（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值

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【直擊考點】題組一常識題1．[教材改編]函數(shù)f(x)＝ex－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是______________．【解析】f′(x)＝ex－2，令f′(x)>0，解得x>ln2，則函數(shù)f(x)＝ex－2x的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2，＋∞)．2．[教材改編]函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值是________，極大值是________．【解析】由題意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，3．[教材改編]一條長為2a【解析】設(shè)兩段鐵絲的長分別為x，2a－x.則兩個正方形的面積之和為S＝eq\f(x2,16)＋eq\f(（2a－x）2,16)＝eq\f(x2,8)－eq\f(ax,4)＋eq\f(a2,4)，則S′(x)＝eq\f(x,4)－eq\f(a,4)，令S′(x)＝0得x＝a.當(dāng)x<a時，S′(x)<0；當(dāng)x>a時，S′(x)>0.所以S在x＝a處取得極小值也是最小值，所以兩段鐵絲的長都是a.題組二常錯題4．函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為______________．【解析】y＝eq\f(1,2)x2－lnx，y′＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)＝eq\f(（x－1）（x＋1）,x)(x>0)．令y′＜0，得0<x＜1，∴單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)．5．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點，則a的取值范圍是____________．【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點，則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0時，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.6．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若?x1，x2∈R，使f(x2)≤g(x1)成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．題組三?？碱}7．若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是________________________________________________________________________．【解析】f′(x)＝k－eq\f(1,x)，由已知得f′(x)≥0在(2，＋∞)上恒成立，故k≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\do7(max).因為x>2，所以0<eq\f(1,x)<eq\f(1,2)，故k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).8．函數(shù)f(x)＝x－lnx在(2，＋∞)上的單調(diào)性是__________________．【解析】f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，令f′(x)>0，得x>1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，所以函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)．【知識清單】考點1運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù)．f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上為減函數(shù)．考點2運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．考點3運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．【考點深度剖析】【重點難點突破】考點1運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性【1-1】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋k,ex)(k為常數(shù)，e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)k＝1.(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．【1-2】已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是__________.【答案】3【思想方法】求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；(4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性．【溫馨提醒】在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)研究函數(shù)單調(diào)性．考點2運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值已知函數(shù)f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．【答案】(1)a＝e.(2)當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，f(x)在x＝lna處取得極小值lna，無極大值．【解析】(1)由f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)，得f′(x)＝1－eq\f(a,ex).又曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，得f′(1)＝0，即1－eq\f(a,e)＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－eq\f(a,ex)，①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，f(x)為(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值．②當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.x∈(－∞，lna)，f′(x)<0；x∈(lna，＋∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝lna處取得極小值，且極小值為f(lna)＝lna，無極大值．綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時，f(x)在x＝lna處取得極小值lna，無極大值．【2-2】已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則f(2)＝__________.【答案】18【思想方法】求函數(shù)極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格；(4)由f′(x)＝0根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號來判斷f′(x)在這個根處取極值的情況．【溫馨提醒】判斷函數(shù)極值時要注意導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，所以求極值時一定要判斷導(dǎo)數(shù)為0的點左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值．考點3運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)(1－k)e.【解析】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)與f′(x)的情況如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)0<k－1<1，即1<k<2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k－1≥1時，即k≥2時，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a為實數(shù)．若f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍．【答案】(e，＋∞)．【思想方法】求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極