數值分析習題答案

第一章緒論3．以下各數都是經過四舍五入得到的近似數，即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數字：,,,,解：是五位有效數字；是二位有效數字；是四位有效數字；是五位有效數字；是二位有效數字。4．利用公式(2.3)求以下各近似值的誤差限：(1),(2),(3).其中均為第3題所給的數。解：6．設，按遞推公式〔n=1,2,…〕計算到。假設取〔5位有效數字〕，試問計算將有多大誤差？解：……依次代入后，有即，假設取,的誤差限為。9．正方形的邊長大約為了100cm，應怎樣測量才能使其面積誤差不超過？解：正方形的面積函數為.當時，假設,那么故測量中邊長誤差限不超過時，才能使其面積誤差不超過10．設，假定g是準確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當t增加時S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。解：當增加時，的絕對誤差增加當增加時，保持不變，那么的相對誤差減少。11．序列滿足遞推關系(n=1,2,…),假設〔三位有效數字〕，計算到時誤差有多大？這個計算過程穩(wěn)定嗎？解：又又計算到時誤差為，這個計算過程不穩(wěn)定。第二章插值法1．當時，,求的二次插值多項式。解：那么二次拉格朗日插值多項式為4．設為互異節(jié)點，求證：〔2〕證明由上題結論可知得證。5設且求證：解：令，以此為插值節(jié)點，那么線性插值多項式為=插值余項為8．如果是m次多項式，記，證明的k階差分是次多項式，并且〔為正整數〕。解：函數的展式為其中又是次數為的多項式為階多項式為階多項式依此過程遞推，得是次多項式是常數當為正整數時，11．證明證明得證。14．求及。解：假設那么16．求一個次數不高于4次的多項式P〔x〕，使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數不高于4的多項式設其中，A為待定常數從而18．求在上分段線性插值函數，并估計誤差。解：在區(qū)間上，函數在小區(qū)間上分段線性插值函數為誤差為第三章函數逼近與曲線擬合，給出上的伯恩斯坦多項式及。解：伯恩斯坦多項式為其中當時，當時，4。計算以下函數關于的與：解：假設，那么6。對，定義問它們是否構成內積。解：假設，那么,那么假設，那么,且即當且僅當時，.故可以構成上的內積。7。令，試證是在上帶權的正交多項式，并求。解：假設，那么令，那么，且，故又切比雪夫多項式在區(qū)間上帶權正交，且是在上帶權的正交多項式。又8。對權函數，區(qū)間，試求首項系數為1的正交多項式解：假設，那么區(qū)間上內積為定義，那么其中10.(Nohave)12.(Nohave)15。，在上按勒讓德多項式展開求三次最正確平方逼近多項式。解：按勒讓德多項式展開那么從而的三次最正確平方逼近多項式為16。觀測物體的直線運動，得出以下數據：時間t(s)0距離s(m)010305080110求運動方程。解：被觀測物體的運動距離與運動時間大體為線性函數關系，從而選擇線性方程令那么那么法方程組為從而解得故物體運動方程為23，用輾轉相除法將化為連分式。解19。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即從而解得又那么故

21。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即解得又那么故第四章數值積分與數值微分1.確定以下求積公式中的特定參數，使其代數精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數精度：解：求解求積公式的代數精度時，應根據代數精度的定義，即求積公式對于次數不超過m的多項式均能準確地成立，但對于m+1次多項式就不準確成立，進行驗證性求解?！?〕假設令，那么令，那么令，那么從而解得令，那么故成立。令，那么故此時，因此，具有3次代數精度?！?〕假設令，那么令，那么令，那么故有令，那么令，那么故此時，因此，具有3次代數精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計算以下積分：解：復化梯形公式為復化辛普森公式為復化梯形公式為復化辛普森公式為5。推導以下三種矩形求積公式：證明：兩邊同時在上積分，得即兩邊同時在上積分，得即兩連邊同時在上積分，得即7。如果，證明用梯形公式計算積分所得結果比準確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計算積分時，余項為又且又即計算值比準確值大。其幾何意義為，為下凸函數，梯形面積大于曲邊梯形面積。11。用的高斯-勒讓德公式計算積分解：令，那么用的高斯—勒讓德公式計算積分用的高斯—勒讓德公式計算積分17.(Nohave)在，和1.2處的導數值，并估計誤差。的值由下表給出：xF(x)解：由帶余項的三點求導公式可知又又又故誤差分別為利用數值積分求導，設由梯形求積公式得從而有故又且從而有故即解方程組可得第5章解線性方程組的直接方法2．證明：〔1〕因A對稱正定，故其中MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h=〔0,…,0,1,0,...,0〕為第i個單位向量.(2)由A的對稱性及消元公式得=-=-=，I,j=2,…,n故也對稱.又=其中顯然非其異,從而對任意的x0,有X0,(x,AX)=(x,AX)>0(由A的正定性)故正定.又=,而>0,故正定.3.證明由矩陣乘法簡單運算即得證.7.(Nohave)(Nohave)解設有分解=由公式其中，，分別是系數矩陣的主角線元素及其下邊和上邊的次對角線元素，那么有，，，，，，，由得=，，，，由得=，=，=，=，=10．解設=由矩陣乘法得=2，，，由得，，由得故==2.5555556，=0.7777778，==1.111111111．解A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故假設將A中第一行與第三行交換，那么可以分解，且分解唯一。B中，==0，但它仍可以分解為B=其中為一任意常數，且U奇異，故分解且分解不唯一，對C，0，i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。C=13．證明〔1〕有定義知