2023年山東省濟(jì)寧市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.用反證法證明：“實(shí)數(shù)χ,yz中至少有一個(gè)不大于0”時(shí)，反設(shè)正確的是()

A.x,yz中有一個(gè)大于0B.左丁:都不大于。

C.%，，2都大于0D.x,y,z中有一個(gè)不大于0

2.已知是i虛數(shù)單位，5是Z的共軌復(fù)數(shù)，若z(l+i)=上?,則N的虛部為()

1+1

111.

A.-B.——C.—1D.——i

2222

3.復(fù)數(shù)Z滿足(z+i)(2+i)=5,則Z=()

A.-2-2zB.-2+2iC.2-2/D.2+2,

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=120,則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()

A.k>4B.k>5C.k>6D.k>7

5.函數(shù)/(χ)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=/(χ)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=7'(X)可能為()

6.已知〃的分布列為:

n-101

??

P?

236

設(shè)4=3〃-2則Eg的值為（）

42

A.—3B.-C.——D.5

33

7.設(shè)隨機(jī)變量:?.5：，且Pα≤O)=P(XN0-2y則實(shí)數(shù)H的值為

A.10B.8C.6D.4

8.某機(jī)構(gòu)需掌握55歲人群的睡眠情況，通過(guò)隨機(jī)抽查IlO名性別不同的55歲的人的睡眠質(zhì)量情況，得到如下列聯(lián)表

男女總計(jì)

好402060

不好203050

總計(jì)6050110

n(ad-bc?

K2≈7.8.

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

根據(jù)K2表

2

p(κ≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

得到下列結(jié)論，正確的是。

A.有99%以下的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無(wú)關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無(wú)關(guān)”

9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

10.下面四個(gè)命題：

n

Pl：命題“∈N,〃2>T的否定是“3n0eN,∕√≤2'b"；

P2：向量1=（1,一〃），則加="是αJL人的充分且必要條件；

，3：“在ΔAβC中，若A>B,則“sinA>sin3”的逆否命題是“在ΔABC中，若SinA≤sinB,uA≤Bn

P4：若“"Λ4"是假命題，則，是假命題.

其中為真命題的個(gè)數(shù)是（）

12.某快遞公司的四個(gè)快遞點(diǎn)AB,C。呈環(huán)形分布（如圖所示），每個(gè)快遞點(diǎn)均已配備快遞車輛10輛.因業(yè)務(wù)發(fā)

展需要，需將A,B,C,。四個(gè)快遞點(diǎn)的快遞車輛分別調(diào)整為5,7,14,14輛，要求調(diào)整只能在相鄰的兩個(gè)快遞點(diǎn)間進(jìn)

行，且每次只能調(diào)整1輛快遞車輛，則

最少需要8次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有1種

B.最少需要8次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有2種

C.最少需要9次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有1種

D.最少需要9次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有2種

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

z、2

13.已知數(shù)列｛4,,｝為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，α∣+%=82,a2-a4=Sl,記數(shù)列（?。莸那啊?xiàng)和為7“，則使不等式

2019T>1成立的最大正整數(shù)"的值是

14.如圖所示，陰影部分為曲線y=sinx（—萬(wàn)≤x<∕）與X軸圍成的圖形，在圓。：/+>2=/內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則

該點(diǎn)取自陰影部分的概率為一.

15.（“一IT嚴(yán)的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)為0

16.用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，已知該校

高二年級(jí)共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)是人.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.（12分）設(shè)耳，工分別為橢圓后：=+與=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，點(diǎn)3為橢圓E的

a~b~

上頂點(diǎn)，且IAw=2.

（1）若橢圓E的離心率為業(yè)，求橢圓E的方程；

3

（2）設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線入。與丁軸相交于點(diǎn)Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)6,證明：

點(diǎn)。在直線χ+y-2=0上.

18.（12分）如圖所示，四棱錐P-A3C。中，43_140,49，。。,2_1底面43。。，PA=AD=AB=-CD=I,

2

M為PB中點(diǎn).

（1）試在Co上確定一點(diǎn)N,使得例N//平面Q4O；

（2）點(diǎn)N在滿足（1）的條件下，求直線MN與平面RS所成角的正弦值.

P

19.（12分）將正整數(shù)排成如圖的三角形數(shù)陣，記第“行的"個(gè)數(shù)之和為凡.

1

23

456

78910

1112131415

161718192021

(1)設(shè)S,,=4+/+生+…+4.τ5eN*),計(jì)算邑，S3,S&的值，并猜想S”的表達(dá)式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想.

20.(12分)隨著人們生活水平的日益提高，人們對(duì)孩子的培養(yǎng)也愈發(fā)重視，各種興趣班如雨后春筍般出現(xiàn)在我們?nèi)?/p>

常生活中.據(jù)調(diào)查，3?6歲的幼兒大部分參加的是藝術(shù)類，其中舞蹈和繪畫(huà)比例最大，就參加興趣班的男女比例而言,

女生參加興趣班的比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)男生.隨機(jī)調(diào)查了某區(qū)100名3?6歲幼兒在一年內(nèi)參加舞蹈或繪畫(huà)興趣班的情況，得

到如下表格：

不參加舞蹈且不參參加舞蹈不參加參加繪畫(huà)不參加參加舞蹈且參加

加繪畫(huà)興趣班繪畫(huà)興趣班舞蹈興趣班繪畫(huà)興趣班

人數(shù)14352625

(I)估計(jì)該區(qū)3?6歲幼兒參加舞蹈興趣班的概率；

(∏)通過(guò)所調(diào)查的100名3?6歲幼兒參加興趣班的情況，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把

握認(rèn)為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān).

參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計(jì)

男生10

女生70

總計(jì)

2

山"2n{ad-bc).,

附?K=----------------------------------,fi=a+b+c+d.

(a+C)S+d)(a+b)(c+d)

P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(12分)如圖，已知F∣,K分別為橢圓*+2r=i(a>z,>0)的上、下焦點(diǎn)，匕是拋物線C?：/=4)，的

焦點(diǎn)，點(diǎn)M是G與G在第二象限的交點(diǎn)，且|加用=1.

（1）求橢圓G的方程；

⑵與圓V+（y+l）2=ι相切的直線/：y=Z（x+。（其中燈Ho）交橢圓G于點(diǎn)A，B,若橢圓G上一點(diǎn)P滿

足Q4+QB=XOP,求實(shí)數(shù)分的取值范圍.

22.（10分）某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)

隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

組別L40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,l∞j

男235151812

女051010713

（1）若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤

概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？

（2）若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.視頻率為概率.

①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；

②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保，針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)；其他參與的市民

獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表：

紅包金額（單位：元）1020

3?

概率

44

現(xiàn)某市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望.

附表及公式：,=('"(,+.,+OS+")'"-"'+"

p(κLk)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%)2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而要證明題的否定為：“蒼％2都大于0”，

從而得出結(jié)論.

【詳解】

解：根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，

而命題：”實(shí)數(shù)X，XZ中至少有一個(gè)不大于0”的否定為“X,XZ都大于0”，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用命題的否定，反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面,

是解題的突破口，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

1-zI-Z111.1

由題意可得：z_O+)_牙_五

貝!!彳=-；+據(jù)此可得，彳的虛部為g?

本題選擇A選項(xiàng).

3、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得Z=——-i,再利用復(fù)數(shù)的除法與減法法則可求出復(fù)數(shù)Z.

2+z

【詳解】

/、/、55(2-z)

(z+i)(2+z)=5,.?.z=^--l===故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

分析程序中兩個(gè)變量和流程圖可知，該算法為先計(jì)算后判斷的直到型循環(huán)，模擬執(zhí)行程序，即可得到答案.

【詳解】

程序執(zhí)行如下

kS=2S+k終止條件判斷

00否

10+1=1否

22×2+2=4否

32×4+3=ll否

42×ll+4=26否

52x26+5=57否

62x57+6=120是

故當(dāng)Z=6時(shí)S=120,程序終止，所以判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件應(yīng)為Z>5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷循環(huán)的類型和終止循環(huán)的條件是解題關(guān)鍵

5、D

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(X)的單調(diào)性判斷出導(dǎo)函數(shù)/'(X)函數(shù)值的符號(hào)，然后結(jié)合所給的四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析、判斷后可得正確的

結(jié)論.

【詳解】

由圖象可知，函數(shù),y=∕(x)在x<0時(shí)是增函數(shù)，

因此其導(dǎo)函數(shù)在x<O時(shí)，有/'(x)>O(即函數(shù)尸(χ)的圖象在X軸上方)，因此排除A、C.

從原函數(shù)圖象上可以看出在區(qū)間(O,XJ上原函數(shù)是增函數(shù)，所以/'(x)>0,在區(qū)間(χ,%)上原函數(shù)是減函數(shù)，所以

,

∕(Λ)<0;在區(qū)間(Λ2,+8)上原函數(shù)是增函數(shù)，所以尸(x)>0.

所以可排除C.

故選D.

【點(diǎn)睛】

解題時(shí)注意導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即函數(shù)遞增(減)時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)大(小)于零，由此可判斷出

導(dǎo)函數(shù)圖象與X軸的相對(duì)位置，從而得到導(dǎo)函數(shù)圖象的大體形狀.

6、A

【解析】

求出Tl的期望，然后利用J=31-2,求解EJ即可.

【詳解】

由題意可知E(τ])=-1×—I-O×—h1×—=—.

2363

g=3n-2,

所以EJ=E(lη-2)=IE(η)-2=-1.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個(gè)變量之間的關(guān)系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望.

7、D

【解析】

根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，從表達(dá)式上看出正態(tài)曲線關(guān)于，一：對(duì)稱，得到對(duì)稱區(qū)間的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的概率是相等的，根

據(jù)兩個(gè)區(qū)間的概率相等，得到這兩個(gè)區(qū)間關(guān)于,一一對(duì)稱，從而得到結(jié)果.

【詳解】

隨機(jī)變量：c:?

正態(tài)曲線關(guān)于_:對(duì)稱,

7F(X≤0)=P(X>α-2)j

,。與α-2關(guān)于X=1對(duì)稱，

Λ?(0+α-2)≡I

i

解得.4,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正態(tài)曲線的對(duì)稱性，考查對(duì)稱區(qū)間的概率的相等的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題.正態(tài)曲線的常見(jiàn)性質(zhì)有：（1）

正態(tài)曲線關(guān)于一，對(duì)稱，且越大圖象越靠近右邊，越小圖象越靠近左邊；（2）邊C.越小圖象越“瘦長(zhǎng)”，邊C.越大

Λ>U產(chǎn)fΛWV

圖象越“矮胖”；（3）正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于"對(duì)稱，內(nèi)丫>“=pr.=：oS

8、C

【解析】

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想判斷得解.

【詳解】

因?yàn)?.8>6.635,根據(jù)K2表可知；選C?

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

分析：由題意，該幾何體是一個(gè)正四棱柱切了四個(gè)角（小三棱錐），從而利用體積公式計(jì)算即可.

詳解：由題意，該幾何體是一個(gè)正四棱柱切了四個(gè)角（小三棱錐），

貝!JV=2X2X3-4XW1X1X3=10.

32

故選：C.

點(diǎn)睛：（1）解決組合體問(wèn)題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡(jiǎn)單的幾何體組成的以及這些簡(jiǎn)單的幾何體的組合情況；（2）

由三視圖求幾何體的面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，同時(shí)還需掌握求體積的常用技巧如：割補(bǔ)法和等價(jià)轉(zhuǎn)

化法.

10、B

【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題判斷Pl；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷〃2；根據(jù)逆否命題的定義判斷P3；由且命題

的性質(zhì)判斷

【詳解】

Pl：命題“N,n2n”的否定是"2。"，Pl不正確；

V”∈>23n0∈Mn0≤2"

P2：α,〃的充分且必要條件是W,l)?(l,-")=0等價(jià)于=即為加=〃，P?正確；

Pi:由逆否命題的定義可知，”在ΔAβC中，若A>B,則“sinA>sinβ^^的逆否命題是“在ΔABC"中，若SinA≤sinβ,

則"4≤B",P3正確；

PA≡若‘'〃八4"是假命題，則。是假命題或4是假命題，不正確.

所以，真命題的個(gè)數(shù)是2,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題通過(guò)對(duì)多個(gè)命題真假的判斷，主要綜合考查全稱命題的否定、向量垂直的充要條件、逆否命題的定義、“且”命題

的性質(zhì)，屬于中檔題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全

盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡(jiǎn)單的自己已經(jīng)掌握的

知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.

11、B

【解析】

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，特值及選項(xiàng)進(jìn)行排除.

【詳解】

當(dāng)X=I時(shí)，y=2+sinl>2,可以排除A,C選項(xiàng)；

?inYcinχ

由于y=x+是奇函數(shù)，所以>=l+χ+關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，所以B對(duì)，D錯(cuò).

%X

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，由解析式選擇函數(shù)圖象時(shí)，要注意特值法的使用，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).

12、D

【解析】

先閱讀題意，再結(jié)合簡(jiǎn)單的合情推理即可得解.

【詳解】

(I)AfD調(diào)5輛，DfC調(diào)1輛，BfC調(diào)3輛，共調(diào)整：5+1+3=9次，

(2)A-D調(diào)4輛，A-B調(diào)1輛，B-C調(diào)4輛，共調(diào)整：4+1+4=9次，

故選：D

10

10

【點(diǎn)睛】

本題考查了閱讀能力及簡(jiǎn)單的合情推理，屬中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、6

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比q,由于是正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，可得q>l.由a∣+as=82,a2?a4=8l=a∣a5,?"?a∣,as,是一元二

2

次方程χ2-82x+81=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得aι,as,利用通項(xiàng)公式可得q,a?,利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列｛一｝

an

的前n項(xiàng)和為Tn.代入不等式2019IgTLll>1,化簡(jiǎn)即可得出.

【詳解】

數(shù)列｛0,,｝為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，4+%=82,a2?a4=81=aιas,

q+4=82q=l

即《解得則公比4=3,???%=3'i,

4?a5=81a5=Sl

222

則7L=T+§+?+

.?.2019?,-l>1,即2019x[>l,得3"<2019,此時(shí)正整數(shù)W的最大值為6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于中檔題.

【解析】

分析：由題求出圓的面積，根據(jù)定積分求出曲線y=sinx(-〃≤x≤?)與x軸圍成的圖形的面積，利用幾何概型求出

概率.

詳解：由題圓。：χ2+V=/的面積為乃.乃2=乃3,曲線y=sinx(—乃≤x≤;T)與X軸圍成的圖形的面積為

ir(4

sinx<?=2sinxdx=2-cos%=4,故該點(diǎn)取自陰影部分的概率為一.

ΛΛI(xiàn)0Jπr

4

即答案為一.

π

點(diǎn)睛：本題考查幾何概型，考查利用定積分求面積，是緇.

15、6

【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，當(dāng)r=2時(shí)得到七項(xiàng)，再抽出其系數(shù).

【詳解】

2rr

7；+|=C；2x'-(—^)(r=0,1?,12),

√11

當(dāng)r=2時(shí)，(=G""'(一石?)?，所以第三項(xiàng)的系數(shù)為(-=6,故填6.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，考查基本運(yùn)算能力，注意第3項(xiàng)不是廠=3,而是r=2.

16、900

【解析】

計(jì)算可得樣本中高二年級(jí)人數(shù)，從而可計(jì)算得到抽樣比，從而可求得學(xué)生總數(shù).

【詳解】

由題意可知，高二年級(jí)抽?。?5—20—10=15人抽樣比為：-=-

453

，該校學(xué)生總數(shù)為：300÷L=900人

3

本題正確結(jié)果：900

【點(diǎn)睛】

本題考查分層抽樣的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確每層在樣本中占比與該層在總體中的占比相同.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17、(1)—+/=1；(2)見(jiàn)解析

3-

【解析】

(D設(shè)C=席不，由IABl=2,得/+02=4,且?=當(dāng)，

得a=G，b=l,c=V∑，

2

二橢圓E的方程為±+y2=h

3

22

(2)由題意，得/+。2=4,.?.橢圓E的方程二+上方=1,

a24-α2

2,

則々(一c,O)，F(xiàn)1(c,O),C=Ja2—匕2—?j2a-4

設(shè)Pa,%),由題意知XOWc,則直線KP的斜率MP=,

X0+C

直線工P的方程為y=(X-C),當(dāng)尤=0時(shí)，y=二^,即點(diǎn)Q(0,二?),

X0-CX0-CX0-C

直線耳。的斜率為MQ=舌7，

???以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)6,.?.PG?L耳。，

二×liFg=?×?=T,化簡(jiǎn)得城=/2-(2。2-4),

AQ-VCC-XQ

22

又?.?P為橢圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，.?.與+。J=1,?>0,>o>O,

cr4-α2

〃21

由①@，解得光O=—，%=2-”2,???￡-I：=:，即點(diǎn)P在直線Lj一1二”上.

22

18、(I)L(2)氈.

35

【解析】

【試題分析】(1)先確定點(diǎn)N的位置為CD的四等分點(diǎn)，再運(yùn)用線面平行的判定定理進(jìn)行證明肱V//平面PAD；(2)

借助(1)的結(jié)論，及線面角的定義構(gòu)造三角形找出直線MN與平面QAB所成角NA￡￡),再通過(guò)解直角三角形求出

其正弦值述：

5

解：⑴證明：CN=LN。,腦V//平面PAD.過(guò)M作EM//AB交PA于E,連接DE.因?yàn)镃N=INo,所以

33

CN=LCD=LAB=EM,又EMUDC/IAB,故EM//DN,且EM=DN,即OEMN為平行四邊形,則

42

MW//ED,又￡DU平面PAD,NMa平面PAD,MN//平面PAD；

(2)解:因?yàn)镹M//ED,所以直線MN與平面PAB所成角等于直線DE與平面PAB所成角

PA，底面ABCD,所以PAYAD,又因?yàn)锳B，AD,APCAB=A,所以A。J,底面PAB,NAEr)即為直線DE與

平面PAB所成角.因?yàn)锳E=L,AD=I,所以O(shè)E=YS,sin/AEO=冬，5,所以直線MN與平面PAB所成角的正弦值

225

?2√5

為----O

5

4

19、(1)S2=16,S3=81,S4=256,Sn=n；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

4

分析：直接計(jì)算接=16,邑=81,邑=256,猜想：Sll=nt

(2)證明：①當(dāng)〃=1時(shí)，猜想成立.②設(shè)”=M^∈N*)時(shí)，命題成立，即SK=G

③證明當(dāng)〃=左+1時(shí)，成立。

詳解：(1)解：S]=α∣=l,S2=Sl+A3=1+4+5+6=16,

53=S2+α5=16+11+12+13+14+15=81,

S4=S3+a5=81+22+23+…28=256,

猜想S,,=〃4；

(2)證明：①當(dāng)〃=1時(shí)，猜想成立.

②設(shè)〃=MAWN*)時(shí)，命題成立，即S*=左"，

n(n-l]1πrn(n-??n(n-??

由題意可知a“='2+H2+2+…—---+π

2

n(∕?+1)n{n^+1

“^Ξ--2_―2-

(2k+l)[(2A+iy+l

所以吸=(2k+1)(2?2+22+1)=4A3+6/+軟+1,

2

爐+攵+=(上+，

SM=Sk+a2M=/++641

所以〃=%+1時(shí)猜想成立.

由①、②可知，猜想對(duì)任意〃∈N"都成立.

點(diǎn)睛：推理與證明中，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式是常見(jiàn)的解法。根據(jù)題意先歸納猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜

想。數(shù)學(xué)歸納法證明必須有三步：

①當(dāng)〃=1時(shí)，計(jì)算得出猜想成立.

②當(dāng)“=々(AeN*)時(shí)，假設(shè)猜想命題成立，

③當(dāng)“=Z+1時(shí)，證明猜想成立。

20、(I)0.6(II)有99.9%的把握認(rèn)為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān)，詳見(jiàn)解析

【解析】

(I)畫(huà)出韋恩圖，計(jì)算參加舞蹈班的人數(shù)，再計(jì)算概率.

(∏)補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算K2,與臨界值表作比較得到答案.

【詳解】

(I)畫(huà)出韋恩圖得：

100

(II)

參加舞蹈興趣班不參加舞蹈興趣班總計(jì)

男生102030

女生502070

總計(jì)6040100

所以，有99.9%的把握認(rèn)為參加舞蹈興趣班與性別有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率的計(jì)算，列聯(lián)表，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

21、(l)y+?-=l;⑵10,4Mg")

【解析】

22>/62、

試題分析：（1）由題意得耳（0,1）,所以/一從=1,又由拋物線定義可知加=4,M-—3—},由橢圓定義

Z

知,2a^\MF}\+\MF2\=4,得α=2,故〃=3,從而橢圓&的方程為

22'-6k2t

Xy=Mx+f),Skt

-+?=1；(2)x+x=Ax0,yi+y2=λy0,聯(lián)立得P,代入橢

34l24%2+3y2=12,2(4+342=/1(4+342),

4后2產(chǎn)2t,所以2%可卜件44.

圓方程，所以儲(chǔ)=二與,又左=

4+3公I(xiàn)-Z23

試題解析:

（1）由題意得耳（0,1）,所以/—〃=],又由拋物線定義可知|叫|=%+1=（,

?（°?、22

27

得VM=§，于是易知M-----，從而也用二++1由橢圓定義知,

3713

2a=?MFi?+?MF2?=4,得q=2,故。？=3,

2

從而橢圓G的方程為工+Ji.

34

⑵設(shè)A(3,χ),B(x2,y2),P(%,%),貝岫04+0B=20P知，xl+x2=λx0,yl+y2=λy0,

22

且"+二=1,①

34

/、，/、2肘+1

又直線/：y^k(x+t)(其中股≠0)與圓V+(y+1)-=1相切，所以有-!y—^.=1

√l+%2

2t

由z≠o,可得左=(f≠+1>f≠0)>②

?-t2

<'="（：+’），消去），得（4+3左2）Y+6女2女+3女2/—]2=o,且△>（）恒成立,

又聯(lián)立

4x2+3∕=12,`'

6k2t3k2t2-?2

且X∣+“24+3/'”也_4+3.2

Skt

所以X+%=/(玉+/)+2股=

4+3%2

/?

-6k2tSkt12?4r2lβk2t