2023年山東省濟南市第一中學數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.把函數(shù)y=sinX的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變，再把圖象向右平移？個單位,

O

這是對應于這個圖象的解析式為()

...TC乃

A.y=sιn(2x-§)B.y=sin(2x--)

.Un、.z?冗、

C.y=sιn(--y)D.γ=sιn(---)

26

10，%<0,g(x)=∕(Λ)+2x-m,若g(x)存在2個零點，則機的取值范圍是。

2.已知函數(shù)/(X)=」

lgx,x>0

A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.f-l,+∞)D.(-l,+∞)

3.10名學生在一次數(shù)學考試中的成績分別為如玉，x2,?…，XK),要研究這io名學生成績的平均波動情況，則

最能說明問題的是()

A.頻率B.平均數(shù)C.獨立性檢驗D.方差

4.設函數(shù)/(x)=X3-4SinX-X,則/(x)的圖象大致為()

5.高三⑴班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目、2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序要求兩個舞蹈節(jié)目不連排,

則不同排法的種數(shù)是()

A.800B.5400C.4320D.3600

6.已知X3(6,0.6),則E(X)=()

A.0.6B.3.6C.2.16D.0.216

7.若函數(shù)/(χ)=Jdg(ZnX+G^7i)為偶函數(shù)，則加=()

A.-1B.1C.-1或1D.0

8.“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)/（X）=2,是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)/（x）=2*是增函數(shù)”，以上推理（）

A.大前提不正確B.小前提不正確C.結論不正確D.正確

9.甲、乙、丙、丁、戊5名同學報名參加社區(qū)服務活動,社區(qū)服務活動共有關愛老人.環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳、文娛

活動五個項目,每人限報其中一項,記事件A為“5名同學所報項目各不相同”,事件B為“只有甲同學一人報關愛老人項

目”,則P(AlB)=()

A.—B?—C.—D.一

323299

2

10.甲、乙二人進行圍棋比賽，采取“三局兩勝制”，已知甲每局取勝的概率為一，則甲獲勝的概率為（).

3

C.(i??1D.÷4t),(31

把四個不同的小球放入三個分別標有1~3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

2

12.已知曲線二V=1(Q>0,b>O）的一條漸近線經(jīng)過點（√Σ,G）,則該雙曲線的離心率為（

a

A.2B.√2C.3D.√3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標系X。）'中，已知點M是橢圓C：工+V=］上第一象限的點，。為坐標原點，A,3分別為橢

4

圓C的右頂點和上頂點，則四邊形。4Λ四的面積的最大值為.

14.已知直線/過點（0,5）,且它的一個方向向量為（1,2）,則原點。到直線/的距離為.

15.已知x∈R,若Xi=X,i是虛數(shù)單位，則X=.

16.在數(shù)列1,2,3,4,5,6中，任取X個元素位置保持不動，將其余6-左個元素變動位置，得到不同的新數(shù)列,

6

記不同新數(shù)列的個數(shù)為P（k）,則ZZP（Z）的值為.

Zc=O

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，矩形ABCD所在的平面與直角梯形CDE尸所在的平面成60的二面角，DEHCF,CDlDE,

AD=2,EF=3也，CF=6,NCE￡=45°?

(1)求證：BF//面ADE；

(2)在線段CF上求一點G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為2互

7

,，,2

18.(12分)(1)化簡:C；；+2C；r+C；；-;

(2)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表

示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23,在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是多少？

19.(12分)已知復數(shù)z=3+∕m?(meR),且(1+3i)z為純虛數(shù).

(1)求復數(shù)Z

(2)若z=(2-i)w,求復數(shù)W的模M.

?1?

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=2廠一2。InX+(α-2)x,awR.

(1)當。=1時,求函數(shù)/(x)圖象在點(L/⑴)處的切線方程;

(2)當a<0時，討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性;

八/(x)-∕(x)

(3)是否存在實數(shù)對任意X,VC。，+00)且工產(chǎn)3有八1"2">α恒成立？若存在,求出。的取值范圍;

玉一無2

若不存在，說明理由.

21.(12分)某飲料公司根據(jù)市場調(diào)查數(shù)據(jù)分析得到以下結果：如果某款飲料年庫存積壓率低于千分之一，則該款飲

料為暢銷產(chǎn)品，可以繼續(xù)大量生產(chǎn).如果年庫存積壓率高于千分之一，則說明需要調(diào)整生產(chǎn)計劃.現(xiàn)公司2013-2018

年的某款飲料生產(chǎn)，年銷售利潤及年庫存積壓相關數(shù)據(jù)如下表所示:

年份201320142015201620172018

年生產(chǎn)件數(shù)X(千萬件)3568911

年銷售利潤y(千萬元)2240486882100

年庫存積壓件數(shù)(千件)295830907580

年庫存積壓件數(shù)

注:年庫存積壓率=

年生產(chǎn)件數(shù)

(1)從公司2013-2018年的相關數(shù)據(jù)中任意選取2年的數(shù)據(jù)，求該款飲料這2年中至少有1年暢銷的概率.

(2)公司根據(jù)上表計算出年銷售利潤與年生產(chǎn)件數(shù)的線性回歸方程為j=9.90x-9.30?現(xiàn)公司計劃2019年生產(chǎn)11

千萬件該款飲料，且預計2019年可獲利108千萬元.但銷售部門發(fā)現(xiàn)，若用預計的2019年的數(shù)據(jù)與2013-2018

年中暢銷年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程，再通過兩個線性回歸方程計算出來的2019年年銷售利潤誤差不超過4千

萬元，該款飲料的年庫存積壓率可低于千分之一.如果你是決策者，你認為2019年的生產(chǎn)和銷售計劃是否需要調(diào)

整？請說明理由.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=∣2x-α∣+”.

(1)當α=4時，求不等式/(x)+∣XTIW8的解集；

(2)設函數(shù)g(x)=∣2x-3|,當χ∈R時，/(x)+g(x)≥5,求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

試題分析：函數(shù)y=sinX的圖象上所有點的橫坐標都縮小到原來的一半，縱坐標保持不變得到sin2x,再把圖象向右

平移已個單位，得到Sin卜(Xqj=Sin(21一3

考點：三角函數(shù)圖像變換.

2、B

【解析】

由于g(χ)有兩個零點，則F(X)圖象與y=-2x+m有兩個交點，作出圖象，討論臨界位置.

【詳解】

作出/(χ)圖象與y=-2%+〃?圖象如圖:

當y=-2x+〃z過點(0,1)時，m?l,將V=-2x+機向下平移都能滿足有兩個交點，將y=-2x+m向上平移此時僅

有一個交點，不滿足，又因為(0,1)點取不到，所以機e(-8,1).

【點睛】

分段函數(shù)的零點個數(shù)，可以用數(shù)形結合的思想來分析，將函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)圖象交點的個數(shù)問題會更加方便

我們解決問題.

3、D

【解析】

分析：直接根據(jù)頻率、平均數(shù)、獨立性檢驗、方差的基本定義判斷即可.

詳解：因為頻率表示可能性大小，A錯；平均數(shù)表示平均水平的高低，3錯；獨立性檢驗主要指兩個變量相關的可能

性大小，C錯；方差表示分散與集中程度以及波動性的大小，。對，故選D.

點睛：本題主要考查頻率、平均數(shù)、獨立性檢驗、方差的基本定義，屬于簡單題.

4、A

【解析】

根據(jù)/(f)=-∕(x)可知函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，排除C,O;根據(jù)X→4?∞時，/(x)的符號可排除3,

從而得到結果.

【詳解】

/(T)=-X3+4SinX+x=-/(x),.,.∕(x)為R上的奇函數(shù)，

???∕(x)圖象關于原點對稱，且/(0)=0,可排除C,D；

又4sinx∈[T,4],當xf+∞時，x3-x=x(x2-l)→+∞,

二當x→+R時，/(χ)→+∞,可排除8,知A正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)圖象的辨析問題，解決此類問題通常采用排除法來進行求解，排除依據(jù)通常為：奇偶性、特殊值符號和

單調(diào)性.

5、D

【解析】

先排4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目共有四種排法，再從5個節(jié)目的6隔空插入兩個不同的舞蹈節(jié)目有4種排法，.?.

共有&=360()種排法，故選D

6、B

【解析】

根據(jù)二項分布的期望的計算公式求解即可得到結果.

【詳解】

VX8(6,0.6),

：.E(X)=6x0.6=3.6.

故選B.

【點睛】

本題考查二項分布的期望，解題的關鍵是熟記此類分布期望的計算公式，屬于基礎題.

7、C

【解析】

222

由f(x)為偶函數(shù)，得一Xlg卜mx+Jχ2+ι)=χig(mr+)/+I1化簡成XIg(x+ι-mx)=0對χ∈R恒成立,

從而得到χ2+l-n?=l,求出m=±l即可.

【詳解】

若函數(shù)f(X)為偶函數(shù)，.?.f(-x)=f(x),

+I-;??/)=。對XeR恒成立,

.β?x2+l-m2x2=l,：?(1-m2)x2=0,Λ1-m2=0,Λm=÷l.

故選C.

【點睛】

本題考查偶函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，平方差公式，屬于基礎題.

8、A

【解析】

分析：利用三段論和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.

詳解：由三段論可知”指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是大前提，但是指數(shù)函數(shù)不一定是增函數(shù)，對于指數(shù)函數(shù)

y=α"(a>(UiαNl),當a>l時，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，當OVaVl時，指數(shù)函數(shù)是減函數(shù).所以大前提不正確,

故答案為：A.

點睛：本題主要考查三段論和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生對這些知識的掌握水平.

9、A

【解析】

44A4P(AB)3

zxZ

由條件概率與獨立事件可得：p(β)=Zτ,P(AB)=?,所以尸(4|3)=-^水=豆，得解.

【詳解】

44

由已知有事件B概率為：P(B)=-,

事件AB概率為：P(AB)=^-,

55

蜀

P(AB)于父3

所以PC4網(wǎng)=W=Wr=不=方'

故選：A.

【點睛】

P(AB)

本題考查條件概率的計算，條件概率的兩種求法：(1)定義法:先求P(A)和P(A0,再由P(5∣A)=Tτt即可；(2)基本事

P(A)

件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)〃(A),再求事件A5所包含的基本事件數(shù)"(A5),得

n(AB)

P(B∣A)=一T-T-,本題屬于基礎題.

n(A]

10、C

【解析】

先確定事件“甲獲勝”包含“甲三局贏兩局”和“前兩局甲贏”，再利用獨立重復試驗的概率公式和概率加法公式可

求出所求事件的概率?

【詳解】

事件“甲獲勝”包含“甲三局贏兩局”和“前兩局甲贏”，

若甲三局贏兩局，則第三局必須是甲贏，前面兩局甲贏一局，所求概率為,

若前兩局都是甲贏，所求概率為（：），因此，甲獲勝的概率為（I）+G（I），

故選C.

【點睛】

本題考查獨立重復事件的概率，考查概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，考查分類討論思想，

考查計算能力，屬于中等題.

11,C

【解析】

先從4個球中選2個組成復合元素，再把3個元素（包括復合元素）放入3個不同的盒子，即可得出答案.

【詳解】

從4個球中選出2個組成復合元素有盤種方法，再把3個元素（包括復合元素）放入3個不同的盒子中有種放法,

所以四個不同的小球放入三個分別標有1~3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有A；=36,故選C

【點睛】

本題主要考查了排列與組合的簡單應用，屬于基礎題.

12、A

【解析】

將點（血,指）代入雙曲線的漸近線方程，由此求得，的值，進而求得雙曲線的離心率.

【詳解】

雙曲線的一條漸近線方程為y=2χ,將點（夜,"）代入雙曲線的漸近線方程得6=2=百，故

a''aa

√l+3=2.故選A.

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線的離心率的求法，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、√2

【解析】

分析：Q4M6的面積的最大值當M到直線AB距離最遠的時候取得。

詳解：Sθ4,wβ=SOAB+SAMS=?(2+1AB∣d,w_AB)=?(2+√5d,w,4β),當M到直線AB距離最遠的時候取得％AMB的

最大值,設M(2cos0,sinθ)直線AB:x+2y-2=0,所以

橢圓的參數(shù)方程求解距離的最值。本題還可以用幾何法分析與直線AB平行的直線與橢圓相切時，”為切點，到直線

AB距離最大。

14、√5

【解析】

求出直線/的方程，然后利用點到直線的距離公式可求出原點。到直線/的距離.

【詳解】

由于直線/的一個方向向量為(1,2),則直線/的斜率為2,所以，直線/的方程為y=2x+5,即2x-y+5=0,因

此，原點。到直線/的距離為F=Vh=布.

√2+(-ι)

故答案為：√5.

【點睛】

本題考查點到直線距離的計算，同時也考查了直線方向向量的應用，解題時要根據(jù)題中條件得出直線的斜率，并寫出

直線的方程，考查計算能力，屬于中等題.

15、O

【解析】

由Xi=X,得x—xi=0,由復數(shù)相等的條件得答案.

【詳解】

由Xi=X,得太一力=0,

√.x=0.

故答案為：L

【點睛】

本題考查復數(shù)相等的條件，是基礎題.

16、720

【解析】

根據(jù)題意，只需分別計算出p(k),ke{1,2,3,4,5,6)即可.

【詳解】

6

ZAP(A)=P(I)+2P(2)+3P(3)+4P(4)+5P(5)+6尸(6)

k=0

=C：xC：X(C'；+C；x3)+2xC；XGXC+3xC；xC；+4C：+0+6x1

=720

故答案為：720

【點睛】

本題考查排列與組合的應用以及組合數(shù)的計算，考查學生的邏輯思想，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)G為線段C尸的中點.

【解析】

(1)利用面面平行的判定定理證明出平面BC戶〃平面Ar>E,再利用平面與平面平行的性質(zhì)得出BF〃平面ADE；

(2)由CDIDE,由二面角的定義得出NAoE=60，證明出平面CDE平面ADE,過點A在平

面ADE內(nèi)作AO_LDE,可證明出A。，平面CDEF,以點。為坐標原點，OE、所在直線分別為)'軸、Z軸

建立空間直角坐標系。-肛z,設點G的坐標為(3,f,0)(T≤∕≤5),利用向量法結合條件銳二面角的余弦值為平

求出，的值，由此確定點G的位置.

【詳解】

(1)在矩形ABCZ)中，BC//AD,又QADu平面AZJE,JBCZ平面Az)E,

.?.BCH平面ADE,同理可證CFH平面ADE,

QBCeCF=C,BC、C尸U平面BCb,?.?平面BeF〃平面AOE,

BFU平面BeF,.?.Bf7∕平面ADE；

(2)在矩形ABCD中，CD_LAO,又CDLJDE,則矩形ABCz)所在平面與直角梯形所在平面所成二面角的平

面角為NAJDE,即NAoE=60.

又QADCZ)E=D,?CD^平面ADE,

作AO_LDE于。，Q40u平面ADE,.?.AOLCD,

又CDDE=D,CD.DEU平面CDEF,..AO，平面Cr)E尸.

作E"_LCE于”，QEF=3√∑,2ECF=AS,:.CD=EH=HF=3,

QCF=6>CH=DE=3，OD-1*OE=2.

以。為原點，OE、。4所在直線分別為y軸、二軸如圖建立空間直角坐標系。一型，

則網(wǎng)3,0,6)、E(0,2,0),設G(3,∕,0)(T≤∕<5).

則送=(_3,2,_6)，5G=(θ√,-√3),

BEn,=O—3x+2y-??∣3z—0r.

設平面BEG的一個法向量為勺=(x,y,z),貝卜,即《-',取y=3,貝Z=Gr,x=2τ,

BGn=Or

λ"λ∕3z=0

則平面BEG的一個法向量為士=(2-/,3,√3r).

UU/、∕irUD2√7

.又平面的一個法向量為%

OEG=(0,0,1),.?,cos(n1,π2τ

4r-4r+13~Γ

解得f=2或「=一丁(舍去).

此時,11=1?G(3,〈,O］即所求點G為線段5的中點.

GF?ZJ

【點睛】

本題考查直線與平面平行的證明，以及二面角的計算，解題時要注意二面角的定義，本題考查二面角的動點問題，一

般要建立空間直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量進行求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.

18、(1)詳見解析；(2)?

【解析】

(1)根據(jù)組合數(shù)的運算公式求解;

(2)首先列舉所有不超過30的素數(shù)，然后按照古典概型寫出概率.

【詳解】

2,

(1)C：+2C；I+C'；-=C'll'++C：T+C；2

,nxnx

—心Ic~—c

一十vw+l一?+2

(2)不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個，任取2個不同的數(shù)有品=45種方法，其中和為30的有

(11,19),(7,23),(13,17)共三組,

31

則Pn=—=—

λjCr15

【點睛】

本題考查組合數(shù)的證明和古典概型的概率公式意在考查推理與證明和計算能力，屬于基礎題型

19、(1)z=3+i(2)Iw∣=√2

【解析】

(1)將復數(shù)z=3+mi代入(l+3i)z,令其實部為0,虛部不為0,可解得m,進而求出復數(shù)z；(2)先根據(jù)復數(shù)的

除法法則計算w,再由公式IZ|=|a+bi?=y∣a2+b2計算W的模.

【詳解】

解：(1)(l+3i)?(3+mi)=(3-3m)+(9+m)i

(l+3i)?z是純虛數(shù)

.?.3-3m=0,且9+%7≠0

.,.m=I,.*.z=3+i

3÷z(3+i)?(2+i)5÷5z.

(2)W=-----=----------------=-------=l+z.

-2-z(2-0?(2+Z)5

.[vv∣=Jl~+F—V2■

【點睛】

本題考查復數(shù)的概念和模以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎題.

20、⑴4x+2y—3=0；⑵①當α=-2,/(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；②當。>一2,時，/(χ)在(0,—α),(2,+∞)

上單調(diào)遞增，在(-α,2)上單調(diào)遞減；③當。<一2時，在(0,2),(-α,+∞)上單調(diào)遞增，在(2,一。)上單調(diào)遞減；

(3)

【解析】

分析：(1)求出函數(shù)/(x)在x=l的導數(shù)即可得切線方程；

(2),(X)=(X+."I),就。<一2,。=-2,-2<。<0分類討論即可；

(3)不妨設。<玉<々，則原不等式可以化為/(χ)-叼<∕(W)-以2,故利用y=∕(χ)-公為增函數(shù)可得。的

取值范圍.

詳解：(D當α=l時，r(χ)=d)(x+l),/⑴=_2,

X

所以所求的切線方程為γ-∕(D=-2(x-l),即4x+2y-3=。.

(2)1(X)=(X+?1),

①當一a=2,即α=-2時，/'(x)=攵二空≥0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

X

②當0v-av2,即一2<αv0時，

因為0<%<一〃或%>2時，?(x)>0；

當一"VX<2時，?(x)<0,

fM在(0,-。)和(2,+8)上單調(diào)遞增，在2)上單調(diào)遞減；

③當一α>2,即。<一2時，

因為OVX<2或%>一。時，?(%)>0；

當2<x<-α時，/(%)<0,

/Q)在(0,2),(-α,+∞)上單調(diào)遞增，在(2,-0)上單調(diào)遞減.

(3)假設存在這樣的實數(shù)4，滿足條件,

/(冬)一/(M),

不妨設大<%2，由2~=---：----知/。2)一依2>∕(X)一以I，

X2-?l

令g(%)=f(x)-ax=-x2-2a?nx-2x,則函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

?

所以g,(x)=X—---2≥0,即2a4Y-2χ=(X-1)2-1在((),十為)上恒成立，

X

所以a≤-g,故存在這樣的實。，滿足題意，其取值范圍為(—8,_g].

點睛：(1)對于曲線的切線問題，注意“在某點處的切線”和“過某點的切線”的差別，切線問題的核心是切點

的橫坐標;

⑵一般地，若/(x)在區(qū)間(α,0)上可導，且1(x)>0(∕'(x)<0),則/(x)在(。力)上為單調(diào)增(減)函

數(shù)；反之，若/(x)在區(qū)間(a,。)上可導且為單調(diào)增(減)函數(shù)，Jrlr(X)≥0(1(x)≤0)?

14

21、(1)—；(2)不需要調(diào)整.

【解析】

(1)計算出每年的年度庫存積壓率，可知13,15,17,18年暢銷，14,16年不暢銷；列舉出所有年份中任取2年的

取法共15種，其中2年均為不暢銷的取法僅有1種，故根據(jù)古典型及對立事件的概率可求得結果；

2)數(shù)據(jù)重組后依據(jù)公式計算出新的回歸直線方程，并求出2019年的年銷售利潤預估值；再計算出原回歸直線方程的

2019年的年銷售利潤預估值，可知兩值相差3.66千萬元，由此可得結論

【詳解】

(1)公司年年度存積壓率分別為:

2.915.8131917.5181

------<------,------->------,-------<------------>------,-------<-------------<------

3000IOOO5000IOOO6000IOOO8000