2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷01）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（江蘇卷01）數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．已知為全集，集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，，又，.故選：D2．已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闉榧兲摂?shù)，設(shè)，則，由題意可得，解得，因此，.故選：C.3．兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量的長度為（

）A．10 B． C． D．2〖答案〗D〖解析〗設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為，所以在上的投影向量的長度為，故選:D.4．“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由題可得，,所以.故選：D.5．2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對(duì)接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面，近地點(diǎn)（長軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）距地面，地球的半徑為，則該橢圓的短軸長為（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意得，故，故選：D.6．過圓：外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則（

）A．2 B． C． D．3〖答案〗C〖解析〗如圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)閳A：，直線、是圓的切線，所以，，，，因?yàn)?，所以，，根?jù)圓的對(duì)稱性易知，則，解得，，故選：C.7．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，，則（

）A． B．16 C．30 D．〖答案〗D〖解析〗由題得：①，②，①②得：，，則，代入①中，即，，故，故選：D.8．已知，均為銳角，且，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，令，，，所以在上為增函數(shù)，∴，∵，均為銳角，∴，∴，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9．新能源汽車包括純電動(dòng)汽車、增程式電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力汽車、燃料電池電動(dòng)汽車、氫發(fā)動(dòng)機(jī)汽車等.我國的新能源汽車發(fā)展開始于世紀(jì)初，近年來發(fā)展迅速，連續(xù)8年產(chǎn)銷量位居世界第一.下面兩圖分別是年至年我國新能源汽車年產(chǎn)量和占比（占我國汽車年總產(chǎn)盤的比例）情況，則（

）A．年我國新能源汽車年產(chǎn)量逐年增加B．年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為萬輛C．年我國汽車年總產(chǎn)量超過萬輛D．年我國汽車年總產(chǎn)量不低于年我國汽車年總產(chǎn)量〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，從年到年，我國新能源汽車年產(chǎn)量在下降，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為萬輛，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，年我國汽車年總產(chǎn)量約為萬輛，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，年我國汽車年總產(chǎn)量為萬輛，年我國汽車年總產(chǎn)量為萬輛，所以年我國汽車年總產(chǎn)量低于年我國汽車年總產(chǎn)量，故D錯(cuò).故選：BC10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗，，由于，所以，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，當(dāng)時(shí)，得，所以關(guān)于對(duì)稱，C選項(xiàng)正確，，當(dāng)時(shí)，得在上遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11．折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺(tái)（

）A．高為 B．表面積為C．體積為 D．上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則，解得,所以圓臺(tái)的母線長為，高為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓臺(tái)的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，所以圓臺(tái)的表面積為，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積為，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，圓臺(tái)的上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為，選項(xiàng)D正確，故選：BCD．12．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓與軸相切B．若拋物線上的點(diǎn)到的距離為2，則拋物線的方程為C．D．的最小值為〖答案〗AC〖解析〗由題意可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則的中點(diǎn)，對(duì)于A，，則以為直徑的圓的半徑為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)到軸的距離為，即以為直徑的圓與軸相切，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到的距離為2，所以，得，則拋物線的方程為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)直線的方程為，則的中點(diǎn)，由，得，所以，所以，所以，則以為直徑的圓的半徑為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即以AB為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切，所以為切點(diǎn)，，，故C正確；對(duì)于D，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知圓柱和圓錐的底面重合，且母線長相等，該圓柱和圓錐的表面積分別為，，則.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓柱與圓錐的半徑均為，母線為，故，，所以，14．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．〖答案〗12〖解析〗通項(xiàng)，令，得，∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為．15．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的三次函數(shù).①為奇函數(shù)；②存在3個(gè)不同的零點(diǎn)；③在上是增函數(shù).〖答案〗〖解析〗，為奇函數(shù)，有三個(gè)零點(diǎn)0，，，時(shí)，，即在為增函數(shù)，①②③都滿足，∴.16．已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則〖答案〗2〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，則，即，又，則，即，所以.四、解答題17．在①成等比數(shù)列，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足__________，__________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求.注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案計(jì)分.解：(1)若選①②，設(shè)公差為，則，解得：，；選①③，設(shè)公差為，，解得：，；選②③，設(shè)公差為，，解得：，；(2)，.18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)若，求的值；(2)若，，求的面積.解：(1)若，則，因?yàn)?，，所以，所以，解得或，因?yàn)?，所以?2)若，由，可得，整理可得，即，因?yàn)椋?，，所以，所以是以C為頂角的等腰三角形，，所以的面積為.19.第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWorldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊(duì)通過扣人心弦的點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知男生進(jìn)球的概率為，女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.解：(1)列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)(2)3人進(jìn)球總次數(shù)的所有可能取值為，的分布列如下：0123的數(shù)學(xué)期望.20．如圖，四棱錐，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)二面角為60°，，，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，連接，且，則在矩形中為中點(diǎn)，且在中，為的中點(diǎn)，∴且平面，平面，∴平面；（2）解：如圖以為原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，，，∴，，設(shè)平面、平面和平面的法向量分別為，，則有，∴，令，則有，同理可得，，∵二面角為60°∴，∴，解得，∴，，設(shè)與所成角為，∴，即直線與平面所成角的正弦值為.21．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為.斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是直線與雙曲線的交點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)斜率為的直線與直線的交點(diǎn)為，求證：直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn).(1)解：，，，又直線斜率為，經(jīng)過點(diǎn)，所以直線方程為，設(shè)，由，或，又，點(diǎn)代入雙曲線方程無解，點(diǎn)代入雙曲線方程，得，，所以雙曲線的方程為.(2)證明：設(shè)，，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，消去y得，，，經(jīng)過點(diǎn)斜率為的直線方程為，由，解得，，，直線BT方程為：，令，.故直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn).22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.(1)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)