三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及經(jīng)典記憶方法及三角函數(shù)與平面向量經(jīng)典練習(xí)題

PAGEPAGE7三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及記憶方法一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（一）基本關(guān)系1、倒數(shù)關(guān)系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=12、商的關(guān)系sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanαcosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα3、平方關(guān)系sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α（二）同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。1、倒數(shù)關(guān)系對角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；2、商數(shù)關(guān)系六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個(gè)也存在這種關(guān)系。）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。3、平方關(guān)系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。二、誘導(dǎo)公式的本質(zhì)所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角n·(π/2)±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)。（一）常用的誘導(dǎo)公式1、公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ+α）=sinα，k∈zcos（2kπ+α）=cosα，k∈ztan（2kπ+α）=tanα，k∈zcot（2kπ+α）=cotα，k∈zsec（2kπ+α）=secα，k∈zcsc（2kπ+α）=cscα，k∈z2、公式二：α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsec(π+α)=—secαcsc(π+α)=—cscα3、公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsec(—α)=secαcsc(—α)=—cscα4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsec(π—α)=—secαcsc(π—α)=cscα5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsec(2π—α)=secαcsc(2π—α)=—cscα6、公式六：+α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（+α）=cosαcos（+α）=－sinαtan（+α）=－cotαcot（+α）=－tanαsec(+α)=—cscαcsc(+α)=secα7、公式七：-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）=cosαcos（－α）=sinαtan（－α）=cotαcot（－α）=tanαsec(—α)=cscαcsc(—α)=secα8、推算公式：+α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（+α）=－cosαcos（+α）=sinαtan（+α）=－cotαcot（+α）=－tanαsec(+α)=cscαcsc(+α)=—secα9、推算公式：—α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）=－cosαcos（－α）=－sinαtan（－α）=cotαcot（－α）=tanαsec（-α)=—cscαcsc（—α)=—secα誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”?！捌?、偶”指的是的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號(hào)看象限”的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n·(π/2)±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)。符號(hào)判斷口訣：“一全正；二正弦；三兩切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“+”；第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“－”。“ASCT”意即為“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”（二）其他三角函數(shù)知識(shí)1、兩角和差公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1－tanα·tanβ)tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)2、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2αtan2α=3、半角的正弦、余弦和正切公式sin2=cos2=tan2=tan==4、萬能公式sinα=cosα=tanα=5、三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sin3αcos3α=4cos3α－3cosαtan3α=6、三角函數(shù)的和差化積公式sinα+sinβ=2sin·cossinα－sinβ=2cos·sincosα+cosβ=2cos·coscosα－cosβ=－2sin·sin7、三角函數(shù)的積化和差公式sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α－β)]cosα·sinβ=[sin(α+β)－sin(α－β)]cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α－β)]sinα·sinβ=－[cos(α+β)－cos(α－β)]三、公式推導(dǎo)過程（一）萬能公式推導(dǎo)sin2α=2sinαcosα=（因?yàn)閏os2α+sin2α=1）再把上面的分式上下同除cos2α，可得sin2α=然后用代替α即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。（二）三倍角公式推導(dǎo)tan3α===上下同除以cos3α，得：tan3α=sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2α+(1－2sin2α)sinα=2sinα－2sin3α+sinα－2sin3α=3sinα－4sin3αcos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα=(2cos2α－1)cosα－2cosαsin2α=2cos3α－cosα+(2cosα－2cos3α)=4cos3α－3cosα即sin3α=3sinα－4sin3αcos3α=4cos3α－3cosα（三）和差化積公式推導(dǎo)首先,我們知道sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ我們把兩式相加就得到sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ所以,sinαcosβ=同理,若把兩式相減,就得到cosαsinβ=同樣的,我們還知道cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ所以我們就得到,cosαcosβ=同理,兩式相減我們就得到sinαsinβ=—這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式:sinαcosβ=cosαsinβ=cosαcosβ=sinαsinβ=-好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的α+b設(shè)為x,α-β設(shè)為y,那么α=,β=把α,β分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:sinx+siny=2sincossinx-siny=2cossincosx+cosy=2coscoscosx-cosy=—2sinsin三角函數(shù)與平面向量一、選擇題:本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.將時(shí)鐘的分針撥慢10分鐘，那么此過程中分針經(jīng)過的弧度數(shù)為（）A．B.－C.D.－2．已知平行四邊形ABCD，O是平行四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，，，，則向量等于（）A．++B．+-C．-+D．--3.已知：A． B． C． D．4．若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（）A． B. C. D.5.函數(shù)y=|sinx|－2sinx的值域是（）A.［－3，－1］ B.［－1，3］ C.［0，3］ D.［－3，0］6．已知eq\o(→,a)＝(sinθ，eq\r(1＋cosθ))，eq\o(→,b)＝(1，eq\r(1－cosθ))，其中θ∈(π，eq\f(3p,2))，則一定有（）A．eq\o(→,a)∥eq\o(→,b) B．eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b) C．eq\o(→,a)與eq\o(→,b)夾角為45°D．|eq\o(→,a)|＝|eq\o(→,b)|7．已知向量eq\o(a,→)＝(6，－4)，eq\o(b,→)＝(0，2),eq\o(c,→)＝eq\o(a,→)＋eq\o(b,→)，若C點(diǎn)在函數(shù)y＝sineq\f(π,12)x的圖象上,實(shí)數(shù)＝（）A．eq\f(5,2) B．eq\f(3,2) C．－eq\f(5,2) D．－eq\f(3,2)8．對于函數(shù)f（x）=給出下列四個(gè)命題：①該函數(shù)的值域?yàn)椋郏?，1］；②當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；③該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π<x<2kπ+（k∈Z）時(shí)，f（x）<0.上述命題中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.49.已知，，若，則△ABC是直角三角形的概率為（）A．B．C．D．10.()A.B.C.D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分,共25分．把答案填在題中橫線上．11．設(shè)函數(shù).若是奇函數(shù)，則__________．12.已知向量eq\o(→,m)＝(sin，2cos)，eq\o(→,n)＝(eq\r(3),－eq\f(1,2)).若eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，則sin2的值為____________．13.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則的值為____________________.14.已知=4,=3,=61.在中，=,=,則的內(nèi)角A的度數(shù)是.15．設(shè)eq\o(→,a)=（1+cosα，sinα），eq\o(→,b)=（1－cosβ，sinβ），eq\o(c,→)=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），eq\o(→,a)與eq\o(c,→)的夾角為θ1，eq\o(→,b)與eq\o(c,→)的夾角為θ2，且θ1－θ2=eq\f(π,6)，則sineq\f(α-β,4)的值．三、解答題:本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字的說明，證明過程或演算步驟.16．(本題滿分12分)．已知向量，．（1）當(dāng)，且時(shí)，求的值；（2）當(dāng)，且∥時(shí)，求的值．17．(本題滿分12分)在△ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已