北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)習(xí)筆記

最新北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)習(xí)筆記

1生活中的立體圖形

I學(xué)法導(dǎo)引

學(xué)習(xí)本節(jié)多與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，多觀察身邊的物體，從中抽象出相應(yīng)的立體圖形，并能用

自己的語(yǔ)言描述幾何體的某些特征，從而深刻認(rèn)識(shí)各種幾何體的特征.

II思維整合

解析重點(diǎn)認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、正方體、長(zhǎng)方體、棱柱、球這些幾何體，用語(yǔ)言描述它們的

特征.

【例1】指出下列幾何體的名稱，根據(jù)你的觀察，簡(jiǎn)要表述它們的特征，并列舉一個(gè)形狀

與之類似的實(shí)物.

解析識(shí)別幾何體，以直觀觀察為主.通過觀察，全方位發(fā)現(xiàn)每個(gè)幾何體的特征，從而逐

步揭示其本質(zhì)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系生活的意識(shí).

解(1)圓柱，特征：兩個(gè)底面是圓等.實(shí)物如筆筒.

(2)圓錐，特征：像錐子，底面是圓等.實(shí)物如煙囪帽.

(3)正方體(或稱立方體)，特征：所有的面都是正方形，方方正正等.實(shí)物如魔方.

(4)長(zhǎng)方體，特征：側(cè)面是長(zhǎng)方形等.實(shí)物如何.

(5)棱柱，特征：底面是多邊形，側(cè)面為長(zhǎng)方形等.實(shí)物如螺母.

(6)球，特征：圓圓的實(shí)體，可以滾動(dòng)等.實(shí)物如籃球.

剖析難點(diǎn)對(duì)幾何體進(jìn)行簡(jiǎn)單分類，主要對(duì)分類的標(biāo)準(zhǔn)難以確定，一般可以按柱、錐、球

劃分，也可按組成的面的曲或平劃分，還可按有無(wú)頂點(diǎn)劃分.

【例2】將下列幾何體分類，并說明理由.

解析本題一要弄清各幾何體的特征，二要有基本的分類思想.本題答案不唯一，只要按

照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理的分類即可.

解法1按柱、錐、球劃分：(1)(2)(3)(5)(7)是一類，即柱體.(4)是錐體，(6)是

球體.

解法2按組成面的曲或平劃分：(2)(4)(6)是一類，組成它們的面中至少有一個(gè)是曲面，

(1)(3)(5)(7)是一類，組成它們的各面都是平面.

解法3按有無(wú)頂點(diǎn)劃分：(2)、(6)是一類，它們無(wú)頂點(diǎn)，(1)(3)(4)(5)(6)是一類，

它們都有頂點(diǎn).

ni能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)把圖形問題中的多邊形與探索規(guī)律綜合，可提高學(xué)生分析問題、解決問題

的能力.

【例3】從一個(gè)六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連結(jié)其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)六邊形分割成

多少個(gè)三角形？如果是十邊形呢？是二十邊形呢？是n邊形呢？

解析先從簡(jiǎn)單的四邊形、五邊形入手.四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能連結(jié)1條對(duì)角線(這一

頂點(diǎn)與它本身和相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)都不能連對(duì)角線)，通過觀察，分割成的三角形數(shù)比邊數(shù)少2.

解六邊形可分割成4個(gè)三角形.

十邊形可分割成8個(gè)三角形.

二十邊形可分割成18個(gè)三角形.

n邊形可分割成n-2個(gè)三角形.

2展開與折疊

I學(xué)法導(dǎo)引

重視課前的模型準(zhǔn)備工作，如把一個(gè)長(zhǎng)方體藥盒展開，就輕松知道怎樣剪紙才能折成長(zhǎng)方

體(正方體)，遇到問題時(shí)，先判斷，再通過動(dòng)手操作，驗(yàn)證判斷的結(jié)果是否正確，如平面圖形

通過折疊能否圍成規(guī)定的幾何體，幾何體沿某些棱剪開能否展成規(guī)定的平面圖形，多與同學(xué)交

流.

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II思維整合

解析重點(diǎn)1.棱柱、圓柱、圓錐的展開圖.

棱柱的展開圖由兩個(gè)相同的多邊形（形狀、大小均相同）和一個(gè)長(zhǎng)方形（由多個(gè)長(zhǎng)方形）

組成，兩個(gè)多邊形邊數(shù)與組成長(zhǎng)方形的小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)相同，且兩個(gè)多邊形在長(zhǎng)方形兩側(cè)；圓柱

展開圖由兩個(gè)圓（大小一樣）和一個(gè)長(zhǎng)方形組成，且兩個(gè)圓在長(zhǎng)方形兩側(cè)，不能在同一側(cè)；圓

錐展開圖由一個(gè)扇形和一個(gè)圓組成，且圓與扇形的弧相連.

【例1】哪個(gè)幾何體的表面能展開成圖1―2—1中的圖形？請(qǐng)把名稱填在橫線上.

解析第一個(gè)展開圖中有兩個(gè)圓和一個(gè)長(zhǎng)方形，且兩個(gè)圓在長(zhǎng)方形兩側(cè)，，它為圓柱；

第二個(gè)展開圖是一個(gè)扇形和一個(gè)圓，它為圓錐；第三個(gè)展開圖大長(zhǎng)方形由六個(gè)小長(zhǎng)方形組

成，且大長(zhǎng)方形兩側(cè)各有一個(gè)六邊形，???它為六棱柱；第四個(gè)展開圖中有兩個(gè)形狀相同的三

角形，且有三個(gè)長(zhǎng)方形，，它為三棱柱.

解圓柱、圓錐、六棱柱、三棱柱

2.經(jīng)歷正方體的展開與折疊活動(dòng)，畫出正方體表面展開后的一個(gè)圖形.

【例2］請(qǐng)畫出正方體展開后的一個(gè)圖形.

解

點(diǎn)撥由一個(gè)圖中，適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)一些正方形即可得到.

剖析難點(diǎn)能根據(jù)展開圖判斷原幾何體、制作立體模型.

【例3】如圖1—2—6,哪些圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個(gè)棱柱？先想一想，再折一折.

解析①底面是四邊形，側(cè)面有3個(gè)，顯然與三棱柱，四棱柱的特點(diǎn)都不符，故①不能圍

成棱柱.③的兩個(gè)底面在側(cè)面同側(cè)，折疊面不能圍成棱柱.②④動(dòng)手折疊后可以圍成長(zhǎng)方體.

解②④經(jīng)過折疊可以圍成棱柱.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)根據(jù)展開圖判斷立體模型或由立體模型得到展開圖是容易錯(cuò)的地方，動(dòng)手操

作一下，就可以避免錯(cuò)誤.

【例4】將圖1—2—7中左邊的圖形（1）折疊起來(lái)，圍成一個(gè)正方體，應(yīng)該得到右圖（2）中

的（）

錯(cuò)解C

錯(cuò)解分析由平面展開圖可知，“?”所在的正方形和“O”所在的正方形是相對(duì)的兩個(gè)面，

故排除A、B,但由于對(duì)正方體和它的展開圖面與面的對(duì)應(yīng)關(guān)系掌握得不夠好，故錯(cuò)選為C.

正解D

［想一想］如圖1—2—8,在正方體兩個(gè)相距最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)處有一只蒼蠅B和一只蜘蛛A,

蜘蛛可從哪條最短的路徑爬到蒼蠅處？試說明你的理由.

解析本題的解答借助了正方體的展開圖找到了解決問題的途徑.由于作展開圖有各種不

同的方法，因而從A到B可用6種不同的方法選取最短的路徑，但每條路徑都通過連結(jié)正方體2

個(gè)頂點(diǎn)的棱的中點(diǎn).

解因?yàn)橹┲胫荒茉谡襟w的表面爬行，所以只要找出這個(gè)正方體的展開圖，應(yīng)用“兩點(diǎn)

之間，線段最短”的常識(shí)就可確定最短路徑.如圖1—2—9.

JH能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)正方體的平面展開圖與語(yǔ)文知識(shí)中的反義詞結(jié)合，可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、空間想像力.

［例5］如圖1—2—10,在正方體的平面展開圖中的正方形內(nèi)填上適當(dāng)?shù)淖?，使之與相

對(duì)的面的字具有相反意義.

解析根據(jù)正方體的平面展開圖，想像一下，“上”做前面則“東”做左面，“北”做上面,

相對(duì)的面隨之確定，然后動(dòng)手操作進(jìn)行驗(yàn)證.

解如圖1—2—11.

創(chuàng)新能力升級(jí)動(dòng)手操作，從第1、2次實(shí)驗(yàn)中試著找出答案，再多次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證找到的

答案是否正確，能否成為規(guī)律，從中體會(huì)創(chuàng)造的快樂，提高創(chuàng)新能力.

【例6】要將一正方體模型展成平面圖形，需要剪斷多少棱？你的結(jié)論可以作為一條規(guī)律

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來(lái)用嗎？

解析動(dòng)手操作一下，不管怎么剪，總是需要7刀才能把正方體展成平面圖形，少一刀也

不行.也只能剪7刀，多剪一刀就會(huì)有一個(gè)正方形被剪下.

解需剪斷7條棱.因?yàn)檎襟w有六個(gè)面，兩個(gè)面有1條棱相連，六個(gè)面就有5條棱相連,

所以剪斷7條，規(guī)律是正方體的平面展開圖只能有5條棱相連；反之有5條棱連接的6個(gè)正方

形圖形，不一定是正方體的平面展開圖.

33截一個(gè)幾何體

I學(xué)法導(dǎo)引

截面是幾何體被平面所截得到的一個(gè)平面圖形（像球一樣的西瓜被刀切，切出的兩個(gè)圓就

是截面），注意先想一想截面圖形形狀及圖形名稱，再動(dòng)手操作，驗(yàn)證想像的結(jié)果是否正確.

II思維整合

解析重點(diǎn)經(jīng)歷切截幾何體的活動(dòng)過程，體會(huì)幾何體在切截過程中的變化.

【例1】如圖1-3T,觀察下列圖中各個(gè)圖形，回答符合下列條件的截面形狀.

（1）截面與上、下底面平行；

（2）截面與上、下底面不平行，且不過底面.

解析一定要親自動(dòng)手操作后再下結(jié)論

解（1）①圓，②正方形，③圓，④三角形；

（2）①橢圓，②長(zhǎng)方形，③橢圓，④三角形.

剖析難點(diǎn)在活動(dòng)過程中，正確判斷和切截截面.

【例2】用平面去截一個(gè)幾何體，截面是三角形，則原幾何體是什么？

錯(cuò)解原幾何體可能是正方體，長(zhǎng)方體，三棱錐，三棱柱，圓柱，圓錐.

錯(cuò)解分析圓柱不能截出三角形，從底面與側(cè)面的交線上一點(diǎn)往下切，所得截面看似一個(gè)

三角形，其實(shí)不是.兩邊為弧線而不是直線.棱柱中不只是三棱柱能截出三角形，所有的棱柱

都能截出三角形.因?yàn)槔庵拿總€(gè)頂點(diǎn)是三個(gè)面的交點(diǎn).棱錐也是如此，所有的棱錐都能截出

三角形.

正解原幾何體可能是正方體，長(zhǎng)方體，棱錐，棱柱，圓錐.

［想一想］用平面去截一個(gè)幾何體，如果截面是正方形，你能想像出原來(lái)的幾何體可能

是什么嗎？如果截面是圓呢？

解析符合題意的答案有多種可能情形.

解正方體，長(zhǎng)方體等幾何體可截出的截面是正方形；圓柱，圓錐等幾何體可截出截面為

圓.

III能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)截一個(gè)幾何體與圓的有關(guān)計(jì)算綜合，通過想像用一個(gè)平面截圓錐的過程.結(jié)

合題中問題，找到解決問題的方法，提高學(xué)生分析問題的能力.

解析先通過想像，截面是與底面平行的一個(gè)圓.根據(jù)面積計(jì)算出半徑為2cm,底面直徑至

少為4cm,則高至少為4cm.

/.底面直徑至少為4cm,高至少為4cm.

應(yīng)用能力升級(jí)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又反過來(lái)應(yīng)用于生活.把截面知識(shí)運(yùn)用于最普通的日常

活動(dòng)一一做飯上，既學(xué)到了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生愛勞動(dòng)的習(xí)慣.

【例4】到菜市場(chǎng)買一塊長(zhǎng)方體形狀的豆腐，你能只用三刀將其切成八塊嗎？試試看.

解能.將豆腐塊放在菜板上，用刀從上往下交叉切兩刀，得到四塊豆腐，再?gòu)膫?cè)面橫著

從右往左切過去，原來(lái)的四塊豆腐就變成了八塊.

4從不同方向看

I學(xué)法導(dǎo)引

自己動(dòng)手搭建幾何體，觀察你所搭建的幾何體，體會(huì)從不同方向看到不同的結(jié)果，從而畫

出簡(jiǎn)單組合體的主視圖、左視圖和俯視圖.

II思維整合

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解析重點(diǎn)畫出簡(jiǎn)單組合體（立方體）的三視圖.

【例1】畫出如圖1-4-1（1）所示幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.

解析（1）主視圖有3歹U,每列方塊的個(gè)數(shù)是2、1、1；

（2）左視圖有2歹U,每列方塊的個(gè)數(shù)是2、1；

（3）俯視圖有3歹U，每列方塊的個(gè)數(shù)是1、1、2.

解幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖如下所示：

剖析難點(diǎn)根據(jù)俯視圖中每個(gè)位置的小立方塊的個(gè)數(shù)，畫出另外兩種視圖，并能清晰地向

同伴表達(dá)自己的思維過程.

［例2］圖1一4一2是由幾個(gè)小立方體所搭幾何體的俯視圖，小正方形中間的數(shù)字表示在

該位置的小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)畫出這個(gè)幾何體的主視圖、左視圖.

解析本題可先用小立方體擺一下，再畫圖.也可根據(jù)所示數(shù)字確定主視圖、左視圖有幾

列，每列有幾塊來(lái)確定.本題主視圖有3歹！J,每列方塊數(shù)為2、1、2；左視圖有3歹！J,每列方塊

數(shù)為1、2、1.

解如圖1一4一3,這個(gè)幾何體的主視圖、左視圖為：

點(diǎn)撥這類題型一定要注意每列、每層的最大數(shù)字，這是答對(duì)題的關(guān)鍵.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)三視圖均為從某一方向所看到的平面圖，當(dāng)用小立方塊搭建成幾何體后，由

于要把看到的某側(cè)的一個(gè)面都畫出來(lái)，常有遺漏一小塊或多出一小塊的現(xiàn)象.

III能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)無(wú)論是正方體、長(zhǎng)方體，還是其他立方體圖形，都可以從不同方向看，得

到不同結(jié)果，空間想像力、綜合判斷力是解決這些問題的思維基礎(chǔ).

［例3］有一個(gè)正方體，在它的各個(gè)面上分別標(biāo)上字母A、B、C、D、E、F,甲、乙、丙

三位同學(xué)從不同的方向去觀察此正方體，觀察結(jié)果如圖1一4一5所示.問這個(gè)正方體各個(gè)面上

的字母對(duì)面各是什么字母？

解析由圖（1）知A的相鄰面為D、F,由圖（2）知A的相鄰面為B、C.因此A的對(duì)面為

E；由圖（2）、圖（3）知C與A、B、D、E相鄰.C的對(duì)面為F,D的對(duì)面為B.

解A的對(duì)面為E,C的對(duì)面為F,D的對(duì)面為B.

應(yīng)用能力升級(jí)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又反過來(lái)服務(wù)于生產(chǎn)生活，應(yīng)用三視圖、發(fā)揮空間想像

力解決實(shí)際問題.

【例4】在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里堆積著正方體的貨箱若干，在搬運(yùn)這些箱子之前，需要倉(cāng)庫(kù)管理員

要落實(shí)一下箱子的數(shù)量，于是就想出一個(gè)辦法：將這堆貨物的三種視圖畫了出來(lái)，你能根據(jù)三

視圖（如圖1—4一6）,幫他清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量嗎？

解析一種方法是先擺一下，數(shù)出總數(shù)，另一種方法根據(jù)左視圖和主視圖可在俯視圖中每一

個(gè)小正方形處標(biāo)出貨箱個(gè)數(shù)，如圖1一4—7.

解一共有8個(gè)箱子.

55生活中的平面圖形

1學(xué)法導(dǎo)引

在具體的情境中認(rèn)識(shí)最常見的而有規(guī)則的平面圖形，如多邊形的扇形，并正確區(qū)分生活中

的平面圖形和立體圖形，多與生活實(shí)際聯(lián)系，在豐富的活動(dòng)中發(fā)揮有條理的思考.

II思維整合

解析重點(diǎn)經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出平面圖形的過程，感受圖形世界的豐富多彩.

【例1】同學(xué)們，你渴望成為一名共青團(tuán)員嗎？讓我們先來(lái)認(rèn)識(shí)中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)團(tuán)

旗吧！如圖1一5—1是一面團(tuán)旗，你能找出哪些熟悉的圖形.

解可以找到長(zhǎng)方形、圓、三角形、五角星.

剖析難點(diǎn)在豐富的活動(dòng)中，發(fā)展有條理的思考.

【例2】（1）從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與不相鄰的頂點(diǎn)相連，可以把五邊形分割

成幾個(gè)三角形？

（2）如果從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與不相鄰的頂點(diǎn)相連，可以把五邊形分割成幾個(gè)

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三角形？

（3）如果是六邊形呢？

請(qǐng)你推出是n邊形（n23）,可以把n邊形分割成多少個(gè)三角形.

解析本題首先要根據(jù)題意作圖1—5—2,然后再尋找規(guī)律.

由圖可知：四邊形，2個(gè)三角形；每個(gè)多邊形可分割成比它邊數(shù)2個(gè)的三角形.

由圖可知：四邊形，3個(gè)三角形；每個(gè)多邊形可分割成比它邊數(shù)2個(gè)的三角形.

由圖可知：四邊形，4個(gè)三角形；每個(gè)多邊形可分割成比它邊數(shù)2個(gè)的三角形.

由此可知n邊形被分割成了（n-2）個(gè)三角形.

解（1）把四邊形分割成了2個(gè)三角形；

（2）把五邊形分割成了3個(gè)三角形；

（3）把六邊形分割成了4個(gè)三角形；

把n邊形分成了（n-2）個(gè)三角形.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)在歸納、總結(jié)規(guī)律時(shí)，思考缺乏條理性，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

【例3】在一個(gè)圓中任意畫四條半徑，可以把這個(gè)圓分成一個(gè)扇形.

錯(cuò)解4

正解12

第二章有理數(shù)及其運(yùn)算及其運(yùn)算

1數(shù)怎么不夠用了

I學(xué)法導(dǎo)引

學(xué)習(xí)時(shí)首先理解正數(shù)、負(fù)數(shù)產(chǎn)生的意義，通過實(shí)際生活中的問題，準(zhǔn)確把握正數(shù)與負(fù)數(shù)的

實(shí)質(zhì)是規(guī)定其中一個(gè)為正，那么另一個(gè)具有相反意義的量為負(fù)；同時(shí)準(zhǔn)確理解有理數(shù)的概念及

分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分類結(jié)果也不同，注意分類結(jié)果應(yīng)做到不重不漏.

II思維整合

解析重點(diǎn)1.正數(shù)與負(fù)數(shù)的應(yīng)用.

正數(shù)、負(fù)數(shù)通常表示具有相反意義的量，如運(yùn)進(jìn)3噸，記作+3噸，那么運(yùn)出5噸記作一5

噸，若正數(shù)表示具有某種意義的量，則負(fù)數(shù)就表示其相反意義的量.

【例1】某人原地不動(dòng)記作Om,一9m表示某人向北走9m,那么+4m表示什么？

解析“向北”與“向南”是一對(duì)具有相反意義的量，向北記作負(fù)，則向南記作正.

解+4m表示某人向南走4m.

點(diǎn)撥習(xí)慣上，人們經(jīng)常把零上的溫度、上升的高度、收入的錢數(shù)、向南的行程等定為正

的，用正數(shù)表示；而把零下的溫度、下降的高度、支出的錢數(shù)、向北的行程等與前面意義相反

的量規(guī)定為負(fù)的.

2.有理數(shù)的分類

解析首先明確各集合的意義，正數(shù)集合包括所有的正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)；非負(fù)整數(shù)集合包括

所有的正整數(shù)和0；整數(shù)集合包括所有的正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0；負(fù)分?jǐn)?shù)集合包括所有的負(fù)分?jǐn)?shù)（包

括負(fù)小數(shù)，因任意有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)）

點(diǎn)撥（1）正與整的區(qū)別，正數(shù)是相對(duì)負(fù)數(shù)而言的，而整數(shù)是相對(duì)于分?jǐn)?shù)而言的；

（2）任意有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，因此一2.5,3.14等都是分?jǐn)?shù).

剖析難點(diǎn)對(duì)負(fù)號(hào)的相反意義的理解：這個(gè)相反是針對(duì)原意而言的，而正負(fù)表示的意義是

人為的規(guī)定.

【例3】若將低于海平面11022米的太平洋最深處記作：一11022米，則高出海平面8848

米的珠穆朗瑪峰應(yīng)記作多少米？

解析此題中低于海平面與高出海平面兩個(gè)的意義相反，當(dāng)?shù)陀诤Ｆ矫?1022米記為米時(shí)，

高出海平面8848米就應(yīng)記作+8848米.

解記作+8848米.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)分不清零是不是正數(shù)，是不是整數(shù).

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錯(cuò)解分析（1）把不含“一”號(hào)的都當(dāng)成正數(shù)；（2）把“整”與“正”混淆，正是相對(duì)負(fù)

而言，整數(shù)是相對(duì)分?jǐn)?shù)而言（小數(shù)和分?jǐn)?shù)可以互化）.

［想一想］（1）上述數(shù)中，有奇數(shù)和偶數(shù)嗎？各是哪些數(shù)？

（2）上述數(shù)中，有既是整數(shù)也是負(fù)數(shù)的數(shù)嗎？有既是正數(shù)也是偶數(shù)的數(shù)嗎？

（3）按數(shù)的正負(fù)性質(zhì)，你能將有理數(shù)怎樣分類？

解（1）奇數(shù)有：5,—17；偶數(shù)有：一2,0,102；

（2）既是整數(shù)也是負(fù)數(shù)的數(shù)即負(fù)整數(shù)：-2,-17,即是正數(shù)也是偶數(shù)的數(shù)即正偶數(shù)：102；

HI能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)“大于0”是正數(shù)的本質(zhì)特征，對(duì)于用字母表示的數(shù)，不能看表面是否有負(fù)

號(hào)，一a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，取決于a是什么數(shù).

【例5】字母a可以表示數(shù)，如果數(shù)a表示正數(shù)，那么一a表示什么數(shù)？如果a表示負(fù)數(shù)，

那么一a表示什么數(shù)？字母a除了可以表示正數(shù)和負(fù)數(shù)外，還可以表示哪些有理數(shù)？

解析意義完全相反的量，分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示，當(dāng)數(shù)a表示正數(shù)時(shí)，一a表示負(fù)數(shù)，

a表示負(fù)數(shù)時(shí)，一a表示正數(shù)；對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念不能簡(jiǎn)單地理解為：帶“十”號(hào)的數(shù)是正

數(shù)，帶“一”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù).

解如果a表示正數(shù)，那么一a表示負(fù)數(shù)；如果a表示負(fù)數(shù)，那么一a表示正數(shù)，字母a除

了表示正數(shù)和負(fù)數(shù)外，還可以表示0.

應(yīng)用能力升級(jí)正、負(fù)數(shù)的表示常應(yīng)用于實(shí)際問題中，如：比賽中的得分、失分，足球守

門員的折返跑，出租車在一條筆直的公路上往返運(yùn)營(yíng)等.

【例6】七年級(jí)舉行足球比賽，規(guī)則為：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得0分，負(fù)一場(chǎng)得一2分，

比賽結(jié)果七（3）班2勝1平3負(fù)，問七（3）班得多少分？

解七（3）班勝2場(chǎng)得6分，平一場(chǎng)得0分，負(fù)3場(chǎng)得一6分，故七（3）班共得0分.

點(diǎn)撥要分別算出平1場(chǎng)、勝2場(chǎng)、負(fù)3場(chǎng)的得分，求總分.

創(chuàng)新能力升級(jí)對(duì)于某個(gè)問題，善于從多角度、多方面思考，尋找解題的不同方法，培養(yǎng)

創(chuàng)新意識(shí).

【例7】課桌的高度比標(biāo)準(zhǔn)高度高2毫米記作+2毫米，那么比標(biāo)準(zhǔn)高度低3毫米記作什

么？現(xiàn)在有5張課桌，量得它們的尺寸比標(biāo)準(zhǔn)尺寸長(zhǎng)+1毫米，-1毫米，0毫米，+3毫米，

一1.5毫米，若規(guī)定課桌的高度比標(biāo)準(zhǔn)高度最高不能超過2毫米，最低不能少于2毫米就算合

格.問上述5張課桌中有幾張合格？

解析用正、負(fù)數(shù)表示兩種相反意義的量，把比標(biāo)準(zhǔn)高度高記為正，則比標(biāo)準(zhǔn)高度低應(yīng)記

為負(fù)；規(guī)定課桌的高度比標(biāo)準(zhǔn)高度最高不能超過2毫米，最低不能少于2毫米，就算合格，也

就是量得尺寸比標(biāo)準(zhǔn)尺寸高、低在+2毫米與-2毫米之間算合格，知+1毫米、-1毫米、0

毫米、一1.5毫米的均為合格.也可畫圖找到答案.

解一3毫米，4張.

2數(shù)軸

1學(xué)法導(dǎo)引

類比溫度計(jì)認(rèn)識(shí)數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示有理數(shù)，知道數(shù)軸的正方向是規(guī)定的不能改變

的，而單位長(zhǎng)度、原點(diǎn)的選定是根據(jù)需要選定的.利用數(shù)軸，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，學(xué)習(xí)新知識(shí).

II思維整合

解析重點(diǎn)1.數(shù)軸的定義.

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸，規(guī)定向右的方向?yàn)檎瑔挝婚L(zhǎng)度據(jù)實(shí)際情

況可長(zhǎng)可短，但同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度不變，數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，原點(diǎn)表示0,原點(diǎn)右邊的

點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù).

【例1】如圖2-2—1中，表示數(shù)軸的是（）

解析因?yàn)锳中的單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，應(yīng)排除；

B中負(fù)方向的單位長(zhǎng)度的刻度應(yīng)從原點(diǎn)向左依次排列為一1,-2,—3,…，而不是向右排,

所以應(yīng)排除B；

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D中沒有確定正方向，所以不是數(shù)軸，C是正確數(shù)軸.

解C

解析相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，離原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)?相

反數(shù)的代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，特別地，0的相反

數(shù)是0.“只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)”中的“只有”指的是除了符號(hào)不同以外完全相同，不能理解

為只要符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)就互為相反數(shù).例如一2和+3符號(hào)不同，但它們不互為相反數(shù).

點(diǎn)撥(4)中的a+2的相反數(shù)必須加括號(hào)即一(a+2),(5)中的2a是一整體.

剖析難點(diǎn)比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，把兩個(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)找出來(lái)，然后依據(jù)“數(shù)軸

上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大”判斷.

【例3】比較下列每組數(shù)的大?。?/p>

(1)—10與一7；(2)—2.5與-3.

解(1)如圖2—2—2所示，在數(shù)軸上一10對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一7對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的左側(cè).

所以，-10<一7；

(2)如圖2—2—3所示，數(shù)軸上一2.5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的右側(cè).

所以-2.5>—3.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)弄不明白相反數(shù)的代數(shù)意義.

【例4】填空：a—b的相反數(shù)是.

錯(cuò)解一a-b

錯(cuò)解分析沒有弄明白相反數(shù)的代數(shù)意義，應(yīng)把a(bǔ)—b看成一個(gè)整體.

正解一(a—b)

[想一想]化簡(jiǎn)下列各數(shù)的符號(hào)，得到一個(gè)什么樣的數(shù)？

(1)一(—5)；(2)+[—(+2)].

解析一(一5)表示一5的相反數(shù)即+5,因此一(-5)=+5.

-(+2)表示+2的相反數(shù)一2,+[—(+2)]表示一(+2)本身，

即一2本身，因此+[—(+2)]=-2.

解(1)-(-5)=5；(2)+[—(+2)]=-2.

III能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)本節(jié)學(xué)習(xí)的有關(guān)內(nèi)容都是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，常見的是數(shù)軸、相反數(shù)、有理

數(shù)大小比較的綜合運(yùn)用.

解析(1)首先畫出數(shù)軸(按三要素)，第二步把這些數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)找出來(lái)，找時(shí)從原

點(diǎn)出發(fā)，負(fù)數(shù)在左邊，正數(shù)在右邊.

(2)把所有的數(shù)(包括0,在原點(diǎn))標(biāo)出后，根據(jù)這些數(shù)在數(shù)軸上點(diǎn)的位置順序(在數(shù)軸

上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù))大小關(guān)系一目了然，只需要用“>”連接起來(lái)即可.

解

應(yīng)用能力升級(jí)應(yīng)用數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，解決點(diǎn)的移動(dòng)問題.

【例6]在數(shù)軸上，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2,把點(diǎn)A向右移動(dòng)3個(gè)單位后為點(diǎn)B.則點(diǎn)B

表示的數(shù)是多少？

解析在數(shù)軸點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2,這樣的點(diǎn)有2個(gè)一個(gè)在原點(diǎn)左側(cè)，另一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，

所以A為2或一2,當(dāng)把A向右移動(dòng)3個(gè)單位后，點(diǎn)B表示的數(shù)也有兩個(gè)，當(dāng)A為2時(shí)B為5；

當(dāng)A為一2時(shí)B為1.

解B為5或1.

點(diǎn)撥要考慮到數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)向右移即增大.

創(chuàng)新能力升級(jí)具有實(shí)際意義的量也可看作數(shù)軸上的點(diǎn)，常見的有小蟲沿直線來(lái)回爬，消

防隊(duì)員沿云梯上下移動(dòng)，還有同學(xué)們喜愛的拔河比賽等都可以看作數(shù)軸上的點(diǎn)的移動(dòng).

【例7】工作流水線上順次排列5個(gè)工作臺(tái)A、B、C、D、E,一只工具箱應(yīng)該放在何處，

才能使工作臺(tái)上操作機(jī)器的人取工具所走的路程最短？如果工作臺(tái)由5個(gè)改為6個(gè)，那么工具

箱應(yīng)如何放置能使6個(gè)操作機(jī)器的人取工具所走的路程之和最短？

7/16

解析把流水線看作數(shù)軸，工作臺(tái)、工具箱看作數(shù)軸上的點(diǎn)，這樣就找到解決本題的模式

—數(shù)軸.

解C臺(tái)，C、D兩臺(tái)之間.

33絕對(duì)值

I學(xué)法導(dǎo)引

利用數(shù)軸，并把有理數(shù)與數(shù)軸結(jié)合，理解絕對(duì)值的概念，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不可能是負(fù)數(shù)，

利用求絕對(duì)值的方法比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大小，方法更簡(jiǎn)單.在今后的學(xué)習(xí)中，有理數(shù)的運(yùn)算,

二次根式等內(nèi)容都是以絕對(duì)值的知識(shí)為基礎(chǔ)，因此，一定要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容.

II思維整合

解析重點(diǎn)絕對(duì)值的概念.幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的

距離，記作la|,代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，

0的絕對(duì)值是0式子表示為

【例2】(1)當(dāng)Ix—3I=x—3時(shí)，求x的取值范圍；

(2)當(dāng)IX-3|=3—x時(shí)，求x的取值范圍.

解析任意有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即不小于0.

解⑴；Ix—3I=x—320,x23；

(2),/Ix-3I=3—x20,x<3.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)誤認(rèn)為絕對(duì)值是正數(shù)的有理數(shù)只有一個(gè)，而把負(fù)的漏掉.

【例3】已知1x1=4.5,求x值.

錯(cuò)解"/Ix|=4.5,，x=4.5.

錯(cuò)解分析錯(cuò)解原因在于沒有理解和掌握在數(shù)軸上到某一點(diǎn)的距離為某一單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有

兩個(gè)，它們表示的數(shù)互為相反數(shù).

正解Ix|=4.5,I.x=±4.5.

ni能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)利用絕對(duì)值的代數(shù)定義可以得到簡(jiǎn)易方程，從而求得某些字母的取值.

【例4】已知I3x—1|=5,求x.

解析在求解時(shí)把3x—l看成一個(gè)整體，可知3x—l=5或3x—l=-5,然后分別解方程求

x的值.

應(yīng)用能力升級(jí)在日常生活中，借助絕對(duì)值的意義，可以判斷某些產(chǎn)品的合格程度，還可

以比較評(píng)判某些產(chǎn)品質(zhì)量的好壞，用絕對(duì)值知識(shí)解決一些實(shí)際問題.

解析因?yàn)閍、b為不等于0的有理數(shù)，所以a可能是正數(shù)或負(fù)數(shù)，b可能是正數(shù)或負(fù)數(shù)，

故有以下幾種情況：(1)a>0,b>0；(2)a>0,b<0；(3)a<0,b>0；(4)a<0,b<0.

4有理數(shù)的加法

I學(xué)法導(dǎo)引

用數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律理解加法法則，在應(yīng)用法則時(shí)應(yīng)注意先確定應(yīng)用哪一條法則，再確

定符號(hào)進(jìn)行計(jì)算.在有理數(shù)運(yùn)長(zhǎng)中，小學(xué)學(xué)過的加法的交換律、結(jié)合律仍適用.

II思維整合

解析重點(diǎn)加法法則及加法運(yùn)算律是本節(jié)重點(diǎn)，歸納如下：

有理數(shù)加法法則：

內(nèi)容：(1)同號(hào)相加，符號(hào)不變，絕對(duì)值相加；

(2)異號(hào)相加，符號(hào)同大，絕對(duì)值相減；

(3)互為相反數(shù)相加得0；

(4)一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

規(guī)律：進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)先確定和的符號(hào)，再計(jì)算和的絕對(duì)值.

加法交換律：

內(nèi)容：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)位置，和不變即a+b=b+a

規(guī)律：(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，可先相加；(2)幾個(gè)數(shù)相加可得整數(shù)時(shí)，先相加；(3)

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同分母的分?jǐn)?shù)可先相加；（4）符號(hào)相同的數(shù)可先相加.

加法結(jié)合律：

內(nèi)容：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加和不變即（a+b）+c=a

+（b+c）

規(guī)律：（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，可先相加；（2）幾個(gè)數(shù)相加可得整數(shù)時(shí)，先相加；（3）

同分母的分?jǐn)?shù)可先相加；（4）符號(hào)相同的數(shù)可先相加.

解析進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，先判斷兩個(gè)加數(shù)符號(hào)是同號(hào)還是異號(hào)，是否有零，再確定用第幾

條法則.

解（1）（-3.6）+（—1.9）（同號(hào)兩數(shù)相加）

=-（I-3.6I+I-1.9|）（取相同的“一”，并把一3.6的絕對(duì)值與一1.9的絕對(duì)值相

加）

=-5.5；

（2）160+（-20）（異號(hào)兩數(shù)相加）

=+（160-20）（取160的符號(hào)“十”并用160的絕對(duì)值減去一20的絕對(duì)值）

=140；

（3）3+（-3）（互為相反數(shù)的兩數(shù)相加）

=0；

剖析難點(diǎn)靈活運(yùn)用運(yùn)算律，使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

解析利用加法交換律、結(jié)合律可簡(jiǎn)化計(jì)算，根據(jù)加數(shù)特點(diǎn)從以下幾方面進(jìn)行：（1）同號(hào)

的加數(shù)放在一起相加；（2）同分母的加數(shù)放在一起相加；（3）和為0的加數(shù)放在一起相加；（4）

和為整數(shù)的加數(shù)放在一起相加.

點(diǎn)撥注意觀察題目特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用加法交換律和結(jié)合律.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，由于忽略了法則內(nèi)容而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【例3】計(jì)算（+3）+（―5）.

錯(cuò)解（+3）+（-5）=2.

錯(cuò)解分析本題計(jì)算沒有按“先確定符號(hào)，后計(jì)算絕對(duì)值”的順序.

正解（+3）+（-5）=-（5-3）=-2.

Ill能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)當(dāng)題中同時(shí)有分?jǐn)?shù)、小數(shù)出現(xiàn)時(shí)，注意小數(shù)化為分?jǐn)?shù)或分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，綜

合分析題中數(shù)字特點(diǎn)分別結(jié)合，使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

應(yīng)用能力升級(jí)用有理數(shù)的加法可解決實(shí)際生活中的許多問題.

［例5］一個(gè)水利勘察隊(duì)，第一天沿江向上游走了7千米，第二天沿江向下游走了5.3

千米，第三天沿江向下游走了6.5千米，第四天沿江向上游走了10千米，第四天勘察隊(duì)在出發(fā)

點(diǎn)的上游還是下游？距出發(fā)點(diǎn)多少千米？

解析先確定向上游走為+,向下游走為一，則題中四個(gè)數(shù)據(jù)為+7,-5.3,-6.5,+10

求出這四個(gè)數(shù)的和.若和為正值即在上游，和為負(fù)值即在下游，和的絕對(duì)值即為距出發(fā)點(diǎn)的距

離.

解（+7）+（-5.3）+（-6.5）+（+10）

=［（+7）+（+10）］+［（-5.3）+（—6.5）］

=17+（-11.8）=+5.2.

在出發(fā)點(diǎn)的上游5.2千米處.

創(chuàng)新能力升級(jí)從題中構(gòu)造出最基本的數(shù)學(xué)模型一一數(shù)軸，使問題回到已學(xué)過的數(shù)軸、絕

對(duì)值、有理數(shù)加法中，使問題解決，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

［例6］某檢修小組乘坐一輛汽車沿公路檢修線路，前進(jìn)為正，后退為負(fù)，某一天從M

地出發(fā)到收工時(shí)，所走路程（單位：千米）為+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,

+4,-5,+6.（1）收工時(shí)檢修小組離出發(fā)地M多遠(yuǎn)？（2）若每千米耗油0.2升，求這一天

共耗油多少升？（3）在哪次記錄時(shí)，距M地最遠(yuǎn)？

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解析因?yàn)榍斑M(jìn)為正，后退為負(fù)，在求檢修小組離出發(fā)地M多遠(yuǎn)時(shí)，應(yīng)求各數(shù)據(jù)之和，若

和為正，則檢修小組在M前方，和為負(fù)則檢修小組在出發(fā)地M后面；求耗油量時(shí)，無(wú)論前進(jìn)還

是后退都耗油，需求汽車一共走的路程，即求各數(shù)據(jù)的絕對(duì)值之和，再乘以0.2即可.

解(1)(+15)+(-2)+(+5)+(-1)+(+10)+(-3)+(-2)+(+12)

+(+4)+(-5)+(+6)=39；

(2)(|+15|+|—2|+|+5|+|—1|+|+10|+|—3I+I—2|+|+12|

+I+4|+|—5|+|+6|)X0.2

=65X0.2

二13；

(3)第一次15,第二次I(+15)+(-2)|=13,

第三次I(+15)+(-2)+(+5)I=18,

第四次I(+15)+(-2)+(+5)+(-1)I=17,

依次類推，第五次為27,第六次為24,第七次為22,第八次為34,第九次為38,第十次

為33,第十一次為39.

最后一次距M地最遠(yuǎn).

點(diǎn)撥本題實(shí)質(zhì)是列式計(jì)算問題，解題時(shí)，應(yīng)抓住事物的本質(zhì)，弄清是各數(shù)之和，還是各

數(shù)的絕對(duì)值之和，或是部分?jǐn)?shù)的和的絕對(duì)值.

555有理數(shù)的減法

I學(xué)法導(dǎo)引

有理數(shù)減法的意義與小學(xué)學(xué)過的減法的意義相同，用減法是加法的逆運(yùn)算理解有理數(shù)的減

法法則.在進(jìn)行有理數(shù)的減法計(jì)算時(shí)，先把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法，轉(zhuǎn)化時(shí)一定注

意減法變加法的同時(shí)，把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)，再運(yùn)用有理數(shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算.

II思維整合

解析重點(diǎn)有理數(shù)的減法法則，有理數(shù)減法運(yùn)算步驟.

法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a—(+b)=a+(-b).(這里的a、b

表示任意有理數(shù))

運(yùn)算步驟：(1)將減號(hào)變成加號(hào)，同時(shí)把減數(shù)變成減數(shù)的相反數(shù)；(2)按照加法運(yùn)算的步

驟去做.

【例1】計(jì)算下列各題：

(1)8—(—6)；(2)—10—(—5)；(3)(—3)—4；(4)0—2.

解析首先弄清減數(shù)的符號(hào)(是正號(hào)、還是負(fù)號(hào))(1)、(2)小題中減數(shù)的符號(hào)為“一”，

而(3)、(4)小題中減數(shù)的符號(hào)為“+”，將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一

是運(yùn)算符號(hào)，由減號(hào)變加號(hào)，另一個(gè)是性質(zhì)符號(hào)，負(fù)號(hào)變正號(hào)，正號(hào)變負(fù)號(hào).

解(1)8-(-6)=8+(+6)=14；

(2)-10-(-5)=-10+(+5)=-5；

(3)(-3)-4=-3+(-4)=-7；

(4)0—2=0+(—2)=-2.

剖析難點(diǎn)理解有理數(shù)減法法則的推導(dǎo)過程.

如："/(-2)+(+5)=+3,

...(+3)-(+5)=-2.(減法是加法的逆運(yùn)算)

又?:(+3)+(-5)=一2,

...(+3)-(+5)=(+3)+(-5).

減法變加法的同時(shí)，減數(shù)由+5變一5,而被減數(shù)+3不變.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)在有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法的過程中易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【例2】計(jì)算一11一7—9+6

錯(cuò)解一11—7—9+6

=-11+(-7)+9+6

10/16

=—18+9+6=—3

錯(cuò)解分析在減法運(yùn)算中應(yīng)注意“兩變”.即要減法變加法，也要改變減數(shù)的符號(hào)，本題中

“一7一9”錯(cuò)誤地變成了“-7+9”只由減法變?yōu)榧臃ǘ鴾p數(shù)9沒有變?yōu)橄喾磾?shù).

正解一11+(-7)+(-9)+6=-11+(-7)+(-9)+6

=-(11+7+9)+6=—27+6=-21.

ni能力升級(jí)平臺(tái)

應(yīng)用能力升級(jí)靈活運(yùn)用減法法則解決實(shí)際問題，把“下降”、“低多少”、“超出”等轉(zhuǎn)化

為有理數(shù)的減法.

【例3]用有理數(shù)減法法則解答下列問題：

(1)某冷庫(kù)溫度是零下10℃,下降一3℃后又下降5℃,兩次變化后冷庫(kù)溫度是多少？

(2)某地夜間最低溫度為零下12℃,白天最高溫度是零上12C,夜間比白天低多少？

解析理解題意“下降”、“低多少”是要做減法運(yùn)算.

解(1)(-10)-(-3)-(+5)

=(-10)+3+(-5)

=-12.

(2)12-(-12)

=12+12

=24.

綜合能力升級(jí)把有理數(shù)減法、數(shù)軸、絕對(duì)值及求兩點(diǎn)的距離綜合在一起，要靈活變通所

學(xué)的知識(shí)，提高綜合分析問題的能力.

【例4】已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-28,點(diǎn)B表示的數(shù)為一15,求AB兩點(diǎn)間的距離.

解析在數(shù)軸上，求任意兩點(diǎn)的距離有兩種方法：一種是較大數(shù)減去較小數(shù)，另一種方法

是前一個(gè)數(shù)減去后一個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值.

解法1AB兩點(diǎn)間的距離為一15一(-28)=13.

解法2AB兩點(diǎn)間的距離為|一28一(-15)|=13.

66有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

1學(xué)法導(dǎo)引

正確地進(jìn)行有理數(shù)的加法、有理數(shù)的減法的計(jì)算有理數(shù)的加減混合運(yùn)算就是先把減法統(tǒng)一

成加法，然后再變成省略加號(hào)和括號(hào)的形式，根據(jù)具體問題，運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.

II思維整合

解析重點(diǎn)有理數(shù)加減混合運(yùn)算.

有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：(1)用減法法則將加法減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，再省略加號(hào)和

括號(hào)；(2)利用加法法則、加法交換律、結(jié)合律簡(jiǎn)化運(yùn)算其原則是互為相反數(shù)的兩數(shù)結(jié)合，正

數(shù)和正數(shù)結(jié)合，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)結(jié)合等.

【例1】計(jì)算4.5+(-3.2)-(-1.1)+(-1.4)

解4.5+(-3.2)-(-1.1)+(-1.4)

=4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)(減法變加法)

=4.5-3.2+1.1-1.4(省略括號(hào)及加號(hào))

=1.3+1.1-1.4

=2.4—1.4=1.

點(diǎn)撥統(tǒng)一成加法后可以寫成省略括號(hào)及前面加號(hào)的形式.

剖析難點(diǎn)應(yīng)用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算解決實(shí)際問題.

對(duì)實(shí)際應(yīng)用問題，首先把具有相反意義的量，正確地用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示出來(lái)再根據(jù)題意列

出算式，進(jìn)行計(jì)算.

[例2]某儲(chǔ)蓄所辦理了6筆儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，它們分別是：取出950元、取出780元、存入

1200元、存入2500、取出1500元、取出820元，問這時(shí)儲(chǔ)蓄所現(xiàn)款增減情況如何？

解析取出為“一”，存入為“十”根據(jù)題意應(yīng)為一950、-780,+1200、+2500,-1500.

11/16

-820的代數(shù)和.

解一950—780+1200+2500—1500—820

=(-950-780-1500-820)+1200+2500

=-4050+3700

=-350.

所以這時(shí)儲(chǔ)蓄所現(xiàn)款減少了350元.

點(diǎn)擊易錯(cuò)點(diǎn)把算式寫成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式時(shí)，容易變錯(cuò)符號(hào).

錯(cuò)解分析在做加減混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)將減法統(tǒng)一成加法后才能省略加號(hào)，而“一”號(hào)不能

省略，跳步運(yùn)算時(shí)，要慎重對(duì)待符號(hào)變化.

正解

ni能力升級(jí)平臺(tái)

綜合能力升級(jí)利用加減混合運(yùn)算解決一些數(shù)學(xué)問題.

【例4】從一2.6中減去一2.7,11.5,—3.9的和，所得的差是多少？

解析按已知條件列出算式，先寫出一2.7,11.5,-3.9的和，可寫成省略括號(hào)的和的形式，

然后用一2.6減去這個(gè)整體的和.

解-2.6—(—2.7+11.5—3.9)

=-2.6—[(—2.7—3.9)+11.50

=-2.6-4.9

=—7.5

所得的差是一7.5.

點(diǎn)撥本題中的“從一2.6中減去一2.7”易列成一2.6—2.7,這是錯(cuò)誤的，應(yīng)是“一2.7,

11.5,-3.9的和”作為減數(shù).

應(yīng)用能力升級(jí)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.

[例5]一名潛水員在水下80米處發(fā)現(xiàn)一條鯊魚在離他不遠(yuǎn)處的上方25米的位置往下游

追逐獵物，當(dāng)它向下游42米后追上獵物，此時(shí)獵物做垂死掙扎立刻反向上游，鯊魚緊緊尾隨，

又游了10米后被鯊魚一口吞吃.

(1)求鯊魚吃掉獵物時(shí)所在位置；

(2)與剛開始潛水員發(fā)現(xiàn)鯊魚的位置相比，有什么變化？

解析向上游與向下游是一對(duì)具有相反意義的量，可用正數(shù)、負(fù)數(shù)來(lái)表示，若設(shè)向上游的

高度為正數(shù)，則向下游的高度為負(fù)數(shù)，求出幾個(gè)有理數(shù)的和，就可以判斷鯊魚吃掉獵物時(shí)所在

位置.

解(1)-80+25-42+10

=(-80-42)+(25+10)

=-122+35

=-87.

所以鯊魚在水下87米處吃掉獵物.

(2)鯊魚原來(lái)位置一80+25=-55(米)，

鯊魚原來(lái)在水下55米處.

-87-(-55)=-87+55=-32(米).

所以與剛開始潛水員發(fā)現(xiàn)鯊魚的位置相比，它向下游了32米.

創(chuàng)新能力升級(jí)從不同角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高創(chuàng)新能力.

77水位的變化

I學(xué)法導(dǎo)引

從題中給出的有關(guān)數(shù)據(jù)中，讀取有用的信息，綜合運(yùn)用有理數(shù)及其加減法的有關(guān)知識(shí)，解

決實(shí)際問題.解決水位問題的步驟：第一，根據(jù)題意列出算式；第二，根據(jù)有關(guān)的運(yùn)算法則和

運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算；第三，將結(jié)果結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行分析，給出答案.學(xué)習(xí)中應(yīng)盡量獨(dú)立完成.

II思維整合

12/16

解析重點(diǎn)運(yùn)用有理數(shù)及其加法、減法的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

“水位變化”問題是典型的利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的實(shí)際問題，首先要理解在水位變

化圖表下面標(biāo)明的“注”或“注意”的含義，分清參考對(duì)象是前一天的水位還是某一具體參考

水位值.

【例1】水庫(kù)管理人員為了掌握水庫(kù)蓄水情況，需要觀測(cè)水庫(kù)的水位變化，下表是某水庫(kù)一星

期內(nèi)的水位高低的變化情況(注：水位比前一天上升記為正數(shù)，下降記為負(fù)數(shù))：

計(jì)算這周內(nèi)水位總的變化是上升了，還是下降了？上升了(或下降了)多少米？

解析此表中的數(shù)據(jù)正號(hào)表示水位比前一天上升，負(fù)號(hào)表示比前一天下降，參考對(duì)象是前

一天的水位，因此水位的變化具有連續(xù)性.

解本周的水位記錄如表：(以上周末的水位為0點(diǎn))

0.12+0.10+(—0.03)+(—0.23)+(—0.31)+(—0.33)+(—0.01)=—0.69.

因此本周水位總的變化是下降了，下降了0.69米.

剖析難點(diǎn)根據(jù)實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

[例2]某摩托車生產(chǎn)廠家本周計(jì)劃每天生產(chǎn)150輛摩托車，由于一些特殊原因，實(shí)際每天的

生產(chǎn)量不穩(wěn)定，下表是本周每天的摩托車生產(chǎn)量與計(jì)劃生產(chǎn)量的變化情況.

注：正數(shù)表示每天的生產(chǎn)量比計(jì)劃的生產(chǎn)量增加，負(fù)數(shù)表示每天的生產(chǎn)量比計(jì)劃生產(chǎn)量減

少.

問：本周星期五的生產(chǎn)量是多少？

錯(cuò)解150+2—3+7—1—6

=150+(2+7)+(-3-1-6)

=149(輛)

本周星期五的生產(chǎn)量為149輛.

錯(cuò)解分析錯(cuò)解的原因是沒有認(rèn)真分析題目中給出的“注”的含義，表格中的增數(shù)是每天

的生產(chǎn)量與計(jì)劃生產(chǎn)量的差值，而上述解題錯(cuò)誤地認(rèn)為表格中的增減數(shù)是相對(duì)于前一天的變化

情況.

正解150—6=144(輛).

III能力升級(jí)平臺(tái)

應(yīng)用能力升級(jí)把“水位變化”這個(gè)數(shù)學(xué)模型用來(lái)解決生活中其他問題.提高學(xué)生解決問

題的能力.

【例3】股市一周內(nèi)周六、周日兩天不開市，股民小王上周五以每股2520元的價(jià)格買進(jìn)某

公司股票1000股，下表為本周內(nèi)每天該股票的漲跌情況.

注意：正號(hào)表示股價(jià)比前一天上漲，負(fù)號(hào)表示股價(jià)比前一天下跌.

(1)星期四收盤時(shí)，每股多少元？

(2)本周內(nèi)哪一天股價(jià)最高？是多少元？

(3)與上周末相比，本周末該股票上漲了還是下跌了？

(4)已知小王買進(jìn)股票時(shí)付了成交額千分之五的手續(xù)費(fèi)，賣出時(shí)除了交成交額的千分之五

的手續(xù)費(fèi)外，還需交成交額的千分之一的交易稅，如果小王在本周五收盤前將全部股票賣出，

那么他賠了還是賺了？

(5)用折線統(tǒng)計(jì)圖表示本周的股價(jià)變化情況.

解析利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算求出本周內(nèi)每天該股票的變化情況，便能解答出(1)(2)

(3)三個(gè)問題，第(4)小題中，買進(jìn)股票時(shí)，應(yīng)交手續(xù)費(fèi)，賣出股票時(shí)，應(yīng)交手續(xù)費(fèi)和交易

稅，即到手的錢是成交額扣除手續(xù)費(fèi)和交易稅的錢數(shù)用實(shí)際到手的錢減去實(shí)際花的錢，若差大

于0,就表示賺錢；若差小于0,就表示賠錢；若差等于0,就表示不賠不賺.第(5)小題中，

可把上周末的股價(jià)情況看成0點(diǎn)，畫出折線圖.

解(1)25.20-0.1+0.4—02—0.4=24.90元,

星期四收盤時(shí)，每股24.90元.

(2)把上周五的股點(diǎn)情況看成0點(diǎn)，

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...周一的股價(jià)變化為0—0.1=—0.1（元），

周二的股價(jià)變化為-0.1+0.4=0.3（元），

周三的股價(jià)變化為0.3—0.2=0.1（元），

周四的股價(jià)變化為0.1—0.4=—0.3（元），

周五的股價(jià)變化為-0.3+0.5=0.2（元），

,0.3>0.2>0.l>-0.1>-0.3,25.20+0.3=25.50元.

周二的股價(jià)最高，是25.50元.

（3）由（2）可知，周五的股價(jià)變化為+0.2元.

與上周末相比，本周末該股票上漲了.

（4）由（2）可知，周五的股價(jià)為25.20+0.2=25.40（元）.

25.40（l-5%o-l%o）X1000-25.20（1+5%。）X1000=—78.4V0,

本周五收盤前將全部股票賣出，他賠了.

（5）把上周末的股價(jià)情況看成0點(diǎn)，畫折線統(tǒng)計(jì)圖表示本周股價(jià)變化情況如圖I2—7—1所

示.

88有理數(shù)的乘法

I學(xué)法導(dǎo)引

類比前面學(xué)過的有理數(shù)的加法法則學(xué)習(xí)乘法法則，注意有理數(shù)的乘法與小學(xué)學(xué)過的乘法的

不同之處在于先確定積的符號(hào)，然后求出積的絕對(duì)值.在掌握有理數(shù)乘法法則的基礎(chǔ)上，靈活、

合理地運(yùn)用運(yùn)算律，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.

JI思維整合

解析重點(diǎn)乘法法則，乘法運(yùn)算律.

乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘，任何數(shù)與0相乘積仍為0.

乘法的運(yùn)算步驟：（1）先確定積的符號(hào)；（2）再求出各因數(shù)絕對(duì)值的積.

乘法的運(yùn)算律：

乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)位置，積不變.即ab=ba.

乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變，即（ab）c

=a（be）.

乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加，

即a（b+c）=ab+ac.

解析兩個(gè)有理數(shù)相乘，只需運(yùn)用有理數(shù)的乘法法則，先確定積的符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘.

解（1）（-8）X（-9）=+（8X9）=72；

（2）（-7