廣東省深圳市寶安區(qū)2023-2024學年高二上學期調研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市寶安區(qū)2023-2024學年高二上學期調研測試數(shù)學試題一、單選題1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為直線的方程為，則斜率，且，，所以.故選：B2.直線和直線平行，則直線和直線的位置關系是（）A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交〖答案〗B〖解析〗因為直線和直線平行，所以，故直線為，與直線平行，故選：B3.已知表示的曲線是圓，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由方程可得，所以當時表示圓，解得.故選：C.4.不論m取何值，直線都過定點（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，整理得，令，解得，所以直線過定點.故選：B.5.已知圓，則圓關于點對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗圓的圓心為，半徑為，關于對稱的點為，圓對稱后只是圓心位置改變，圓的半徑不會變化，仍為，因此所求的圓的方程為.故選：D6.下列說法正確的是（）A.零向量沒有方向B.空間向量不可以平行移動C.如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D.同向且等長的有向線段表示同一向量〖答案〗D〖解析〗對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯誤；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：D.7.若數(shù)列是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的是（

）A. B.C.（為常數(shù)） D.〖答案〗A〖解析〗因為數(shù)列為等差數(shù)列，設公差為，可得，對于A中，例如：等差數(shù)列，則，此時數(shù)列不是等差數(shù)列，所以A符合題意；對于B中，數(shù)列中，可得，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以B不符合題意；對于C中，數(shù)列中，可得（常數(shù)），所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以C不符合題意；對于D中，數(shù)列中，可得，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以D不符合題意.故選：A.8.設，是橢圓：的左、右焦點，為坐標原點，點在橢圓上，延長交橢圓于點，且，若的面積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知的面積為，故，在中，設，由余弦定理可得，即，則，所以的面積，即，所以，即，由于，．又．所以△的是等邊三角形，即，由橢圓的定義可得，即有則，則，則，，則．故選：．二、多選題9.下面說法中錯誤的是（

）.A.經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過定點直線都可以用方程表示C.經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示D.經(jīng)過任意兩個不同的點，的直線都可以用方程表示〖答案〗ABC〖解析〗對于A中，因為直線的點斜式方程，只能表示斜率存在的直線，所以經(jīng)過定點的直線不一定可以用方程表示，所以A錯誤；對于B中，因為直線不能表示與軸垂直的直線，所以經(jīng)過定點的直線不一定可以用方程表示，所以B錯誤；對于C中，因為方程只能表示斜率存在的直線，所以經(jīng)過定點的直線不一定可以用方程表示，所以C錯誤；對于D中，因為方程，即為直線的一般式方程，可以表示坐標系能所有的直線，所以經(jīng)過任意兩個不同的點的直線，都可以用方程表示，所以D正確.故選：ABC.10.若雙曲線的一個焦點，且漸近線方程為，則下列結論正確的是（）A.的方程為 B.的離心率為C.焦點到漸近線的距離為 D.兩準線間的距離為〖答案〗AD〖解析〗由題意設雙曲線的標準方程為，焦距為，∵雙曲線的一個焦點，且漸近線方程為，∴，解得，∴雙曲線的標準方程為，A對；∴其離心率為，B錯；焦點到漸近線的距離，C錯；準線方程為，則兩準線間的距離為，D對；故選：AD．11.瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，其歐拉線方程為，則頂點C的坐標可以是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗設頂點C的坐標為，所以重心坐標為，因為歐拉線方程為，所以.A：當頂點C的坐標為時，顯然不滿足；B：當頂點C的坐標為時，顯然滿足；C：當頂點C的坐標為時，顯然滿足；D：當頂點C坐標為時，顯然不滿足，故選：BC12.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，其前n項和為，且滿足，則下列結論正確（）A. B.C.當時，最小 D.當時，n的最小值為8〖答案〗ABD〖解析〗因為是遞增數(shù)列，所以.因為，所以，所以，所以，故A，B正確；又因為，所以，且為的最小值，故C錯誤；又，故D正確.故選：ABD三、填空題13.如圖，在四棱錐中，底面平行四邊形，E為中點，若，，，則__________．〖答案〗〖解析〗)=．故〖答案〗為：.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，則________________．〖答案〗或〖解析〗由題知雙曲線的一條漸近線方程為，即，則，又，由雙曲線的定義得，，或．故〖答案〗為或15.在平面直角坐標系xOy中，設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________.〖答案〗4〖解析〗拋物線的焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，又tan60°＝，所以yA＝2.因為PA⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2，代入y2＝4x，得：，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.故〖答案〗為：416.過橢圓的右焦點作橢圓長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點，為橢圓的左焦點，若為正三角形，則該橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗由題意知，為正三角形，且，則，所以，，由橢圓的定義知，即，解得.故〖答案〗為：.四、解答題17.記為數(shù)列的前項和.（1）已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列；（2）若，求公差.解：（1）∵數(shù)列等差數(shù)列，設公差為，∴，，∴，，∴當時，，當時，，滿足，∴的通項公式為，，∴，∴是等差數(shù)列，（2）由可得，化簡得，即，解得.18.已知⊙：和定點，由⊙外一點向⊙引切線，切點為，且滿足．（1）求動點的軌跡方程；（2）求線段長的最小值；（3）若以為圓心所做的⊙與⊙有公共點，試求半徑取最小值時的點坐標．解：（1）連接，因為切點為，所以，由勾股定理可得，因為，所以，所以所以化簡可得．（2）方程，可化為，則圓心，半徑為，所以，所以點在圓內，所以，因為，所以線段長的最小值；（3）⊙半徑取最小值時，直線與圓相交的交點為所求，因為，所以直線的方程為，代入，可得，解得，所以當時，⊙半徑取最小值，此時19.如圖所示，在三棱錐中，兩兩垂直，且，E為的中點．（1）證明：；（2）求直線與所成角的余弦值．解：（1），所以，所以．（2），，所以，即直線與所成角的余弦值為．20.已知是過拋物線焦點且互相垂直的兩弦，（1）若直線的傾斜角為，求弦長；（2）求的值.解：（1）由拋物線，可得焦點為，因為是過焦點F且互相垂直的兩弦，可得直線的斜率一定存在，又由直線的斜率為，且，可得，則直線的方程為，設，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，根據(jù)拋物線的定義，可得.（2）由直線的斜率一定存在，設的方程為，且，，聯(lián)立方程組，整理得且，可得，，又由拋物線的定義，可得，，所以，由，設直線方程為，且，，聯(lián)立方程組，整理得，同理有，，所以，綜上可得.21.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．解：（1）以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，設正方體的棱長為a，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．設E(0，a，e)(0≤e≤a)．＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）設平面A1BD，平面EBD的法向量分別為＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴，，，.∴,取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD