三角函數(shù)及反三角函數(shù)及三角函數(shù)性和e指數(shù)形式的傅里葉變換

三角函數(shù)的基本關系式倒數(shù)關系:商的關系：平方關系：tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

誘導公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)兩角和與差的三角函數(shù)公式萬能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函數(shù)的降冪公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函數(shù)的和差化積公式三角函數(shù)的積化和差公式

α＋β

α－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

2

2

α＋β

α－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

2

2

α＋β

α－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

2

2

α＋β

α－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

2

2sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

化asinα±bcosα為一個角的一個三角函數(shù)的形式（輔助角的三角函數(shù)的公式）函數(shù)變換360k+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα90°-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα180°+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα360°-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα反三角函數(shù)三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsinx；相應地，反余弦函數(shù)y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函數(shù)y=arctanx的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函數(shù)y=arccotx的主值限在0<y<π。反三角函數(shù)實際上并不能叫做函數(shù)，因為它并不滿足一個自變量對應一個函數(shù)值的要求，其圖像與其原函數(shù)關于函數(shù)y=x對稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了arc+函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù)，而不是f-1(x).反三角函數(shù)主要是三個：y=arcsin(x)，定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，圖象用紅色線條；y=arccos(x)，定義域[-1,1]，值域[0,π]，圖象用蘭色線條；y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條；sinarcsin(x)=x,定義域[-1,1],值域【-π/2,π/2】證明方法如下：設arcsin(x)=y,則sin(y)=x,將這兩個式子代如上式即可得為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsinx；相應地，反余弦函數(shù)y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函數(shù)y=arctanx的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函數(shù)y=arccotx的主值限在0<y<π。反三角函數(shù)實際上并不能叫做函數(shù)，因為它并不滿足一個自變量對應一個函數(shù)值的要求，其圖像與其原函數(shù)關于函數(shù)y=x對稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了arc+函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù)，而不是f-1(x).（1）正弦函數(shù)y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。arcsinx表示一個正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2,π/2]區(qū)間內。（2）余弦函數(shù)y=cosx在[0,π]上的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)。arccosx表示一個余弦值為x的角，該角的范圍在[0,π]區(qū)間內。（3）正切函數(shù)y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù)。arctanx表示一個正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2,π/2)區(qū)間內。反三角函數(shù)主要是三個：y＝arcsin(x)，定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]圖象用紅色線條；y=arccos(x)，定義域[-1,1]，值域[0,π]，圖象用藍色線條；y=arctan(x)，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，圖象用綠色線條；sin(arcsinx)=x,定義域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx證明方法如下：設arcsin(x)=y,則sin(y)=x,將這兩個式子代入上式即可得其他幾個用類似方法可得cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosxtan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx反三角函數(shù)其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)當x∈[—π/2，π/2]時，有arcsin(sinx)=x當x∈[0,π],arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx類似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),則arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)三角級數(shù)、傅里葉級數(shù)對于所有在以2pi為周期的函數(shù)f(x)，可以用一組如下的三角函數(shù)系將其展開：

1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……

顯然，這組基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期區(qū)間求積分獲得函數(shù)f(x)在以三角函數(shù)系為基的展開系數(shù)，或者說以三角函數(shù)系為坐標的投影值a0,an,bn……一個一般的函數(shù)f(x)可以表示為奇函數(shù)和偶函數(shù)的疊加，因此它的展開既含有正弦項又含有余弦項，但偶函數(shù)的展開僅含有常數(shù)項a0和正弦項，相似的，奇函數(shù)展開僅含有余弦項。

傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式根據(jù)歐拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦項可以用復指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一個周期函數(shù)f(x)既可以在三角函數(shù)系上表出也可以在復指數(shù)系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐標系之間，存在映射關系。但重要的是，由于積分變換的核函數(shù)形式發(fā)生改變，其物理意義也將有所變化。由于復數(shù)的引入，每一個復指數(shù)e^jnx相對于三角函數(shù)系都變?yōu)橐粋€二維量，其物理含義是一條三維螺旋線。其道理非常簡單，一個實參a表示數(shù)軸上的一點，而一個復數(shù)a+bj表示二維坐標上的一點，所以cosx，sinx分別表示一條二維曲線，而e^jx=cosx+jsinx是一條空間三維曲線。

傅里葉變換周期信號用傅里葉級數(shù)表示,非周期信號可以借助傅里葉變換進行.對實信號做傅立葉變換時，如果按指數(shù)e^jωt為核來求，我們將得到雙邊頻譜。以角頻率為Ω的余弦信號為例，它有具有位于±Ω兩處的，幅度各為0.5，相角為零的頻率特性。實際上，COSΩt就是e^jΩt與e^j-Ωt兩條螺旋線的疊加，他們虛部剛好對消，只剩下實部。Ω1與Ω2兩個角速度的螺旋線坐標值的疊加并不等于角速度Ω1+Ω2，因為從角速度到螺旋線的映射不是線性關系。這一現(xiàn)象正體現(xiàn)了頻率的正交特性,也是頻率分析理論存在的基礎.經(jīng)過傅立葉變換得到的負頻率表示一條反向旋轉的螺旋線,而復頻率表示一條整體改變90度相位的螺旋線，它們分別與正頻率,實頻相對應,都表示一個特定的螺旋線，并沒有玄妙的含義。

連續(xù)頻譜周期信號用傅里葉級數(shù)展開所獲得頻率線狀譜的物理意義十分明確,即整個信號由所有譜線存在處頻率分量疊加而成.比如信號COSΩt對應Ω與-Ω處兩根譜線.

困難的問題是對連續(xù)譜的理解.以下為標準的傅里葉變換對:由于存在關系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再聯(lián)想一個信號在三角函數(shù)系上的展開,可以認為上述傅里葉變換的意義是得到信號x(t)實部的cos-wt系數(shù)以及x(t)虛部的sin-wt系數(shù).又由于cos的偶函數(shù)性質,sin的奇函數(shù)性質以及j*j=-1這一定義,對于某一個特定的w',出現(xiàn)在變換式左邊的將是x(t)實部的cosw't系數(shù)以及x(t)虛部的sinw't系數(shù),兩者的加和顯然可以用e^jwt的系數(shù)表示.

假如直接以幾何意義來思考,為什么傅里葉變換式兩端正負號不一致,也很有趣.回到三角函數(shù)展開,在周期[-pi,pi]上,只有coswx與coswx的乘積不為零,這也是正交性.而在三維空間中,一條螺旋線與它自身的乘積再做積分卻是零,非要與它每一點的共軛值相乘才不為零.造成這種形式不統(tǒng)一的根源,可以認為一維是一種特例,而二維是較普遍的表達,也可以認為實數(shù)的共軛是它本身,而復數(shù)共軛虛部相反.

連續(xù)頻譜意義

現(xiàn)在來看連續(xù)譜線的含義,它與概率密度函數(shù)一樣,只有相對的意義,也就是說,在頻譜上高度相同的兩點,只表示這兩點含對應頻率給信號的貢獻相同,而無法得出任一頻率分量本身的能量.這與概率密度函數(shù)是相同的,任何一點的概率取值都是零,但概率密度函數(shù)曲線相同高度處代表可能性相同.出現(xiàn)這一問題的根源可能是微積分,或者說是"極限"帶來的困繞,因為物理世界中,時間,能量,都有最小量值,不可再分.那么,我們可以僅僅把微積分看作只是一種數(shù)學處理,對微小離散累加的近似.因此連續(xù)譜線可以理解成相當多,相當細密離散譜線束的近似,但每一根離散譜線的高度值并非其對信號的貢獻,僅僅表示一個相對的意義.依然可以借助概率密度函數(shù)的意義來理解,離散分布律對應的概率線,線有多高,隨機變量取值就有多大可能性,在連續(xù)概率密度函數(shù)中,假如化為微小離散的分布律線,將不再是原來的高度,而應該用該值微笑領域內與原連續(xù)曲線所圍面積來替代其高度,這一理解與從頻譜回到信號的傅里葉變反換是吻合的.

為了便于理解,我們重新敘述整個問題:1,對于周期