垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識，熟練利用垂

直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出3。尸是等腰三角是解題關(guān)鍵.

4.（2020?全國?九年級課時練習）如圖，A、P、B、C是。。上四點，NAPC=NCPB=6。。.

（1）判斷AABC的形狀并證明你的結(jié)論；

（2）當點P位于什么位置時，四邊形PBQ4是菱形？并說明理由.

（3）求證：PA+PB=PC.

【答案】（1）AABC是等邊三角形，證明見解析；（2）當點P位于AB中點時，四邊形PBoA是菱形，理

由見解析；（3）證明見解析.

【分析】（1）利用圓周角定理可得/BAC=NCPB,ZABC=ZAPC,而NAPC=NCPB=60。，則可得/

BAC=ZABC=60o,從而可判斷AABC的形狀；

（2）當點P位于AB中點時，四邊形PBoA是菱形，通過證明AOAP和AOBP均為等邊三角形，得到

OA=AP=OB=BP即可得證：

（3）在PC上截取PD=AP,則AAPD是等邊三角形，然后證明AAPB會z^ADC,證明BP=CD即可得證結(jié)

論.

【詳解】（1）AABC是等邊三角形.

證明如下：在。。中，

?.?NBAC與NCPB是BC所對的圓周角，NABC與ZAPC是AC所對的圓周角，

ΛZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又?.?/4PC=NCPB=60。，

，/A8C=NBAC=60。，

.?.△ABC為等邊三角形；

(2)當點P位于Ag中點時，四邊形PBOA是菱形,

如圖1,連接OP.

?.?∕AO8=2NACB=120。，尸是AB的中點，

二NAoP=NBoP=60°

又YOA=OP=OB,

...△04P和AOBP均為等邊三角形，

二OA=AP=OB=PB,

四邊形PBoA是菱形；

≡1

(3)如圖2,在PC上截取Pn=AP,

又：ΛAPC=Wo,

.?.ZvlPO是等邊三角形，

：.AD=AP=PD,ZADP=GOo,即NAOC=I20。.

XVZAPB=ZAPC+ZBPC=120°,

.?.ZADC=ZAPB.

在AAPB和"OC中，

ZPB=NADC

-ZABPZACD

AP=AD

：.?APB^∕?ADC(AAS),

：.BP=CD,

RPD=AP,

：.CP=BP+AP.

圖2

【點睛】本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理

和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

5.（2021?全國?九年級專題練習）通過類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達到解一題知一類的目的.下面

是一個案例，請補充完整.

【解決問題】

如圖，點、E、F分別在正方形ABCO的邊BC、CD±,ZEAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明

理由.

證明：延長Cz）到G,使OG=BE,

在ZVSE與一AoG中，

AB=AD

■ZB=ZADG=90°

BE=DG

二="匡_AoG理由：（SAS）

進而證出：XAFE9___________,理由：（）

進而得瓦'=BE+OF.

【變式探究】

如圖，四邊形ABC。中，AB=AD,N5AZ)=90。點E、尸分別在邊BC、CD±,ZEAF=45°.若E)8、

/D都不是直角，則當DB與/D滿足等量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF.請證明你的猜

想.

【拓展延伸】

o

如圖，若A3=AD,ZBAP≠90,ZEAF≠45°,(0ZE4F=i∠?4D,NB=ZD=哪，連接EF,請直接寫出

EF、BE、。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

B

【答案】(1)?AFE^?ΛFG,理由：SAS；(2)∕B+NO=180°,證明見解析；(3)BE+DF=EF.

【分析】(1)在前面已證的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論AE=AG,進而證明AA尸E會AAFG,從而得出結(jié)論;

(2)利用“解決問題''中的思路，同樣去構(gòu)造AAFE絲ZXAFG即可；

(3)利用前面兩步的思路，證明全等得出結(jié)論即可.

［詳解】(1)ABERADG,AE=AG,Z.BAE=/DAG,BE=DG,

則NBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

o

ZEAF=45°t.?ZFAG=45t

在JAFG與△AZ7E中,

AE=AG

ZEAF=ZGAF

AF=AF

.'ΛAFE^ΛAFG,理由：(SAS)

.?EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(2)滿足ZB+ZD=180。即可,證明如下：

如圖，延長⑺至G,使BE=DG,

oo

ZB+ZADF=180,ZADF+ZADG=180f

AB=ZADG,

在AABE與.AOG中，

AB=AD

<ZB=ZADG

BE=DG

:.ABE空ADG(SAS),

.?.AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG9

則ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

NEAF=45。,ΛZMG=45°,

在4AFG與XNFE中，

AE=AG

./EAF=NGAF

AF=AF

.??AFE^AAFG,理由：(SAS)

：.EF=FG=FD+DG=FD+BE；

(3)BE+DF=EF.證明如下：

如圖，延長⑺至G,使3E=DG,

在△/山后與一AOG中，

AB=AD

NB=ZADG=90。

BE=DG

:.ABE注ADG(SAS),

AE=AG,NBAE=ZDAG,

則ZBAE+ZFAD=ZFAD+ZADG=ZFAG,

ZEAF=-ZBAD,:.ZFAG=-AEAD=ZFAE,

22

在，AFG與AAFE中，

AE=AG

■NEAF=ZGAF

AF=AF

:./\AFE^/XAFG,理由：(SAS)

【點睛】本題考查了截長補短的方法構(gòu)造全等三角形，能夠理解前面介紹的方法并繼續(xù)探究是解決問題的

關(guān)鍵.

6.（2021.北京?九年級專題練習）在四邊形ABOE中，C是友）邊的中點.

（1）如圖（1）,若AC平分NBAE,ZACE=90%則線段4E、AB.OE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為

;（直接寫出答案）

（2）如圖（2）,AC平分NBAE,Ee平分ZAED,若NACE=I20。，則線段AB、BD、DE、AE的長度

滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

【答案】(1)AE=AB+DE;(2)AE=AB+DE+?BD,證明見解析.

【分析】(1)在AE上取一點F,使AF=AB,由三角形全等的判定可證得aACB之ZXACF,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得BC=FC,ZACB=ZACF,根據(jù)三角形全等的判定證得ACEF絲Z?CED,得至IJEF=ED,

再由線段的和差可以得出結(jié)論：

(2)在AE上取點F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點G,使EG=ED,連結(jié)CG,根據(jù)全等三角形

的判定證得AACB絲Z?ACF和AECD也4ECG,由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG,進而證得aCFG是等

邊三角形，就有FG=CG=TBD,從而可證得結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖(1),在AE上取一點F,使AF=AB.

圖⑴

TAC平分NBAE,

ΛZBAC=ZFAC.

在aACB和AACF中，

AB=AF

</BAC=ZFAC

AC=AC

ΛΔACB?ACF(SAS).

ΛBC=FC,ZACB=ZACF.

TC是BD邊的中點，

ΛBC=CD.

ΛCF=CD.

VZACE=90o,

ΛZACB+ZDCE=90o,ZACF+ZECF=90o.

ΛZECF=ZECD.

在aCEF和aCED中,

CF=CD

-NECF=NECD

CE=CE

ΛΔCEF^ΔCED(SAS).

ΛEF=ED.

VAE=AF+EF,

ΛAE=AB+DE.

故答案為：AE=AB+DE;

(2)AE=AB+DE+∣BD.

證明：如圖(2),在AE上取點F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點G,使EG=ED,連結(jié)CG.

圖⑵

：C是BD邊的中點，

ΛCB=CD=?BD.

2

YAC平分NBAE,

???NBAC=NFAC.

在aACB和aACF中，

AB=AF

<NBAC=NFAC

AC=AC

ΛΔACB?ACF(SAS).

ΛCF=CB,ZBCA=ZFCA.

同理可證：ZiECD^4ECG

ΛCD=CG,ZDCE=ZGCE.

TCB=CD,

JCG=CF.

NACE=120。，

ΛZBCA+ZDCE=180o-l20o=60o.

ΛZFCA+ZGCE=60o.

.,.ZFCG=60o.

.?.aFGC是等邊三角形.

ΛFG=FC=^BD.

VAE=AF+EG+FG,

ΛAE=AB+DE+∣BD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

7.（2020.北京市第一零一中學溫泉校區(qū)三模）在AABC中，AC=BC,ZACB=90。，點E在直線BC上

（8,C除外），分別經(jīng)過點E和點B作AE和AB的垂線，兩條垂線交于點F,研究AE和EF的數(shù)量關(guān)系.

（1）某數(shù)學興趣小組在探究AEEF的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學思想，他們發(fā)現(xiàn)當點E是BC

的中點時，只需要取AC邊的中點G（如圖1）,通過推理證明就可以得到AE和EF的數(shù)量關(guān)系，請你按照

這種思路直接寫出AE和EF的數(shù)量關(guān)系；

圖I

（2）那么當點E是直線BC上（8,C除外）（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？請你從“點E

在線段BC上”，“點E在線段BC的延長線”，“點E在線段BC的反向延長線上”三種情況中，任選一種情

況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結(jié)論；

圖2備用圖

(3)當點E在線段CB的延長線上時，若BE="3C(O<"<1),請直接寫出的值.

【答案】(1)AE=EF;(2)仍然成立.證明見解析；(3)SzxAeC:S△田=1:(/+2〃+2).

【分析】(1)連接GE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NCGE=NCEG=45。，NCBA=NC48=45。，然

后利用ASA即可證出AAGEdEBF,從而得出結(jié)論：

(2)在AC上截取CG=CE,連接GE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NCGE=NCEG=45。，

ZCBA=ZCAB=45°,然后利用ASA即可證出A4GE∕?EM,從而得出結(jié)論；

(3)在AC的延長線上截取CG=CE,連接GE,AF,利用ASA證出∕?AGE絲△￡?/,可得-AE尸為等

腰直角三角形，設(shè)CA=CB=a,則BE="BC=w,利用勾股定理求出AE,根據(jù)三角形的面積公式即可求

出結(jié)論.

【詳解】解：(1)AE=EF,

連接GE

圖1

YAC=BC,點E是BC的中點，點G為AC的中點

AAG=CG=CE=EB,

因為NACB=90°,

所以NCGE=NCEG=45°,ZCBA=ZCAB=45°.

所以ZAGE=NEBF=135°.

因為AE_LEF,ABLBF,

所以NAEF=ZABF=NAaS=90。，

所以AFEB+ZAEF=ZAEB=ZEAC+ZACB.

所以NFEB=NE4C.

在」AGE與AEBE中，

ZAGE=NEBF,

■AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以也△￡?尸(ASA).

所以AE=EF

(2)仍然成立.

在AC上截取CG=CE,連接GE.

因為NAC5=90。，

所以NCGE=NCEG=45°.

因為AE_LEF,ABLBF,

所以NAEF=ZABF=ZACB=90°,

所以AFEB+ZAEF=ZAEB=ZEAC+ZACB.

所以NFE8=NE4C.

因為C4=C8,

所以AG=BE,ZCBA=ZCAB=45°.

所以ZAGE=ZEBF=I35°.

在aAGE與AEBE中，

ZAGE=ZEBF,

■AG=BE,

ZGAE=NFEB,

所以4AGEgZ?E3F(ASA).

所以AE=EF.

(3)如下圖所示，在AC的延長線上截取CG=CE,連接GE,AF

因為NACB=90°,

所以NCGE=ZCEG=45°.

因為AE_LEF,ABLBF,

所以NAEF=NABF=NAC3=90。，

所以NFEB-ZAEF=ZAEB=ZEAC-ZACB.

所以N五EB=NE4G.

因為CA=CB,

所以AG=BE,ZCBA=ZC4B=45°

ΛZEBF=180o-ZABF-ZABC=45o.

所以ZAGE=NEBF=45°.

在,AGE與AEBF中，

ZAGE=NEBF,

■AG=BE,

NGAE=NFEB,

所以Z?AGEgz?E8F(ASA).

所以AE=EE

.?._4斯為等腰直角三角形

設(shè)CA=CB=a,則BE==也

CE=a÷na

由勾股定理可得AE=√CA2+CE2=yj2a2+2na2+n2a2

1

.*.SABC='S^AEF=+2tuι~÷n~crj=α~+ncι~+-n~u~

?'?S&ABC'.SAAEF=1：("+2〃+2).

【點睛】此題考查的是等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，掌握構(gòu)造全

等三角形的方法是解決此題的關(guān)鍵.

8.(2021?全國?九年級專題練習)例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何

題化難為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方

式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,Z?ABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，ZBDC=?20o,探索線段D4、DB、QC之間

的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：將aABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACE,可得AE=A。，CE=BD,ZABD=ZACE,Z

DAE=60°,根據(jù)∕BAC+NBOC=180°,可知NA2O+/ACz)=I80°,則ZACE+ZACD=ISOo,易知AADE是

等邊三角形，所以AO=DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段力A、DB、OC之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,R∕Z?ABC中，NBAC=90。，AB=AC.點。是邊BC下方一點，NBz)C=90。，探索三條線段

DA.DB、OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

IH1N92

【答案】(I)DA=DB+DC;(2)后DA=DB+DC,證明見解析.

【分析】⑴由旋轉(zhuǎn)60。可得AE=A￡>,CE=BD,^ABD=ZACE,ZDAE=60o,根據(jù)∕BAC+C=I80。，

可知NABD+NACD=180。，則NACE+/48=180。，易知AAOE是等邊三角形，所以AD=OE,從而解決

問題.

⑵延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,由已知可得∠A8E>+ZA8=180°,根據(jù)ZAeE+ZACO=180",可得

NABZ)=ZACE,可證。ABD=ACE,進而可得AD=AE,N84O=NC4E,可得NzME=N84C=90”,由勾股定

理可得：ZM2+AE?=D爐,進行等量代換可得結(jié)論.

【詳解】⑴結(jié)論：DA=DB+DC.

理由：?.*Z?ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACE,

ΛAE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60O,

VZBAC+ZBDC=I80°,

ΛZABD+ZACD=180°,

.?.NACE+NACD=I80。，

.?.D,C,E三點共線，

VAE=AD,ZDAE=60o,

?,??ADE是等邊三角形，

,AD=DE,

ΛAD=DC+CE=DB+DC;

⑵結(jié)論：√2DA=DB+DC,

證明如下:

如圖所示，延長DC至U點E√^CE=BD,連接AE,

^.?NBAC=90°,NBDC=90°,

二ZABD+ZACD=180",

,?^ZAeE'+ZACD=180°,

.?.ZABD=ZACE,

VAB=AC5CE=BD,

二.一ABD=ACE(SAS),

二AD=AE,ZBAD=ZCAE,

：.ZDAE^ZBAC=90°,

：.DA2+AE2=DE2,

/.2DΛ2=(DB+DC?,

：.√2DA=DB+DC.

【點睛】本題主要考查了截長補短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)系，正確作出輔助線找到

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

9.(2020.全國?九年級專題練習)如圖，四邊形ABC。為矩形，尸為對角線BO上一點，過點F作

FELBD交AD于點H,交BA的延長線于點E,連接AF,當尸D=FE時，求證：AH+AB=42AF.

【答案】見解析

【分析】過點尸作尸N，A尸交AB的延長線于點N,先證明AEbNgADZX(ASA),可得NN=NzM尸,

FN=AFf從而可以證明b(As4),可證得AH=BN,即可得證AH+AB=0A/.

【詳解】證明：如圖，過點尸作FNJ.A/交48的延長線于點N,

EF±DFfEArAD9

/.ZE÷ZABD=90o,ZADF+ZABD=90o,

..ZE=ZADF9

ZAFN=AEFD=90。,

.,AAFD=ΛEFN,

在工日W和一。E4中，

/EFN=/DFA,

VEF=DF,

NE=ZADF,

sΛEFN^ΔDE4(ΛSA),

:.ZN=ZDAF9FN=AFf

又?ZAFN=90。,

.?.AN=也AF，

ZAFN=/EFB=90。,

:.ZAFH=4BFN,

在/和INBF中,

ZAFH=ZNFB,

<AF=NF,

/HAF=NN,

.ΛAHFgANBF(ASA),

AH=BN,

:.AH+AB=BN+AB=AN=√2ΛF.

【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵.

10.(2020?全國?九年級專題練習)如圖，在正方形438中，點E、尸均為中點，連接AF、DE交于點

P,連接PC,證明：PE+PF=丘PC.

【答案】見解析

【分析】延長DE至N,使得EN=PF,連接CN,先證明△">尸思Z?DCE(SAS),可得

ZAFD=ZDEC,即NC尸P=NCEN,再通過證明ACEN絲ATQ(SAS),可得CN=CP,

NECN=∕PCF,即可證明二NCP是等腰直角三角形，即PN=PE+NE=6PC,從而得證

PE+PF=叵PC.

【詳解】證明：如圖，延長OE至N,使得EN=PF,連接CN,

在正方形ABCD中，

E、F分別是BC、C。的中點，

.?CE=DF,

在一4。/和.OCE中，

AD=CD,

<ΛADF=ZDCE=900,

DF=CE,

.ΛADFmADCE(SAS),

.?.ZAFD=ΛDEC,

:"CFP=ZCEN,

在，CEN和..CFP中，

CE=CF,

"NCEN=NCFP,

EN=PF,

:.ACEN冬ACFP(SAS),

.?.CN=CP,ZECN=ZPCF,

NPCF+NBCP=驕,

.?.ZECN+/BCP=ZNCP=90°,

.?.△NCP是等腰直角三角形，

:.PN=PE+NE=叵PC.

即PE+P尸=√5PC?

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題

的關(guān)鍵.

11.（2021?北京?清華附中九年級階段練習）已知/MON=e（0°<a<180。），A為射線ON上一定點，B為

射線OM上動點（不與點。重合）連接48,取AB的中點C,連接OC.在射線BM上取一點。，使得

BD=OA.

(1)若α=60°,

OC

①如圖1,當4A0=60。時，在圖I中補全圖形，并寫出布的值;

OC

②如圖2,當加。＜60。時，猜想行的值是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由;

OC

(2)如圖3,若α=90°,OCJ_AO,直接寫出K的值.

AD

【答案】(I)①②器=L(2)型=心.

2AD2AD2

【分析】(1)①由已知可判定一AOB是等邊三角形，4OAQ是含30。的直角三角形，由此利用解直角三角

形用OA表示出OC、A。即可求解；

②延長OB到G,使OG=OB,構(gòu)造等邊三角形AOP,延長OB到G,使OG=OB,構(gòu)造中位線OC和

.APG^AOD,全等三角形性質(zhì)和中位線性質(zhì)即可得出結(jié)論：

(2)根據(jù)直角三角形中線和已知垂直條件證明aQβ4ODA,由邊長關(guān)系求出相似比即可解答.

【詳解】解：(1)①補圖如下，器OC=；1，

AD2

圖1

求解過程：VZBAO=60°,NMoN=α=60°,

二.AOB是等邊三角形,

ΛOA=OB=AB,ZOSA≈60°,

?.?BD=OA,

：.BD=AB,

：.NBDA=ZBAD=?ZABO=30°,

2

：.NoAo=90°,

?^?tanZODA=tan30o=,

AD3

/.AD=gθA,

C=AC,..AO3是等邊三角形,

.?ZAOC=30o,ZACO=90o,

/3

.β.OC=04CoSNAoC=-OA1

2

：.OC_2=?;

AD~√3OA-2

②如圖，在OM上取一點P,使OP=O4,

.AoP是等邊三角形，

.'.OA=OP=APfNOP4=60。,

延長。B到G,使。G=OB,

?：PG=OG+0P,OA=BD=OP,

：?PG=OB+BD=OD,

在二APG和ZXAOQ中，

AP=OA

<ZAPG=ZAOD,

PG=OD

：.^APG=^AOD(SAS),

：.AG=AD9

VOG=OBfCA=CB9

：.OC=-AG

2t

AG

ΛOC_2=1；

~AD~AG~2

⑵型Jk1,

AD2

過程如下：如圖,

βo

?ZMON=a=90fOCA.ADf

：.ZAOC+AHOD=90o,ZOZM+ZWOD=90o,

：?ZODA=ZAOC，

o

VZMON=a=90,BC=CA1

：.BC=CA=OC=-AB

2f

：.ZOAC=ZAOCf

：.ZOAC=ZODA,

：?JJBA_ODA，

.OBOAAB

*OA-OD-AD

、幾OBOAAB1

設(shè)——=——=——=—C∕n>O),OB=a,

OAODADm

.*.OA=BD—ma,OD=rrra，

??2

?a+ma=nVa?

解得：加=上史（不合題意舍去），加=±叵，

22

.OC_AB_?√5-l

"'~AD~2AD~2^ι~2

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)

和判定、解直角三角形、三角形的中線和中位線性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造全等三角形解決問

題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

12.（2022?安徽合肥?一模）已知：如圖1,AABC中，ZCAB=120o,AC=AB,點。是BC上一點，其中N

ADC=a（30o<α<90o）,將aABO沿AZ）所在的直線折疊得到△Α￡：￡）,AE交CB于F,連接CE

(1)求NCOE與NAEC的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,當α=45。時，解決以下問題:

①已知AQ=2,求CE的值；

②證明：DC-DE=gAD；

【答案】(I)NCz)E=I80。-2￡，ZAEC=a

(2)04；②見解析

【分析】(1)由折疊對應(yīng)角相等與“雙蝴蝶型''相似可得;

(2)由α=45。求出NCAF=90。，再由“蝴蝶型'湘似求得:

(3)“截長補短”法：在BC上取一點4,使得CH=DE.

(1)

：4ABD沿AO所在的直線折疊得到ΔAED,

：.ZΛDE=ZADB=180o-ct,

ΛZCDE=180o-2a;

YNCAB=120°,AC=AB,

：./ACB=/B=NAED=30。，

,.?NDFE=NAFC,

：.XDEFSXAFC,

：.DF：AF=EF:CF,

VZEFC=ZAFD,

：.4AFDsXCFE,

：.NAEC=NADC=a,

故答案：180°-2α;?

(2)

①?.?α=45°,

.?ZDAF=ZDAB=?5o,

：.NCAF=90°,

：.AF：CF=I:2,

,?,ΔAFD^?CFE,

ΛAD:CE=AF:CF=L2,

：.CE=4,故答案：4；

②在BC上取一點H,使得CH=i>E,

"：AC^AE,ZACH=ZAED,

J.ΔACH^ΔADE,

：.AD=AH,ZDAE=ZCAH,

：.ZDAH=90°,

：.DH=近AD,

：.DC-ED=DC-CH=DH=五AD

【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定

理等知識；熟練掌握翻折變換和相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?四川成都?九年級期末）如圖1,在RtZkABC中,ZACB=90o,AC=BC,將點C繞點8順時針

旋轉(zhuǎn)105。得到點。，連接BQ,過點。作OELBC交CB延長線于點E,點尸為線段。E上的一點，且/

DBF=45°,作NB尸。的角平分線FG交AB于點G.

（1）求NBFz）的度數(shù)；

（2）求BF,DF,G尸三條線段之間的等量關(guān)系式；

（3）如圖2,設(shè)H是直線。E上的一個動點，連接HG,HC,若AB=近,求線段HG+HC的最小值（結(jié)

果保留根號）.

【答案】(1)I200;(2)BF+DF=GF,理由見解析：(3)√3+√6

【分析】(1)由平角的性質(zhì)可求NFBE=30。，再由直角三角形的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可求解；

(2)由“ASA”可證aBMG絲ABFC,可得GM=DF,即可求解；

(3)作點G關(guān)于DE的對稱點G',連接HG,CG',FG',作G'/_LCB交CB的延長線于/,由軸對稱的

性質(zhì)可得GF=G'F,HG=HG,NDFG=NDFG=60。,則HG+HC="C+"G'NCG',由等邊三角形的

性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求BG'的長，由勾股定理可求解.

【詳解】解：(1)VZCBD=105°,NFBD=45°,

：.ZFBE=30o,

'CDEVBC,

,NDEB=90。,

.?.NBFE=60°,

/.ZBFD=120°；

(2)BF+DF=GF,

理由如下：如圖1,在線段FG上截取尸M=F8,連接BM,

VZBFD=120o,FG平分NDFB,

.?.∕GFΣ>=NG∕78=60°,

?,.∕?FBM是等邊三角形，

:?BF=BM,ZBMF=60o,

：.NGMB=NBFD=I20。,

o

VZACB=90fAC=BC,

ΛZCBA=45o,

TNCBD=IO5。,

???NABD=60。=NMBF,

；?NGBM=NDBF,

.??在ABMG與ABFD中，

/GMB=NBFD

BF=BM

NGBM=/DBF

：?ABMG沿∕?BFD(ASA),

：?GM=DF,GB=DB,

*：MF^GM=GF9

：.BF+DF=GF；

(3)如圖3,設(shè)8。與Gb交于點0,作點G關(guān)于OE的對稱點G',連接"G,CG,FG,作G'ΛLC8

交CB的延長線于/,

???點G與點G'關(guān)于OE對稱，

：.GF=GF,HG=HG,NDFG=NDFG'=60。,

：.HCh-HC=HC+HG,>CG,,

即HG+HC的最小值為CG,

?/NBFD+/DFG'=180°,

???點8,點F,點G'三點共線，

?：GB=DB,NGbO=60。,

???ZXGDB是等邊三角形,

IGD=DB=GB,

LDB=DG,

?：NDBE=75。,NDEB=90。,

：?NBDE=15。,

：.AGDF=ISQ,

ΛZGfDF=ZGDF=75°,

ΛZBDGz=90°,

又,：DB=DG',

f

.?.BG'=6BD=Λ∕2BC=AB=√2,

o

VZEBF=30,GILCB9

：.IG'=^BG'=—,Bl=CGl=顯,

222

：.Cl=BC+BI=I+近,

2

二CG=^CI-+GI1=^(l+^)2+∣=√3+√6，

.?.HG+HC的最小值為√3+√6.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊

三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

14.(2021?四川成都?二模)如圖，點C在以AB為直徑的。。上，8力平分NABC交。。于點。，過。作

BC的垂線，垂足為E.

(1)求證：OE與OO相切；

(2)若A8=6,tanA=應(yīng)，求BE的長；

(3)線段A8,BE,CE之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明.

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）CE=AB-BE,見解析

【分析】（1）連接。Q,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到NoD3=NC3D根據(jù)平行線的性

質(zhì)得到OOLDE,于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到NAOB=90。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）過。作。于“，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到?！?02根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）證明：連接。。，

?/OD=OB,

."ODB=NOBD,

TBO平分NABC

；?/0BD=/CBD,

INODB=NCBD,

：.OD//BE9

9

：BELDEf

：.ODLDEf

.?.OE與。。相切.

（2）解：tYB是。。的直徑，

???NADB=90。,

,

?AB=6ficmA=亞,

LBD=6AD,

設(shè)AD=mf則BD=y∣2

ΛAH2+2∕H2=36,

.,?加=2√i或-26（舍棄），

.?AD=2y∕3,BD=2√6,

?：BELDE,

/./ADB=NBED=90。,

TBO平分NABG

：.AOBD=ACBD,

：.AABDs∕?DBE,

.ABBD

??茄一茄’

.62√6

,?前F'

ΛBE=4.

(3)解:結(jié)論CE=AB-BE,

理由：過。作￡W_LAB于，，

平分/ABC,DElBE,

：.DH=DE,

在RtABED與RtABHD中，

{DE=DH

[BD=BD'

LRtABEDWR小BHD(HL),

.'.BH=BE,

；NDCE=ZA,NDHA=NDEC=90。,

：.AADH注ACDE(AAS),

：.AH=CE,

?：AB=AH+BH,

.'.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【點睛】本題屬于圓的綜合問題，考查了切線的判定，角平分線的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判

定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問題.

15.（2020?黑龍江哈爾濱?九年級期中）如圖，.4?C中，點。在AC邊上，且NBDC=90+白NA8。.

2

(1)求證：DB=AB；

(2)點E在BC邊上，連接AE交8。于點F,且44FD=ZABC,BE=CD,求ZACB的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，若BC=16,..A8尸的周長等于30,求AF的長.

o

【答案】(1)見解析；(2)∠ΛCB=60i(3)AF=II

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運用等量代換得出NA=NB/M,證得

DB=AB;

(2)作CH=BE,連接DH,根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得NEAC=NC,再由三角形全等判定得

ABE,最后推出aDCH為等邊三角形，即可得出ZAC8=60。；

(3)借助輔助線AOJ_CE,構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造aBFEs^BDH,建立相應(yīng)的等量關(guān)系

式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值.

【詳解】(1)證明：VZBDC=90°+?ZABD,NBDC=NABD+NA,

.?.ZA=90o-∣ZABD.

VZBDC+ZBDA=180°,

ΛZBDA=180o-ZBDC=90o-∣ZABD.

NA=NBDA=90。一義/ABD.

ΛDB=AB.

解：(2)如圖1,作CH=BE,連接DH,

?.?∕AFD=NABC,/AFD=NABD+NBAE,ZABC=ZABD+ZDBC,

ΛZBAE=ZDBC.

???由(1)知，ZBAD=ZBDA,

又VZEAC=ZBAD-ZBAE,NC=ZADB-ZDBC,

：?ZCAE=ZC.

ΛAE=CE.

VBE=CH,

ΛBE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

VAB=BD,

Λ?BDH^?ABE.

JBE=DH.

VBE=CD,

,CH=DH=CD.

Λ?DCH為等邊三角形.

，ZACB=60°.

(3)如圖2,過點A作AoJ_CE,垂足為0.

VDH√AE,

,NCAE=NCDH=60。，ZAEC=ZDHC=60o.

，?ACE是等邊三角形.

設(shè)AC=CE=AE=x,則BE=16-χ,

VDH√AE,

ΛΔBFE^ΔBDH.

.BFBEEF16-x

99~BD~~BH~~DH~X

：.M=竺H50=峋HAB,

XX

16-x(16-x)2

EF=^~~^DH=?-----L

XX

:△ABF的周長等于30,

即AB+BF+AF=AB+^Z^ΛB+X-(16~X)=30,

x

X

解得AB=16一丁.

O

在RtAACO中，AC=-,AO=叵,

22

X

ΛBO=16--.

2

在RtZiABO中，AO2+BO2=AB2,

即:χ2+[16?j=(16jj.

解得XLO(舍去)W=等.

ΛAF=11.

【點睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)

用，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握