2024年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（新高考Ⅱ卷02）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第二次模擬考試（新高考Ⅱ卷02）數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．已知，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選:A.2．已知集合，集合，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，，且，解得：，即的取值范圍為，故選：D.3．若，則cos2α的值為（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因為，則，則，故選：B.4．在等比數(shù)列中，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8〖答案〗D〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，，且，則，故選：D5．要從10名女護工和5名男護工中選出6名護工組成抗擊疫情醫(yī)療支援小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，試問組成此醫(yī)療支援小組的方法總數(shù)為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗一共15人，選出6人，根據(jù)分層抽樣方法，女生、男生各抽?。海ㄈ耍?，（人）．所以組成此小組的方法總數(shù)為，故選：A6．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其定義域為，則（）A．，b＝0 B．C． D．，〖答案〗B〖解析〗因為偶函數(shù)的定義域為，所以，解得，所以，由偶函數(shù)定義得，所以，即，所以，故，故選：B.7．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以，在上恒成立，設(shè)函數(shù)，則，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，則實數(shù)的取值范圍是，故選：D.8．已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是坐標原點，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．3〖答案〗C〖解析〗橢圓的半焦距，則，設(shè)點，于是，消去得，所以的面積，故選C二、多項選擇題9．如圖所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，且AB＝BC，則（

）

A．三棱錐S-ABC的體積為12 B．該圓錐的體積為12πC．該圓錐的表面積為14π D．該圓錐的母線長為5〖答案〗ABD〖解析〗對于A項，由題意可得是等腰直角三角形，由AC=6可得，即，故A正確；對于B項，由圓錐體積公式可得，故B正確；由勾股定理及圓錐性質(zhì)可得其母線SA=，故D正確；則C項，由圓錐的表面積公式可得，故C錯誤.故選：ABD10．若拋物線：的焦點為，準線為，點在拋物線上且在第一象限，直線的斜率為，在直線上的射影為，則下列選項正確的是（

）A．到直線的距離為 B．的面積為C．的垂直平分線過點 D．以為直徑的圓過點〖答案〗BC〖解析〗對A，易知拋物線的焦點，直線即為，故到直線的距離為，故A錯誤；對B，設(shè)直線方程為，代入，得，解得，則直線方程為聯(lián)立拋物線方程，解得或，因為點在第一象限，故取，即，則，故B正確，對C，根據(jù)拋物線定義得，則的垂直平分線過點，故C正確，對D，，，故以為直徑的方程為，將點代入左邊得，故D錯誤.故選：BC.11．已知函數(shù)在處取得極值10，則下列說法正確的是（

）A． B．C．一定有兩個極值點 D．一定存在單調(diào)遞減區(qū)間〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)定義域為R，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，符合題意，則，A不正確，B正確；函數(shù)在處取得極大值，一定有兩個極值點，C正確；一定存在單調(diào)遞減區(qū)間，D正確.故選：BCD12．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為0.6．0.5．0.4，則（

）A．該棋手三盤三勝的概率為0.12B．若比賽順序為甲乙丙，則該棋手在贏得第一盤比賽的前提下連贏三盤的概率為0.4C．若比賽順序為甲乙丙，則該棋手連贏2盤的概率為0.26D．記該棋手連贏2盤為事件A，則當(dāng)該棋手在第二盤與甲比賽最大〖答案〗ACD〖解析〗對于A，棋手勝三盤的概率為，故A正確；對于B，棋手在勝甲的前提下連勝3盤的事件就是余下兩盤連勝乙，丙的事件，其概率為，故B錯誤；對于C，連勝兩盤事件的概率為，故C正確；對于D，第2盤與甲比賽連勝兩盤的概率，第2盤與乙比賽連勝兩盤的概率，第2盤與丙比賽連勝兩盤的概率，因此，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知，為兩個互相垂直的單位向量，則.〖答案〗〖解析〗因為，為兩個互相垂直的單位向量，所以所以，14．已知正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為，用一個平行于棱錐底面且距離底面長度為3的平面去截棱錐，所得棱臺的體積為.〖答案〗28〖解析〗如圖，由題意可得.因為，所以，解得，則，，，所以.15．在平面直角坐標系中，直線與圓交于兩點.當(dāng)?shù)拿娣e最大時，實數(shù)的值為．〖答案〗或〖解析〗由，則圓心，，點到直線的距離，由弦長公式，，設(shè)，則，當(dāng)時，，此時，即，，解得或.16．如圖是函數(shù)的部分圖像，A是圖像的一個最高點，D是圖像與y軸的交點，B，C是圖象與x軸的交點，且，的面積等于．則的〖解析〗式為．〖答案〗〖解析〗由圖像可知，的最大值為，又，所以，因為的面積等于，所以，則，所以，即，得，又，故，將代入，得，即，因為，所以，所以.四、解答題17．在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答．問題：銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________．(1)求A；(2)若，為AB的中點，求CD的取值范圍．解：(1)若選①，，∵；若選②，，∵；若選③∵，而.(2)

如圖所示，設(shè)，則，，，∵是銳角三角形，∴，，當(dāng)時取得最小值，故.18．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，即解得，所以；(2)由(1)可知，，對于任意，有，所以，故數(shù)列的前2023項和為.19．隨著經(jīng)濟模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出噸該商品可獲利潤萬元，未售出的商品，每噸虧損萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了噸該商品.現(xiàn)以（單位：噸，）表示下一個銷售季度的市場需求量，（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.（1）將表示為的函數(shù)，求出該函數(shù)表達式；（2）根據(jù)直方圖估計利潤不少于57萬元的概率；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量的平均數(shù)與中位數(shù)的大小（保留到小數(shù)點后一位）.解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，；（2）根據(jù)頻率分布直方圖及（1）知，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，由所以，利潤不少于57萬元當(dāng)且僅當(dāng)，于是由頻率分布直方圖可知市場需求量的頻率為，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤不少于57萬元的概率的估計值為0.7；（3）估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量的平均數(shù)為（噸）由頻率分布直方圖易知，由于時，對應(yīng)的頻率為，而時，對應(yīng)的頻率為，因此一個銷售季度內(nèi)市場需求量的中位數(shù)應(yīng)屬于區(qū)間，于是估計中位數(shù)應(yīng)為（噸）.20．如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.(1)證明：取的中點，連接.因為，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.因為在平面內(nèi)相交，所以平面.又平面，所以.(2)解：以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由題可知，平面的一個法向量為.設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則.21．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當(dāng)l經(jīng)過C的焦點時，點A的坐標為.(1)求C的方程；(2)設(shè)OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.解：(1)由已知C：，點A的坐標為，得，焦點，，.所以，，故C：.(2)設(shè)l的方程為，則，故，由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.與雙曲線方程聯(lián)立得：，由已知得，，設(shè)，，則，①由，得：，，消去得：，即②由①②得：，由已知，故存在定直線l：滿足條件.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)為函數(shù)的極值點時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)時，求證：．(1)解：的定義域為，，若為函數(shù)的極值點，則，解得，當(dāng)時，，，