2023北京高三一模數(shù)學匯編:第五道解答題(第20題)_第1頁
2023北京高三一模數(shù)學匯編:第五道解答題(第20題)_第2頁
2023北京高三一模數(shù)學匯編:第五道解答題(第20題)_第3頁
2023北京高三一模數(shù)學匯編:第五道解答題(第20題)_第4頁
2023北京高三一模數(shù)學匯編:第五道解答題(第20題)_第5頁
已閱讀5頁,還剩6頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

2023北京高三一模數(shù)學匯編

第五道解答題(第20題)

1.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:x?+2y2=2,點A,8在橢圓C上,且Q4_LOB(。為原點).設

AB的中點為V,射線OM交橢圓C于點N.

(1)當直線AB與X軸垂直時,求直線AB的方程;

Q)求器[的取值范圍.

2.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知橢圓氏5+*l(α>∕,>0)的一個頂點為A(0,l),離心率e邛.

⑴求橢圓E的方程;

(2)過點「卜百,1)作斜率為A的直線與橢圓E交于不同的兩點3,C,直線A8,AC分別與X軸交于點M,

IMDI

M設橢圓的左頂點為。,求扁的值.

22

3.(2023.北京朝陽?統(tǒng)考一模)已知橢圓E:5+匕=1(0<〃<4)經(jīng)過點(3,1).

(1)求橢圓E的方程及離心率;

(2)設橢圓E的左頂點為A,直線/:X=Wy+1與E相交于M,N兩點,直線AM與直線χ=4相交于點

。.問:直線N。是否經(jīng)過X軸上的定點?若過定點,求出該點坐標;若不過定點,說明理由.

4.(2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=x+3(a>0).

e

⑴求函數(shù)f(x)的極值;

⑵若函數(shù)有兩個不相等的零點七,

(i)求〃的取值范圍;

(ii)證明:x∣+J?>2In4.

5.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)己知函數(shù)/(x)=e'-l-帆SinMmeR).

(1)當〃2=1時,

(i)求曲線y=∕(χ)在點(o,∕(o))處的切線方程;

(ii)求證:?xe(θ,?∣),/(Λ)>0.

(2)若〃刈在(0,?∣)上恰有一個極值點,求加的取值范圍.

6.(2023?北京房山?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=0r-(α+l)lnx-L

X

(I)當α=0時,求曲線y=f(χ)在點(IJ⑴)處的切線方程;

⑵若y="X)在X=2處取得極值,求/(X)的單調區(qū)間;

(3)求證:當0<α<l時,關于X的不等式/(x)>l在區(qū)間[l,e]上無解.

22B

7.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:三+當=1(4>方>0)經(jīng)過點1,?-,離心率為0.

a3I2J2

⑴求橢圓C的方程;

⑵設直線/:y=丘+f(fH())與橢圓C相交于A,B兩點,。為坐標原點.若以OAOB為鄰邊的平行四邊形

Q4P3的頂點P在橢圓C上,求證:平行四邊形OApB的面積是定值.

1+X

8.(2023?北京平谷?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/⑴=;—ef>0).

1-x

(1)當。=1時,求曲線y=F(X)在點(O,F(O))處的切線方程;

(2)討論y=∕(χ)的單調性;

(3)若對任意xe(O,l)恒有/(x)>l,求a的最大值.

參考答案

1.(l)x=±-

3

(2)愕,有

【分析】(1)根據(jù)題意可知點AB關于X軸對稱且OAJ利用勾股定理可得直線AB的方程為

x=±直;(2)當直線AB的斜率不存在時,陪S直線AB的斜率存在時,聯(lián)立直線y=h+機和橢

圓方程再根據(jù)OAJ?OB可得3加=2公+2,即二≥/再由湍=2為求出點N∈∣絆,3^—),代入橢圓

32k+\2匕+1

方程即可得匯=3-Λ,即可求得螺;的取值范圍為半,代

【詳解】(1)當直線AB與X軸垂直時,設其方程為X=r(-√∑<f<0)?

由點AB關于X軸對稱,且。4,08,由勾股定理可知不妨設Aa/),

將點A的坐標代入橢圓C的方程,得產(chǎn)+2r=2,解得r=±如.

3

所以直線AB的方程為X=±亞.

3

31

(2)當直線A3的斜率不存在時,由(I)知兩"一袤一“

3

當直線AB的斜率存在時,設其方程為y=h+"?.

y=kx+m,

由得(2&2+l)x2+4kmx+2m2—2=0.

X2+2/=2,

22

由A=8(2∕—∕√+l)>0,^m<l+2k.

Akm2m2-2

設A(XI,y∣),B(x,y),則玉+演=一

222p+T,?'?2-2k2+\

因為。4_LOB,所以OA.08=0.

xx

所以xlx2+y∣y2~t2+(向+>n)(kx2+m)-O.

2

整理得(k?+l)x1x2+km{xλ+x2)+m=O.

所以(k-+1)(2M-2)+km(-4km)+m2(2k2+1)=0.

9

解得3〃/=2公+2,從而m2≥5.

IiUUlULlU+PJc-

設CW=/OM,其中∕l>0.

Uirai2IArIllIl2-2lanλtnλ

則。N=萬(。4+QB)=萬(司+々,%+*)=(-

2k1+?2k1+?,

將島)代入橢圓C的方程,得"

所以>公=3/_1,HPΓ=3-Λ.

m

因為蘇≥2,所以*z<3,ap^≤2<√3.

322

綜上篇的取值范圍是手,6.

2.(1)—+y2=l

3

⑵幽」

('?MN?2

A2「2,

【分析】(1)依題意可得力=1,:====,進而求出橢圓方程;

a~ar3

(2)首先表示出直線方程,設3(.》)、C(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓方程,消元列出韋達定理,由直線

AB,AC的方程,表示出A+%=-2√L得到點。為線段MN的中點,進而求解.

【詳解】⑴由題意可知b=l,^2=l-?-=-?=4,所以/=3,

a~a3

則所求橢圓E的方程為j+V=1.

3

(2)依題意過點P(-6,1)的直線為y-l=MX+6),設3(芭,凹)、c(x2,y2),不妨令

-?∣3<x1<x9≤?/?,

y-?=+j

由,χ2,消去y整理得(1+3〃)產(chǎn)+僅辰2+6攵)χ+9公+6?=0,

____-1

222

所以A=色&2+6?)-4(l+3k)(9k+6√3?)>0,解得k<0,

-U6Λ∕3?2+6?9?2+6√3?

所FCI以*+入2=----------2-

1+3公

直線AB的方程為y-l=2L二L,令y=o,解得XM=T?=L,??、,

Xl1-y1氏(X]+√3)

直線AC的方程為yT=X,令y=(),解得XW=丁出=。信

X21一%Kx2÷,3)

所以/+/=-∣(-x]-iτ+-1?)

kχ1+√3x2+√3

9公+6&[z,6限2+6-、

=_1.2X∣1+G(X∣+匕)=_1.X1+3〃+1+3小)

2

kχlχ2+-V3(xl+x2)+3k9k+6>∕3k+∣^χ,66k。+6k

1+3r+X--1+3r+

16√3?

=--------

k3

=-2?∣3,

因為點。(-6,0),則點。為線段MN的中點,

所以IM局DI=I5

【點睛】直線與圓錐曲線相交所成線段比值的求解步驟:

設出直線方程,利用韋達定理和判別式求出取值范圍;

結合韋達定理將線段比值的表達式表示出來;

根據(jù)判別式中的范圍采用分離變量,換元,基本不等式等方法進行求值.

3.⑴橢圓E的方程為二+亡=1,離心率為

422

⑵直線N。過定點(2,0).

【分析】(1)根據(jù)橢圓經(jīng)過點(四』)即可求得橢圓方程,利用離心率公式即可求離心率;

(2)表示出直線AM的方程為V=-^?(x+2),即可求得點Q(4,-?),再利用點斜式表示得直線N。的

??+2X1+2

方程為了一%=萼二乎GF,即可求出NQ與X軸的交點,利用韋達定理等量替換即可求出直線

(4-X2)(X1+2)

NQ恒過的定點.

22

【詳解】(1)因為橢圓E:?+工=1(0<〃<4)經(jīng)過點(√∑,1),

21

所以:+L=1,解得"二2,

4n

所以橢圓E的方程為《+$=1,

42

因為“2=4,0=2,所以C=Ja2一廿=&,

所以離心率為e=£=".

a2

(2)直線NQ過定點(2,0),理由如下:

由_4可得+2)y2+2my-3=O,

顯然A=4療+12(療+2)>0,

設“(百,%),%(%,%),則有y+%=一一”「%必=—Λτ-?

m~+2療+2

直線AM的方程為y=-?(χ+2)?

令χ=4,解得y=-?,則Q4,-?),

?l+ZX)',

6)1

所以直線NQ的斜率為A=改+2-=6)[-),式為+2)且心°#O,

-

Q4—X2(4—X2)(?it^2)

=≡g≡(f)?

所以直線NQ的方程為y-必

%(4-X2)(x∣+2)

6χ-%α+2)

_W[6y∣一曠2(x∣+2)]%(4*2)(X∣+2)

6y-%α+2)

?21-4%(x∣+2)=6(,町2+1)X-4%。%%+3)

6j∣-y2U1+2)6%-y2(w>'∣+3)

2m?--^3—A2m

+6——?_18.y2

2沖訪+6>I-12%("+2(m~+2

-myy+6y-3y3A2m

i2l2—m\-+6——?——一9%

Hl*2+2Im-+2

2

_-18AW-18(∕W+2)γ2

2

-9m-9(m+2)y2

所以直線NQ過定點(2,0).

【點睛】關鍵點點睛:本題第二問的關鍵在于利用直線的點斜式方程求的點點。(4,黑)的坐標,再利用點

斜式方程表示出直線N。與X軸的交點橫坐標,利用韋達定理等量代換求恒過定點.

4.(1)函數(shù)f(x)無極大值,有極小值1+ln”.

⑵(i)0<a<1.(H)見詳解.

e

【分析】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值.

(2)(i)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值,再結合圖象與零點進行求解.

(ii)利用構造對稱函數(shù)以及導數(shù)進行證明.

【詳解】(1)因為f(x)=x+二,所以r(x)=I—9=因為”>0,

e-ee

由f'(x)>O有:x>?na,由/'(X)<0有:x<?na,

所以函數(shù)/(χ)在(-∞,lnα)單調遞減,在(Ina,+?o)單調遞增,

所以函數(shù)/(x)無極大值,有極小值/(?na)=1+In”.

(2)(i)由⑴有:函數(shù)/(χ)在(ro,lnα)單調遞減,在(Ina,+∞)單調遞增,

若函數(shù)/(x)有兩個不相等的零點巧,々,則/(Ina)=I+lnα<0,解得“<l,

e

所以OCa<,,因為當χf+∞時,=→0,=+x→+∞,,所以f(x)→E,

eee

所以/(x)=x+,在(Ina,+00)上有1個零點,

當Xf-∞時,→+∞,又''指數(shù)爆炸",所以/(x)→+∞,

所以/(x)=x+[在(-∞,lnα)上有1個零點,

綜上,當0<“<1時,函數(shù)/(X)有兩個不相等的零點4,X2.

e

(Ii)由⑴有:當O<“<J時,函數(shù)/(X)有兩個不相等的零點為,巧,

e

不妨設芭<lnα<z,構造函數(shù)尸(x)=∕(x)-f(2Ina-x),則9(X)=尸(x)+f(21nq-x),

因為/'(X)=J=,所以F(X)=I-占+1-能7=2-停+J,

因為0<α<L所以巴+乙2乜旦=2,當前僅當X=Ina時取到等號,

eevαNe'a

所以尸(X)=2-4+-≤0,所以尸(x)=〃x)—/(2InaT)在R上單調遞減,

Iea)

7

又W>Ino,所以∕(x2)VF(Ina)=./(Ina)-/(21nα-Ina)=0,

BPF(X,)=∕(Λ2)-∕(21Π<7-Λ2)<0,即f(%)<f(21na-j?),又f(/)=」(%),

所以/(xj<∕(21n“一Λ2),又xl<lnα<X2,所以21114-々<ln4,

由⑴有:函數(shù)f(x)在(-∞,lnα)單調遞減,所以玉>2lna-X2,

即由+々>2Ina,結論得證.

5.(1)(i)切線/方程為y=0;(ii)證明見解析

⑵(l,+∞)

【分析】(1)當機=1時,求導,根據(jù)導數(shù)幾何意義求解切點坐標與斜率,即可得切線方程;根據(jù)導函數(shù)的

正負確定函數(shù)的單調性,即可得函數(shù)/(x)的最值,即可證明結論;

(2)根據(jù)極值點與函數(shù)的關系,對加進行討論,確定導函數(shù)是否存在零點進行判斷,即可求得”?的取值

范圍.

【詳解】(1)當“7=1時,∕,(x)=et-COSX

(i)/'(O)=e°-cos0=0,又"0)=e0-I-SinO=O,所以切線/方程為y=0.

(ii)/(x)=e'-l-sinx,∕,(x)=e'-cosx,因為xe(θ,?^?),所以e*>1,-cosx>-1,

所以e*-cosx>0,所以/'(x)=e*-cosx>0

所以/(x)在((埒)單調遞增,所以F(X)>/⑼=0;

(2)/(X)=e'-l-∕Hsi∏Λ,∕z(x)=e'-mcosx

當相£1時,所以一moosX≥—cosX,

/、'(x)=e?-"zcosx≥e?-cosx,

由(1)知,/(x)>0,

所以/(χ)在(0日)上單調遞增.

所以當機£1時,/(x)=e*-l-msinx沒有極值點,

當/>1時,∕,(x)=ejr-wcosx,

因為y=e?與y=-mcosX在(Og)單調遞增.

所以尸(x)在(0,;)單調遞增.

所以r(0)=l-m<0,∕,(∣)=^>0?

所以丸€(0身使得尸(x0)=0.

所以當O<x<x。時,f(x)<O,因此“X)在區(qū)間(0,Λυ)上單調遞減,

當x0<x<5時,f?x)>0,因此.f(x)在區(qū)間上單調遞增.

故函數(shù)f(x)在K)B)上恰有一個極小值點,加的取值范圍是(1,一)?

6.(I)N=T

(2)/(到的單調遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調遞減區(qū)間為(1,2)

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可求得切線方程;

(2)根據(jù)/'(2)=O可求出〃=;,并對其進行檢驗即可求解;

(3)分,≥e和l<L<e兩種情況,求出函數(shù)/(χ)在區(qū)間U,e]上的最大值即可作答.

aa

?、那、2,

4/.、,”、z1八一τ3c.α+l1ax-(d+l)x+l(QX-I)(X-I)

【詳解】(1)?/(x)=αv-(α÷l)Inx一一,x>O∏Γ<f?χ)=a-------+—7=--------`)------=?--------R-------,

xXX^X廠

當α=0時,/(l)=-lnl-j=-l,∕,(l)=0,

y=?(?)在點(IJ⑴)處的切線方程為y=-1;

(2)因為y=∕(x)在X=2處取得極值,所以尸(2)=牛1=0,解得〃=;,

檢驗如下:

令〃,、小一1/I)n,解得X=2或X=I,

f(X)=---------4--------=0

XT

若O<x<l或x>2時,則外勾>0;若ICX<2,貝IJr(X)<0.

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調遞減區(qū)間為(1,2),

故y=∕(x)在χ=2處取得極小值,滿足題意,

故f(X)的單調遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調遞減區(qū)間為(1,2);

(3)由(1)知尸(x)=3-D,(x-D,由O<α<l時,得,>1,因x∈U,e],

Jra

當工≥e時,當x∈(l,e)時,∕,(x)<0,即函數(shù)/⑴在U,e]上單調遞減,則,(外皿=/⑴=<1,

a

因此不等式/(X)>1不成立,即不等式/(x)>1在區(qū)間[l,e]上無解;

當l<,<e時,當l<x<L時,∕,(x)<0,當,<x<e時,∕,(x)>0,即f(χ)在(1」)上遞減,在(Le)上

aaaaa

遞增,

于是得/(x)在[l,e]上的最大值為/(I)或/(e),而/(l)=α-l<l,/(e)=αe-(α+1)-L

e

/(e)-l=a(e-l)-2-L<(e-l)-2-l=e-3-!<0,即/(e)<l,

eee

因此不等式/(X)>1不成立,即不等式/(x)>l在區(qū)間u,e]上無解,

所以當O<a<l時,關于X的不等式/(x)>l在區(qū)間[l,e]上無解.

7.⑴]+V=ι

(2)證明見解析

【分析】(1)由題意可得關于。,b,C的方程組,求得a,b的值,則橢圓方程可求;

(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關于X的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系及四邊形。出8是平行

四邊形,可得尸點坐標,把尸點坐標代入橢圓方程,得到產(chǎn)=f,利用弦長公式求得∣A8∣,再由點到

直線的距離公式求出點。到直線/的距離,代入三角形面積公式即可證明平行四邊形(MPB的面積為定值.

1

2-

F

^

解得

22從

【詳解】(I)由題意,可得,2-α=

所以橢圓為二+V=I.

2

(2)證明:把y=H+r代入橢圓方程++V=1,

2

得(2k+I)X2+4ktx+2r-2=0,

所以△=(4kt)2-4(2r+1)(2*—2)=16?2-8r+8>0,BRr<2k2+l,

設Aa,y∣),B(x2,y2),則χtχ2=^Lfl,

乙K十1乙K+1

所以弘+%=/(玉+%2)+2/=可差

乙K十i

因為四邊形OAPB是平行四邊形,

(Λbf2/、

所以。P=。4+。B=(Xl+々,M+必)=I-?,z?,>用工1,

?,乙KiL乙Ki17

所以尸點坐標為「島,5?)?

又因為點尸在橢圓上,

^k2t2產(chǎn)

41即笆

所以際+際=I/2=J≤

4

2t2

因為|A8∣=?∣?+k?xi-x2?=J+^^(xl+x2)-xlx2,

即lIABIl=標.2=

*2二+1)-2?+l√^F7∣

又點。到直線/的距離d=-?=,

y∣?+k2

所以平行四邊形OAPB的面積

S0APB=2S0AB=\AB\.d=-^==如,

-V

即平行四邊形OAPB的面積為定值.

8.(l)y=χ+l

(2)見解析

(3)2

【分析】(I)根據(jù)導數(shù)的幾何意義得出切線方程;

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論