2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：第五道解答題（第20題）

2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

第五道解答題(第20題)

1.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)已知橢圓C：x?+2y2=2,點A,8在橢圓C上，且Q4_LOB(。為原點).設(shè)

AB的中點為V,射線OM交橢圓C于點N.

(1)當(dāng)直線AB與X軸垂直時，求直線AB的方程；

Q)求器［的取值范圍.

2.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知橢圓氏5+*l(α>∕,>0)的一個頂點為A(0,l),離心率e邛.

⑴求橢圓E的方程；

(2)過點「卜百,1)作斜率為A的直線與橢圓E交于不同的兩點3,C,直線A8,AC分別與X軸交于點M,

IMDI

M設(shè)橢圓的左頂點為。，求扁的值.

22

3.(2023.北京朝陽?統(tǒng)考一模)已知橢圓E:5+匕=1(0<〃<4)經(jīng)過點(3,1).

(1)求橢圓E的方程及離心率；

(2)設(shè)橢圓E的左頂點為A,直線/：X=Wy+1與E相交于M,N兩點，直線AM與直線χ=4相交于點

。.問：直線N。是否經(jīng)過X軸上的定點？若過定點，求出該點坐標(biāo)；若不過定點，說明理由.

4.(2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=x+3(a>0).

e

⑴求函數(shù)f(x)的極值;

⑵若函數(shù)有兩個不相等的零點七，

(i)求〃的取值范圍；

(ii)證明：x∣+J?>2In4.

5.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)己知函數(shù)/(x)=e'-l-帆SinMmeR).

(1)當(dāng)〃2=1時，

(i)求曲線y=∕(χ)在點(o,∕(o))處的切線方程；

(ii)求證：?xe(θ,?∣),/(Λ)>0.

(2)若〃刈在(0,?∣)上恰有一個極值點，求加的取值范圍.

6.(2023?北京房山?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=0r-(α+l)lnx-L

X

(I)當(dāng)α=0時，求曲線y=f(χ)在點(IJ⑴)處的切線方程；

⑵若y="X)在X=2處取得極值，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求證：當(dāng)0<α<l時，關(guān)于X的不等式/(x)>l在區(qū)間［l,e］上無解.

22B

7.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:三+當(dāng)=1(4>方>0)經(jīng)過點1,?-,離心率為0.

a3I2J2

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)直線/：y=丘+f(fH())與橢圓C相交于A,B兩點,。為坐標(biāo)原點.若以O(shè)AOB為鄰邊的平行四邊形

Q4P3的頂點P在橢圓C上，求證：平行四邊形OApB的面積是定值.

1+X

8.(2023?北京平谷?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/⑴=；—ef>0).

1-x

(1)當(dāng)。=1時,求曲線y=F(X)在點(O,F(O))處的切線方程;

(2)討論y=∕(χ)的單調(diào)性；

(3)若對任意xe(O,l)恒有/(x)>l,求a的最大值.

參考答案

1.(l)x=±-

3

(2)愕,有

【分析】(1)根據(jù)題意可知點AB關(guān)于X軸對稱且OAJ利用勾股定理可得直線AB的方程為

x=±直；(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，陪S直線AB的斜率存在時，聯(lián)立直線y=h+機和橢

圓方程再根據(jù)OAJ?OB可得3加=2公+2,即二≥/再由湍=2為求出點N∈∣絆,3^—),代入橢圓

32k+\2匕+1

方程即可得匯=3-Λ,即可求得螺;的取值范圍為半，代

【詳解】(1)當(dāng)直線AB與X軸垂直時，設(shè)其方程為X=r(-√∑<f<0)?

由點AB關(guān)于X軸對稱，且。4,08,由勾股定理可知不妨設(shè)Aa/),

將點A的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，得產(chǎn)+2r=2,解得r=±如.

3

所以直線AB的方程為X=±亞.

3

31

(2)當(dāng)直線A3的斜率不存在時，由(I)知兩"一袤一“

3

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=h+"?.

y=kx+m,

由得(2&2+l)x2+4kmx+2m2—2=0.

X2+2/=2,

22

由A=8(2∕—∕√+l)>0,^m<l+2k.

Akm2m2-2

設(shè)A(XI,y∣),B(x,y),則玉+演=一

222p+T,?'?2-2k2+\

因為。4_LOB,所以O(shè)A.08=0.

xx

所以xlx2+y∣y2~t2+(向+>n)(kx2+m)-O.

2

整理得(k?+l)x1x2+km{xλ+x2)+m=O.

所以(k-+1)(2M-2)+km(-4km)+m2(2k2+1)=0.

9

解得3〃/=2公+2,從而m2≥5.

IiUUlULlU+PJc-

設(shè)CW=/OM,其中∕l>0.

Uirai2IArIllIl2-2lanλtnλ

則。N=萬(。4+QB)=萬(司+々,％+*)=(-

2k1+?2k1+?,

將島)代入橢圓C的方程,得"

所以>公=3/_1,HPΓ=3-Λ.

m

因為蘇≥2,所以*z<3,ap^≤2<√3.

322

綜上篇的取值范圍是手,6.

2.（1）—+y2=l

3

⑵幽」

（'?MN?2

A2「2,

【分析】（1）依題意可得力=1,:====，進而求出橢圓方程;

a~ar3

（2）首先表示出直線方程，設(shè)3（.》）、C（x2,y2）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由直線

AB,AC的方程，表示出A+%=-2√L得到點。為線段MN的中點，進而求解.

【詳解】⑴由題意可知b=l,^2=l-?-=-?=4,所以/=3,

a~a3

則所求橢圓E的方程為j+V=1.

3

（2）依題意過點P（-6,1）的直線為y-l=MX+6），設(shè)3（芭,凹）、c（x2,y2）,不妨令

-?∣3<x1<x9≤?/?,

y-?=+j

由,χ2,消去y整理得（1+3〃）產(chǎn)+僅辰2+6攵）χ+9公+6?=0,

____-1

222

所以A=色&2+6?)-4(l+3k)(9k+6√3?)>0,解得k<0,

-U6Λ∕3?2+6?9?2+6√3?

所FCI以*+入2=----------2-

1+3公

直線AB的方程為y-l=2L二L,令y=o,解得XM=T?=L,??、，

Xl1-y1氏(X]+√3)

直線AC的方程為yT=X,令y=(),解得XW=丁出=。信

X21一%Kx2÷，3)

所以/+/=-∣(-x]-iτ+-1?)

kχ1+√3x2+√3

9公+6&[z,6限2+6-、

=_1.2X∣1+G(X∣+匕)=_1.X1+3〃+1+3小)

2

kχlχ2+-V3(xl+x2)+3k9k+6>∕3k+∣^χ,66k。+6k

1+3r+X--1+3r+

16√3?

=--------

k3

=-2?∣3，

因為點。(-6,0),則點。為線段MN的中點，

所以IM局DI=I5

【點睛】直線與圓錐曲線相交所成線段比值的求解步驟：

設(shè)出直線方程，利用韋達定理和判別式求出取值范圍；

結(jié)合韋達定理將線段比值的表達式表示出來；

根據(jù)判別式中的范圍采用分離變量，換元，基本不等式等方法進行求值.

3.⑴橢圓E的方程為二+亡=1,離心率為

422

⑵直線N。過定點(2,0).

【分析】(1)根據(jù)橢圓經(jīng)過點(四』)即可求得橢圓方程，利用離心率公式即可求離心率；

(2)表示出直線AM的方程為V=-^?(x+2),即可求得點Q(4,-?),再利用點斜式表示得直線N。的

??+2X1+2

方程為了一%=萼二乎GF，即可求出NQ與X軸的交點，利用韋達定理等量替換即可求出直線

(4-X2)(X1+2)

NQ恒過的定點.

22

【詳解】(1)因為橢圓E:?+工=1(0<〃<4)經(jīng)過點(√∑,1),

21

所以:+L=1,解得"二2,

4n

所以橢圓E的方程為《+$=1,

42

因為“2=4,0=2,所以C=Ja2一廿=&,

所以離心率為e=￡=".

a2

(2)直線NQ過定點(2,0),理由如下：

由_4可得+2)y2+2my-3=O,

顯然A=4療+12(療+2)>0,

設(shè)“(百,%),%(%,%)，則有y+%=一一”「%必=—Λτ-?

m~+2療+2

直線AM的方程為y=-?(χ+2)?

令χ=4,解得y=-?,則Q4,-?),

?l+ZX)'，

6)1

所以直線NQ的斜率為A=改+2-=6)[-)，式為+2)且心°#O,

-

Q4—X2(4—X2)(?it^2)

=≡g≡(f)?

所以直線NQ的方程為y-必

%(4-X2)(x∣+2)

6χ-%α+2)

_W[6y∣一曠2(x∣+2)]%(4*2)(X∣+2)

6y-%α+2)

?21-4%(x∣+2)=6(，町2+1)X-4%。%%+3)

6j∣-y2U1+2)6%-y2(w>'∣+3)

2m?--^3—A2m

+6——?_18.y2

2沖訪+6>I-12%("+2(m~+2

-myy+6y-3y3A2m

i2l2—m\-+6——?——一9%

Hl*2+2Im-+2

2

_-18AW-18(∕W+2)γ2

2

-9m-9(m+2)y2

所以直線NQ過定點(2,0).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵在于利用直線的點斜式方程求的點點。(4,黑)的坐標(biāo)，再利用點

斜式方程表示出直線N。與X軸的交點橫坐標(biāo)，利用韋達定理等量代換求恒過定點.

4.(1)函數(shù)f(x)無極大值，有極小值1+ln”.

⑵(i)0<a<1.(H)見詳解.

e

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.

(2)(i)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，再結(jié)合圖象與零點進行求解.

(ii)利用構(gòu)造對稱函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)進行證明.

【詳解】(1)因為f(x)=x+二，所以r(x)=I—9=因為”>0,

e-ee

由f'(x)>O有：x>?na,由/'(X)<0有：x<?na,

所以函數(shù)/(χ)在(-∞,lnα)單調(diào)遞減，在(Ina,+?o)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)無極大值，有極小值/(?na)=1+In”.

(2)(i)由⑴有：函數(shù)/(χ)在(ro,lnα)單調(diào)遞減，在(Ina,+∞)單調(diào)遞增，

若函數(shù)/(x)有兩個不相等的零點巧，々，則/(Ina)=I+lnα<0,解得“<l,

e

所以O(shè)Ca<,，因為當(dāng)χf+∞時，=→0,=+x→+∞,,所以f(x)→E,

eee

所以/(x)=x+，在(Ina,+00)上有1個零點,

當(dāng)Xf-∞時,→+∞,又''指數(shù)爆炸"，所以/(x)→+∞,

所以/(x)=x+［在(-∞,lnα)上有1個零點，

綜上，當(dāng)0<“<1時，函數(shù)/(X)有兩個不相等的零點4，X2.

e

(Ii)由⑴有：當(dāng)O<“<J時，函數(shù)/(X)有兩個不相等的零點為，巧，

e

不妨設(shè)芭<lnα<z,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=∕(x)-f(2Ina-x),則9(X)=尸(x)+f(21nq-x),

因為/'(X)=J=，所以F(X)=I-占+1-能7=2-停+J,

因為0<α<L所以巴+乙2乜旦=2,當(dāng)前僅當(dāng)X=Ina時取到等號，

eevαNe'a

所以尸(X)=2-4+-≤0,所以尸(x)=〃x)—/(2InaT)在R上單調(diào)遞減，

Iea)

7

又W>Ino,所以∕(x2)VF(Ina)=./(Ina)-/(21nα-Ina)=0,

BPF(X,)=∕(Λ2)-∕(21Π<7-Λ2)<0,即f(%)<f(21na-j?),又f(/)=」(%),

所以/(xj<∕(21n“一Λ2),又xl<lnα<X2,所以21114-々<ln4,

由⑴有：函數(shù)f(x)在(-∞,lnα)單調(diào)遞減，所以玉>2lna-X2,

即由+々>2Ina,結(jié)論得證.

5.(1)(i)切線/方程為y=0；(ii)證明見解析

⑵(l,+∞)

【分析】(1)當(dāng)機=1時，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切點坐標(biāo)與斜率，即可得切線方程；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的

正負確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)/(x)的最值，即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)極值點與函數(shù)的關(guān)系，對加進行討論，確定導(dǎo)函數(shù)是否存在零點進行判斷，即可求得”?的取值

范圍.

【詳解】(1)當(dāng)“7=1時，∕,(x)=et-COSX

(i)/'(O)=e°-cos0=0,又"0)=e0-I-SinO=O,所以切線/方程為y=0.

(ii)/(x)=e'-l-sinx,∕,(x)=e'-cosx,因為xe(θ,?^?),所以e*>1,-cosx>-1,

所以e*-cosx>0,所以/'(x)=e*-cosx>0

所以/(x)在((埒)單調(diào)遞增，所以F(X)>/⑼=0；

(2)/(X)=e'-l-∕Hsi∏Λ,∕z(x)=e'-mcosx

當(dāng)相￡1時，所以一moosX≥—cosX,

/、'(x)=e?-"zcosx≥e?-cosx,

由(1)知，/(x)>0,

所以/(χ)在(0日)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)機￡1時，/(x)=e*-l-msinx沒有極值點，

當(dāng)/>1時，∕,(x)=ejr-wcosx,

因為y=e?與y=-mcosX在(Og)單調(diào)遞增.

所以尸(x)在(0,；)單調(diào)遞增.

所以r(0)=l-m<0,∕,(∣)=^>0?

所以丸€(0身使得尸(x0)=0.

所以當(dāng)O<x<x。時，f(x)<O,因此“X)在區(qū)間(0,Λυ)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x0<x<5時，f?x)>0,因此.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

故函數(shù)f(x)在K)B)上恰有一個極小值點，加的取值范圍是(1,一)?

6.(I)N=T

(2)/(到的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可求得切線方程；

(2)根據(jù)/'(2)=O可求出〃=；,并對其進行檢驗即可求解；

(3)分,≥e和l<L<e兩種情況，求出函數(shù)/(χ)在區(qū)間U,e］上的最大值即可作答.

aa

?、那、2,

4/.、,”、z1八一τ3c.α+l1ax-(d+l)x+l(QX-I)(X-I)

【詳解】(1)?/(x)=αv-(α÷l)Inx一一,x>O∏Γ<f?χ)=a-------+—7=--------`)------=?--------R-------,

xXX^X廠

當(dāng)α=0時，/(l)=-lnl-j=-l,∕,(l)=0,

y=?(?)在點(IJ⑴)處的切線方程為y=-1；

(2)因為y=∕(x)在X=2處取得極值，所以尸(2)=牛1=0,解得〃=；,

檢驗如下：

令〃,、小一1/I)n,解得X=2或X=I,

f(X)=---------4--------=0

XT

若O<x<l或x>2時，則外勾>0；若ICX<2,貝IJr(X)<0.

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),

故y=∕(x)在χ=2處取得極小值，滿足題意，

故f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)；

(3)由(1)知尸(x)=3-D,(x-D,由O<α<l時，得,>1,因x∈U,e］,

Jra

當(dāng)工≥e時，當(dāng)x∈(l,e)時，∕,(x)<0,即函數(shù)/⑴在U,e］上單調(diào)遞減，則,(外皿=/⑴=<1,

a

因此不等式/(X)>1不成立，即不等式/(x)>1在區(qū)間［l,e］上無解；

當(dāng)l<,<e時，當(dāng)l<x<L時，∕,(x)<0,當(dāng),<x<e時，∕,(x)>0,即f(χ)在(1」)上遞減，在(Le)上

aaaaa

遞增，

于是得/(x)在［l,e］上的最大值為/(I)或/(e),而/(l)=α-l<l,/(e)=αe-(α+1)-L

e

/(e)-l=a(e-l)-2-L<(e-l)-2-l=e-3-!<0,即/(e)<l,

eee

因此不等式/(X)>1不成立，即不等式/(x)>l在區(qū)間u,e］上無解，

所以當(dāng)O<a<l時，關(guān)于X的不等式/(x)>l在區(qū)間［l,e］上無解.

7.⑴］+V=ι

(2)證明見解析

【分析】(1)由題意可得關(guān)于。，b,C的方程組，求得a,b的值，則橢圓方程可求；

(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于X的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及四邊形。出8是平行

四邊形，可得尸點坐標(biāo)，把尸點坐標(biāo)代入橢圓方程，得到產(chǎn)=f,利用弦長公式求得∣A8∣,再由點到

直線的距離公式求出點。到直線/的距離，代入三角形面積公式即可證明平行四邊形(MPB的面積為定值.

1

2-

F

^

解得

22從

【詳解】(I)由題意，可得,2-α=

所以橢圓為二+V=I.

2

(2)證明：把y=H+r代入橢圓方程++V=1,

2

得(2k+I)X2+4ktx+2r-2=0,

所以△=(4kt)2-4(2r+1)(2*—2)=16?2-8r+8>0,BRr<2k2+l,

設(shè)Aa,y∣),B(x2,y2),則χtχ2=^Lfl,

乙K十1乙K+1

所以弘+%=/(玉+%2)+2/=可差

乙K十i

因為四邊形OAPB是平行四邊形，

(Λbf2/、

所以。P=。4+。B=(Xl+々，M+必)=I-?,z?,>用工1,

?,乙KiL乙Ki17

所以尸點坐標(biāo)為「島,5?)?

又因為點尸在橢圓上,

^k2t2產(chǎn)

41即笆

所以際+際=I/2=J≤

4

2t2

因為|A8∣=?∣?+k?xi-x2?=J+^^(xl+x2)-xlx2，

即lIABIl=標(biāo).2=

*2二+1)-2?+l√^F7∣

又點。到直線/的距離d=-?=,

y∣?+k2

所以平行四邊形OAPB的面積

S0APB=2S0AB=\AB\.d=-^==如,

-V

即平行四邊形OAPB的面積為定值.

8.(l)y=χ+l

(2)見解析

(3)2

【分析】(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；